IPhO 2007, теоретический тур

В данной задаче рассматривается упрощенная модель акселерометра (измерителя ускорения), который разработан для активирования воздушных подушек безопасности автомобиля во время столкновения. Для этого предлагается электромеханическая система, которая рассчитана таким образом, что когда ускорение превышает некоторое предельное значение, то один из электрических параметров системы — напряжение на одном из элементов цепи — достигает порогового значения, в результате чего надуваются (активируются) воздушные подушки.

Замечание: действием силы тяжести в данной задаче следует пренебречь.

1. Рассмотрим конденсатор, состоящий из двух параллельных вертикальных пластин. Площадь каждой пластины \(A\), расстояние между ними \(d\) (это расстояние значительно меньше размеров пластин). Одна из пластин прикреплена к стенке с помощью пружины жесткостью \(k\), вторая пластина закреплена неподвижно. Считайте, что диэлектрическая проницаемость воздуха равна \(1\). Когда расстояние между пластинами равно \(d\), пружина не деформирована. В этом состоянии электроемкость конденсатора равна \(C_{0}=\varepsilon_{0} A/d\), где \(\varepsilon_{0}\) — электрическая постоянная. Пластинам сообщают электрические заряды \(+Q\) и \(-Q\), после чего система переходит в состояние механического равновесия

1.1. Найдите электрическую силу \(F\), действующую на каждую пластину.

1.2. Обозначим через \(x\) смещение пластины, прикрепленной к пружине. Определите \(x\).

1.3. Чему равна разность потенциалов \(U\) между пластинами в этом состоянии? Ответ запишите через параметры \(Q\), \(A\), \(d\) и \(k\).

1.4. Пусть \(C\) — электроемкость конденсатора, равная по определению отношению заряда пластины к разности потенциалов между пластинами. Определите величину \(C/C_{0}\) как функцию \(Q\), \(A\), \(d\) и \(k\).

1.5. Чему равна полная энергия \(W\), запасенная системой? Ответ выразите через \(Q\), \(A\), \(d\) и \(k\).

На рисунке \(2\) приведена схема акселерометра. Тело массой \(M\), соединенное с легкой проводящей подвижной пластиной, прикреплено к двум одинаковым пружинам жесткостью \(k\). Подвижная пластина может перемещаться между двумя неподвижными пластинами. Все три пластины одинаковы и их площади равны \(A\). Таким образом, три пластины образуют два конденсатора. Как показано на рисунке, на неподвижных пластинах поддерживаются постоянные потенциалы \(U\) и \(-U\) соответственно. Средняя пластина с помощью двухполюсного переключателя заземляется. Соединительные провода не препятствуют движению пластины, и в процессе движения все пластины остаются параллельными друг другу. Если система не ускоряется, то расстояния между подвижной и неподвижными пластинами равны \(d\), причем это расстояние значительно меньше размеров пластин. Толщиной подвижной пластины можно пренебречь.

Переключатель может находиться в одном из двух положений \(\alpha\) или \(\beta\). Предположим, что рассматриваемое устройство движется вместе с автомобилем с постоянным ускорением. Будем считать, что в течение равноускоренного движения автомобиля пружины не колеблются и все компоненты системы находятся в равновесном положении, т.е. не движутся относительно друг друга и автомобиля. Из-за наличия ускорения подвижная пластина смещается на определенное расстояние \(x\) от среднего положения между неподвижными пластинами.

2. Рассмотрите случай, когда переключатель находится в положении \(\alpha\), т.е. когда подвижная пластина соединена с землей проводом.

2.1. Найдите заряд каждого конденсатора как функцию величины \(x\).

2.2. Найдите результирующую электрическую силу \(F\), действующую на подвижную пластину, как функцию величины \(x\).

2.3. Положим, что \(d \gg x\), так что величинами порядка \(x^{2}\) можно пренебречь по сравнению с \(d^{2}\). Упростите предыдущий ответ, используя это приближение.

2.4. Запишите выражение для суммарной силы \(F_{c}\), действующей на подвижную пластину (сумма электрических и упругих сил), в виде \(-k_{эф} x\) и приведите формулу для величины \(k_{эф}\).

2.5. Выразите величину постоянного ускорения \(a\) как функцию \(x\).

3. Теперь будем считать, что переключатель находится в положении \(\beta\), т.е подвижная пластина соединена с землей через конденсатор емкостью \(C^{*}\) (который также изначально не был заряжен). Пусть подвижная пластина сместилась на расстояние \(x\) от своего центрального положения.

3.1. Найдите напряжение \(U^{*}\) на конденсаторе \(C^{*}\) как функцию смещения \(x\).

3.2. Опять будем считать, что \(d \gg x\), так что можно пренебречь величинами порядка \(x^{2}\) по сравнению с \(d^{2}\). Упростите ваш ответ в предыдущей части.

4. Необходимо подобрать параметры акселератора таким образом, чтобы воздушные подушки не активировались при нормальном торможении и активировались при столкновении для предотвращении удара головы водителя о лобовое стекло или руль. Как следует из части \(2\), суммарная сила, действующая на подвижную пластину со стороны пружин и электрических полей, может быть представлена как сила упругости одной пружины с эффективной жесткостью \(k_{эф}\). Таким образом, устройство эквивалентно пружинному маятнику с телом массой \(M\) и пружиной жесткостью \(k_{эф}\), находящемуся в автомобиле, движущемся с постоянным ускорением \(a\). Трением в системе можно пренебречь, значения параметров системы таковы:

\(d= 1.0~см\), \(A= 2.5\cdot 10^{-2}~м^{2}\), \(k= 4.2 \cdot 10^{3}~Н/м\), \(\varepsilon_{0}= 8.85 \cdot 10^{-12}~Кл^{2}/(H \cdot м^{2})\), \(U= 12~В\), \(M= 0.15~кг\).

Замечание: в данной части задачи нельзя считать, что тело и пружины находятся в состоянии равновесия.

4.1. Используя эти данные, определите отношение электрической силы, найденной в разделе \(2\), к силе упругости пружин и покажите, что электрическими силами можно пренебречь по сравнению с силами упругости.

Несмотря на то, что вы не вычисляли электрические силы в случае, когда переключатель находится в положении \(\beta\), можно показать, что и в этом случае электрические силы также являются малыми и ими можно пренебречь.

4.2. Пусть автомобиль, движущийся с постоянной скоростью, внезапно начинает тормозить с постоянным ускорением \(a\). Чему равно в этом случае максимальное смещение подвижной пластины? Ответ дайте в виде формулы.

Переключатель находится в положении \(\beta\), и устройство сконструировано так, что воздушные подушки активируются, когда напряжение на конденсаторе емкостью \(C^{*}\) достигает величины \(U^{*}\). Нам необходимо, чтобы подушки не активировались, когда ускорение автомобиля не превышает ускорения свободного падения \(g= 9.8~м/с^{2}\), но активировались при превышении этой величины.

4.3. Какой должна быть емкость конденсатора \(C^{*}\) для выполнения этих условий?

Будем считать, что воздушные подушки надуваются очень быстро, чтобы предотвратить удар головы водителя о лобовое стекло или руль. Предположим, что в результате столкновения автомобиль тормозит с постоянным ускорением, равным \(g\), а голова водителя продолжает двигаться с постоянной скоростью.

4.4. Найдите время \(t_{1}\) после начала торможения, через которое голова водителя ударится о руль. Расстояние до руля оцените самостоятельно.

4.5. Найдите время \(t_{2}\) после начала торможения, через которое воздушные подушки активируются. Считайте, что они надуваются мгновенно. Сравните \(t_{2}\) с \(t_{1}\). Смогут ли воздушные подушки активироваться вовремя?

Две звезды, вращающиеся вокруг их общего центра масс, образуют бинарную (двойную) звездную систему. Почти половина звезд нашей галактики — двойные звезды. С Земли нелегко распознать двойную природу большинства этих звездных систем, так как расстояние между звездами намного меньше расстояния от них до Земли, и, следовательно, телескоп не способен разрешить отдельные компоненты двойной звезды. Поэтому приходится использовать либо фотометрию, либо спектрометрию для наблюдения изменений в интенсивности или в спектре конкретной звезды, для того чтобы определись, является ли данная звезда двойной.

Фотометрия двойной звезды 

Если бы мы находились в плоскости движения двух звезд, тогда одна из звезд в определенные моменты времени заслоняла бы другую (проходя впереди нее) и интенсивность всей системы изменялась бы со временем при наблюдении из нашей точки. Такие звезды называются эклиптическими двойными звездами.

1 Допустим, что две звезды движутся по круговым орбитам вокруг их общего центра масс с постоянной угловой скоростью \(\omega\), и мы находимся точно в плоскости движения звезд. Предположим также, что температуры поверхностей звезд равны \(T_{1}\) и \(T_{2}\) \((T_{1} > T_{2})\), а их радиусы составляют \(R_{1}\) и \(R_{2}\) соответственно \((R_{1} > R_{2})\). Зависимость от времени суммарной относительной интенсивности света, измеренной на Земле, показана на рисунке ниже. Тщательные измерения свидетельствуют о том, что минимальные интенсивности падающего от звезд света соответствуют \(90\%\) и \(63\%\) суммарной интенсивности \(I_{0}\), полученной от обеих звезд \((I_{0} = 4.8 \cdot 10^{-9}~Вт/м^{2})\).

Рисунок 1. Относительная интенсивность, полученная от двойной звезды, в зависимости от времени. Интенсивность посчитана по отношению к \(I_{0} = 4.8 \cdot 10^{-9}~Вт/м^{2}\). Время выражено в днях.

1.1. Найдите период орбитального движения звезд. Ответ выразите в секундах и округлите до двух значащих цифр. Найдите также угловую скорость вращения системы в рад/с.

Достаточно хорошим приближением для изучения, принимаемого от звезды, может служить излучение абсолютно черного тела в виде диска, радиус которого равен радиусу звезды. Поэтому мощность, принятая от звезды, пропорциональная \(AT^{4}\), где \(A\) — площадь диска, \(T\) — поверхностная температура звезды.

1.2. С помощью графика, приведенного на рисунке 1, найдите отношения \(T_{1}/T_{2}\) и \(R_{1}/R_{2}\).

Спектрометрия двойной звезды 

В этой части вам предлагается вычислить астрономические свойства двойной звезды, используя ее экспериментальные спектрометрические данные.

Атомы поглощают и излучают свет определенных длин волн, характерных для данного атома. Поэтому наблюдаемый спектр звезды содержит линии поглощения, возникающие благодаря атомам, содержащимся в атмосфере звезды.

В спектре натрия имеется характерная желтая линия \((D1)\) с длиной волны \(5895.9 \mathring A\) \((10\mathring A =1~нм)\). Рассмотрим спектр поглощения атомарного натрия на этой длине волны для двойной звезды, о которой шла речь в предыдущей части. Из-за движения обеих звезд данной бинарной системы относительно наблюдателя частота (или длина волны) принимаемого нами излучения приобретает доплеровский сдвиг. Каждая из этих звезд имеет свою скорость и, соответственно, свой доплеровский сдвиг.

Требуются высоко точные измерения длины волны для наблюдения доплеровского сдвига, поскольку скорости звезд гораздо меньше, чем скорость света. Скорость центра масс бинарной системы, рассматриваемой в данном вопросе, гораздо меньше орбитальных скоростей звезд, поэтому все доплеровские сдвиги относятся к орбитальным скоростям звезд.

В таблице приведена зависимость от времени длин волн линий в спектре поглощения звезд двойной системы для линии \(D_{1}\) натрия:

Используя \(\text{таблицу 1}\), ответьте на следующие вопросы:

1 Используя таблицу 1, ответьте на следующие вопросы:

2.1. Найдите орбитальную скорость каждой из звезд \(v_{1}\) и \(v_{2}\) (скорость света \(c=3 \cdot 10^{8}~м/с\)). Релятивистские эффекты не учитывайте.

2.2. Найдите отношение масс звезд \(m_{1}/m_{2}\).

2.3. Найдите расстояния \(r_{1}\) и \(r_{2}\) каждой из звезд бинарной системы от их общего центра масс.

2.4. Найдите расстояние \(r\) между звездами.

Учитывая, что гравитационная сила является единственной силой, действующей между звездами, дайте ответ на такой вопрос.

3.1. Найдите массу каждой звезды с точностью до одной значащей цифры. Гравитационная постоянная \(G= 6.67\cdot 10^{-11}~м^{3} кг ^{-1} с^{-2}\).

Общая характеристика звёзд 

Для большинства звезд механизм генерации излучаемой энергии одинаков. Поэтому существуют эмпирическое соотношение между массой звезды \(M\) и ее светимостью \(L\), которая равна общей мощности излучения звезды. Это соотношение можно записать в виде \(L/L_{C}=(M/M_{C})^{\alpha}\), где \(M_{C}= 2 \cdot 10^{30}~кг\) — масса Солнца, \(L_{C}= 3.9 \cdot 10^{26}~Вт\) — вместимость Солнца. Эта закономерность проиллюстрирована на рисунке \(2\) в двойном логарифмическом масштабе (звёздочкой отмечено Солнце).

4.1. Найдите показатель степени \(\alpha\) c точностью до одной значащей цифры.

4.2. Пусть \(L_{1}\) и \(L_{2}\) — светимости звезд двойной системы, изучавшейся в предыдущей части. Найдите \(L_{1}\) и \(L_{2}\).

4.3. Определите расстояние \(d\) от нас до звездной системы в световых годах. Для определения этого расстояния вы можете использовать диаграмму, приведенную на рисунке \(1\).

4.4. Каково максимальное угловое расстояние \(\theta\) между звездами при наблюдении с Земли?

4.5. Каким наименьшим диаметром \(D\) должен обладать объектив оптического телескопа, для того чтобы разрешить эти две звезды?

Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 2007, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.