IPhO 2001, теоретический тур

Подсказка

1a: ускоренные и заторможенные электроны пролетают одно и то же расстояние, но ускоренные вылетают на полпериода позже. 1d: отверстие атомных размеров — значит, расплывание пучка определяется соотношением неопределённостей, а продольная скорость — тепловая.

Ответ

1a) a) \(b = 2{,}272\cdot10^{-2}\) м; b) \(\Delta\varphi = \pm220^\circ\) (или \(\pm140^\circ\));  1b) \(d_V/d_L = (RT\rho_L/(P_aM))^{1/3} = 12\);  1c) b) \(V_i \gg V_f\); c) \(T = (V_f/V_i)RC\); d) \(R\); e) \(SG\) и \(R\);  1d) \(D_{new} = D + \dfrac{L\hbar}{D\sqrt{3MkT}}\).

Решение

Часть 1a

a. Скорости заторможенных и ускоренных электронов: \[v_{ret} = \sqrt{v_0^2 - 2(e/m)V} = 1{,}956\cdot10^{6}\text{ м/с},\qquad v_{acc} = \sqrt{v_0^2 + 2(e/m)V} = 2{,}044\cdot10^{6}\text{ м/с}.\] \[x_{ret} = v_{ret}t,\qquad x_{acc} = v_{acc}(t - T/2).\] \[x_{ret} = x_{acc}\ \to\ t_{bunch} = \frac{v_{acc}T}{2(v_{acc} - v_{ret})} = 11{,}61T,\] \[b = v_{ret}t_{bunch} = 2{,}272\cdot10^{-2}\text{ м}.\]

b. Разность фаз: \[\Delta\varphi = \pm\left(\frac{t_{bunch}}{T} - n\right)2\pi = \pm0{,}61\times2\pi = \pm220^\circ,\] или \(\Delta\varphi = \pm140^\circ\).

Часть 1b \[\rho_L = n_L\frac{M}{N_A},\] где \(n_L\) — число молекул в кубическом метре в жидкой фазе. Среднее расстояние между молекулами воды в жидкой фазе: \[d_L = (n_L)^{-1/3} = \left(\frac{M}{\rho_LN_A}\right)^{1/3}.\] \(P_aV = nRT\), где \(n\) — число молей; \[P_a = \frac{nM}{V}\frac{RT}{M} = \rho_V\frac{RT}{M} = \frac{n_VM}{N_A}\frac{RT}{M},\] где \(n_V\) — число молекул в кубическом метре в паре. \[d_V = (n_V)^{-1/3} = \left(\frac{RT}{P_aN_A}\right)^{1/3},\qquad \frac{d_V}{d_L} = \left(\frac{RT\rho_L}{P_aM}\right)^{1/3} = 12.\]

Часть 1c

a. График напряжения:

b. \(V_i \gg V_f\).

c. \(V_f = V_i\left(1 - e^{-T/RC}\right)\). Если \(V_i \gg V_f\), то \(T/RC \ll 1\) и \(e^{-T/RC} \approx 1 - (T/RC)\); тогда \(T = (V_f/V_i)RC\).

d. \(R\).

e. \(SG\) и \(R\).

f. Правильная схема:

Оценивается: напряжение \(V_0'\) и \(V_i' - V_f\) с правильной полярностью.

Часть 1d

При прохождении пучка через отверстие диаметром \(D\) возникающая неопределённость \(y\)-компоненты импульса \[\Delta p_y \approx \frac{\hbar}{D},\] и соответствующей компоненты скорости \[\Delta v_y \approx \frac{\hbar}{MD}.\] Диаметр пучка становится больше диаметра отверстия на величину \(\Delta D = \Delta v_y t\), где \(t\) — время полёта.

Если температура печи \(T\), типичный атом вылетает из отверстия с кинетической энергией \[KE = \frac12Mv^2 = \frac32kT,\qquad v = \sqrt{\frac{3kT}{M}}.\] Пучок проходит горизонтальное расстояние \(L\) со скоростью \(v\) за время \(t = L/v\), поэтому \[\Delta D = t\Delta v_y \approx \frac{L}{v}\frac{\hbar}{MD} = \frac{L\hbar}{MD\sqrt{\dfrac{3kT}{M}}} = \frac{L\hbar}{D\sqrt{3MkT}}.\] Следовательно, новый диаметр после прохождения расстояния \(L\): \[D_{new} = D + \frac{L\hbar}{D\sqrt{3MkT}}.\]

Подсказка

Расстояние до системы входит в поток излучения (через радиус звезды) и в линейные размеры орбит (через угловые смещения); радиус и массу обычной звезды связывает гравитационное красное смещение. В пункте b сохраняются момент импульса и энергия порции газа.

Ответ

a) \(\ell = \left(\dfrac{8c^2\Delta\lambda\left(P/\sigma T^4\right)^{1/2}}{\Delta\phi(\pi/\tau)^2(\lambda_0 + \Delta\lambda)(\Delta\theta + \Delta\phi)^2}\right)^{1/2}\);  b) \(r_f = \dfrac{GM}{v_0^2}\left(\left(1 + \dfrac{m_0^2r_0v_0^2}{GMm^2}\right)^{1/2} - 1\right)\).

Решение

Часть 2a

Полная энергия, излучаемая в секунду, равна \(4\pi R^2\sigma T^4\), где \(\sigma\) — постоянная Стефана — Больцмана. Энергия, падающая на единицу площади на Земле в секунду: \[P = \frac{4\pi R^2\sigma T^4}{4\pi\ell^2},\quad\text{откуда}\quad R = \left(P/\sigma T^4\right)^{1/2}\ell. \tag{1}\] Энергия фотона \(hf = hc/\lambda\). Эквивалентная масса фотона \(h/c\lambda\). Сохранение энергии фотона: \[\frac{hc}{\lambda_0} - \frac{Gm_0}{R}\cdot\frac{h}{c\lambda_0} = \frac{hc}{\lambda},\] откуда \[R = \frac{Gm_0(\lambda_0 + \Delta\lambda)}{c^2\Delta\lambda}, \tag{2}\] и (2) даёт \[m_0 = \frac{c^2\Delta\lambda\left(P/\sigma T^4\right)^{1/2}}{G(\lambda_0 + \Delta\lambda)}\ell. \tag{3}\] Звёзды вращаются вокруг центра масс с одинаковыми угловыми скоростями: \[\omega = (2\pi/2\tau) = \pi/\tau. \tag{4}\] Условия равновесия звёзд: \[\frac{GMm_0}{(r_1 + r_2)^2} = m_0r_1\omega^2 = Mr_2\omega^2, \tag{5}\] где \[r_1 = \ell\frac{\Delta\theta}{2},\qquad r_2 = \ell\frac{\Delta\phi}{2}. \tag{6}\] Подстановка (3), (4) и (6) в (5) даёт \[\ell = \left(\frac{8c^2\Delta\lambda\left(P/\sigma T^4\right)^{1/2}}{\Delta\phi(\pi/\tau)^2(\lambda_0 + \Delta\lambda)(\Delta\theta + \Delta\phi)^2}\right)^{1/2}.\]

Часть 2b

Сохранение момента импульса обычной звезды: \[mr^2\omega = m_0r_0^2\omega_0. \tag{7}\] Сохранение момента импульса для \(dm\): \[r^2\omega\,dm = r_f^2\omega_f\,dm, \tag{8}\] где \(\omega_f\) — угловая скорость кольца. Условие равновесия в исходном состоянии даёт \[\omega_0 = \left(\frac{GM}{r_0^3}\right)^{1/2}, \tag{9}\] и из (7), (8) и (9) получаем \[\omega = \frac{m_0r_0}{mr^2}\left(\frac{GM}{r_0}\right)^{1/2},\qquad \omega_f = \frac{m_0r_0}{mr_f^2}\left(\frac{GM}{r_0}\right)^{1/2}. \tag{10}\] Сохранение энергии для \(dm\): \[\frac12dm\left(v_0^2 + r^2\omega^2\right) - \frac{GM\,dm}{r} = \frac12dm\,r_f^2\omega_f^2 - \frac{GM\,dm}{r_f}. \tag{11}\] Подставляя (10): \[v_0^2 + \frac{m_0^2r_0GM}{m^2}\left(\frac{1}{r^2} - \frac{1}{r_f^2}\right) - 2GM\left(\frac1r - \frac{1}{r_f}\right) = 0. \tag{12}\] Поскольку \(r_0 \gg r_f\), при \(r > r_0\) членами с \(r^{-1}\) и \(r^{-2}\) можно пренебречь. Следовательно, \[r_f = \frac{GM}{v_0^2}\left(\left(1 + \frac{m_0^2r_0v_0^2}{GMm^2}\right)^{1/2} - 1\right).\]

Чтобы показать, что \(r > r_0\), запишем изменение импульса обычной звезды в её системе отсчёта: \[-\frac{GMm}{r^2} + mr\omega^2 - m\frac{dv_r}{dt} = -v_0\frac{dm_{gas}}{dt}, \tag{13}\] и (13) означает, что вначале существует сила, направленная наружу, и, следовательно, \(r\) начинает расти. С помощью (7) можно записать \[mr\omega^2 = \frac{m_0^2r_0^4\omega_0^2}{mr^3}.\] Следовательно, \[\frac{\text{сила тяготения}}{\text{центробежная сила}} \propto m^2r,\] где \(m\) определённо уменьшается. Если бы \(r\) в какой-то момент тоже начал уменьшаться, это отношение начало бы уменьшаться, что приводит к противоречию. Итак, \(r > r_0\).

Подсказка

В установившемся режиме сила Лоренца на заряды в ртути уравновешена электрическим полем; ток через замкнутые стенки даёт силу Ампера — «противодавление». Для пункта d нужен релятивистский закон сложения скоростей света в движущейся среде.

Ответ

a) \(F = \dfrac{vB^2Lhw}{\rho}\), направлена против \(\hat x\);  b) \(v = v_0\dfrac{P\rho}{P\rho + v_0B^2L}\);  c) \(\Delta\text{Мощность} = \dfrac{v_0^2B^2whL}{\rho}\);  d) \(\Delta\phi = 2\pi f\dfrac{L}{c^2}(n^2 - 1)v_0\).

Решение

Часть 3a

В установившемся режиме результирующая сила, действующая на заряженную частицу, должна быть равна нулю: \[\vec F = 0 = q\vec E + q\vec v\times\vec B,\qquad \vec E = -\vec v\times\vec B = vB\,\hat y,\] \[V_H = vBw,\] \[I = \frac{V_H}{R} = \frac{V_H}{\rho w/(Lh)} = \frac{vBwLh}{\rho w} = \frac{vBLh}{\rho},\quad\text{направление: } -\hat y,\] \[\vec F = I\vec\ell\times\vec B = \frac{vB^2Lhw}{\rho},\quad\text{направление: } (-\hat y\times\hat z = -\hat x).\] Сила направлена в сторону \(-x\). Это создаёт противодавление \(P_b\): \[P_b = \frac{vB^2Lhw}{\rho hw} = \frac{vB^2L}{\rho},\] \[F_{net} = (P - P_b)hw,\qquad v = \alpha F_{net},\] \[v = \alpha(P - P_b)hw = \alpha\left(P - \frac{vB^2L}{\rho}\right)\frac{v_0}{\alpha P} = v_0 - \frac{vv_0B^2L}{P\rho},\] \[v\left(1 + \frac{v_0B^2L}{P\rho}\right) = v_0,\qquad v = v_0\left(1 + \frac{v_0B^2L}{P\rho}\right)^{-1},\qquad v = v_0\frac{P\rho}{P\rho + v_0B^2L}.\]

Часть 3b

Из закона сохранения энергии: \[\Delta\text{Мощность} = V_HI = \frac{v_0^2B^2whL}{\rho},\] или: чтобы восстановить \(v_0\), насос должен создать дополнительное давление \(\Delta P = P_b\): \[\Delta\text{Мощность} = \Delta P\,hwv_0 = P_bhwv_0 = \frac{v_0^2B^2whL}{\rho}.\]

Часть 3c

1. \(u = \dfrac{c}{n}\), \[u' = \frac{\dfrac cn + v}{1 + \dfrac cn\dfrac{v}{c^2}} = \frac{\dfrac cn + v}{1 + \dfrac{v}{cn}}.\] При малых \(v\) (\(v \ll c\)) пренебрегаем членами, содержащими \(v^2/c^2\), в разложении \(\left(1 + \dfrac{v}{cn}\right)^{-1}\): \[u' = \left(\frac cn + v\right)\frac{1}{1 + \dfrac{v}{cn}} \approx \left(\frac cn + v\right)\left(1 - \frac{v}{cn}\right) \approx \frac cn + v\left(1 - \frac{1}{n^2}\right),\] \[\Delta u = u' - u \approx v\left(1 - \frac{1}{n^2}\right),\] \[\Delta\phi = 2\pi f\Delta T,\qquad T = \frac Lu,\qquad \Delta T = \frac{\Delta u}{u^2}L \approx \frac{Lv}{c^2}(n^2 - 1).\] \(v = v_0\), так что \[\Delta\phi = 2\pi f\frac{L}{c^2}(n^2 - 1)v_0.\]

2. \(\Delta\phi = 2\pi f\dfrac{L}{c^2}(n^2 - 1)v_0\). Сдвиг фазы \(\pi/36\) даёт \[v_0 = \frac{c^2}{72L(n^2 - 1)f},\] \[v_0 = \frac{9\cdot10^{16}}{72\cdot10^{-1}\cdot(2{,}56 - 1)\cdot25} = 3{,}2\cdot10^{14}\text{ м/с},\] что нефизично.

3. При \(v = 20\) м/с \(f \approx 4\cdot10^{14}\) Гц. Но при таком значении \(f\) глубина скин-слоя около 25 нм. Это значит, что амплитуда сигнала, доходящего до конца трубы, практически равна нулю. Поэтому ртуть следует заменить водой.

С другой стороны, если вместо ртути использовать воду, то при 25 Гц \(\delta \approx 3\cdot10^{5}\) м. Сигнал доходит до конца, но \(v \approx 6\cdot10^{14}\) м/с — по-прежнему нефизично. Поэтому частоту следует подобрать заново.

При \(v = 20\) м/с электромагнитная волна частотой \(f \approx 8\cdot10^{14}\) Гц имеет в воде глубину скин-слоя около \(\delta \approx 5{,}6\) см, и выходящая волна сдвинута по фазе на \(\pi/36\) относительно падающей. (Амплитуда волны, доходящей до конца участка, составляет около 17 % амплитуды падающей.)

Следовательно, ртуть следует заменить водой, а частоту подобрать равной \(f \approx 8\cdot10^{14}\) Гц. Правильный вариант — (iii).