зад 1 Спутник с печальной судьбой
Наиболее частыми маневрами, выполняемыми космическими кораблями на орбите, являются изменения скорости вдоль направления полета с целью перехода на более высокие орбиты или торможения при входе в атмосферу. В данной задаче мы будем изучать изменения орбит, когда тяга двигателя действует в радиальном направлении. Для проведения численных расчетов используйте следующие данные: радиус Земли \(R=6.37 \cdot 10^6~м\), ускорение свободного падения у земной поверхности \(g=9.81~м/с^2\), продолжительность астрономических суток \(T_0=24.0~ч\).
Мы рассматриваем геостационарный спутник связи (его период обращения равен \(T_0\)) массой \(m\), выведенный на круговую экваториальную орбиту радиусом \(r_0\). Такие спутники оснащены маневровым двигателем, с помощью которого им сообщаются импульсы, необходимые для выхода на конечную орбиту.
A1. Найдите численное значение \(r_0\).
A2. Получите аналитическое выражение для скорости \(v_0\) спутника как функцию \(g\), \(R\) и \(r_0\), а также найдите численное скорости.
A3. Выразите момент импульса \(L_0\) и полную механическую энергию \(E_0\) спутника как функцию \(v_0\), \(m\), \(g\) и \(R\).
После того как спутник уже достиг геостационарной круговой орбиты и был застабилизирован в нужном положении, готовясь к выполнению своей работы, из-за ошибки наземных операторов вновь включился маневровый двигатель (рис. 1). В результате спутник получил толчок, направленный к Земле, и, несмотря на быстрые действия наземной команды по остановке двигателя, нежелательное изменение скорости спутника \(\Delta v\) все-таки произошло. Мы охарактеризуем этот толчок параметром \(\beta=\Delta v/v_0\). Время работы двигателя обычно пренебрежимо мало по сравнению со всеми другими орбитальными временами, поэтому мы можем рассматривать его как бесконечно малое.
Рассмотрим случай \(\beta < 1\).
B1. Выразите фокальный параметр (см. подсказку) новой орбиты \(l\) и ее эксцентриситет \(\varepsilon\) через \(r_0\) и \(\beta\).
B2. Вычислите угол \(\alpha\) между большой осью новой орбиты и радиус-вектором спутника в месте толчка.
B3. Получите аналитические выражения для минимального \(r_{min}\) (перигей) и максимального \(r_{max}\) (апогей) расстояний спутника от центра Земли как функций \(r_0\) и \(\beta\) и вычислите их численные значения для \(\beta =1/4\).
B4. Выразите период обращения по новой орбите \(T\) как функцию \(T_0\) и \(\beta\) и найдите его численное значение для \(\beta=1/4\).
C1. Вычислите \(\beta_{min}\) — минимальное значение параметра \(\beta\), необходимое для преодоления спутником земной гравитации.
C2. Определите в этом случае наименьшее расстояние \(r'_{min}\) между центром Земли и спутником при его движении по новой траектории как функцию \(r_0\).
Рассмотрим случай \(\beta > \beta_{min}\).
D1. Определите скорость спутника на бесконечности \(v_{\infty}\) как функцию \(v_0\) и \(\beta\).
D2. Выразите прицельный параметр \(b\) (рис. 2) в асимптотическом пределе через \(r_0\) и \(\beta\).
D3. Определите угол \(\varphi\) асимптотического направления ухода как функцию \(\beta\). Найдите его численное значение для \(\beta= \frac{3}{2}\beta_{min}\).
Подсказка
Под действием центральных сил, подчиняющихся закону обратных квадратов, тела движутся по траекториям, которые являются эллипсами, параболами или гиперболами. В приближении \(m \ll M\) притягивающая масса \(M\) находится в одном из фокусов. При выборе начала координат в этом фокусе (рис. 3) общее уравнение этих кривых в полярных координатах записывается в виде \[r(\theta)= \frac{l}{1-\varepsilon\cos\theta'}\]
где \(l\) — положительная постоянная, называемая фокальным параметром, а \(\varepsilon\) — эксцентриситет кривой. Используя константы движения, можно записать
\[l=\frac{L^2}{GMm^2}\]
\[\varepsilon=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}\]
где \(G\) — гравитационная постоянная, \(L\) — модуль момента импульса относительно начала координат тела, движущегося по орбите, а \(E\) — его механическая энергия, причем потенциальная энергия на бесконечности принимается равной нулю.
Возможны следующие случаи:
если \(0 \le \varepsilon \le 1\), то кривая является эллипсом (при \(\varepsilon=0\) — окружностью);
если \(\varepsilon=1\), то кривая является параболой;
если \(\varepsilon>1\), то кривая является гиперболой.
зад 2 Абсолютные измерения электрических величин
Преобразования в науке и технике, произошедшие в XIX столетии, привели к острой потребности во всемирно признанных стандартах электрических величин. Считалось, что новые абсолютные единицы должны основываться только на эталонах длины, массы и времени. С 1861 по 1912 год была проведена интенсивная экспериментальная работа по нахождению значений этих единиц. Мы предлагаем здесь три исследования этой проблемы.
Определение ома по Кельвину
Круговая короткозамкнутая плоская катушка из \(N\) витков радиусом \(a\) и общим сопротивлением \(R\) вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega\) вокруг вертикального диаметра в горизонтальном магнитом поле \(\vec{B}_0 = B_0\vec{i}\).
A1. Подсчитайте электродвижущую силу \(\mathcal E\), индуцированную в катушке, а также среднюю мощность \(\langle P \rangle\), необходимую для поддержания движения катушки. Самоиндукцией катушки пренебречь.
Маленькая магнитная стрелка помещена в центр катушки, как показано на рисунке 1. Она может медленно вращаться в горизонтальной плоскости вокруг оси \(Z\), но не может поспевать за быстрым вращением катушки. Как только будет достигнут стационарный режим, стрелка установится в положении, составляющем малый угол \(\theta\) c \(\vec{B}_0\).
A2. Выразите сопротивление \(R\) катушки через угол \(\theta\) и другие заданные параметры системы.
Лорд Кельвин применил этот метод в 1860-х годах для установления абсолютного стандарта для ома. Чтобы избавиться от вращающейся катушки, Лоренц применил использованный ранее лордом Рэлеем и мисс Зидгвик альтернативный метод, который исследуется в следующей части задачи.
Определение ома по Рэлею и Зидгвик
Экспериментальная установка, изображенная на рисунке 2, состоит из двух одинаковых металлических дисков \(D\) и \(D'\) радиусом \(b\), насаженных на (проводящий) вал \(SS'\). Мотор вращает вал с угловой скоростью \(\omega\), которая может изменяться. Две одинаковые катушки \(C\) и \(C'\) (радиусом \(a\) c \(N\) витками каждая) окружают диски. Они соединены таким образом, что электрический ток \(I\) течет через них в противоположных направлениях. Прибор служит для измерения сопротивления \(R\).
B1. Допустим, что ток \(I\), протекающий через катушки \(C\) и \(C'\), создает однородное магнитное поле вокруг \(D\) и \(D'\), величину которого можно принять равной полю в центре катушек. Найдите электродвижущую силу \(E\), индуцированную между краями дисков 1 и 4, предполагая, что расстояние между катушками значительно превышает радиус катушек и что \(a \gg b\).
Пусть теперь диски подсоединены к электрической цепи щеточными контактами, касающимися краев дисков 1 и 4. Гальванометр \(G\) регистрирует силу тока, протекающего по цепи 1-2-3-4. Сопротивление \(R\) измеряется, когда гальванометр \(G\) показывает ноль.
B2. Выразите сопротивление \(R\) через физические параметры системы.
Определение ампера
Пропускание тока по двум проводникам и измерение силы, действующей между ними, позволяет получить абсолютное определение силы тока. Принцип действия токов весов «токовых весов», изобретенных лордом Кельвином в 1882 году, основан на этом методе. Весы состоят из шести одинаковых одиночных витков радиусом \(a\), соединенных последовательно. Как показано на рисунке 3, неподвижные витки \(C_1, C_3, C_4\) и \(C_6\) расположены в двух горизонтальных плоскостях, которые разделены малым расстоянием \(2h\). Катушки \(C_2\) и \(C_5\) подвешены к плечам весов длиной \(d\) и в состоянии равновесия находятся на одинаковых расстояниях от обеих плоскостей.
Ток \(I\) течет через различные катушки в таких направлениях, что сила со стороны магнитного поля, действующая на \(C_2\), направлена вверх, в то время как сила, действующая на \(C_5\), направлена вниз. Чтобы восстановить равновесие весов при протекании тока через цепь, требуется расположить массу \(m\) на расстоянии \(x\) от точки опоры \(O\).
С1. Найдите силу \(F\), действующую на \(C_2\) благодаря магнитному взаимодействую с \(C_1\). Для простоты считайте, что сила на единицу длины такая же, как при взаимодействии двух длинных линейных проводников, по которым текут параллельные токи.
С2. Сила тока измеряется, когда весы находятся в равновесии. Выразите ее значение \(I\) через физические параметры системы, предполагая, что размеры установки таковы, что можно пренебречь действием левых катушек на правые и наоборот.
Пусть \(M\) — масса всей подвешенной системы (за исключением \(m\)), \(G\) — ее центр масс, а \(l\) — расстояние \(OG\).
С3. Равновесие весов оказывается устойчивым по отношению к малым отклонением \(\delta z\) и \(-\delta z\) витков \(C_2\) и \(C_5\) по высоте. Найдите максимальное значение \(\delta z_{max}\), при котором весы все еще возвращаются в положение равновесие, когда их отпускают.
▶ОтветСкрыть
A1: \[\mathcal E=-\dot\Phi=\pi a^2NB_0\omega \sin\omega t\] \[\left\langle P\right\rangle=\frac{\pi^2a^4N^2B_0^2\omega^2}{2R}\]; A2: \[R=\frac{\mu_0 N^2\pi a\omega}{4\operatorname{tg}\theta}\]; B1: \[\mathcal E=\mathcal E_d+\mathcal E_{D'}=N\frac{\mu_0b^2\omega I}{2a}\]; B2: \[R=N\frac{\mu_0b^2\omega}{2a}\]; С1: \[F=\mu_0aI^2/h\]; С2: \[I=\sqrt{\frac{mghx}{4\mu_0ad}}\]
▶РешениеСкрыть
A1. Через время \(t\) нормаль к катушке образует угол \(\omega t\) с магнитным полем. Поток через катушку при этом будет равен \(\Phi=NB_0S\cos\omega t=\pi a^2NB_0\cos\omega t\). За счёт этого индуцируется ЭДС
Ответ:
\[\mathcal E=-\dot\Phi=\pi a^2NB_0\omega \sin\omega t\]
Тепловая мощность равна \(P=\mathcal E^2/R\), откуда
Ответ:
\[\left\langle P\right\rangle=\frac{\pi^2a^4N^2B_0^2\omega^2}{2R}\]
A2. Суммарное поле в центре катушки \(\vec B=\vec B_0+\vec B_i\), где \(\vec B_i =B_i(\vec i\cos\omega t+\vec j\sin\omega t)\) – поле, индуцированное током в катушке. Здесь \(B_i=\frac{\mu_0N}{2a}\frac{\mathcal E}R\). Средние значения компонент поля:\[\bar B_x=\frac{\mu_0 N^2\pi aB_0\omega}{2R}\overline{\sin\omega t\cos\omega t}=0,\quad \bar B_y=\frac{\mu_0 N^2\pi aB_0\omega}{2R}\overline{\sin^2\omega t}=\frac{\mu_0 N^2\pi aB_0\omega}{4R}.\]Таким образом, стрелка повернётся на угол\[\operatorname{tg}\theta=\frac{\mu_0 N^2\pi a\omega}{4R}\implies\]
Ответ:
\[R=\frac{\mu_0 N^2\pi a\omega}{4\operatorname{tg}\theta}\]
B1. Сила, действующая на пробный заряд в диске, радиальна и равна \(qvB=q\omega rB\), где магнитное поле \(B=N\mu_0I/2a\). Это создаёт ЭДС \(\mathcal E_D=\mathcal E_{D'}=B\omega\int_0^br~\mathrm dr=\frac12B\omega b^2\). Итого:
Ответ:
\[\mathcal E=\mathcal E_d+\mathcal E_{D'}=N\frac{\mu_0b^2\omega I}{2a}\]
B2. Показания гальванометра обнулятся (\(I_G=0\)), когда \(\mathcal E=IR\implies\)
Ответ:
\[R=N\frac{\mu_0b^2\omega}{2a}\]
С1. Сила, действующая на единицу длины одного из параллельных бесконечно длинных проводов, равна \(f=\mu_0I_1I_2/2\pi h\), где \(h\) – расстояние между проводами. Для рассматриваемых в задаче колец:
Ответ:
\[F=\mu_0aI^2/h\]
С2. В равновесии \(mgx=4Fd\), откуда \(mgx=4\mu_0adI^2/h\implies\)
Ответ:
\[I=\sqrt{\frac{mghx}{4\mu_0ad}}\]
С3. Весы вернутся в положение равновесие, если при отклонении на небольшой угол \(\delta\varphi\) момент силы тяжести превысит момент силы Ампера:\[M g l \sin \delta \varphi+m g x \cos \delta \varphi>2 \mu_0 a I^2\left(\frac{1}{h-\delta z}+\frac{1}{h+\delta z}\right) d \cos \delta \varphi\]Разложим правую часть до второго порядка:
\[M g l \sin \delta \varphi+m g x \cos \delta \varphi>\frac{4 \mu_0 a d I^2}{h}\left(1+\frac{\delta z^2}{h^2}\right) \cos \delta \varphi\]Слагаемые нулевого порядка сокращаются как следствие предыдущего пункта, тогда останется:
\[M g l \sin \delta \varphi>m g x \frac{\delta z^2}{h^2} \cos \delta \varphi\]Для малых углом \(\operatorname{tg} \delta \varphi \approx \sin \delta \varphi=\frac{\delta z}{d}\), поэтому
\[\delta z<\frac{M l h^2}{m x d} \implies\]
Ответ:
\[\delta z_{\max }=\frac{M l h^2}{m x d}\]
Перевод: pho.rs.
зад 3 Нейтроны в гравитационном поле
В знакомом нам мире классической физики идеально упругий мячик, прыгающий на поверхности земли, представляет собой пример системы, бесконечно совершающей периодическое движение. Мячик находится в ловушке: он не может опускаться ниже поверхности земли и подниматься выше некоторой максимальной высоты. Движение мячика в этом состоянии будет вечно оставаться ограниченным: он будет то падать вниз, то снова подпрыгивать вверх. Только сопротивление воздуха или неупругие отражения могли бы изменить характер этого процесса, но в дальнейшем мы ими будем пренебрегать.
Группа физиков из Института Лауэ-Ланженева в Гренобле в 2002 году сообщила об одном эксперименте, касающемся поведения нейтронов в гравитационном поле Земли. В этом эксперименте нейтроны, движущиеся горизонтально, могли падать на горизонтальную кристаллическую поверхность, служащую нейтронным зеркалом, от которой они могли снова и снова упруго отскакивать и подниматься на первоначальную высоту.
Экспериментальная установка, изображенная на рисунке \(F-1\), содержит щель \(W\), нейтронное зеркало \(M\) на высоте \(z=0\), поглотитель нейтронов \(A\) длиной \(L\) на высоте \(z=H\) и детектор нейтронов \(D\). Пучок нейтронов летит с постоянной горизонтальной составляющей скорости \(v_x\) от \(W\) к \(D\) сквозь зазор между поверхностями \(A\) и \(M\). Все нейтроны, которые достигают поверхности \(A\), поглощаются ею и выбывают из эксперимента. Нейтроны, достигающие поверхности \(M\), упруго отражаются. Детектор \(D\) определяет коэффициент прохождения \(N(H)\), т.е. общее число нейтронов, достигших \(D\) за единицу времени.
Нейтроны попадают в зазор, имея широкий спектр положительных и отрицательных значений вертикальной составляющей скорости \(v_z\). Оказавшись в зазоре, они летят между зеркалом и поглотителем, которые ограничивают их движение снизу и сверху соответственно.
A1. В рамках классической модели определите диапазон вертикальных составляющих скорости \(v_z(z)\) нейтронов, которые, влетая в зазор на высоте \(z\), могут достичь детектора \(D\). Предполагается, что \(L\) намного больше любой другой характерной длины в задаче.
A2. В рамках классической модели определите минимальную величину \(L_{min}\), обеспечивающую поглощение поверхностью \(A\) всех нейтронов, у которых вертикальное вертикальные составляющие скорости для каждого значения \(z\) лежат вне указанного выше диапазона. Положите \(v_x=10~м/с\) и \(H=50~мкм\).
Коэффициент порождения нейтронов \(N(H)\) измеряют детектором \(D\). Следует ожидать, что \(N(H)\) монотонно возрастает с увеличением \(H\).
A3. В рамках классической модели определите коэффициент прохождения \(N_c(H)\), полагая, что нейтроны попадают в зазор с вертикальной составляющей скорости \(v_z\) на высоте \(z\), причем все значения \(v_z\) и \(z\) равновероятны. Ответ запишите в предположении, что число нейтронов, влетающих в зазор за единицу времени в единичном интервале вертикальной скорости \(v_z\) и в единичном интервале значений \(z\), остается постоянным и равным \(\rho\).
Экспериментальные результаты, полученные Гренобльской группой, расходятся с рассмотренными выше классическими предсказаниями. Они показывают, что значение \(N(H)\) испытывает резкие скачки, когда \(H\) проходит некоторые критические высоты \(H_1\), \(H_2,\dots\) (рис. 2). Другими словами, эксперимент показывает, что вертикальное движение нейтронов, многократно отражающихся от зеркала, квантуется. На языке, который Бор и Зоммерфельд использовали для расчета энергетических уровней атома водорода, это звучит примерно так: действие \(S\) этих нейтронов вдоль вертикального направления является величиной, кратной постоянной Планка \(h\). Здесь \(S\) задается правилом квантования Бора-Зоммерфельда:
\[S=\int p_z d z =nh, \quad n=1,2,3\dots\]где \(p_z\) — вертикальная составляющая импульса, а интеграл охватывает движение между двумя отражениями. Нейтроны только с такими значениями \(S\) могут находиться в зазоре.
A4. Используя правило квантования Бора-Зоммерфельда, определите максимальные высоты подъема \(H_n\) и соответствующие им энергетические уровни \(E_n\), связанные с вертикальным движением. Представьте численный результат для \(H_1\) в мкм, а для \(E_1\) в эВ.
Изначально однородное на вхоже распределение нейтронов \(\rho\) изменяется во время полета сквозь длинный зазор, превращаясь в ступенчатое распределение, регистрируемое в \(D\) (рис. 2). С этого момента для простоты рассматривается случай длинного зазора с \(H < H_2\). В рамках классической модели все нейтроны с энергиями в интервале, рассмотренном в пункте A1, могли пройти сквозь такой зазор. В рамках квантово-механической модели это могут сделать только нейтроны с энергией \(E_1\). Согласно принципу неопределенности Гейзенберга для энергии и времени, это перераспределение требует некоторого минимального времени полета. Неопределенность энергии вертикального движения будет существенной, если длина полости мала. Это явление приводит к уширению энергетических уровней.
A5. Оцените минимальное время полета \(t_{min}\) и минимальную длину \(L_{min}\) полости, необходимые для наблюдения первого скачка числа регистрируемых детектором нейтронов. Примите \(v_x=10~м/с\).
Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 2005, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.