IPhO 2009, теоретический тур

Учёные научились определять расстояние от Луны до Земли с циальных зеркал, установленных на поверхности Луны.

В ходе таких измерений учёные непосредственно определили, что Луна медленно удаляется от Земли. Это происходит потому, что из-за образования приливных волн момент импульса Земли передаётся Луне.

Выпущенный лазерный луч из обсерватории используется для измерения расстояния между Землей и Луной.

Гравитация Луны вызывает приливные деформации или <<выпуклости>> на Земле. Из-за вращения Земли, линия проходящая через выпуклости, не выровнена с линией между Землей и Луной. Это смещение создает крутящий момент, который передает угловой момент от вращения Земли к вращению Луны. Рисунок не в масштабе.

Часть A. Сохранение момента импульса

Пусть \(L_1\)  — полный момент импульса системы Земля-Луна. Сделаем следующие предположения.

1. \(L_1\) определяется только вращением Земли вокруг собственной оси и вращением Луны вокруг Земли.

2. Орбита Луны круговая, и Луна считается материальной точкой.

3. Ось вращения Земли и ось вращения Луны совпадают.

4. Для упрощения расчётов будем считать, что эти оси проходят через центр Земли. Во всех пунктах данной задачи моменты инерции, моменты сил и моменты импульса рассчитываются относительно этой оси.

5. Влиянием Солнца на движение рассматриваемой системы можно пренебречь.

A1. Запишите для настоящего времени выражение для полного момента импульса системы Земля-Луна. Выразите его через момент инерции Земли \(I_E\), угловую скорость вращения Земли \(\omega_{E1}\), момент инерции Луны \(I_{M1}\) относительно земной оси и угловую скорость орбитального движения Луны \(\omega_{M1}\).

Процесс передачи момента импульса от Земли к Луне прекратится, когда земные сутки и период обращения Луны будут иметь одинаковую продолжительность. К этому времени приливные подъёмы воды, которые Луна вызывает на Земле, будут ориентированы вдоль прямой, соединяющей центры Земли и Луны, и поэтому момент силы исчезнет.

A2. Запишите выражение для конечного значения полного момента импульса системы Земля Луна \(L_2\). Используйте те же предположения, что и в пункте A1. Выразите его через момент инерции Земли \(I_E\), конечную угловую скорость вращения Земли и обращения Луны \(\omega_2\) и конечный момент инерции Луны \(I_{M2}\).

A3. Пренебрегая вкладом вращения Земли в конечную величину полного момента импульса, напишите уравнение, выражающее закон сохранения момента импульса.

Часть B. Конечные расстояние и угловая скорость движения системы Земля-Луна

Будем считать, что орбита движения Луны вокруг Земли всё время остаётся круговой. Для конечного состояния:

B1. Запишите уравнение, определяющее закон движения Луны по круговой орбите вокруг Земли. Выразите данное уравнение через расстояние \(D_2\) между центрами Земли и Луны, массу Земли \(M_З\), угловую скорость \(\omega_2\) и гравитационную постоянную \(G\).

B2. Запишите выражения для расстояния между Землей и Луной \(D_2\) и для угловой скорости Земли \(\omega_2\) как функцию полного момента импульса системы \(L_1\), масс Земли и Луны \(M_E\) и \(M_M\) соответственно и гравитационной постоянной \(G\).

B3. Запишите выражение для угловой скорости \(\omega_2\) системы Земля Луна через известные параметры \(L_1\), \(M_E\), \(M_M\) и \(G\).

Найдите численные значения \(D_2\) и \(\omega_2\). Для этого вычислите момент инерции Земли.

B4. Запишите выражение для момента инерции Земли \(I_E\), предполагая, что она является шаром с плотностью \(\rho_1\) от центра до расстояния \(r_1\) и шаровым слоем с плотностью \(\rho_0\) от расстояния \(r_1\) до расстояния до поверхности \(r_0\) (см. рис).

Земля как шар и шаровой слой с двумя плотностями \(\rho_1\) и \(\rho_0\)

B5. Рассчитайте момент инерции Земли \(I_E\), используя следующие численные значения:

\[\rho_1=1.3\cdot 10^4~кг\cdot м^{-3},\ r_1=3.5\cdot10^6~м\] \[\rho_0=4.0\cdot10^3~кг\cdot м^{-3},\ r_0=6.4\cdot10^6~м\]

B6. Оцените численное значение полного момента импульса рассматриваемой системы \(L_1\).

Массы Земли и Луны равны \(M_E=6.0\cdot10^{24}~кг\) и \(M_M=7.3\cdot10^{22}~кг\) соответственно. В настоящее время расстояние между Землей и Луной равно \(D_1=3.8\cdot10^8~м\). Угловая скорость вращения Земли вокруг собственной оси составляет \(\omega_{E1}=7.3\cdot10^{-5}~с^{-1}\). Угловая скорость обращения Луны вокруг Земли \(\omega_{M1}=2.7\cdot10^{-6}~с^{-1}\). Гравитационная постоянная \(G=6.7\cdot10^{-11}~м^3\cdot кг^{-1}\cdot с^{-2}\).

B7. Найдите конечное расстояние \(D_2\) в метрах и в единицах расстояния от Земли до Луны в настоящее время \(D_1\).

B8. Найдите конечную угловую скорость \(\omega_2\) в \(с^{-1}\) и конечную продолжительность суток в единицах нынешних суток.

Убедитесь, что вкладом вращения Земли в полный момент импульса можно пренебречь. Для этого найдите отношение конечного момента импульса Земли к моменту импульса Луны. Это должна быть малая величина.

B9. Найдите отношение конечного углового момента Земли к конечному угловому моменту Луны.

Часть C. Насколько Луна удаляется за год?

Теперь найдите, насколько Луна удаляется от Земли каждый год. Для этого определите момент силы, действующей на Луну в настоящее время. Предположите, что приливные волны можно заменить двумя материальными точками массами \(m\), расположенными на поверхности Земли (см. рис). Пусть \(\theta\) — угол между линией, соединяющей места наибольшего подъёма, и линией, соединяющей центры Земли и Луны.

Схема для определения моментов сил, которые действуют на Луну и вызываются подъёмом воды на Земле

C1. Найдите модуль силы \(F_c\) действующей на Луну со стороны ближайшей к ней точечной массы.

C2. Найдите модуль силы \(F_f\), действующей на Луну со стороны отдалённой от неё точечной массы.

C3. Найдите модуль c \(\tau_c\) момента силы, действующего на Луну со стороны ближайшей к ней точечной массы.

C4. Найдите модуль \(\tau_f\) момента силы, действующего на Луну со стороны отдалённой от неё точечной массы.

C5. Найдите полный момент силы \(\tau\) от двух масс. Так как \(\tau_0\ll D_1\), выпишите выражение до первого значимого порядка по \(r_0/D_1\). Считайте, что \((1+x)^a\approx 1+ ax\) при \(x\ll 1\).

C6. Вычислите численное значение полного момента силы, принимая во внимание, что \(\theta=3^{\circ}\) и \(m=3.6\cdot 10^{16}~кг\) (заметьте, что эта масса составляет примерно \(10^{-8}\) от массы Земли).

Найдите, насколько в настоящее время расстояние от Земли до Луны изменяется за год. Для этого выразите момент импульса Луны через \(D_1\), \(M_E\), \(M_M\) и \(G\).

C7. Найдите численное значение увеличения расстояния между Землёй и Луной за год в настоящее время.

C8. Найдите численное значение уменьшения угловой скорости вращения Земли \(\omega_{E1}\) и увеличение продолжительности земных суток за год.

Часть D. Куда уходит энергия?

В противоположность моменту импульса, который сохраняется, полная энергия системы не сохраняется.

D1. Запишите выражение для полной (кинетической и гравитационной) энергии \(E\) системы Земля Луна в настоящее время. Выразите его через \(I_E\), \(\omega_{E1}\) \(M_E\), \(M_M\), \(D_1\) и \(G\).

D2. Запишите выражение для изменения \(\Delta E\) этой энергии \(E\) как функцию изменения параметров \(D_1\) и \(\omega_{E1}\). Оцените численное значение величины \(\Delta E\) за год, используя величины изменения \(D_1\) и \(\omega_{E1}\), найденные в пунктах C7 и C8.

Проверьте, что эти потери энергии связаны с переходом механической энергии в тепловую в процессе подъёма и опускания воды в каждой приливной волне. Считайте, что изменение потенциальной энергии при подъёме одного горба приливной волны эквивалентно подъёму слоя воды толщиной \(h=0.5~м\), покрывающего всю поверхность Земли (для упрощения можно считать, что вся Земля покрыта водой) в среднем на высоту \(0.5~м\). Это случается дважды в день. Далее считайте, что \(10\%\) этой гравитационной энергии переходит в теплоту благодаря наличию вязкости при опускании воды. Считайте плотность воды равной \(\rho_в=1.0\cdot 10^3~кг\cdot м^{-3}\), ускорение свободного падения на поверхности Земли \(g=9.8~м\cdot с^{-2}\).

D3. Чему равна масса этого поверхностного слоя воды?

D4. Вычислите величину потери этой энергии за год. Сравните полученное значение с потерями энергии, рассчитанными ранее (в п. D2).

Термины «лазерное охлаждение» и «оптическая патока» относятся к охлаждению (замедлению) пучка нейтральных атомов с помощью распространяющихся в противоположных направлениях лазерных пучков одной и той же частоты.

Область захвата, называемая «оптической патокой», лежит на пересечении трёх взаимно перпендикулярных пар противоположно направленных лазерных пучков. Оптическая диссипативная сила (трение) напоминает силу вязкости, действующую на тело, которое движется сквозь патоку.

Основы лазерного охлаждения

Для простоты рассмотрим одномерную задачу, то есть не будем принимать во внимание оси \(y\) и \(z\). Пусть атом с массой \(m\) движется в направлении \(+x\) со скоростью \(v\) и обладает двумя внутренними энергетическими состояниями с разницей энергий \(\hbar\omega_0\), где \(\hbar=h/2\pi\) (см. рис). Первоначально он находится в нижнем энергетическом состоянии, и его энергию можно принять равной нулю. Луч лазера с частотой \(\omega_L\) распространяется в направлении \(−x\) и взаимодействует с атомом. Пучок лазера состоит из большого числа фотонов, каждый из которых обладает энергией \(\hbar\omega_L\) и импульсом \(-\hbar q\) (см. рис). Атом может поглотить фотон и после этого излучить другой фотон за счёт спонтанного излучения. Вероятность спонтанного излучения в направлении \(+x\) и \(−x\) одна и та же. Атомы движутся с нерелятивистскими скоростями \(v\ll c\) (где \(c\) — скорость света). Также имейте в виду, что \(\hbar q/mv\ll1\), то есть импульс атома значительно больше импульса одиночного фотона. При написании ответов приводите лишь результаты, линейные по отношению к указанным величинам (т. е. сохраняйте в ответах лишь величины первого порядка малости).

Пусть частота лазера \(\omega_L\) такова, что для движущегося атома она находится в резонансе с частотой внутреннего перехода. Ответьте на следующие вопросы.

Схематическое изображение столкновения атома и фотона. Атом имеет массу \(m\) и движется со скоростью \(v\) в направлении оси \(+x\). Фотон обладает энергией \(\hbar \omega_L\) и импульсом \(-\hbar q\). Атом имеет два энергетических состояния. Разность энергий составляет \(\hbar\omega_0\).

Часть А. Поглощение

A1. Запишите условие резонансного поглощения фотона.

A2. Запишите выражение для импульса атома \(p_{at}\) после поглощения фотона в лабораторной системе отсчёта

A3. Запишите выражение для полной энергии атома \(\varepsilon_{at}\) после поглощения фотона в лабораторной системе отсчёта.

Часть B. Спонтанное излучение фотона в направлении \(-x\)

Через некоторое время после поглощения фотона атом может излучить другой фотон в направлении \(-x\).

B1. Запишите выражение для энергии фотона \(\varepsilon_{ph}\), излучённого в направлении \(-x\) в лабораторной системе отсчёта.

B2. Запишите выражение для импульса фотона \(p_{ph}\), излучённого в направлении \(-x\) в лабораторной системе отсчёта.

B3. Запишите выражение для импульса атома \(p_{at}\) после процесса излучения фотона в направлении \(-x\) в лабораторной системе отсчёта.

B4. Запишите выражение для полной энергии атома \(\varepsilon_{at}\) после процесса излучения фотона в направлении \(-x\) в лабораторной системе отсчёта.

Часть C. Спонтанное излучение фотона в направлении \(+x\)

Через некоторое время после поглощения фотона другой атом может излучить фотон в направлении \(+ x\).

C1. Запишите выражение для энергии фотона \(\varepsilon_{ph}\), излучённого в направлении \(+x\) в лабораторной системе отсчёта.

C2. Запишите выражение для импульса фотона \(p_{ph}\), излучённого в направлении \(+x\) в лабораторной системе отсчёта.

C3. Запишите выражение для импульса атома \(p_{at}\) после процесса излучения фотона в направлении \(+ x\) в лабораторной системе отсчета.

C4. Запишите выражение для полной энергии атома \(\varepsilon_{at}\) после процесса излучения фотона в направлении \(+ x\) в лабораторной системе отсчёта.

Часть D. Усреднённое излучение после поглощения

Имейте в виду, что спонтанное излучение фотона происходит с одинаковой вероятностью в направлениях \(- x\) или \(+ x\).

D1. Запишите выражение для средней энергии излучённого фотона \(\varepsilon_{ph}\).

D2. Запишите выражение для среднего значения импульса излучённого фотона \(p_{ph}\) .

D3. Запишите выражение для средней энергии атома \(\varepsilon_{at}\) после процесса излучения фотона.

D4. Запишите выражение для среднего значения импульса атома \(p_{at}\) после процесса излучения фотона.

Часть E. Передача энергии и импульса

Если принять, что процесс поглощения и излучения одного фотона происходит так, как он описан выше, в среднем существует передача энергии и импульса от лазерного излучения к атому.

E1. Запишите выражение для среднего изменения энергии атома \(\Delta \varepsilon\) в результате полного процесса поглощения и излучения фотона.

E2. Запишите выражение для среднего изменения импульса атома \(\Delta p\) в результате полного процесса поглощения и излучения фотона.

Часть F. Передача энергии и импульса лазерным пучком, распространяющимся в направлении \(+ x\)

Пусть лазерный луч с частотой \(\omega'_L\) распространяется в направлении \(+ x\), в то время как атом движется в направлении \(+ x\) со скоростью \(v\). Предполагая наличие резонансных условий между внутренним переходом атома и лазерным излучением, ответьте на следующие вопросы.

F1. Запишите выражение для среднего изменения энергии атома \(\Delta \varepsilon\) в результате полного процесса поглощения и излучения фотона.

F2. Запишите выражение для среднего изменения импульса атома \(\Delta p\) в результате полного процесса поглощения и излучения фотона.

Диссипация энергии и явление «оптической патоки»

Квантовые процессы в природе имеют внутренне присущую им неопределённость. Поэтому из за того, что время между поглощением и излучением фотона конечно, резонансное условие не должно выполняться точно, как мы предполагали до сих пор. То есть частоты лазерных пучков \(\omega_L\) и \(\omega'_L\) могут быть произвольными, но поглощение и излучение всё равно будут происходить, правда, с различными (квантовыми) вероятностями, и наибольшая вероятность будет соответствовать точному резонансу. Среднее время между поглощением и излучением одного фотона называется временем жизни возбуждённого уровня и обозначается \(Г^{-1}\).

Рассмотрим коллектив из \(N\) атомов, покоящихся в лабораторной системе отсчета, и луч лазера с частотой \(\omega_L\), который с ними взаимодействует. Атомы поглощают и излучают непрерывно, так что в среднем имеется \(N_{exc}\) атомов в возбуждённом состоянии (и \(N-N_{exc}\) в основном). Квантово-механическое рассмотрение приводит к следующему результату:

\[N_{exc}= N\frac{\Omega^2_R}{(\omega_0-\omega_L)^2+\frac{Г^2}{4}+2\Omega^2_R}\]

где \(\omega_0\) — резонансная частота атомного перехода, а \(\Omega_R\) — так называемая частота Раби; \(\Omega^2_R\) пропорциональна интенсивности лазерного пучка. Как уже было сказано, эта величина отлична от нуля, даже если резонансная частота \(\omega_0\) отличается от частоты лазерного пучка \(\omega_L\). Другой способ выражения того же результата состоит в том, что количество процессов поглощения-излучения в единицу времени равно \(N_{exc}Г\).

Рассмотрим физическую ситуацию (см. рис), где два распространяющихся в противоположных направлениях лазерных пучка имеют одинаковую, но произвольную частоту \(\omega_L\), и взаимодействуют с газом из \(N\) атомов, которые движутся в направлении \(+x\) со скоростью \(v\).

Два встречных лазерных луча с одинаковой, но произвольной частотой \(\omega_L\) падают на газ из \(N\) атомов, движущихся в направлении \(+x\) со скоростью \(v\).

Часть G. Сила, действующая на атомный пучок со стороны лазеров

G1. Используя предыдущую информацию, найдите силу, с которой лазерные пучки действуют на атомы. Считайте, что \(mv\gg\hbar q\).

Часть H. Предел малой скорости

Предполагая, что скорость атомов достаточно мала, можно получить выражение для силы в первом порядке малости по \(v\).

H1. Найдите выражение для силы, полученной в вопросе G1 для этого приближения.

Используя этот результат, вы можете получить условия для ускорения или замедления атомов излучением, или для отсутствия эффекта.

H2. Запишите условие для получения положительной силы (ускорение атомов).

H3. Запишите условие получения нулевой силы.

H4. Запишите условие получения отрицательной силы (замедление атомов).

H5. Теперь предположим, что атомы движутся со скоростью \(-v\) (в направлении \(-x\)). Запишите условие получения отрицательной силы (замедления атомов).

Часть I. «Оптическая патока»

В случае отрицательной силы возникает диссипация (трение). Предположим, что первоначально при \(t=0\) газ из атомов имеет скорость \(v_0\).

I1. В пределе малых скоростей найдите скорость атомов через время \(\tau\) после включения лазера.

I2. Теперь предположите, что газ из атомов находится в тепловом равновесии при температуре \(T_0\). Найдите температуру \(T\) после того, как пучки были выключены через время \(\tau\).

Примечание: Это приближение нельзя использовать для достижения произвольно низкой температуры.

Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 2009, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.