зад 1 Релятивистская частица
В специальной теории относительности связь между энергией \(E\) и импульсом \(P\) свободной частицы с массой покоя \(m_0\) имеет вид \[E = \sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^4} = mc^2 .\] Когда на такую частицу действует консервативная сила, полная энергия частицы, равная сумме \(\sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^4}\) и потенциальной энергии, сохраняется. Если энергия частицы очень велика, энергией покоя частицы можно пренебречь (такую частицу называют ультрарелятивистской).
Рассмотрите одномерное движение частицы очень высокой энергии (энергией покоя которой можно пренебречь) под действием притягивающей центральной силы постоянной величины \(f\). Пусть в момент времени \(t=0\) частица находится в центре силы и имеет начальный импульс \(p_0\). Опишите движение частицы, построив по отдельности, по крайней мере для одного периода движения, графики зависимости \(x\) от времени \(t\) и импульса \(p\) от пространственной координаты \(x\). Укажите координаты «точек поворота» через заданные параметры \(p_0\) и \(f\). Стрелками покажите направление развития движения на диаграмме \((p, x)\). Могут существовать короткие промежутки времени, в течение которых частица не является ультрарелятивистской, однако ими следует пренебречь.
Используйте бланк ответов 1.
Мезон — частица, состоящая из двух кварков. Масса покоя \(M\) мезона равна полной энергии системы двух кварков, делённой на \(c^2\).
Рассмотрите одномерную модель покоящегося мезона, в которой два кварка движутся вдоль оси \(x\) и притягиваются друг к другу с силой постоянной величины \(f\). Предполагается, что они могут свободно проходить друг сквозь друга. При анализе движения кварков с высокой энергией массой покоя кварков можно пренебречь. В момент времени \(t=0\) оба кварка находятся в точке \(x=0\). Покажите графически по отдельности движение двух кварков на диаграмме \((x, t)\) и на диаграмме \((p, x)\), укажите координаты «точек поворота» через \(M\) и \(f\), покажите направление процесса на вашей диаграмме \((p, x)\) и определите максимальное расстояние между двумя кварками.
Используйте бланк ответов 2.
Систему отсчёта, использованную в пункте 2, будем называть системой \(S\). Лабораторная система отсчёта, которую будем обозначать \(S'\), движется в отрицательном направлении оси \(x\) с постоянной скоростью \(v = 0{,}6c\). Координаты в двух системах отсчёта выбраны так, что точка \(x=0\) в системе \(S\) совпадает с точкой \(x'=0\) в системе \(S'\) в момент времени \(t=t'=0\). Изобразите графически движение двух кварков на диаграмме \((x', t')\). Укажите координаты точек поворота через \(M\), \(f\) и \(c\) и определите максимальное расстояние между двумя кварками, наблюдаемое в лабораторной системе \(S'\).
Используйте бланк ответов 3.
Координаты частицы, наблюдаемые в системах отсчёта \(S\) и \(S'\), связаны преобразованием Лоренца \[\left\{\begin{aligned} x' &= \gamma(x + \beta ct),\\ t' &= \gamma\left(t + \beta\frac{x}{c}\right), \end{aligned}\right.\] где \(\beta = v/c\), \(\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}\), а \(v\) — скорость системы \(S\) относительно системы \(S'\).
Для мезона с энергией покоя \(Mc^2 = 140\text{ МэВ}\) и скоростью \(0{,}60c\) относительно лабораторной системы \(S'\) определите его энергию \(E'\) в лабораторной системе \(S'\).
Бланки ответов 1 и 2. На рисунке: ANSWER SHEET — бланк ответов; Quark1, Quark2 — кварк 1, кварк 2; The maximum distance between the two quarks is \(d=\) — максимальное расстояние между двумя кварками \(d=\).
Бланк ответов 3. На рисунке: The maximum distance between the two quarks observed in S\('\) frame is \(d'=\) — максимальное расстояние между двумя кварками, наблюдаемое в системе \(S'\), \(d'=\).
▶ПодсказкаСкрыть
Без энергии покоя энергия частицы равна \(|p|c\), поэтому величина \(|p|c + f|x|\) сохраняется, а скорость всё время равна \(c\). В покоящемся мезоне кварки движутся симметрично, и задача сводится к одной частице с половиной энергии. Преобразование Лоренца линейно — достаточно пересчитать точки поворота.
▶ОтветСкрыть
1) частица движется со скоростью \(c\) между точками поворота \(x = \pm L\), \(L = p_0c/f\), период \(4p_0/f\); диаграмма \((p, x)\) — ромб с вершинами \((\pm L, 0)\) и \((0, \pm p_0)\); 2) \(L = Mc^2/2f\), \(p_0 = Mc/2\), \(d = Mc^2/f\); 3) \(d' = Mc^2/2f\); 4) \(E' = 175\text{ МэВ}\).
▶РешениеСкрыть
1) 1a. Примем центр силы за начало пространственной координаты \(x\) и за точку нулевого потенциала; тогда потенциальная энергия частицы \[U(x) = f|x| . \qquad (1)\] Полная энергия равна \[W = \sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^4} + f|x| .\]
1b. Пренебрегая энергией покоя, получаем \[W = |p|c + f|x| . \qquad (2)\] Поскольку \(W\) сохраняется в течение всего движения, имеем \[W = |p|c + f|x| = p_0c . \qquad (3)\] Направим ось \(x\) вдоль начального импульса частицы: \[\left.\begin{aligned} pc + fx &= p_0c &&\text{при } x>0,\ p>0;\\ -pc + fx &= p_0c &&\text{при } x>0,\ p<0;\\ pc - fx &= p_0c &&\text{при } x<0,\ p>0;\\ -pc - fx &= p_0c &&\text{при } x<0,\ p<0. \end{aligned}\right\} \qquad (4)\] Максимальному удалению частицы от начала координат, обозначим его \(L\), соответствует \(p=0\). Оно равно \[L = p_0c/f .\]
1c. Из уравнения (3) и закона Ньютона \[\frac{dp}{dt} = F = \begin{cases} -f, & x>0;\\ f, & x<0; \end{cases} \qquad (5)\] находим скорость частицы: \[\left|\frac{dx}{dt}\right| = \frac{c}{f}\left|\frac{dp}{dt}\right| = c , \qquad (6)\] т. е. частица с очень высокой энергией всё время движется со скоростью света, за исключением области, чрезвычайно близкой к точкам \(x = \pm L\). Время движения частицы от начала координат до точки \(x = L\), обозначим его \(\tau\), равно \[\tau = L/c = p_0/f .\] Итак, частица движется туда и обратно между точками \(x = L\) и \(x = -L\) со скоростью \(c\) и периодом \(4\tau = 4p_0/f\). Зависимость \(x\) от \(t\): \[\left.\begin{aligned} x &= ct, && 0 \le t \le \tau,\\ x &= 2L - ct, && \tau \le t \le 2\tau,\\ x &= 2L - ct, && 2\tau \le t \le 3\tau,\\ x &= ct - 4L, && 3\tau \le t \le 4\tau. \end{aligned}\right\} \qquad (7)\] Искомый ответ показан на рис. 1 и рис. 2.
Рис. 1 и рис. 2 (на рисунке Fig. — рис.)
2) Полную энергию системы двух кварков можно записать в виде \[Mc^2 = |p_1|c + |p_2|c + f|x_1 - x_2| , \qquad (8)\] где \(x_1\), \(x_2\) — координаты, а \(p_1\), \(p_2\) — импульсы кварка 1 и кварка 2 соответственно. Для покоящегося мезона полный импульс двух кварков равен нулю, и кварки движутся симметрично в противоположных направлениях: \[p = p_1 + p_2 = 0, \qquad p_1 = -p_2, \qquad x_1 = -x_2 . \qquad (9)\] Обозначим через \(p_0\) импульс кварка 1 в точке \(x=0\); тогда \[Mc^2 = 2p_0c \quad\text{или}\quad p_0 = Mc/2 . \qquad (10)\] Из уравнений (8), (9) и (10) половину полной энергии можно выразить через \(p_1\) и \(x_1\) кварка 1: \[p_0c = |p_1|c + f|x_1| , \qquad (11)\] как если бы это была задача об одной частице, как в пункте 1 (уравнение (3)), с начальным импульсом \(p_0 = Mc/2\). Из ответа пункта 1 получаем диаграммы \((x, t)\) и \((p, x)\) движения кварка 1, показанные на рис. 3 и 4. Для кварка 2 ситуация аналогична, только знаки \(x\) и \(p\) меняются на противоположные; его диаграммы \((x, t)\) и \((p, x)\) показаны на рис. 3 и 4.
Максимальное расстояние между двумя кварками, как видно из рис. 3, равно \[d = 2L = 2p_0c/f = Mc^2/f . \qquad (12)\]
Рис. 3. На рисунке: \(x_1\): solid line — \(x_1\): сплошная линия; \(x_2\): dash line — \(x_2\): штриховая линия.
Рис. 4а — кварк 1, рис. 4б — кварк 2 (на рисунке Fig. — рис., Quark — кварк).
3) Система отсчёта \(S\) движется с постоянной скоростью \(V = 0{,}6c\) относительно лабораторной системы \(S'\) в направлении оси \(x'\), и начала координат двух систем совпадают в начальный момент (\(t = t' = 0\)). Преобразование Лоренца между этими двумя системами имеет вид \[\begin{aligned} x' &= \gamma(x + \beta ct),\\ t' &= \gamma(t + \beta x/c), \end{aligned} \qquad (13)\] где \(\beta = V/c\) и \(\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}\). При \(V = 0{,}6c\) имеем \(\beta = 3/5\) и \(\gamma = 5/4\). Поскольку преобразование Лоренца линейно, прямая на диаграмме \((x, t)\) переходит в прямую на диаграмме \((x', t')\), поэтому достаточно вычислить координаты точек поворота в системе \(S'\).
Для кварка 1 координаты точек поворота в системах \(S\) и \(S'\) таковы:
| Система \(S\) | Система \(S'\) | ||
| \(x_1\) | \(t_1\) | \(x_1' = \gamma(x_1 + \beta ct_1) = \frac54 x_1 + \frac34 ct_1\) | \(t_1' = \gamma(t_1 + \beta x_1/c) = \frac54 t_1 + \frac34 x_1/c\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(L\) | \(\tau\) | \(\gamma(1+\beta)L = 2L\) | \(\gamma(1+\beta)\tau = 2\tau\) |
| \(0\) | \(2\tau\) | \(2\gamma\beta L = \frac32 L\) | \(2\gamma\tau = \frac52\tau\) |
| \(-L\) | \(3\tau\) | \(\gamma(3\beta-1)L = L\) | \(\gamma(3-\beta)\tau = 3\tau\) |
| \(0\) | \(4\tau\) | \(4\gamma\beta L = 3L\) | \(4\gamma\tau = 5\tau\) |
Для кварка 2 имеем:
| Система \(S\) | Система \(S'\) | ||
| \(x_2\) | \(t_2\) | \(x_2' = \gamma(x_2 + \beta ct_2) = \frac54 x_2 + \frac34 ct_2\) | \(t_2' = \gamma(t_2 + \beta x_2/c) = \frac54 t_2 + \frac34 x_2/c\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(-L\) | \(\tau\) | \(-\gamma(1-\beta)L = -\frac12 L\) | \(\gamma(1-\beta)\tau = \frac12\tau\) |
| \(0\) | \(2\tau\) | \(2\gamma\beta L = \frac32 L\) | \(2\gamma\tau = \frac52\tau\) |
| \(L\) | \(3\tau\) | \(\gamma(3\beta+1)L = \frac72 L\) | \(\gamma(3+\beta)\tau = \frac92\tau\) |
| \(0\) | \(4\tau\) | \(4\gamma\beta L = 3L\) | \(4\gamma\tau = 5\tau\) |
По этим результатам диаграммы \((x', t')\) двух кварков показаны на рис. 5.
Уравнения прямых \(OA\) и \(OB\): \[x_1'(t') = ct'; \qquad 0 \le t' \le \gamma(1+\beta)\tau = 2\tau; \qquad (14\text{a})\] \[x_2'(t') = -ct'; \qquad 0 \le t' \le \gamma(1-\beta)\tau = \frac12\tau . \qquad (14\text{б})\] Расстояние между двумя кварками достигает максимума \(d'\) при \(t' = \frac12\tau\), так что максимальное расстояние равно \[d' = 2c\gamma(1-\beta)\tau = 2\gamma(1-\beta)L = \frac{Mc^2}{2f} . \qquad (15)\]
Рис. 5. На рисунке: \(x_1\): solid lines — \(x_1\): сплошные линии; \(x_2\): dashed lines — \(x_2\): штриховые линии.
4) Мезон движется со скоростью \(V = 0{,}6c\) относительно лабораторной системы, поэтому его энергия, измеренная в лабораторной системе, равна \[E' = \frac{Mc^2}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{1}{0{,}8}\times 140 = 175\text{ МэВ}.\]
зад 2 Сверхпроводящий магнит
Сверхпроводящие магниты широко используются в лабораториях. Наиболее распространённая форма сверхпроводящего магнита — соленоид из сверхпроводящего провода. Замечательное свойство сверхпроводящего магнита состоит в том, что он создаёт сильные магнитные поля без какого-либо рассеяния энергии за счёт джоулева нагрева, поскольку электрическое сопротивление сверхпроводящего провода становится равным нулю, когда магнит погружён в жидкий гелий при температуре \(4{,}2\text{ К}\). Обычно магнит снабжают специально сконструированным сверхпроводящим переключателем, как показано на рис. 1. Сопротивлением \(r\) переключателя можно управлять: либо \(r=0\) в сверхпроводящем состоянии, либо \(r = r_n\) в нормальном состоянии. Режим незатухающего тока — это режим, в котором ток неограниченно долго циркулирует через магнит и сверхпроводящий переключатель. Режим незатухающего тока позволяет поддерживать постоянное магнитное поле в течение длительного времени при отключённом внешнем источнике.
Устройство сверхпроводящего переключателя на рис. 1 не показано. Обычно это небольшой отрезок сверхпроводящего провода, обмотанный проводом нагревателя и надлежащим образом теплоизолированный от гелиевой ванны. При нагреве температура сверхпроводящего провода повышается, и он возвращается в резистивное нормальное состояние. Типичное значение \(r_n\) — несколько ом. Здесь будем считать его равным \(5\text{ Ом}\). Индуктивность сверхпроводящего магнита зависит от его размеров; примем её равной \(10\text{ Гн}\) для магнита на рис. 1. Полный ток \(I\) можно изменять, регулируя сопротивление \(R\).
Эта задача будет оцениваться только по графикам!
Стрелки обозначают положительное направление токов \(I\), \(I_1\) и \(I_2\).
Рис. 1. На рисунке: Power switch — выключатель питания; Power source — источник питания; Variable resistor — переменный резистор; Superconducting switch — сверхпроводящий переключатель; 0 or \(r_n\) — 0 или \(r_n\); Superconducting magnet — сверхпроводящий магнит; The enclosed part with dashed line is immersed in liquid helium bath at temperature 4.2 K — часть, обведённая штриховой линией, погружена в ванну с жидким гелием при температуре \(4{,}2\text{ К}\).
Если полный ток \(I\) и сопротивление \(r\) сверхпроводящего переключателя изменяются со временем так, как показано на рис. 2а и 2б соответственно, и в начальный момент токи \(I_1\) и \(I_2\), текущие через магнит и переключатель соответственно, равны (рис. 2в и рис. 2г), то как они изменяются со временем от \(t_1\) до \(t_4\)? Изобразите ответ на рис. 2в и рис. 2г.
Рис. 2 (на рисунке Fig. — рис.; 2a, 2b, 2c, 2d — 2а, 2б, 2в, 2г).
Пусть выключатель питания \(K\) замыкают в момент \(t=0\), когда \(r=0\), \(I_1=0\) и \(R = 7{,}5\text{ Ом}\), а полный ток \(I\) равен \(0{,}5\text{ А}\). При замкнутом \(K\) сопротивление \(r\) сверхпроводящего переключателя изменяется так, как показано на рис. 3б. Изобразите соответствующие зависимости \(I\), \(I_1\) и \(I_2\) от времени на рис. 3а, 3в и 3г соответственно.
Рис. 3 (на рисунке Fig. — рис.; a, b, c, d — а, б, в, г; min — мин).
Через сверхпроводящий переключатель, когда он находится в нормальном состоянии, допустимо пропускать только малые токи, меньше \(0{,}5\text{ А}\); при больших токах переключатель перегорит. Пусть сверхпроводящий магнит работает в режиме незатухающего тока, т. е. \(I=0\), а \(I_1 = i_1\) (например, \(20\text{ А}\)), \(I_2 = -i_1\), как показано на рис. 4, с момента \(t=0\) до \(t = 3\text{ мин}\). Если эксперимент нужно завершить, уменьшив ток через магнит до нуля, как бы вы это сделали? Это нужно выполнить за несколько операций. Изобразите соответствующие изменения \(I\), \(r\), \(I_1\) и \(I_2\) на рис. 4.
Рис. 4 (на рисунке Fig. — рис.; a, b, c, d — а, б, в, г; min — мин).
Пусть магнит работает в режиме незатухающего тока с током \(20\text{ А}\) (от \(t=0\) до \(t = 3\text{ мин}\), см. рис. 5). Как перевести его в режим незатухающего тока с током \(30\text{ А}\)? Изобразите ответ на рис. 5.
Рис. 5 (на рисунке Fig. — рис.; a, b, c, d — а, б, в, г; min — мин).
▶ПодсказкаСкрыть
Пока переключатель сверхпроводящий (\(r=0\)), напряжение на магните \(L\,dI_1/dt\) равно нулю, и ток магнита \(I_1\) не меняется — всё изменение \(I\) идёт через переключатель. Менять ток магнита можно только при \(r = r_n\), и то медленно, чтобы ток через переключатель \(I_2 = V_M/r_n\) оставался меньше \(0{,}5\text{ А}\).
▶ОтветСкрыть
1) от \(t_1\) до \(t_3\): \(I_1 = \frac12 I_0\), \(I_2 = I - \frac12 I_0\); от \(t_3\) до \(t_4\): \(I_1 = \frac12 I_0\), \(I_2 = 0\) (рис. 6); 2) до \(t = 1\text{ мин}\): \(I_1 = 0\), \(I_2 = 0{,}5\text{ А}\); при \(t = 1\text{ мин}\) ток \(I\) скачком падает до \(0{,}3\text{ А}\), затем \(I\), \(I_1\) и \(I_2\) с постоянной времени \(\tau \approx 3\text{ с}\) выходят на \(I = I_1 = 0{,}5\text{ А}\), \(I_2 = 0\) (рис. 7); 3) поднять \(I\) до \(20\text{ А}\), перевести \(r\) в \(r_n\), медленно уменьшить \(I\) до нуля (при \(I_2 < 0{,}5\text{ А}\)), затем \(r \to 0\) и разомкнуть \(K\) (рис. 8); 4) поднять \(I\) до \(20\text{ А}\), \(r \to r_n\), медленно поднять \(I\) до \(30\text{ А}\), \(r \to 0\), уменьшить \(I\) до нуля, разомкнуть \(K\) (рис. 9).
▶РешениеСкрыть
1) Для \(t = t_1\) … \(t_3\).
Поскольку \(r=0\), напряжение на магните \(V_M = L\,dI_1/dt = 0\), поэтому \[I_1 = I_1(t_1) = \frac12 I_0 ;\] \[I_2 = I - I_1 = I - \frac12 I_0 .\] Для \(t = t_3\) … \(t_4\).
Поскольку \(I_2 = 0\) при \(t = t_3\), а \(I\) после \(t = t_3\) поддерживается равным \(\frac12 I_0\), \(V_M = I_2 r_n = 0\), поэтому \(I_1\) и \(I_2\) не изменяются: \[I_1 = \frac12 I_0 ;\] \[I_2 = 0 .\] Эти результаты показаны на рис. 6.
Рис. 6 (на рисунке Fig. — рис.; a, b, c, d — а, б, в, г).
2) Для \(t = 0\) … \(t = 1\text{ мин}\).
Поскольку \(r = 0\), \(V_M = L\,dI_1/dt = 0\): \[I_1 = I_1(0) = 0 ,\] \[I_2 = I - I_1 = 0{,}5\text{ А}.\] При \(t = 1\text{ мин}\) сопротивление \(r\) скачком меняется от 0 до \(r_n\), ток \(I\) мгновенно падает от \(E/R\) до \(E/(R + r_n)\), поскольку \(I_1\) не может измениться скачком из-за индуктивности катушки магнита. При \(E/R = 0{,}5\text{ А}\), \(R = 7{,}5\text{ Ом}\) и \(R_n = 5\text{ Ом}\) ток \(I\) падает до \(0{,}3\text{ А}\).
Для \(t = 1\) мин … 2 мин.
\(I\), \(I_1\) и \(I_2\) постепенно приближаются к своим установившимся значениям: \[I = \frac{E}{R} = 0{,}5\text{ А},\] \[I_1 = I = 0{,}5\text{ А},\] \[I_2 = 0 .\] Постоянная времени \[\tau = \frac{L(R + r_n)}{Rr_n} .\] При \(L = 10\text{ Гн}\), \(R = 7{,}5\text{ Ом}\) и \(r_n = 5\text{ Ом}\) получаем \(\tau = 3\text{ с}\).
Для \(t = 2\) мин … 3 мин.
Поскольку \(r = 0\), \(I_1\) и \(I_2\) не изменяются, т. е. \[I_1 = 0{,}5\text{ А} \quad\text{и}\quad I_2 = 0 .\]
Рис. 7 (на рисунке Fig. — рис.; a, b, c, d — а, б, в, г; min — мин).
3) Последовательность операций такова.
Первый шаг. Замкнуть выключатель питания \(K\) и увеличить полный ток \(I\) до \(20\text{ А}\), т. е. до значения \(I_1\). Поскольку сверхпроводящий переключатель находится в состоянии \(r = 0\), \(V_M = L\,dI_1/dt = 0\), т. е. \(I_1\) не может измениться, а \(I_2\) увеличивается на \(20\text{ А}\); другими словами, \(I_2\) меняется от \(-20\text{ А}\) до нуля.
Второй шаг. Переключить \(r\) из 0 в \(r_n\).
Третий шаг. Постепенно уменьшать \(I\) до нуля, поддерживая \(I_2 < 0{,}5\text{ А}\): так как \(I_2 = V_M/r_n\) и \(V_m = L\,dI_1/dt\), при \(L = 10\text{ Гн}\), \(r_n = 5\text{ Ом}\) требование \(I_2 < 0{,}5\text{ А}\) соответствует \(dI_1/dt < 0{,}25\text{ А/с}\), т. е. уменьшению меньше чем на \(15\text{ А}\) за 1 мин. На рис. 8 \(dI/dt \sim 0{,}1\text{ А/с}\), и \(dI_1/dt\) тоже около этого значения, так что требование выполнено.
Последний шаг. Переключить \(r\) в ноль, когда \(V_M = 0\), и разомкнуть выключатель питания \(K\). Эти результаты показаны на рис. 8.
Рис. 8 (на рисунке Fig. — рис.; a, b, c, d — а, б, в, г; min — мин).
4) Первый шаг и второй шаг — такие же, как в пункте 3; в результате \(I_2 = 0\).
Третий шаг. Увеличить \(I\) на \(10\text{ А}\), до \(30\text{ А}\), со скоростью, удовлетворяющей требованию \(I_2 < 0{,}5\text{ А}\).
Четвёртый шаг. Переключить \(r\) в ноль, когда \(V_M = 0\).
Пятый шаг. Уменьшить \(I\) до нуля; \(I_1 = 30\text{ А}\) не изменится, поскольку \(V_M\) равно нулю. \(I_2 = I - I_1\) изменится до \(-30\text{ А}\). Таким образом, ток, текущий через магнит, замыкается через сверхпроводящий переключатель.
Последний шаг. Разомкнуть выключатель питания \(K\). Магнит работает в режиме незатухающего тока.
Эти результаты показаны на рис. 9.
Рис. 9 (на рисунке Fig. — рис.; a, b, c, d — а, б, в, г; min — мин).
зад 3 Столкновение дисков с поверхностным трением
Однородный диск A массой \(m\) и радиусом \(R_A\) движется поступательно по гладкой горизонтальной плоскости \(x\)-\(y\) в направлении оси \(x\) со скоростью \(V\) (см. рисунок). Центр диска находится на расстоянии \(b\) от оси \(x\). Он сталкивается с неподвижным однородным диском B, центр которого первоначально находится в начале системы координат. Диск B имеет такую же массу и такую же толщину, как A, но его радиус равен \(R_B\). Предполагается, что после столкновения скорости дисков в точке их касания в направлении, перпендикулярном линии, соединяющей их центры, равны. Предполагается также, что модули относительных скоростей дисков вдоль линии, соединяющей их центры, до и после столкновения одинаковы.
Для такого столкновения определите составляющие \(X\) и \(Y\) скоростей двух дисков после столкновения, т. е. \(V'_{AX}\), \(V'_{AY}\), \(V'_{BX}\) и \(V'_{BY}\), через \(m\), \(R_A\), \(R_B\), \(V\) и \(b\).
Определите кинетические энергии \(E'_A\) диска A и \(E'_B\) диска B после столкновения через \(m\), \(R_A\), \(R_B\), \(V\) и \(b\).
▶ПодсказкаСкрыть
Удар не центральный, и сила трения в точке касания закручивает оба диска. Запишите сохранение импульса вдоль нормали и касательной, сохранение момента импульса относительно точки O, связь импульса силы трения с моментом импульса диска B и условие равенства касательных скоростей точек касания.
▶ОтветСкрыть
1) \(V'_{Ax} = \dfrac{5Vb^2}{6(R_A+R_B)^2}\), \(V'_{Ay} = \dfrac{5Vb\sqrt{(R_A+R_B)^2-b^2}}{6(R_A+R_B)^2}\), \(V'_{Bx} = V\left[1 - \dfrac{5b^2}{6(R_A+R_B)^2}\right]\), \(V'_{By} = -\dfrac{5Vb\sqrt{(R_A+R_B)^2-b^2}}{6(R_A+R_B)^2}\); 2) \(E'_A = \dfrac{3mV^2b^2}{8(R_A+R_B)^2}\), \(E'_B = \dfrac12 mV^2\left[1 - \dfrac{11b^2}{12(R_A+R_B)^2}\right]\).
▶РешениеСкрыть
1) Пусть при столкновении диска A с диском B \(n\) — единичный вектор нормали к поверхностям в точке касания, а \(t\) — касательный единичный вектор, как показано на рисунке. Пусть \(\varphi\) — угол между \(n\) и осью \(x\). Тогда \[b = (R_A + R_B)\sin\varphi .\] Составляющие импульсов A и B вдоль \(n\) и \(t\) до столкновения: \[mV_{An} = mV\cos\varphi, \quad mV_{Bn} = 0 ,\] \[mV_{At} = mV\sin\varphi, \quad mV_{Bt} = 0 .\] Обозначим соответствующие составляющие импульсов A и B после столкновения через \(mV'_{An}\), \(mV'_{Bn}\), \(mV'_{At}\) и \(mV'_{Bt}\). Пусть \(\omega_A\) и \(\omega_B\) — угловые скорости A и B относительно осей, проходящих через их центры, после столкновения, а \(I_A\) и \(I_B\) — соответствующие моменты инерции. Тогда \[I_A = \frac12 mR_A^2, \qquad I_B = \frac12 mR_B^2 .\] Закон сохранения импульса даёт \[mV\cos\varphi = mV'_{An} + mV'_{Bn} , \qquad (1)\] \[mV\sin\varphi = mV'_{At} + mV'_{tn} . \qquad (2)\]
Закон сохранения момента импульса относительно оси, проходящей через O, даёт \[mVb = mV'_{At}(R_A + R_B) + I_A\omega_A + I_B\omega_B . \qquad (3)\] Импульс силы трения, действующей на B во время столкновения, вызывает изменение импульса \(mV'_{At}\) вдоль \(t\) и одновременно создаёт момент импульса \(I_B\omega_B\). Они связаны соотношением \[mV'_{Bt}R_b = I_B\omega_B . \qquad (4)\]
Во время столкновения A и B в точке касания приобретают одинаковые касательные скорости, поэтому \[V'_{At} - \omega_A R_A = V'_{Bt} - \omega_B R_B . \qquad (5)\] По условию модули относительных скоростей двух дисков вдоль нормали до и после столкновения равны, т. е. \[V\cos\varphi = V'_{Bn} - V'_{An} . \qquad (6)\] Из уравнений (1) и (6) получаем \[V'_{An} = 0 , \qquad V'_{Bn} = V\cos\varphi .\] Из уравнений (2)–(5) получаем \[V'_{At} = \frac56 V\sin\varphi , \qquad V'_{Bt} = \frac16 V\sin\varphi ,\] \[\omega_A = \frac{V\sin\varphi}{3R_A} , \qquad \omega_B = \frac{V\sin\varphi}{3R_B} .\] Составляющие скоростей по \(x\) и \(y\) после столкновения: \[V'_{Ax} = V'_{An}\cos\varphi + V'_{At}\sin\varphi = \frac{5Vb^2}{6(R_A+R_B)^2} , \qquad (7)\] \[V'_{Ay} = -V'_{An}\sin\varphi + V'_{At}\cos\varphi = \frac{5Vb\sqrt{(R_A+R_B)^2 - b^2}}{6(R_A+R_B)^2} , \qquad (8)\] \[V'_{Bx} = V'_{Bn}\cos\varphi + V'_{Bt}\sin\varphi = \left[1 - \frac{5b^2}{6(R_A+R_B)^2}\right] , \qquad (9)\]
\[V'_{By} = -V'_{Bn}\sin\varphi + V'_{Bt}\cos\varphi = -\frac{5Vb\sqrt{(R_A+R_B)^2 - b^2}}{6(R_A+R_B)^2} . \qquad (10)\]
2) После столкновения кинетическая энергия диска A равна \[E'_A = \frac12 m(V'^2_{Ax} + V'^2_{Ay}) + \frac12 I_A\omega_A^2 = \frac{3mV^2b^2}{8(R_A+R_B)^2} , \qquad (11)\] а кинетическая энергия диска B равна \[E'_B = \frac12 m(V'^2_{Bx} + V'^2_{By}) + \frac12 I_B\omega_B^2 = \frac12 mV^2\left[1 - \frac{11b^2}{12(R_A+R_B)^2}\right] . \qquad (12)\]
Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 1994, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.