IPhO 2013, теоретический тур

Введение

Метеороид это небольшая часть (обычно меньше 1 метра в поперечнике) от кометы или астероида. Метеороид, который столкнулся с поверхностью Земли, называется метеоритом.

Ночью 17 января 2009 года многие люди, находящиеся вблизи Балтийского моря, наблюдали яркий след и огненный шар метеороида, падающего в атмосфере Земли. Камера наблюдения в Швеции зафиксировала на видео это событие, рис.1.1(а). С помощью этих снимков и свидетельств очевидцев стало возможным сузить возможную область падения, и шесть недель позже метеорит массой 0,025 кг был найден в окрестности города Марибо в южной Дании. Измерения метеорита, получившего название Марибо, и орбиты его полета в небе зафиксировали интересные результаты. Его скорость при входе в атмосферу была необычайно высокой. Его возраст, \(4.567\times10^9~лет\), показал, что он сформировался вскоре после рождения Солнечной системы. Метеорит Марибо, возможно, является частью кометы Энке.

Скорость Марибо

Огненный шар двигался в западном направлении, направляясь под углом \(285^{\circ}\) относительно севера в точку, где он был впоследствии обнаружен, как показано на рис. 1.1. Метеорит был найден на расстоянии 195 км от камеры наблюдения в направлении \(230^{\circ}\)относительно севера.

1.1. Используя эти данные и данные на рис.1.1 вычислите скорость Марибо.

Кривизной поверхности Земли можно пренебречь.

Проходя сквозь атмосферу и плавясь?

Сопротивление воздуха в верхних слоях атмосферы, действующее на метеороид, зависит сложным образом от формы и скорости метеороида, а также от температуры и плотности атмосферы. В качестве разумного приближения для силы сопротивления \(F\) в верхних слоях атмосферы можно использовать формулу \(F = k\rho_{atm}Av^2\), где \(k\) — некоторая константа, \(\rho_{atm}\) — плотность атмосферы, \(A\) — площадь поперечного сечения метеорита и \(v\) — его скорость.

Используйте следующие допущения, чтобы упростить анализ процессов, происходящих с метеороидом: объект, вошедший в атмосферу, считайте шаром массой \(m_M = 30~кг\), радиусом \(R_M=0.13~м\) температурой \(T_0 = 200~K\), движущийся со скоростью \(v_M = 2.91\times 10^4~м/с\). Плотность атмосферы считайте постоянной (равной значению на высоте 40 км над поверхностью Земли) \(\rho _{atm} = 4.1\times 10^{-3}~кг/м^3\), коэффициент сопротивления \(k = 0.60\).

1.2a. Оцените какое время требуется, чтобы скорость метеорита уменьшилась на \(10\%\): с \(v_M\) до \(0.90 v_M\).

1.2b. Вычислите во сколько раз кинетическая энергия метеорита, вошедшего в земную атмосферу \(E_{kin}\) больше энергии \(E_{melt}\), требуемой для полного расплавления метеорита.

a)

c)

Рисунок 1.1 (a) Серия снимков, сделанных камерой наблюдения в Швеции, показывает полет метеорита Марибо (огненный шар) в атмосфере. (b) Данные с двух кадров, показывающие время, направление (азимут) в градусах и высоту над горизонтом в градусах.

(c) Эскиз, показывающий траекторию Марибо (малиновая стрела) относительно севера (N) и место падения (M) в Дании видимых камерой (C) в Швеции.

Нагревание Марибо во время падения в атмосфере

Когда каменный метеороид Марибо вошел в атмосферу на сверхзвуковой скорости он выглядел, как огненный шар, благодаря светящемуся вокруг него воздуху. Тем не менее, только внешний слой Марибо был разогрет. Предположим, что Марибо представляет собой однородный шар плотностью \(\rho_{sm}\), удельной теплоемкостью \(c_{sm}\), и теплопроводностью \(k_{sm}\) (значения приводятся в таблице данных). Кроме того, при входе в атмосферу его температура была \(T_0 = 200~К\), а при падении сквозь атмосферу температура его поверхности была постоянной и равной \(T_s = 1000~К\) из-за сопротивления воздуха, что привело к постепенному нагреванию метеорита внутри.

1.3a. Определите методом размерностей значения степеней \(\alpha, \beta, \gamma\) и \(\delta\).

1.3b. Вычислите толщину \(x\) после \(t = 5~с\) падения и определите отношение \(x/R_M\).

Возраст Марибо

Химические свойства радиоактивных изотопов и продуктов их распада различаются. Поэтому в течение затвердевания минералов в данном метеорите одна часть минералов будет иметь высокое содержание определенного радиоактивного изотопа и низкое — продуктов его распада, другая — наоборот. Этот эффект может быть использован для определения возраста метеорита путем радиометрических измерений его минералов.

В качестве конкретного примера рассмотрим изотоп \(^{87}Rb\) (элемент № 37), который после распада превращается в стабильный изотоп \(^{87}Sr\) (элемент № 38) с периодом полураспада \(T_{1/2} = 4.9\times 10^{10}\) лет. В момент затвердевания отношение числа изотопов \(^{87}Rb/^{86}Sr\) было одинаковым для всех минералов, в то время как отношение \(^{87}Rb/^{86}Sr\) было различным. Со временем, количество изотопов \(^{87}Rb\) сокращается из-за распада, а количество изотопов \(^{87}Sr\) соответственно растет. В итоге, отношение изотопов \(^{87}Sr/^{86}Sr\) сейчас будет другим. На Рис.1.2(a), точки по оси абсцисс относятся к числу \(^{87}Rb/^{86}Sr\) в различных минералах в момент их затвердевания.

(a) Отношение \(^{87}Sr/^{86}Sr\) в различных минералах в начальный момент кристаллизации (светлые кружки) и в настоящее время (темные кружки).

(b) Изохрона для трех образцов минералов, взятых из метеорита в настоящее время.

1.4a. Запишите схему превращения \(_{37}^{87}Rb\) в \(_{38}^{87}Sr\) при распаде.

1.4b. Покажите, что отношение \(^{87}Sr/^{86}Sr\) в настоящее время, построенное в зависимости от отношения \(^{87}Rb/^{86}Sr\) в настоящее время для различных образцов одного и того же метеорита, лежит на прямой линии (так называемой изохроне) с углом наклона \(a(t) = (e^{\lambda t} - 1)\). Здесь \(t\) — это время, исчисляемое с момента создания минералов, а \(\lambda\) — постоянная распада, обратно пропорциональная периоду полураспада \(T_{1/2}\).

1.4c. Определите возраст метеорита \(\tau_M\), используя изохрону на рис.1.2(b).

Комета Энке, от которой мог произойти Марибо

При движении по орбите вокруг Солнца минимальное и максимальное расстояние между кометой Энке и Солнцем равно \(a_{min} = 4.95 \times 10^{10}м\) и \(a_{max} = 6.16 \times 10^{11}м\), соответственно.

1.5. Рассчитайте период вращения кометы Энке \(t_{Encke}\) по орбите.

Последствия столкновения астероида с Землей

65 миллионов лет назад Земля столкнулась с огромным астероидом плотностью \(\rho_{ast} = 3.0 \times 10^3~кг~м^{-3}\), радиусом \(R_{ast} = 5~км\), и конечной скоростью \(v_{ast} = 2.5 \times 10^4~м/с\). Это столкновение привело к уничтожению почти всего живого на Земле и формированию чудовищного кратера Чикшулуб. Предположим, что такой же астероид сейчас столкнулся бы абсолютно неупруго с Землей. Считайте, что момент инерции Земли равен 0.83 момента инерции однородного шара такой же массы и радиуса.

1.6a. Предположим, что астероид врезался в Северный Полюс. Найдите максимальное изменение угловой ориентации Земной оси после столкновения.

1.6b. Предположим, что астероид упал строго радиально в области экватора. Найдите максимальное изменение продолжительности одного суточного вращения Земли \(\Delta \tau_{vrt}\) после столкновения.

1.6c. Предположим, что астероид ударился в Землю в области экватора по касательной. Найдите максимальное изменение продолжительности одного суточного вращения Земли \(\Delta \tau_{tan}\) после столкновения.

Максимальная скорость соударения

Рассмотрим небесное тело, которое удерживается силами гравитации в Солнечной системе. Тело сталкивается с поверхностью Земли со скоростью \(v_{imp}\). Силами сопротивления воздуха в атмосфере пренебречь.

1.7. Рассчитайте \(v_{imp}^{max}\) — наибольшее возможное значение скорости \(v_{imp}\).

При решении задачи вам могут потребоваться следующие постоянные

• Скорость света в вакууме  \(c = 2.998 \times 10^8 ~\text{м} \cdot \text{с}^{-1}\)

• Элементарный заряд \(e = 1.602\times 10^{-19}~\text{Кл}\)

• Электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} ~\text{Кл}^2 \cdot \text{Дж}^{-1} \cdot \text{м}^{-1}\)

• Масса электрона \(m_e = 9.109 \times 10^{-31}~\text{кг}\)

• Молярная масса серебра \(M_{Ag} = 1.079 \times 10^{-1}~\text{кг} \cdot \text{моль}^{-1}\)

• Плотность серебра \(\rho_{Ag} = 1.049 \times 10^4~\text{кг} \cdot \text{м}^{-3}\)

• Удельная теплоемкость серебра \(c_{Ag} = 2.40 \times 10^2~\text{Дж} \cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{К}^{-1}\)

• Молярная масса воды \(M_{wa} = 1.801 \times10^{-2}~\text{кг} \cdot \text{моль}^{-1}\)

• Плотность воды \(\rho_{wa} = 0.998 \times 10^3~\text{кг} \cdot \text{м}^{-3}\)

• Удельная теплоемкость воды \(c_{wa} = 4.181 \times 10^3~\text{Дж} \cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{К}^{-1}\)

• Удельная теплота испарения воды \(L_{wa} = 2.260 \times 10^6 ~\text{Дж} \cdot \text{кг}^{-1}\)

• Удельная теплоемкость пара \(c_{st} = 2.080 \times 10^3~\text{Дж} \cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{К}^{-1}\)

Введение

В этой задаче мы исследуем эффективный процесс получения водяного пара, который был реализован в эксперименте. В водном растворе содержатся шарообразные наноразмерные частицы серебра (наночастицы) , концентрация которых порядка \(10^{13}\) частиц на литр. Раствор освещается сфокусированным пучком света. Часть света поглощается наночастицами, которые при этом нагреваются и превращают в воду в пар вблизи своей поверхности, не нагревая при этом остальной объем жидкости. Пар выходит из раствора пузырьками. В настоящее время не все детали этого процесса полностью понятны, но точно известно, что в основе процесса лежит поглощение света с последующим возбуждением так называемых коллективных колебаний электронов в металлических наночастицах. Это устройство получило название плазмонного парогенератора.

Одиночная сферическая частица серебра

Во всех пунктах задачи мы рассматриваем шарообразную наночастицу серебра радиусом \(R = 10.0~\text{нм}\) с центром, зафиксированным в начале координат, см. рис 1(a). Все движения, силы или движущие поля параллельны горизонтальной оси \(x\) (с единичным вектором \(\textbf{e}_x\)). Наночастица содержит свободные электроны (электроны проводимости), которые могут перемещаться во всем объеме наночастицы, не будучи привязаны ни к одному из атомов серебра. От каждого изначально нейтрального атома серебра высвободилось по одному электрону проводимости, в результате чего все атомы стали положительными ионами.

2.1. Определите объем \(V\) и массу \(M\) наночастицы, число \(N\) и плотность зарядов \(\rho\) ионов серебра в частице, а для свободных электронов – их концентрацию \(n\), суммарный заряд \(Q\) и суммарную массу \(m_0\).

Электрическое поле в нейтральной полости внутри заряженного шара

В дальнейшем будем считать, что относительная диэлектрическая проницаемость \(\varepsilon\) всех материалов равна 1. Внутри заряженного шара радиусом \(R\) с постоянной плотностью зарядов \(\rho\) создана небольшая сферически нейтральная область радиусом \(R_1\), путем добавления зарядов с противоположной плотностью \(- \rho\). Центр полости смещен на \(\textbf{x}_d = x_d \textbf{e}_x\) относительно центра шара, рис 1(b).

2.2. Покажите, что электрическое поле внутри нейтральной области однородно и имеет вид \(\textbf{E} = A(\rho/\varepsilon_0) \textbf{x}_p\). Определите константу \(A\).

Возвращающая сила, действующая на смещенное электронное облако

Изучим коллективное движение свободных электронов. Промоделируем их однородно заряженным шаром с отрицательной плотностью заряда \(- \rho\) с центром \(\textbf{x}_p\). Шар может двигаться вдоль оси \(x\) относительно центра неподвижного положительно заряженного шара из ионов серебра, находящегося в начале системы координат, рис 1(c). Предположим, что внешняя сила \(\textbf{F}_\text{ext}\) смещает электронное облако в новое положение равновесия \(\textbf{x}_p = x_p \textbf{e}_x\), где \(|x_p| \ll R\). Практически весь объем является электрически нейтральным, за исключением малых областей зарядов, скапливающихся на противоположных концах наночастицы. Это соответствует предельному случаю \(R_1 \to R\) в предыдущем задании.

2.3. Выразите через \(\textbf{x}_p\) и \(n\) следующие две величины: возвращающую силу \(\textbf{F}\), действующую на электронное облако, и работу \(W_{el}\), совершенную над электронным облаком в процессе смещения.

Шарообразная частица серебра в постоянном внешнем электрическом поле

Наночастица находится в вакууме. Под действием внешней силы \(\textbf{F}_{\text{ext}}\) (вызванной однородным электрическим полем \(\textbf{E}_0 = - E_0 \textbf{e}_x\)) электронное облако смещается на небольшое расстояние \(|x_p|\), где \(|x_p| \ll R\).

2.4. Выразите смещение электронного облака \(x_p\) через \(E_0\) и \(n\). Определите величину заряда электронов \(- \Delta Q\), прошедшего через плоскость \(xy\), проходящую через центр наночастицы. Выразите ее через \(n\), \(R\) и \(x_p\).

Эквивалентные емкость и индуктивность серебряной наночастицы

В случае как постоянного, так и переменного электрического поля \(\textbf{E}_0\) наночастица может быть представлена эквивалентным электрическим контуром. Определим его эквивалентную емкость. Для этого свяжем работу \(W_{el}\) по разделению зарядов \(\Delta Q\) с энергией конденсатора, несущего заряды \(\pm \Delta Q\). Разделение зарядов приводит к появлению напряжения \(V_0\) на эквивалентном конденсаторе.

2.5a. Выразите эквивалентную емкость наночастицы \(C\) через \(\varepsilon_0\) и \(R\) и найдите ее численное значение.

2.5b. Для данной емкости выразите через \(E_0\) и \(R\) эквивалентное напряжение \(V_0\), которое следует подать на конденсатор, чтобы накопить заряд \(\Delta Q\).

В переменном поле \(\textbf{E}_0\) электронное облако движется как единое целое со скоростью \(\textbf{v} = v\textbf{e}_x\), рис. 1(d). Облако обладает кинетической энергией \(W_{kin}\) и при своем движении создает электрический ток \(I\), протекающий через плоскость \(yz\). Кинетическая энергия электронного облака может быть представлена в виде энергии эквивалентной катушки индуктивности \(L\) с током \(I\).

2.6a. Выразите \(W_{kin}\) и \(I\) через скорость \(v\).

2.6b. Выразите эквивалентную индуктивность \(L\) через радиус частицы \(R\), заряд электрона \(e\) и его массу \(m_e\), концентрацию свободных электронов \(n\) и найдите ее численное значение.

Плазмонный резонанс наночастицы серебра

Из вышеприведенного анализа следует, что движение электронного облака. представленного самому себе после смещения из положения равновесия, может быть описано свободными колебаниями в идеальном колебательном \(LC\) контуре. Такое колебательное движение свободного электронного облака известно как плазмонный резонанс с соответствующей плазмонной частотой \(\omega_p\).

2.7a. Выразите плазмонную частоту \(\omega_p\) колебаний электронного облака через заряд электрона \(e\) и его массу \(m_e\), плотность заряда электронов \(n\) и электрическую постоянную \(\varepsilon_0\).

2.7b. Вычислите \(\omega_p\) в рад/с и длину света в вакууме \(\lambda_p\) в нм, частота которой \(\omega = \omega_p\).

Наночастица серебра, освещенная светом плазмонной частоты

В оставшейся части задачи наночастица освещается монохроматическим светом с циклической частотой \(\omega_p\) и интенсивностью \(S = \frac{1}{2} c \varepsilon_0 E_0^2 = 1.00~\text{МВт} \cdot \text{м}^{-2}\). Поскольку длина волны света велика по сравнению с размерами частицы \(\lambda_p \gg R\), можно считать, что частица находится в однородном внешнем поле \(\textbf{E}_0 = - E_0 \cos( \omega_p t) \textbf{e}_x\). Под действием поля \(\textbf{E}_0\) электронное облако осциллирует с той же самой частотой и постоянной амплитудой \(x_0\). Центр электронного облака движется с переменной скоростью \(\textbf{v} = d\textbf{x}_p/dt\). Такие колебания электронного облака приводят к поглощению света частицей. Энергия, поглощенная частицей, либо превращается в теплоту за счет джоулевых потерь в самой частице, либо переизлучается частицей в виде рассеянного света.

Джоулево тепло выделяется за счет случайных, полностью неупругих столкновений свободных электронов с ионами серебра. Вся кинетическая энергия превращается в энергию колебаний ионов, то есть в тепло. Среднее время между двумя последовательными столкновениями для одного электрона \(\tau \gg 1/\omega_p\). Для наночастицы серебра оно равно \(\tau = 5.24 \cdot 10^{-15}~\text{с}\).

2.8a. Найдите выражение для усредненной по времени мощности джоулевых потерь \(P_{heat}\) в наночастице, а также усредненный по времени квадрат силы тока \(\langle I^2 \rangle\). Приведите их явную зависимость от среднего квадрата скорости \(\langle v^2 \rangle\) электронного облака.

2.8b. Моделируя наночастицу омическим сопротивлением, на котором выделяется джоулево тепло мощностью \(P_{heat}\) при протекании тока \(I\) электронного облака, найдите выражение для эффективного сопротивления \(R_{heat}\). Вычислите его численное значение.

Падающий пучок света теряет некоторую среднюю мощность \(P_{scat}\) за счет рассеяния на осциллирующем электронном облаке (переизлучение). \(P_{scat}\) зависит от характеристик источника рассеянных волн (амплитуды \(x_0\), заряда \(Q\), циклической частоты \(\omega_p\)) и свойств световых волн (скорости света \(c\) и электрической постоянной \(\varepsilon_0\)). Выражение для \(P_{scat}\) можно записать как \(P_{scat} = \frac{Q^2 x_0^2 \omega_p^4}{12\pi \varepsilon_0 c^3}\).

2.9. Используя \(P_{scat}\), найдите выражение для эквивалентного сопротивления рассеяния \(R_{scat}\) в эквивалентной модели с сопротивлением (по аналогии с \(R_{heat}\)) и вычислите его значение.

Для моделирования наночастицы серебра все вышеперечисленные элементы электрических цепей можно собрать в единый последовательный \(RLC\) контур. Гармонический источник напряжения в цепи \(V = V_0 \cos (\omega_p t)\) определяется электрическим полем \(E_0\) падающего света.

2.10a. Получите выражения для средних по времени мощностей потерь \(P_{heat}\) и \(P_{scat}\) через амплитуду электрического поля \(E_0\) падающего свет на частоте плазмонного резонанса \(\omega = \omega_p\).

2.10b. Вычислите значения \(E_0\), \(P_{heat}\), \(P_{scat}\).

Парообразование с помощью света

Водный раствор содержит наночастицы серебра с концентрацией \(n_{np} = 7.3 \times 10^{15}~\text{м}^{-3}\). Раствор находится внутри прозрачного прямоугольного сосуда размером \(h \times h \times a = 10 \times 10 \times 1.0~\text{см}^3\). Сосуд освещается нормально падающим по нормали пучком монохроматического света на частоте плазмонного резонанса с интенсивностью \(S = 1.0~\text{МВт} \cdot \text{м}^{-2}\), рис 1(e). Температура воды \(T_{wa} = 20^\circ C\). Предположим, что в установившемся состоянии все джоулево тепло в наночастице идет на парообразование (с конечной температурой пара \(T_{st} = 100^\circ C\)). Температура воды при этом остается постоянной.

Термодинамический к.п.д. плазмонного парогенератора определяется как \(\eta = P_{st}/P_{tot}\), где \(P_{st}\) – мощность, идущая на производство пара во всем сосуде, а \(P_{tot}\) – полная мощность светового потока, падающего на сосуд. Большую часть времени каждая наночастица окружена паром, а не водой. Поэтому можно считать, что она находится в вакууме.

2.11a. Вычислите полную массу пара \(\mu_{st}\), произведенного в плазмонном парогенераторе за одну секунду при облучении световым пучком с плазмонной частотой и интенсивностью \(S\), как дано выше.

2.11b. Вычислите значение к.п.д. \(\eta\) плазмонного генератора.

В задаче рассматривается физика ледяного щита Гренландии, второго по размерам ледяного массива в мире, см. рис. 1a. Для простоты будем считать Гренландию прямоугольным островом ширины \(2L\) и длины \(5L\), в котором земля находится на уровне моря и полностью покрыта несжимаемым льдом (с постоянной плотностью \(\rho_{\text{ice}}\)), см. рис. 1b. Профиль высоты \(H(x)\) ледяного покрова не зависит от координаты \(y\) и изменяется от \(0\) на побережье \(x = \pm L\) до максимальной высоты \(H_m\) вдоль срединной оси север-юг (оси \(y\)), известной как линия разделения льда, см. рис. 1c.

(a) (Вверху слева) Карта Гренландии, показывающая ледяной покров (белый цвет), свободную от

ледяного покрова прибрежную территорию (зеленый) и окружающий океан (голубой).

(b) (Вверху справа) Грубая модель ледяного щита Гренландии в виде прямоугольной области в плоскости \(xy\) размерами \(2L \times 5L\). Линия разделения льда, или линия максимальной высоты ледового покрова \(H_m\), совпадает с осью \(y\).

(c) (Снизу) Вертикальное сечение (в плоскости \(xz\)) ледяного щита, показывающее профиль высоты \(H(x)\) (синяя линия). \(H(x)\) не зависит от координаты \(y\) при \(0 < y < 5L\), а в точках \(y=0\) и \(y=5L\) резко падает до нуля. Ось \(z\) обозначает положение линии разделения льда. Для удобства все вертикальные размеры на схеме многократно увеличены по сравнению с горизонтальными. Плотность льда \(\rho_{\text{ice}}\) есть величина постоянная.

Две полезные формулы

В этой задаче вам может пригодиться интеграл

\[\int\limits_0^1 \sqrt{1-x} \, dx = \frac{2}{3}\]

и приближенная формула \((1+x)^{a} \approx 1 + a x\), справедливая при условии \(|a x| \ll 1\).

Часть A. Профиль высоты ледяного щита

На коротких промежутках времени ледяной щит можно рассматривать как несжимаемую гидростатическую систему с фиксированным профилем высоты \(H (x)\).

A1. Запишите выражение для давления внутри ледяного щита \(p(x,z)\) как функции высоты над уровнем моря \(z\) и расстояния \(x\) от линии разделения льда. Атмосферным давлением пренебречь.

Рассмотрим некоторую вертикальную пластину ледяного щита, находящуюся в положении равновесия. Пластина опирается на малую горизонтальную площадку \(\Delta x \Delta y\) между координатами \(x\) и \(x + \Delta x\) и обозначена красными штриховыми линиями на рис. 1c. Размер \(\Delta y\) не важен. Из-за разности высот двух сторон пластины, возникает горизонтальная компонента силы \(\Delta F\), действующая на вертикальные стороны. Она уравновешена силой трения \(\Delta F = S_b \Delta x \Delta y\) льда о землю на площадке \(\Delta x \Delta y\), где \(S_b = 100\) кПа.

A2. Для произвольного \(x\) покажите, что в пределе \(\Delta x \to 0\), \(S_b = k H \frac{d H}{d x}\), и найдите \(k\).

A3. Выразите высоту \(H(x)\) через \(\rho_{\text{ice}}\), \(g\), \(L\), \(S_b\) и расстояние \(x\) от линии разделения льда. Результат должен подтвердить, что наибольшая высота ледяного щита \(H_m\) зависит от его полуширины \(L\) как \(H_m \propto L^{1/2}\).

A4. Определите показатель степени \(\gamma\), который показывает, как полный объем ледяного покрова \(V_{\text{ice}}\) зависит от площади \(A\) прямоугольного острова, \(V_{\text{ice}} \propto A^{\gamma}\).

Часть B. Динамический ледяной щит

На более длительных промежутках времени лед является вязкой несжимаемой жидкостью, которая под действием гравитации течет из центральной части к береговым. В рамках этой модели профиль высоты \(H(x)\) сохраняется за счет того, что прирост льда из-за снегопадов в центральной части уравновешивается таянием льда в береговой части. Дополнительно к геометрии ледяного щита, изображенного на рис. 1b и 1c, сделаем следующие допущения:

• Лед течет в плоскости \(xz\) от линии разделения льда (оси \(y\)).

• Скорость нарастания льда за счет снегопадов \(c\) (м/год) в центральной части постоянна.

• Лед покидает ледник только за счет таяния вблизи берегов \(x = \pm L\).

• Горизонтальная (\(x\)-) компонента \(v_x(x) = dx/dt\) вектора скорости течения льда не зависит от координаты \(z\).

• Вертикальная (\(z\)-) компонента \(v_z(z) = dz/dt\) вектора скорости течения льда не зависит от координаты \(x\).

Рассмотрим только центральную область \(|x| \ll L\) вблизи середины ледяного щита, где изменения высоты ледяного массива очень малы и ими можно пренебречь, т.е. \(H(x) \approx H_m\).

B1. Используйте закон сохранения массы, чтобы найти выражение для горизонтальной компоненты скорости течения льда \(v_x (x)\) через \(c\), \(x\) и \(H_m\).

Из условия несжимаемости, т.е. постоянности плотности льда \(\rho_{\text{ice}}\), следует, что закон сохранения массы накладывает следующее ограничение на компоненты вектора скорости течения:

\[\frac{dv_x}{dx} + \frac{dv_z}{dz} = 0.\]

B2. Запишите выражение для зависимости вертикальной компоненты \(v_z (z)\) вектора скорости течения льда от координаты \(z\).

Небольшая частица льда, вначале находившаяся на поверхности льда в точке (\(x_i\), \(H_m\)), с течением времени будет двигаться вместе с потоком всего льда по некоторой траектории \(z(x)\) в вертикальной плоскости \(xz\).

B3. Получите выражение для этой траектории \(z(x)\).

Часть C. Возрастные и климатические индикаторы в динамическом ледяном щите

Используя компоненты вектора скорости течения льда \(v_x (x)\) и \(v_z (z)\), можно оценить возраст льда \(\tau(z)\) на некоторой глубине \(H_m - z\) от поверхности ледяного щита.

C1. Найдите выражение для возраста льда \(\tau(z)\) как функции высоты над уровнем поверхности земли \(z\) непосредственно на линии разделения льда \(x=0\).

Ледовый керн, высверленный из внутренней части гренландского ледяного щита, содержит слои снега, образовавшегося в различные времена в прошлом. Такой керн может быть использован для анализа климатических изменений. Одним из лучших индикаторов служит так называемый параметр \(\delta^{18} O\), определяемый как

\[\delta^{18} O = \frac{R_{\text{ice}} - R_{\text{ref}}}{R_{\text{ref}}} 1000 ‰,\]

где \(R = [{}^{18}O]/[{}^{16}O]\) обозначает относительное количество двух стабильных изотопов кислорода \({}^{18}O\) и \({}^{16}O\). Опорное значение \(R_{\text{ref}}\) определяется из соотношения количества изотопов в мировом океане вблизи экватора. Наблюдения за гренландским ледяным щитом показали, что \(\delta^{18}O\) снега приблизительно линейно зависит от температуры, рис. 2a. Предполагая, что такая зависимость существовала всегда, можно оценить температуру \(T\) вблизи Гренландии во времена \(\tau(z)\), вычисляя параметр \(\delta^{18}O\), определенный по ледяному керну для глубины \(H_m - z\).

(a) Наблюдаемое соотношение между \(\delta^{18}O\) в снегу и среднегодовой температурой \(T\) на поверхности. (b) Параметр \(\delta^{18}O\), измеренный в зависимости от глубины \(H_m - z\) от поверхности, полученный из анализа ледяного керна, высверленного от поверхности до гранитного основания в определенном месте на линии разделения льда в Гренландии, где \(H_m = 3060\) м.

Измерения \(\delta^{18}O\) в гренландском ледяном керне длиной 3060 м зафиксировали резкое изменение \(\delta^{18}O\) на глубине 1492 м, рис. 2b, отметившее конец последнего ледникового периода. Ледниковый период начался 120 000 лет назад, что соответствует глубине 3040 м, а современный межледниковый период начался 11 700 лет назад, что соответствует глубине 1492 м. Предположим, что эти два периода могут быть описаны двумя различными скоростями нарастания льда, \(c_{ia}\) (ice age, ледниковый период) и \(c_{ig}\) (interglacial age, межледниковый период), соответственно. Вы можете считать величину \(H_m\) постоянной в течение этих 120 000 лет.

C2. Определите скорости нарастания \(c_{ia}\) и \(c_{ig}\).

C3. Используйте данные на рис. 2, чтобы найти изменение температуры при переходе от ледникового периода к межледниковому.

Часть D. Подъем уровня моря вследствие таяния ледяного щита Гренландии

Если льды Гренландии полностью растают, это вызовет подъем уровня мирового океана. Для грубой оценки подъема уровня моря можно рассматривать однородный подъем всего мирового океана с постоянной площадью \(A_0 = 3.61 \cdot 10^{14}~м^2\).

D1. Вычислите средний подъем уровня мирового океана в результате полного таяния ледяного щита Гренландии площадью \(A_G = 1.71 \cdot 10^{12}~м^2\) и напряжением сдвига в основании щита \(S_b = 100\) кПа.

Массивный ледяной щит Гренландии оказывает гравитационное притяжение на окружающий океан. Если ледяной щит растает, то высокий местный прилив исчезнет, соответственно уровень моря вблизи Гренландии упадет, что частично скомпенсирует подъем уровня моря, вычисленный выше.

Для того, чтобы оценить величину гравитационного притяжения воды, представим ледяной щит Гренландии в виде точечной массы, расположенной на поверхности Земли и соответствующей полной массе ледяного щита Гренландии. Копенгаген находится на расстоянии 3500 км вдоль поверхности Земли от этой точечной массы. Представим также Землю (без точечной массы) как сферически симметричное тело, полностью покрытое мировым океаном. Полная площадь поверхности Земли \(A_E = 5.10 \cdot 10^{14}~м^2\). Всеми эффектами вращения Земли можно пренебречь.

D2. В рамках этой модели определите разность \(h_{\text{CPH}} - h_{\text{OPP}}\) уровней моря в Копенгагене (\(h_{\text{CPH}}\)) и в точке, диаметрально противоположной Гренладии (\(h_{\text{OPP}}\)).

Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 2013, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.