IPhO 1990, теоретический тур

Подсказка

Каждое направление решётки даёт свою «одномерную решётку»: положение максимума — из условия разности хода \(n\lambda\) для соседних щелей, ширина — из условия, что разность хода между крайней и средней щелью добавляет \(\lambda/2\). Наклонённый кристалл «виден» пучку с эффективными периодами \(a\cos\Theta\) и \(a\sin\Theta\).

Ответ

a) \(x_{n_1} = n_1\lambda L/d_1\), \(y_{n_2} = n_2\lambda L/d_2\), ширины \(2\Delta x = 2\lambda L/(N_1 d_1)\), \(2\Delta y = 2\lambda L/(N_2 d_2)\);  b) \(x_{n_1} = n_1\lambda L/a\), \(y_{n_2} = n_2\lambda L/(a\cos\theta)\); вдоль \(z\) — максимумы \(y'_{n_3} = n_3\lambda L/(a\sin\theta)\) шириной \(\Delta y' = 2\lambda L/(N_1 a\sin\theta)\): виден только нулевой, очень широкий порядок, картина почти как от двумерной решётки;  d) \(\approx 0{,}44\) нм.

Решение

a) Рассмотрим сначала направление \(x\). Если волны, идущие от соседних щелей (расстояние между которыми \(d_1\)), проходят пути, длины которых отличаются на \[\Delta_1 = n_1\lambda,\] где \(n_1\) — целое число, то возникает главный максимум. Его положение на экране (по направлению \(x\)): \[x_{n_1} = \frac{n_1\lambda L}{d_1},\] поскольку \(d_1 \ll d_2\).

Разность хода между средней щелью и одной из крайних щелей тогда равна \[\Delta_{(N_1/2)} = \frac{N_1}{2}\,n_1\lambda.\] Если же эта разность хода равна \[\Delta_{(N_1/2)} = \frac{N_1}{2}\,n_1\lambda + \frac{\lambda}{2},\] то возникает первый минимум рядом с главным максимумом. Положение этого минимума на экране: \[x_{n_1} + \Delta x = \frac{\left(\dfrac{N_1}{2}\,n_1\lambda + \dfrac{\lambda}{2}\right)L}{\dfrac{N_1}{2}\,d_1} = \frac{n_1\lambda L}{d_1} + \frac{\lambda L}{N_1 d_1} \;\to\; \Delta x = \frac{\lambda L}{N_1 d_1}.\] Ширина главного максимума соответственно равна \[2\Delta x = 2\,\frac{\lambda L}{N_1 d_1}.\] Аналогично рассматривается направление \(y\), в котором имеется \(N_2\) щелей с расстоянием \(d_2\). Положения и ширины главных максимумов: \[(x_{n_1}, y_{n_2}) = \left(\frac{n_1\lambda L}{d_1}, \frac{n_2\lambda L}{d_2}\right), \qquad 2\Delta x = 2\,\frac{\lambda L}{N_1 d_1}; \qquad 2\Delta y = 2\,\frac{\lambda L}{N_2 d_2}.\] Другой способ решения — вычислить интенсивность для двумерной решётки как функцию угла, который пучок составляет с экраном.

b) В направлении \(x\) пучок «видит» решётку с периодом \(a\), так что в этом направлении \[x_{n_1} = \frac{n_1\lambda L}{a}, \qquad \Delta x = 2\,\frac{\lambda L}{N_0 a}.\] В направлении \(y\) пучок «видит» решётку с эффективным периодом \(a\cos\Theta\). Аналогично получаем \[y_{n_2} = \frac{n_2\lambda L}{a\cos\theta}, \qquad \Delta y = 2\,\frac{\lambda L}{N_0 a\cos\theta}.\] В направлении \(z\) пучок «видит» решётку с эффективным периодом \(a\sin\Theta\). Это даёт главные максимумы с положением и шириной \[y'_{n_3} = \frac{n_3\lambda L}{a\sin\theta}, \qquad \Delta y' = 2\,\frac{\lambda L}{N_1 a\sin\theta}.\] Эта картина накладывается на предыдущую. Поскольку \(\sin\Theta\) очень мал, будет видна только картина нулевого порядка, и она очень широкая, так как \(N_1\sin\Theta \ll N_0\). Дифракционная картина от плоской волны, падающей на тонкую пластинку кубического кристалла под малым углом падения к нормали, будет почти идентична картине от двумерной решётки.

c) При брэгговском отражении разность хода для конструктивной интерференции между соседними плоскостями \[\Delta = 2a\sin\phi \approx 2a\phi = n\lambda \;\to\; \frac{x}{L} \approx 2\phi \approx \frac{n\lambda}{a} \;\to\; x \approx \frac{n\lambda L}{a}.\] Здесь \(\phi\) — угол дифракции. Это то же условие максимума, что и в пункте b.

d) Для расстояния \(\sqrt2\,a\) между соседними ионами K имеем: \[\operatorname{tg}(2\phi) = \frac{x}{L} = \frac{0{,}053}{0{,}1} \approx 0{,}53 \;\to\; a = \frac{\lambda}{2\sin\phi} \approx \frac{0{,}15\cdot 10^{-9}}{2\cdot 0{,}24} \approx 0{,}31\text{ нм},\] \[K\text{–}K \approx \sqrt2\cdot 0{,}31 \approx 0{,}44\text{ нм}.\]

Подсказка

Запишите уравнение движения спутника вдоль касательной к окружности радиуса \(L\) вокруг «Атлантиса» с учётом разности гравитационной и центробежной сил на расстоянии \(R - L\cos\alpha\) от центра Земли. Для пункта c\(_2\) сравните работу силы Ампера с изменением полной энергии на круговой орбите.

Ответ

a\(_1\)) \(\alpha = 0\), \(\pi/2\), \(\pi\), \(3\pi/2\);  a\(_2\)) около \(0\) и \(\pi\) — устойчиво, около \(\pi/2\) и \(3\pi/2\) — неустойчиво;  b) \(T_1 = \dfrac{1}{3}\sqrt3\,\dfrac{2\pi}{\Omega} \approx 0{,}58\,T_0\);  c\(_1\)) от спутника (S) к шаттлу (A);  c\(_2\)) \(t = \dfrac12\,\dfrac{m\Omega\Delta R}{BIL} \approx 5{,}8\cdot 10^3\) с, высота увеличивается.

Решение

a\(_1\)) Поскольку \(m_2 \ll m_1\), «Атлантис» движется вокруг Земли с постоянной скоростью. Движение спутника складывается из кругового движения «Атлантиса» вокруг Земли и (возможно) кругового движения спутника вокруг «Атлантиса». Для \(m_1\) имеем: \[m_1\Omega^2 R = \frac{G m_1 m_a}{R^2} \;\to\; \Omega^2 = \frac{G m_a}{R^3}. \qquad (1)\]

Для \(m_2\) имеем: \[m_2 L\ddot\alpha = -(F_g - F_c)\sin\alpha = -\left(\frac{G m_2 m_a}{(R - L\cos\alpha)^2} - m_2\Omega^2 (R - L\cos\alpha)\right)\sin\alpha.\] Используя приближение \[\frac{1}{(R - L\cos\alpha)^2} \approx \frac{1}{R^2} + \frac{2L\cos\alpha}{R^3}\] и уравнение (1), находим: \[L\ddot\alpha = -\left(\frac{G m_a}{R^2} + \frac{2G m_a}{R^3}\,L\cos\alpha - \frac{G m_a}{R^3}\,R + \frac{G m_a}{R^3}\,L\cos\alpha\right)\sin\alpha,\] откуда \[\ddot\alpha + 3\Omega^2\sin\alpha\cos\alpha = 0. \qquad (2)\] Если \(\alpha\) постоянен: \(\ddot\alpha = 0\) \(\to\) \(\sin\alpha = 0\) \(\to\) \(\alpha = 0\); \(\alpha = \pi\); \(\to\) \(\cos\alpha = 0\) \(\to\) \(\alpha = \pi/2\); \(\alpha = 3\pi/2\).

a\(_2\)) Положение устойчиво, если момент \(M = m_2 L\ddot\alpha L = m_2 L^2\ddot\alpha\) меняет знак противоположно тому, как меняет знак \(\alpha - \alpha_0\):

Таким образом, равновесие около углов \(0\) и \(\pi\) устойчиво, а около \(\pi/2\) и \(3\pi/2\) — неустойчиво.

b) При малых значениях \(\alpha\) уравнение (2) принимает вид \[\ddot\alpha + 3\Omega^2\alpha = 0.\] Это уравнение простого гармонического движения. Квадрат угловой частоты равен \[\omega^2 = 3\Omega^2,\] поэтому \[\omega = \Omega\sqrt3 \;\to\; T_1 = \frac{2\pi}{\omega} = \frac13\sqrt3\left(\frac{2\pi}{\Omega}\right) \approx 0{,}58\,T_0.\]

c\(_1\)) По правилу Ленца ток течёт от спутника (S) к шаттлу (A).

c\(_2\)) Для полной энергии системы имеем: \[U = U_{kin} + U_{pot} = \frac12\,m\Omega^2 R^2 - \frac{G m m_a}{R} = -\frac12\,\frac{G m m_a}{R}.\] Малому изменению радиуса орбиты соответствует изменение энергии \[\Delta U = \frac12\,\frac{G m m_a}{R^2}\,\Delta R = \frac12\,m\Omega^2 R\,\Delta R.\] В ситуации пункта c\(_1\) энергия отбирается у системы, вследствие чего радиус орбиты уменьшается. Если в цепь включён источник тока внутри шаттла, который поддерживает результирующий ток в противоположном направлении, энергия поглощается системой, вследствие чего радиус орбиты увеличивается. Из предположений пункта c\(_2\) имеем: \[\Delta U = F_l v t = B I L\,\Omega R\,t = \frac12\,m\Omega^2 R\,\Delta R \;\to\; t = \frac12\,\frac{m\Omega\Delta R}{BIL}.\] Численный расчёт даёт для времени \(t \approx 5{,}8\cdot 10^3\) с, что примерно равно периоду системы.

Подсказка

Поверхность звезды перпендикулярна сумме силы тяготения и центробежной силы (или: на поверхности постоянна сумма гравитационного и центробежного потенциалов). Скачок угловой скорости коры и последующее выравнивание скоростей коры и ядра — два закона сохранения момента импульса.

Ответ

a) \(\epsilon \approx \dfrac{\omega^2 r^3}{2GM} \approx 3{,}7\cdot 10^{-4}\);  b) \(\dfrac{r_c}{r} = \sqrt{1 - \dfrac{(\omega_2 - \omega_0)\,\omega_1}{(\omega_1 - \omega_0)\,\omega_2}} \approx 0{,}95\).

Решение

a) 1-й способ. Для равновесия имеем \(F_c = F_g + N\), где \(N\) — нормаль к поверхности.

Раскладывая на горизонтальные и вертикальные составляющие, находим: \[F_g\cos\phi = F_c + N\sin\alpha, \quad F_g\sin\phi = N\cos\alpha \;\to\; F_g\cos\phi = F_c + F_g\sin\phi\operatorname{tg}\alpha.\] Из \[F_g = \frac{GM}{r^2}, \quad F_c = \omega^2 r, \quad x = r\cos\phi, \quad y = r\sin\phi \quad\text{и}\quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{dy}{dx}\] находим: \[y\,dy + \left(1 - \frac{\omega^2 r^3}{GM}\right)x\,dx = 0, \qquad (1)\] где \[\frac{\omega^2 r^3}{GM} \approx 7\cdot 10^{-4}.\] Это означает, что, хотя \(r\) зависит от \(x\) и \(y\), изменение множителя перед \(x\,dx\) настолько мало, что его можно считать постоянным. Решение уравнения (1) тогда — эллипс: \[\frac{x^2}{r_e^2} + \frac{y^2}{r_p^2} = 1 \;\to\; \frac{r_p}{r_e} = \sqrt{1 - \frac{\omega^2 r^3}{GM}} \approx 1 - \frac{\omega^2 r^3}{2GM},\] откуда следует, что \[\epsilon = \frac{r_e - r_p}{r_e} = \frac{\omega^2 r^3}{2GM} \approx 3{,}7\cdot 10^{-4}.\]

2-й способ. Для точечной массы 1 кг на поверхности \[U_{pot} = -\frac{GM}{r}, \qquad U_{kin} = \frac12\,\omega^2 r^2\cos^2\phi.\] Форма поверхности такова, что \(U_{pot} - U_{kin} = \text{const}\). Для экватора (\(\Phi = 0\), \(r = r_e\)) и полюса (\(\Phi = \pi/2\), \(r = r_p\)) имеем: \[\frac{GM}{r_p} = \frac{GM}{r_e} + \frac12\,\omega^2 r_e^2 \;\to\; \frac{r_e}{r_p} = 1 + \frac{\omega^2 r_e^3}{2GM}.\] Таким образом, \[\epsilon = \frac{r_e - r_p}{r_e} = \frac{1 + \dfrac{\omega^2 r_e^3}{2GM} - 1}{1 + \dfrac{\omega^2 r_e^3}{2GM}} \approx \frac{\omega^2 r_e^3}{2GM} \approx 3{,}7\cdot 10^{-4}.\]

b) Вследствие звездотрясения момент инерции коры \(I_m\) уменьшается на \(\Delta I_m\).

Из закона сохранения момента импульса имеем: \[I_m\omega_0 = (I_m - \Delta I_m)\,\omega_1 \;\to\; \Delta I_m = I_m\,\frac{\omega_1 - \omega_0}{\omega_1}.\] После того как внутреннее трение выровняет угловые скорости коры и ядра, имеем: \[(I_m + I_c)\,\omega_0 = (I_m + I_c - \Delta I_m)\,\omega_2 \;\to\; \Delta I_m = (I_m + I_c)\,\frac{\omega_2 - \omega_0}{\omega_2},\] \[\frac{I_m}{I_m + I_c} = \frac{(\omega_2 - \omega_0)\,\omega_1}{(\omega_1 - \omega_0)\,\omega_2} \;\to\; 1 - \frac{I_c}{I_m + I_c} = \frac{(\omega_2 - \omega_0)\,\omega_1}{(\omega_1 - \omega_0)\,\omega_2},\] \[I \propto R^2\]

\[\to\; \frac{I_c}{I_m + I_c} = \frac{r_c^2}{r^2} \;\to\; \frac{r_c}{r} = \sqrt{1 - \frac{(\omega_2 - \omega_0)\,\omega_1}{(\omega_1 - \omega_0)\,\omega_2}} \approx 0{,}95.\]