IPhO 1997, теоретический тур

Подсказка

a) Как меняется жёсткость половины пружины? b) Квантование момента импульса в модели Бора даёт \(r \propto 1/m\). c) Баланс поглощённого солнечного излучения и собственного теплового излучения Земли. d) При тех же \(p\) и \(T\) в одном объёме одно и то же число молекул. e) Тяга вертолёта — это поток импульса отбрасываемого вниз воздуха; найдите, как с размером меняются вес, площадь винта и скорость воздуха.

Ответ

(a) \(f' = \sqrt2 f\);  (b) \(a_\mu = a_0/207 = 0{,}256\text{ пм}\);  (c) \(T' = 288{,}4\text{ К}\);  (d) \(\rho' = 1{,}2352\text{ кг/м}^3\);  (e) \(P' = 0{,}0884\,P\).

Решение

(a) Пусть исходная пружина имеет длину \(l\) и жёсткость \(k\). Частота \(f\) колебаний груза массой \(m\) на конце этой пружины равна \[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac km} .\] Жёсткость \(k\) означает, что для растяжения \(\Delta x\) требуется сила \(F\): \[k = \frac{F}{\Delta x} .\] Рассмотрим середину пружины при таком растяжении: она сместилась лишь на \(\Delta x/2\), испытывая ту же силу \(F\). Поэтому жёсткость половины пружины равна \[k' = \frac{F}{\Delta x/2} = 2k .\] Частота колебаний груза на половине пружины: \[f' = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}} = \sqrt2 f .\]

(b) Способ 1: квантование момента импульса.

Длина волны де Бройля частицы \[\lambda = \frac hp .\] По принципу де Бройля (основное состояние) \[2\pi r = \lambda ,\] что даёт \[pr = mvr = \hbar .\] (Это можно сразу сформулировать как квантование момента импульса.)

В модели Бора можно рассмотреть центростремительную силу, обусловленную электростатическим притяжением: \[\frac{mv^2}{r} = \frac{ke^2}{r^2} , \qquad \therefore\ v = \sqrt{\frac{ke^2}{mr}} ,\] \[\sqrt{ke^2mr} = \hbar ; \quad\text{т.~е.}\quad r \propto \frac1m .\] Радиус атома мюонного водорода равен \[a_\mu = \frac{a_0}{207} = 0{,}256\text{ пм}.\]

Способ 2: анализ размерностей.

Радиус \(r\) атома водорода в основном состоянии зависит от следующих величин:

• Масса \(m\) обращающейся частицы. (Поскольку масса ядра считается много больше массы обращающейся частицы, ядро можно считать неподвижным, и потому радиус атома не зависит от массы ядра.)

• Электрическая сила между обращающейся частицей и ядром. Она зависит от заряда ядра \(q_n\), заряда обращающейся частицы \(q\) и постоянной \(\varepsilon_0\).

• \(\hbar\). Это связано с тем, что момент импульса квантуется, как показано выше.

Итак, \[r = A\hbar^\alpha m^\beta q_n^{\gamma_1} q^{\gamma_2} \varepsilon_0^\delta ,\] где \(A\), \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) и \(\delta\) — безразмерные постоянные. Уравнение размерностей: \[[D] = [M]^{\alpha+\beta-\delta}[D]^{2\alpha-3\delta}[Q]^{\gamma_1+\gamma_2+2\delta}[T]^{2\delta-\alpha} ,\] где \([D]\) — размерность длины, \([M]\) — массы, \([Q]\) — заряда, \([T]\) — времени.

Тогда, полагая \(\gamma = \gamma_1 + \gamma_2\): \[\begin{aligned} \alpha + \beta - \delta &= 0,\\ 2\alpha - 3\delta &= 1,\\ \gamma + 2\delta &= 0,\\ 2\delta - \alpha &= 0. \end{aligned}\] Решая, получаем \[\alpha = 2, \quad \beta = -1, \quad \gamma = -2, \quad \delta = 1 .\] Это означает, что радиус обратно пропорционален массе обращающейся частицы: \[r \propto \frac1m .\] Радиус атома мюонного водорода равен \[a_\mu = \frac{a_0}{207} = 0{,}256\text{ пм}.\]

(c) Если мощность излучения Солнца равна \(P\), а радиус орбиты Земли \(R\), то \(T\) находится приравниванием поступающего и уходящего излучения: \[(1 - r)\frac{P}{4\pi R^2}\cdot\pi R_E^2 = 4\pi R_E^2\,\varepsilon\sigma T^4 ,\] где \(r\) — отражательная способность Земли по отношению к солнечному излучению (альбедо), \(R_E\) — радиус Земли, \(\varepsilon\) — её излучательная способность, \(\sigma\) — постоянная Стефана. Мощность излучения Солнца \(P\), средний радиус орбиты Земли \(R\). Излучательная способность зависит от температуры (заранее неизвестно как), но изменение температуры ожидается малым.

Очевидно, \(T \propto \sqrt{\dfrac1R}\), поэтому уменьшение \(R\) на \(1\%\) даёт повышение \(T\) на \(0{,}5\%\), т. е. на \(1{,}4\text{ К}\): \[T' = 288{,}4\text{ К}.\]

(d) Уравнение идеального газа для \(N\) молекул: \(pV = NkT\). Два одинаковых объёма газа при одинаковых давлении и температуре содержат одинаковое число молекул; поэтому плотность каждого пропорциональна средней массе молекулы содержащегося в нём газа.

Индексами \(d\), \(m\) и \(w\) будем обозначать «сухой», «влажный» и «вода».

Для сухого воздуха со средней массой молекулы \(m_d\): \[\rho = \rho_d = m_d\frac{N_d}{V} = \frac{m_dp}{kT} .\] Для влажного воздуха со средней массой молекулы \(m_m\): \[\rho_m = m_m\frac{N_m}{V} = \frac{m_mp}{kT} .\] Для массы \(M\) сухого воздуха: \[N_d \propto \frac{M}{28{,}8} .\] Для массы \(M'\) влажного воздуха: \[N_m \propto 0{,}02\frac{M'}{18} + 0{,}98\frac{M'}{28{,}8} ,\] \[N_m = N_d ,\] \[\frac{\rho_m}{\rho_d} = \frac{M'}{M} = \frac{1}{28{,}8\left(\dfrac{0{,}02}{18} + \dfrac{0{,}98}{28{,}8}\right)} = 0{,}9881 ,\] \[\rho' = \rho_m = 0{,}9925\rho_d = 1{,}2352\text{ кг/м}^3 .\]

(e) Механическая мощность \(P\), необходимая для зависания вертолёта, равна силе тяги \(T\) лопастей винта, направленной вниз (равной его весу \(W\)), умноженной на среднюю скорость \(v\) движущегося вниз столба воздуха под лопастями: \[P = Tv .\] Лопасти сообщают скорость \(v\) воздуху, протекающему мимо них с массовым расходом \(dm/dt\), площадь, ометаемая лопастями, равна \(A\): \[T = v\frac{dm}{dt} ; \quad \frac{dm}{dt} = \rho Av ; \quad \therefore\ W = T = \rho Av^2 .\] Если размер вертолёта характеризуется линейным размером \(L\): \[W \propto L^3 ; \quad A \propto L^2 ,\] \[v \propto \sqrt{\frac WA} \propto \sqrt L , \quad \therefore\ P = Wv \propto L^{3{,}5} .\] Следовательно, мощность, необходимая вертолёту половинного масштаба, равна \(P' = 0{,}0884\,P\).

Подсказка

a) Альфа-распад выгоден, если энергия связи после распада (ядро \(A-4\) плюс альфа-частица) больше, чем до него; подставьте линейную зависимость \(B/A\) от \(A\). b) При фиксированном \(A\) ищите максимум \(B\) по \(Z\); для распадов сравнивайте массы ядер с учётом масс электронов, протонов и нейтронов.

Ответ

(a) \(A_\alpha \approx 211\);  (b) (i) \(Z_{\max} = \dfrac{4a_a}{2a_cA^{-1/3} + 8a_a/A} = \dfrac A2\,\dfrac{1}{1 + \dfrac{a_cA^{2/3}}{4a_a}}\); (ii) \(Z = 80\) (без \(\delta\)-члена \(Z_{\max} = 79{,}25\)); (iii) \({}^{128}_{53}\mathrm{I}\): \(\beta^-\) — \(\surd\), \(\beta^+\) — 0, электронный захват — 0, \(\beta^-\beta^-\) — \(\surd\); \({}^{128}_{54}\mathrm{Xe}\): все 0 (устойчиво); \({}^{128}_{55}\mathrm{Cs}\): \(\beta^-\) — 0, \(\beta^+\) — \(\surd\), электронный захват — \(\surd\), \(\beta^-\beta^-\) — 0.

Решение

(a) Альфа-распад происходит так: \[A \to (A-4) + \alpha\ (A=4) .\] Поэтому энергетический критерий распада: \[m_A - m_{A-4} - m_4 > 0 .\] Число и вид нуклонов при распаде сохраняются, поэтому достаточно рассмотреть энергии связи: \[-B_A + B_{A-4} + B_4 > 0 .\] Если записать \(B/A = a + bA\), где \(a\) и \(b\) — постоянные, находимые по графику, это неравенство принимает вид \[-A(a + bA) + (A - 4)(a + b(A - 4)) + B_4 > 0 ,\] \[-8bA - 4a + 16b + B_4 > 0 .\] Из графика хорошая линейная аппроксимация \(B/A\) выше \(A = 100\): \[B/A = (9{,}6 - 0{,}0080 \times A)\text{ МэВ},\] т. е. \(a = 9{,}6\text{ МэВ}\) и \(b = 0{,}0080\text{ МэВ}\), и условие принимает вид \[-0{,}064A - 38{,}4 - 0{,}1 + 25{,}0 > 0 ,\] \[A > 13{,}5/0{,}064 = 211 .\]

(b) (i) Поскольку \(A\) фиксировано, достаточно рассмотреть два предпоследних слагаемых, зависящих от \(Z\): \[\frac{dB}{dZ} = -2Za_cA^{-1/3} - \frac{a_a}{A}(-4A + 8Z) ,\] \[Z_{\max} = \frac{4a_a}{2a_cA^{-1/3} + 8a_a/A} = \frac A2\,\frac{1}{\left(1 + \dfrac{a_cA^{2/3}}{4a_a}\right)} .\]

(ii) \(Z_{\max} = 79{,}25\).

Полное выражение для дифференциального уравнения из (a) имеет вид \[\frac{dB}{dZ} = -2Za_cA^{-1/3} - \frac{a_a}{A}(-4A + 8Z) \pm 2a_pA^{-3/4} .\] Последнее слагаемое положительно, если изменение \(Z\) на \(+1\) превращает чётно-чётное ядро в нечётно-нечётное, и отрицательно в обратном случае. Заметим, что \(A\) в данном случае положительно.

Как быть с последним слагаемым?

Число \(Z_{\max}\) должно быть целым, а чётные числа предпочтительнее нечётных, поэтому можно предположить \(Z_{\max} = 80\). Для проверки вычислим сумму трёх последних слагаемых при различных \(Z\):

Это подтверждает, что \(Z_{\max} = 80\); это чётно-чётное ядро.

(iii) Рассмотрим только три последних слагаемых в уравнении; остальные постоянны, если \(A\) постоянно. Обозначим сумму этих величин \(X\). Чтобы выяснить, устойчивы ли ядра, нужно найти разности \(X\) между соседними ядрами и сравнить эти разности с энергетическими требованиями каждого возможного процесса распада.

(i) \(\beta^-\)-распад; \(n \to p + e^-\), нужно \(\Delta X > -1{,}30 + 0{,}51 = -0{,}79\text{ МэВ}\);

(ii) \(\beta^+\)-распад; \(p \to n + e^+\), нужно \(\Delta X > 1{,}30 + 0{,}51 = 1{,}81\text{ МэВ}\);

(iii) \(\beta^-\beta^-\)-распад; \(2n \to 2p + 2e^-\), нужно \(\Delta X > 2(-1{,}30 + 0{,}51) = -1{,}58\text{ МэВ}\);

(iv) электронный захват; \(e^- + p \to n\), нужно \(\Delta X > 1{,}30 - 0{,}51 = 0{,}79\text{ МэВ}\).

На рисунке: Nuclear Masses for A=128 — массы ядер при \(A = 128\); Sum of last 3 terms (MeV) — сумма трёх последних слагаемых (МэВ); Beta- — \(\beta^-\); Double Beta- — \(\beta^-\beta^-\); Beta+ & EC — \(\beta^+\) и электронный захват.

\(\uparrow\) Для сведения: от участников график не требуется.

\(\uparrow\) Для сведения: от участников таблица не требуется. Эту таблицу заполняют участники.

Подсказка

Подъёмная сила и сопротивление — это скорость изменения импульса воздуха, отклонённого крылом на угол \(\varepsilon\). Подъёмная сила должна равняться весу, поэтому \(\varepsilon\) зависит от \(v\); одно сопротивление растёт со скоростью, другое падает — ищите минимум мощности \(Dv\).

Ответ

(a) \(L = \dfrac\pi4\rho v^2l^2\sin\varepsilon\), \(D_1 = \dfrac\pi4\rho v^2l^2(1 - \cos\varepsilon)\);  (b) \(v_0^4 = \dfrac{8(Mg)^2A}{3\pi^2\rho^2l^4f} = \dfrac{8}{3Af}\left(\dfrac{Mg}{\pi\rho S}\right)^2\);  (c) \(P_{\min} = \pi\rho Sfv_0^3 = \left(\dfrac{8}{3A}\right)^{3/4} f^{1/4}\dfrac{(Mg)^{3/2}}{(\pi\rho S)^{1/2}}\);  (d) \(Mg/S = 35{,}6\text{ Н/м}^2\), \(v_0 = 8{,}60\text{ м/с}\).

Решение

(a) Сила \(\vec F\), необходимая для изменения скорости \(\Delta\vec v\) жидкости с массовым расходом \(\dfrac{dm}{dt}\), равна \[\vec F = \Delta\vec v\,\frac{dm}{dt} .\] В данном случае массовый расход \[\frac{dm}{dt} = xl\rho v = \frac\pi4 l^2\rho v .\] Вертикальная составляющая \(\Delta\vec v\): \[\Delta v_V = v\sin\varepsilon .\] Горизонтальная составляющая \(\Delta\vec v\): \[\Delta v_H = v(1 - \cos\varepsilon) .\] Теперь можно записать выражения для подъёмной силы \(L\) и сопротивления \(D_1\) (называемого сопротивлением формы): \[L = \frac\pi4\rho v^2l^2\sin\varepsilon ,\] \[D_1 = \frac\pi4\rho v^2l^2(1 - \cos\varepsilon) .\] Допускаются приближения с \(\varepsilon\) вместо \(\sin\varepsilon\) и т. п.

(b) Мощность, необходимая для прямолинейного горизонтального полёта, равна \[P = Dv = (D_1 + D_2)v .\] Горизонтальная сила сопротивления \(D_2\) (сопротивление трения) равна скорости изменения импульса воздуха, обтекающего крыло, из-за трения: \[D_2 = v_1\frac{dm_1}{dt} - v_2\frac{dm_2}{dt} .\] Поскольку крыло не является ни источником, ни стоком, массовый поток воздуха к крылу \(\left(\dfrac{dm_1}{dt}\right)\) должен быть равен массовому потоку от крыла \(\left(\dfrac{dm_2}{dt}\right)\), поэтому \[\frac{dm_1}{dt} = \frac{dm_2}{dt} = \frac{dm}{dt} = xl\rho v .\] Подставляя \(v_1 = v\) и \(v_2 = v - \Delta v\): \[D_2 = vxl\rho v - (v - \Delta v)xl\rho v = xl\rho v^2 - xl\rho v^2 + v\Delta vxl\rho = xl\rho v\Delta v = \frac{\pi l}{4}l\rho v\Delta v = \frac{\pi f}{4A}\rho v^2l^2 .\] (Это сопротивление обязательно направлено вдоль поверхности крыла; когда крыло наклонено на угол \(\varepsilon\), горизонтальная составляющая равна этому значению, умноженному на \(\cos\varepsilon\): \[\frac{\pi f}{4A}\rho v^2l^2\cos\varepsilon \approx \frac{\pi f}{4A}\rho v^2l^2\left(1 - \frac{\varepsilon^2}{2}\right) \approx \frac{\pi f}{4A}\rho v^2l^2 + O(\varepsilon^2 f) ,\] так что с заданной точностью наш простой ответ верен.)

Полная сила сопротивления \(D = D_1 + D_2\) зависит от угла отклонения \(\varepsilon\) и коэффициента сопротивления \(f\): \[D = \frac\pi4\rho v^2l^2\left((1 - \cos\varepsilon) + \frac fA\right) \approx \frac\pi4\rho v^2l^2\left(\frac12\sin^2\varepsilon + \frac fA\right) .\] В этом приближении \(D\) можно выразить через массу, скорость и размеры крыла самолёта. Заметим, что в горизонтальном полёте подъёмная сила должна быть равна весу самолёта: \[L = Mg = \frac\pi4\rho v^2l^2\sin\varepsilon ; \qquad \sin\varepsilon = \frac{4Mg}{\pi\rho v^2l^2} .\] Теперь можно минимизировать мощность по \(v\) или по \(\varepsilon\); здесь выберем \(v\). \[P = Dv = \frac\pi4\rho v^3l^2\left(\frac fA + \frac12\frac{(4Mg)^2}{(\pi\rho v^2l^2)^2}\right) = \frac\pi4\rho v^3l^2\frac fA + \frac{2(Mg)^2}{\pi\rho vl^2} ,\] \[\frac{dP}{dv} = \frac{3\pi}{4}\rho v^2l^2\frac fA - \frac{2(Mg)^2}{\pi\rho v^2l^2} = 0 \quad\text{при}\quad v = v_0 .\] Скорость полёта при минимальной мощности: \[v_0^4 = \frac{8(Mg)^2A}{3\pi^2\rho^2l^4f} = \frac{8}{3Af}\left(\frac{Mg}{\pi\rho S}\right)^2 .\]

(c) График зависимости мощности от скорости выглядит так:

\[P_{\min} = \frac\pi4\rho v_0^3l^2\left(\frac fA + \frac12\frac{(4Mg)^2}{(\pi\rho v_0^2l^2)^2}\right) = \frac\pi4\rho v_0^3l^2\left(\frac fA + \frac{(4Mg)^2}{2(\pi\rho l^2)^2}\,\frac{3\pi^2\rho^2l^4f}{8(Mg)^2A}\right)\] \[= \pi\rho v_0^3l^2\frac fA = \pi\rho v_0^3Sf .\] Подставляем \(v_0\): \[P_{\min} = \pi\rho Sf\,\frac{8^{3/4}(Mg)^{3/2}}{(3Af)^{3/4}(\pi\rho S)^{3/2}} = \left(\frac{8}{3A}\right)^{3/4} f^{1/4}\frac{(Mg)^{3/2}}{(\pi\rho S)^{1/2}} .\]

(d) Приравняем это доступной мощности \(P_{avail} = IS = P_{\min}\): \[\left(\frac{Mg}{S}\right)^{3/2} = I\left(\frac{3A}{8}\right)^{3/4}\frac{(\pi\rho)^{1/2}}{f^{1/4}} ,\] \[\frac{Mg}{S} = I^{2/3}\left(\frac{3A}{8}\right)^{1/2}\frac{(\pi\rho)^{1/3}}{f^{1/6}} .\] Численные ответы: \[\frac{Mg}{S} = 35{,}6\text{ Н/м}^2 , \qquad v_0 = 8{,}60\text{ м/с}.\]