зад 1 Пограничное кипение
Жидкости \(A\) и \(B\) взаимно неравствоимы. Давление их насыщенных паров \(p_i\) (\(i = A\) или \(B\)) с хорошей точностью подчиняется закону:
\[\ln\frac{p_i}{p_0} = \frac{a_i}{T} + b_i \qquad(1)\]где где \(p_0 ~-\) нормальное атмосферное давление, \(T ~-\) абсолютная температура пара, \(a_i\) и \(b_i ~-\) некоторые постоянные, зависящие от свойств жидкости. Точные значения отношений \(p_i / p_0\) для жидкостей \(A\) и \(B\) при температурах \(40^{\circ}C\) и \(90^{\circ}C\) приведены в таблице:
| \(t, ^{\circ}C\) | \(p_A / p_0\) | \(p_B / p_0\) |
| 40 | 0,284 | 0,07278 |
| 90 | 1,476 | 0,69180 |
A1. Найдите температуры кипения жидкостей \(A\) и \(B\) при давлении \(p_0\).
Жидкости \(A\) и \(B\) расслоились в сосуде так, как показано на рисунке. Поверхность жидкости В покрыли тонким слоем неиспаряющейся жидкости \(C\), которая не растворяется в жидкостях \(A\) и \(B\) (и не растворяет их), что препятствует свободному испарению жидкости \(B\).
Отношение молярных масс жидкостей \(A\) и \(B\) (в газообразном состоянии) \(y = M_A/M_B = 8\). В начальный момент времени массы жидкостей \(A\) и \(B\) одинаковы и равны \(m = 100~г\). Плотности жидкостей и высота их слоев в сосуде таковы, что в любой точке сосуда их давление можно принять не отличающимся от нормального атмосферного давления \(p_0\). К системе жидкостей медленно, постояннои равномерно подводят теплоту; при этом температура \(t\) в жидкостей изменяется с течением времени \(\tau\) так, как схематически представлено на рисунке.
A2. Определите массы жидкостей \(A\) и \(B\) в момент времени \(\tau_1\), и температуры \(t_1\) и \(t_2\), соответствующие горизонтальным отрезкам графика.
(Значения \(t_1\) и \(t_2\) нужно найти в виде целого числа градусов, а массы жидкостей \(-\) с точностью до десятых грамма.)
Примечание: Предполагается, что пары рассматриваемых жидкостей с хорошим приближением подчиняются закону Дальтона, согласно которому давление смеси газов равно сумме парциальных давлений газов, составляющих смесь, и что в интервале давлений, соответствующих давлениям насыщенных паров, их можно рассматривать как идеальные газы.
▶ОтветСкрыть
A1: \[T_x = 340~К\]
▶РешениеСкрыть
A1. 1. Кипение происходит тогда, когда давление насыщенных паров равно атмосферному:
\[p_i = p_0 \Rightarrow \ln{\frac{p_i}{p_0}} = 0 \qquad(1)\]Подставляя в формулу \((1)\) из условия
\[\ln{\frac{p_i}{p_0}} = \frac{a_i}{T} + b_i,\]получим:
\[T_{кип_i} = - \frac{a_i}{b_i} \qquad(2)\]Числовые значения \(a_i\) и \(b_i\) можно получить, подставив данные из таблицы. Для каждой жидкости имеем два неизвестных и два уравнения. Решая систему уравнений, находим значения \(a_i\) и \(b_i\).
2. Испарение с поверхности отсутствует. Рассмотрим пузырек, образовавшийся внутри жидкости \(A\), жидкости \(B\) или на их границе. Он может возникнуть, например, вследствие флуктуации. Если давление в нем меньше \(p_0\), пузырек исчезнет. Если он возник внутри жидкости \(A\), то давление в нем \(p = p_A(T)\), если внутри жидкости \(B\), то \(p = p_B(T)\), если на границе, то \(p =p_A(Т) + p_B(Т)\). При некоторой температуре \(T_x\), суммарное давление \(p_A(T_x) + P_B(T_x) = p_0\). \(p_A(T_x) < p_0\) и \(p_B(T) < p_0\), т.е. пузырьки в жидкостях \(A\) и \(B\) исчезнут, а на границе нет. Этот пузырек начнет подниматься. Парциальное давление паров жидкости \(B\) в пузырьке равно \(p_B(T_x)\), паров жидкости \(A\) \(p_A(T_x)\), так как жидкость \(A\) не растворяется в жидкости \(B\) и, следовательно, количество пара в пузырьке не изменится. Поэтому этот пузырек дойдет до поверхности жидкостей. Будет наблюдаться пограничное кипение. \(T_x\), находим из условия:
\[p_A(T_x) + p_B(T_x) = p_0 \Rightarrow \exp{\left( \frac{a}{T_x} + b_A \right)} + \exp{\left( \frac{a}{T_x} + b_A \right)} = 1.\]Решить это уравнение точно довольно сложно. Но так как в условии требуется точность \(1~К\), то это уравнение можно решить методом простой итеррации. Получаем \(T_x = 340~К.\)
Ответ:
\[T_x = 340~К\]
A2. Во время такого кипения \(T = \text{const}\). Пограничному кипению соответствует первый горизонтальный участок, т.е.: \(t_1 = T_x = 340~К\). Пузырек объемом \(V\) содержит вещество \(A\) массой \(m_A\) и вещество \(B\) массой \(m_B\).
\[\frac{p_AV}{T_x} = \frac{m_A R}{M_A}, \quad \frac{p_B V}{T_x} = \frac{m_B R}{M_B} \Rightarrow \frac{m_A}{m_A} = \frac{p_A}{p_B} \frac{M_A}{M_B} .\qquad(3)\]\(p_A / p_B\) находим, подставив \(T_x\) в формулу \((2)\). Получаем \(\Delta m_A / \Delta m_B = 22,4\), т.е. масса жидкости \(A\) уменьшается в \(22,4\) раза быстрее, чем масса жидкости \(B\). Когда жидкость \(A\) полностью испарится, жидкость \(B\) частично выкипит: \(\Delta m_B = m \frac{m_B}{m_A}\), а частично останется: \(m_B = m \left( 1 - \frac{m_B}{m_A} \right) = 95,5~г\). Теперь пограничное кипение кончилось, и cледующий наклонный участок соответствует нагреву жидкости \(B\) до температуры ее кипения. Количество вещества \(B\) при этом не меняется и в момент \(\tau_1\): \(m_A = 0, m_B = 95,5~г\). Ясно, что \(t_2\) температура кипения жидкости \(B\); \(t_2 = 373~К\).
Ответ:
\[m_A = 0, \quad m_B = 95,5~г\]\[t_2 = 373~К\]
Перевод: pho.rs.
Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 1989, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.