зад 1 Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса
Список констант, которые могут вам понадобиться:
| Универсальная газовая постоянная | \(R = 8.31~Дж\cdot К/моль\) |
| Число Авогадро | \(N_A = 6.02 \cdot 10^{23}~моль^{-1}\) |
В модели идеального газа, описываемого уравнением Менделеева-Клапейрона, не учитываются два важных физических эффекта. Во-первых, молекулы реального газа имеют конечный размер, во-вторых - они взаимодействуют друг с другом. Во всех частях задачи рассматривается один моль водяного пара.
Часть A. Уравнение состояния неидеального газа
С учетом конечного размера молекул уравнение состояния газа примет вид
\[P(V-b) = RT, \tag{1}\]где \(P\), \(V\), \(T\) – давление газа, его объем и температура, соответственно, \(R\) – универсальная газовая постоянная, а \(b\) – некоторая постоянная.
A1. Оцените параметр \(b\) и выразите его через характерный диаметр молекулы воды \(d\).
С учетом сил межмолекулярного притяжения Ван-дер-Ваальс предложил следующее уравнение, которое описывает жидкое и газообразное состояние вещества:
\[\left(P + \frac{a}{V^2}\right) \left( V - b \right) = RT, \tag{2}\]где \(a\) – ещё одна постоянная.
При температурах \(T\) ниже некоторой критической температуры \(T_c\) изотерма уравнения (2) представляет собой немонотонную кривую 1, изображенную на рис. 1, которая называется изотермой Ван-дер-Ваальса. На этом же рисунке построена кривая 2 – изотерма идеального газа при той же температуре. Реальная изотерма отличается от изотермы Ван-дер-Ваальса прямым участком \(АВ\) с постоянным давлением \(P_{LG}\), расположенным по оси объемов между \(V_L\) и \(V_G\), на котором реализуется равновесие жидкости (обозначенной индексом \(L\)) и газа (обозначенного индексом \(G\)). Использовав второе начало термодинамики, Дж. Максвелл показал, что давление \(P_{LG}\) должно быть выбрано таким образом, чтобы показанные на рисунке 1 площади \(I\) и \(II\) были одинаковы.
Изотерма Ван-дер-Ваальса для газа/жидкости (кривая 1) и изотерма идеального газа (кривая 2)
Ряд изотерм Ван-дер-Ваальса
С увеличением температуры длина прямолинейного участка \(AB\) изотермы уменьшается и при некоторой температуре \(T_c\) и давлении \(P_{LG} = P_c\) обращается в нуль. Параметры \(P_c\) и \(T_c\) называются критическими и могут быть измерены экспериментально с большой точностью.
A2. Выразите постоянные Ван-дер-Ваальса \(a\) и \(b\) через \(T_c\) и \(P_c\).
A3. Для воды \(T_c=647\) K и \(P_c=2.2\cdot10^7\) Па. Вычислите \(a_w\) и \(b_w\) для воды.
A4. Оцените диаметр молекулы воды \(d_w\).
Часть B. Свойства газа и жидкости
В данной части задачи рассматриваются свойства воды в газообразном и жидком состояниях, находящейся при \(t =100^\circ\)C. Давление насыщенного пара при этой температуре равно \(P_{LG}=p_0=1.0\cdot10^5\) Па. Молярная масса воды \(\mu=1.8\cdot10^{-2}\) кг/моль.
Газообразное состояние
Можно считать, что при описании свойств воды в газообразном состоянии выполняется условие \(V_G \gg b\).
B1. Получите формулу для объема пара \(V_G\) при заданных условиях и выразите его через \(R\), \(T\), \(p_0\) и \(a\).
Этот же объем \(V_{G0}\) можно приближенно рассчитать с помощью уравнения состояния идеального газа.
B2. Рассчитайте, на сколько процентов уменьшается объем газа вследствие межмолекулярных взаимодействий: \(\frac{\Delta V_G}{V_{G0}} = \frac{V_{G0} - V_G}{V_{G0}}\).
При уменьшении объема пара ниже значения \(V_G\) начинается его конденсация. Однако тщательно очищенный пар может оставаться в механически метастабильном состоянии (переохлажденный пар) до тех пор, пока его объем не достигнет некоторого значения \(V_{G\min}\).
Условие механической стабильности переохлажденного газа при постоянной температуре записывается как \(\frac{dP}{dV} < 0\).
B3. Найдите и рассчитайте, во сколько раз можно уменьшить объем пара, чтобы он оставался в газообразном состоянии. Другими словами, найдите \(V_G / V_{G\min}\).
Жидкое состояние
Можно считать, что при ван-дер-ваальсосвском описании свойств воды в жидком состоянии выполняется неравенство: \(P \ll a / V^2\).
B4. Выразите объем воды \(V_L\) в жидком состоянии через \(a\), \(b\), \(R\) и \(T\).
Полагая, что \(b R T \ll a\), рассчитайте следующие характеристики воды (не удивляйтесь, если некоторые данные не совпадут с известными вам табличными значениями).
B5. Выразите плотность воды \(\rho_L\) через \(\mu\), \(a\), \(b\), \(R\) и рассчитайте ее.
B6. Выразите объемный коэффициент теплового расширения \(\alpha = \frac{1}{V} \frac{\Delta V_L}{\Delta T}\) через \(a\), \(b\), \(R\) и рассчитайте его.
B7. Выразите удельную теплоту парообразования воды \(L\) через \(\mu\), \(a\), \(b\), \(R\) и рассчитайте ее.
B8. Рассмотрите мономолекулярный слой воды и оцените коэффициент \(\sigma\) её поверхностного натяжения.
Часть C. Система жидкость-пар
Из правила Максвелла (равенства площадей) и уравнения Ван-дер-Ваальса при использованных в части B приближениях следует, что зависимость давления насыщенного пара \(p_{LG}\) от температуры \(T\) имеет вид
\[\ln p_{LG} = A + \frac{B}{T}, \tag{3}\]
где \(A\), \(B\) – постоянные величины, которые могут быть выражены через \(a\), \(b\) следующим образом: \(A = \ln \left( \frac{a}{b^2} \right) - 1\), \(B = - \frac{a}{b R}\).
Уильям Томсон показал, что давление насыщенного водяного пара над поверхностью жидкости зависит от кривизны этой поверхности. Рассмотрим жидкость, которая не смачивает материал капилляра (угол смачивания равен \(180^\circ\)). При погружении капилляра в жидкость, она опускается на некоторую глубину вследствие поверхностного натяжения (см. рис. 3).
Капилляр, погруженный в не смачивающую его жидкость, в атмосфере насыщенного пара
C1. Найдите малое изменение давления \(\Delta p_T\) насыщенных паров над искривленной поверхностью жидкости и выразите его через плотность пара \(\rho_S\), плотность жидкости \(\rho_L\), коэффициент поверхностного натяжения \(\sigma\) и радиус кривизны поверхности \(r\).
Метастабильные состояния (рассмотренные в пункте В3) широко используются в реальных физических установках, таких, как камера Вильсона, пузырьковая камера для регистрации элементарных частиц, а также встречаются в природных явлениях, например, при образовании утренней росы. Переохлажденный пар стремится сконденсироваться, образуя капельки жидкости. Очень маленькие капли быстро испаряются, а достаточно большие могут расти.
C2. Предположим, что вечером при температуре \(t_e=20^\circ\)C пар был насыщенным, а утром температура окружающей среды упала на небольшую величину \(\Delta t=5.0^\circ\)C. Считая давление пара неизменным, оцените минимальный радиус капель, которые могут расти. Коэффициент поверхностного натяжения воды равен \(\sigma=7.3\cdot10^{-2}\) Н/м.
▶ОтветСкрыть
A1: \[b = N_A d^3\]; A2: \[b = \cfrac{RT_c}{8P_c}\]\[a = \cfrac{27R^2T_c^2}{64P_c}\]; A3: \[a = 0.55 \cfrac{\text{м}^6\cdot\text{Па}}{\text{моль}^2}\]\[b = 3.1 \cdot 10^{-5}\cfrac{\text{м}^3}{\text{моль}}\]; A4: \[d_w = 3.7 \cdot 10^{-10} \text{м}\]; B1: \[V_G = \cfrac{RT}{2P_0}\left(1 + \sqrt{1-\cfrac{4a P_0}{R^2 T^2}}\right)\]; B2: \[\cfrac{\Delta V_G}{V_{G0}} = 0.57\%\]; B3: \[\cfrac{V_G}{V_{G min}} = \cfrac{R^2T^2}{2aP_0} = 86\]; B4: \[V_L = \cfrac{a}{2RT}\left(1 - \sqrt{1-\cfrac{4RTb}{a}}\right)\]; B5: \[\rho_L = \cfrac{\mu}{b} = 580 \cfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\]; B6: \[\alpha = \cfrac{bR}{a} = 4.6 \cdot 10^{-4} \cfrac{1}{\text{К}}\]; B7: \[L = \cfrac{a}{\mu b} = 1.0 \cdot 10^6 \cfrac{\text{Дж}}{\text{кг}}\]; B8: \[\sigma = \cfrac{a d_w}{2b^2} = 0.12 \cfrac{\text{Н}}{\text{м}}\]; C1: \[\Delta p_T = \cfrac{2\sigma \rho_S}{\left(\rho_L - \rho_S\right)r} \approx \cfrac{2\sigma \rho_S}{\rho_L r}\]
▶РешениеСкрыть
A1. Мы рассматриваем 1 моль газа (то есть \(N_A\) молекул), характерный размер молекулы \(d^3\). \(b\) - суммарный объём молекул.
Ответ:
\[b = N_A d^3\]
A2. Рассмотрим уравнение относительно \(V\).
\[\left(PV^2 + a\right)(V-b) = RTV^2\]\[PV^3 - \left(Pb+RT\right) V^2 + aV - ab = 0\]Заметим, что это кубическое уравнение, а при критических значениях температуры и давления три решения этого уравнения должны совпасть.
\[P_cV^3 - \left(P_cb+RT_c\right) V^2 + aV - ab = P_c(V-V_c)^3\]\[\begin{cases} ab =P_c V_c^3\\ a = 3P_cV_c^2\\ P_cb+RT_c = 3P_cV_c \end{cases}\]Делением первых уравнений получаем:
\[V_c = 3b.\]\[RT_c = 8P_c b\]\[b = \cfrac{RT_c}{8P_c}, \qquad a=3P_c V_c^2=27P_c b^2 = \cfrac{27R^2T_c^2}{64P_c}\]
Ответ:
\[b = \cfrac{RT_c}{8P_c}\]\[a = \cfrac{27R^2T_c^2}{64P_c}\]
A3. Ответ:
\[a = 0.55 \cfrac{\text{м}^6\cdot\text{Па}}{\text{моль}^2}\]\[b = 3.1 \cdot 10^{-5}\cfrac{\text{м}^3}{\text{моль}}\]
A4. Воспользуемся результатом \(\mathrm{A1}\):
\[d_w = \sqrt[3]{\cfrac{b}{N_A}}\]
Ответ:
\[d_w = 3.7 \cdot 10^{-10} \text{м}\]
B1. Уравнение состояние с учётом малости \(b\):
\[\left(P_0 + \cfrac{a}{V^2}\right)V = RT.\]\[P_0V^2-RTV+a=0\]Решение уравнения:
\[V = \cfrac{RT}{2P_0}\left(1 \pm \sqrt{1-\cfrac{4a P_0}{R^2 T^2}}\right)\]Заметим, что пару соответсвует корень с плюсом.
Ответ:
\[V_G = \cfrac{RT}{2P_0}\left(1 + \sqrt{1-\cfrac{4a P_0}{R^2 T^2}}\right)\]
B2. по уравнению состояния для идеального газа:
\[V_{G0} = \cfrac{RT}{P_0}.\]\[\cfrac{\Delta V_G}{V_{G0}} = \cfrac{1}{2}\left(1 - \sqrt{1-\cfrac{4a P_0}{R^2 T^2}}\right) \approx \cfrac{aP_0}{R^2T^2} = 0.57\%\]
Ответ:
\[\cfrac{\Delta V_G}{V_{G0}} = 0.57\%\]
B3. Выразим давление и найдём производную по объёму при постоянной температуре.
\[P = \cfrac{RT}{V} - \cfrac{a}{V^2}\]\[\left(\cfrac{dP}{dV}\right)_T = -\cfrac{RT}{V^2} - \cfrac{2a}{V^3}\]Для минимального объёма эта производная будет равна 0.
\[V_{G min} = \cfrac{2a}{RT}\]
Ответ:
\[\cfrac{V_G}{V_{G min}} = \cfrac{R^2T^2}{2aP_0} = 86\]
B4. В рамках данных приближений уравнение состояния:
\[\cfrac{a}{V^2} (V-b) = RT.\]\[RTV^2-aV+ab = 0\]\[V = \cfrac{a}{2RT}\left(1 \pm \sqrt{1-\cfrac{4RTb}{a}}\right)\]Заметим, что жидкости соответсвует корень с минусом.
Ответ:
\[V_L = \cfrac{a}{2RT}\left(1 - \sqrt{1-\cfrac{4RTb}{a}}\right)\]
B5. Найдём значение \(V_L\) с учётом того, что выражение под корнем слабо отличается от единицы.
\[\sqrt{1 + x} \approx 1 + \cfrac{x}{2} - \cfrac{x^2}{8}\]\[V_L = \cfrac{a}{2RT}\left(1 - \sqrt{1-\cfrac{4RTb}{a}}\right) \approx b\left(1 + \cfrac{RTb}{a}\right) \approx b\]Найдём значение плотности:
\[\rho_L = \cfrac{\mu}{b} = 580 \cfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}.\]
Ответ:
\[\rho_L = \cfrac{\mu}{b} = 580 \cfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\]
B6. Воспользуемся полученным ранее разложением:
\[V_L = b\left(1 + \cfrac{RTb}{a}\right) \approx b.\]\[\cfrac{\Delta V_L}{\Delta T} = \cfrac{Rb^2}{a}\]
Ответ:
\[\alpha = \cfrac{bR}{a} = 4.6 \cdot 10^{-4} \cfrac{1}{\text{К}}\]
B7. Для испарения воды необходимо совершить работу против силы притяжения молекул. Найти её можно, зная давление создаваемое этими силами:
\[A = \int \limits_{V_L} ^ {V_G} \cfrac{a}{V^2}dV \approx \cfrac{a}{V_L} \approx \cfrac{a}{b}.\]Выразим \(A\), используя теплоту парообразования:
\[\mu L = \cfrac{a}{b}.\]
Ответ:
\[L = \cfrac{a}{\mu b} = 1.0 \cdot 10^6 \cfrac{\text{Дж}}{\text{кг}}\]
B8. Работа на создание плёнки площади \(S\):
\[A = 2\sigma S.\]Заметим, что в плёнке молекулы взаимодействуют заметно меньше, чем в объёме жидкости, поэтому работу по созданию плёнки можно оценить теплотой испарения такого же количества воды.
\[A = 2\sigma S \approx Lm = L \rho d_w S\]\[\sigma = \cfrac{L \rho d_w}{2} = \cfrac{a d_w}{2b^2}\]
Ответ:
\[\sigma = \cfrac{a d_w}{2b^2} = 0.12 \cfrac{\text{Н}}{\text{м}}\]
C1. Найдём \(h\), для этого выразим разность давлений на поверхности воды и прямо под искривлённой её частью, используя формулу Лапласа:
\[\Delta P = \rho_L gh = \rho _S gh + \cfrac{2\sigma}{r}.\]\[h = \cfrac{2\sigma}{\left(\rho_L - \rho_S\right)gr}\]В равновесии пар на границе с жидкостью насыщенный, поэтому искомая величина - разность давлений пара над плоской и искривлённой поверхностями.
\[\Delta p_T = \rho_S g h = \cfrac{2\sigma \rho_S}{\left(\rho_L - \rho_S\right)r} \approx \cfrac{2\sigma \rho_S}{\rho_L r}\]
Ответ:
\[\Delta p_T = \cfrac{2\sigma \rho_S}{\left(\rho_L - \rho_S\right)r} \approx \cfrac{2\sigma \rho_S}{\rho_L r}\]
C2. Обозначим \(p_e\) давление насыщенных паров. Утром давление насыщенных паров уменьшилось на \(\Delta p\).
\[-\cfrac{\Delta p}{p_e} \approx \ln\cfrac{p_e - \Delta p}{p_e} = B\left(\cfrac{1}{T_e - \Delta T} - \cfrac{1}{T_e}\right) \approx \cfrac{B \Delta T}{T_e^2} = - \cfrac{a\Delta T}{bRT_e^2}\]Капля растёт, если давление паров будет больше, чем для насыщенного у этой капли, то есть:
\[\Delta p - \Delta p_T = \cfrac{a p_e\Delta T}{bRT_e^2} - \cfrac{2\sigma \rho_S}{\rho_L r} \geqslant 0.\]Плотность пара:
\[\rho_S = \cfrac{\mu p_e}{RT_e}.\]Подставим в неравенство:
\[\cfrac{a\Delta t}{bT_e}-\cfrac{2\sigma\mu}{\rho_L r} = \cfrac{a\Delta t}{bT_e}-\cfrac{2\sigma b}{r} \geqslant 0.\]\[r \geqslant \cfrac{2\sigma b^2 T_e}{a\Delta t}\]
Ответ:
\[r_{min} = \cfrac{2\sigma b^2 T_e}{a\Delta t} = 15 \text{нм}\]
Перевод: pho.rs.
зад 2 Простейшая модель газового разряда
Часть А. Несамостоятельный газовый разряд
В этой части задачи будем изучать несамостоятельный газовый разряд, для поддержания которого необходимо постоянное присутствие внешнего ионизатора, т.е. устройства, которое в единице объема газа в единицу времени однородно по всему объему создает \(Z_{ext}\) пар однократно ионизированных атомов и электронов.
При включении внешнего ионизатора число пар электронов и ионов начинает расти. Неограниченному увеличению концентрации электронов и ионов в газе препятствует процесс их рекомбинации, при котором свободный электрон соединяется с ионом и образуется нейтральный атом. Число рекомбинаций в единице объема в единицу времени \(Z_{rec}\) дается формулой
\[Z_{rec}=rn_{e} n_{i},\]где \(r\) — постоянная, называемая коэффициентом рекомбинации, а \(n_{e}\) и \(n_{i}\) — концентрации электронов и ионов соответственно.
Пусть в момент \(t=0\) включается внешний ионизатор. Начальная концентрация электронов и ионов в газе равна нулю. Тогда зависимость концентрации электронов \(n_{e}(t)\) от времени \(t\) выражается формулой
\[n_{e} (t)=n_{0}+a \tanh bt,\]где \(n_{0}\), \(a\), \(b\) — некоторые постоянные, а \(\tanh x\) — гиперболический тангенс.
A1. Найдите \(n_{0}\), \(a\), \(b\) и выразите ответ через \(Z_{ext}\) и \(r\).
Предположим, что имеется два внешних ионизатора. Известно, что при включении одного из них в газе устанавливается концентрация электронов, равная \(n_{e1}=12 \cdot 10^{10}~см^{-3}\). При включении другого внешнего ионизатора в газе устанавливается концентрация электронов, равная \(n_{e2}=16 \cdot 10^{10}~см^{-3}\).
A2. Найдите установившуюся концентрацию электронов \(n_{e}\), если два ионизатора будут работать одновременно.
Внимание! В дальнейшем считайте, что внешний ионизатор действует в течение достаточно длительного промежутка времени, так что все процессы являются стационарными и не зависят от времени. Собственным электрическим полем носителей заряда полностью пренебрегайте.
Пусть газ находится в трубке между двумя параллельными проводящими пластинами площади \(S\), расположенными на расстоянии \(L \ll \sqrt{S}\) друг от друга. Приложим к пластинам напряжение \(U\), при этом между ними образуется электрическое поле. Считайте, что концентрация обоих носителей в трубке практически везде одинакова.
Пусть в электрическом поле электроны (обозначенные индексом \(e\)) и ионы (обозначенные индексом \(i\)) приобретают одинаковую скорость упорядоченного движения, равную
\[v=\beta E,\]где \(E\) — напряженность электрического поля, а \(\beta\) — так называемая подвижность.
A3. Выразите силу тока в трубке \(I\) через \(U\), \(\beta\), \(L\), \(S\), \(Z_{ext}\), \(r\), \(e\), где \(e\) — элементарный заряд.
A4. Найдите удельное сопротивление газа \(\rho_{gas}\) при малых значениях приложенного напряжения и выразите его через \(\beta\), \(L\), \(Z_{ext}\), \(r\), \(e\).
Часть B. Самостоятельный газовый разряд
Изучим процесс зажигания самостоятельного газового разряда, при котором ток в трубке становится самоподдерживающимся.
Внимание! В дальнейшем считайте, что внешний ионизатор продолжает действовать с тем же \(Z_{ext}\), электрическое поле всюду однородно, а рекомбинацией можно полностью пренебречь. Собственным электрическим полем носителей заряда полностью пренебрегайте.
Для самостоятельного газового разряда важны два процесса, не рассмотренных выше. Первый процесс — вторичная электронная эмиссия, а второй — образование электронной лавины. Вторичная электронная эмиссия возникает в тот момент, когда ионы ударяют по отрицательному электроду, называемому катодом, и выбивают из него электроны, которые затем движутся к положительному электроду, называемому анодом. Отношение числа выбитых в единицу времени электронов \(\dot{N}_{e}\) к числу ионов \(\dot{N}_{i }\), попадающих на катод в единицу времени, называется коэффициентом вторичной электронной эмиссии \(\gamma=\dot{N}_{e}/\dot{N}_{i}\).
Образование электронной лавины происходит следующим образом. Электрическое поле ускоряет свободные электроны, которые ионизируют атомы при столкновении с ними. В результате число свободных электронов растет при их движении к аноду. Этот процесс характеризуется коэффициентом Таунсенда \(\alpha\), который описывает увеличение числа электронов \(dN_{e}\) на единицу длины пути \(dl\), то есть
\[\frac{dN_{e}}{dl}=\alpha N_{e}.\]Полный ток \(I\) в любом сечении трубки с газом складывается из ионного \(I_{i} (x)\) и электронного токов \(I_{e} (x)\), которые в стационарном режиме зависят от координаты \(x\), показанной на рисунке.
Изменение электронного тока \(I_{e} (x)\) вдоль оси \(x\) описывается формулой
\[I_{e} (x)=C_{1} e^{A_{1} x}+A_{2},\]где \(A_{1}\), \(A_{2}\), \(C_{1}\) — некоторые постоянные.
B1. Найдите \(A_{1}\), \(A_{2}\) и выразите их через \(Z_{ext}\), \(\alpha\), \(e\), \(L\), \(S\).
Изменение ионного тока \(I_{i} (x)\) вдоль оси \(x\) описывается формулой
\[I_{i} (x)=C_{2}+B_{1} e^{B_{2} x},\]где \(B_{1}\), \(B_{2}\), \(C_{2}\) — некоторые постоянные.
B2. Найдите \(B_{1}\), \(B_{2}\) и выразите их через \(Z_{ext}\), \(\alpha\), \(e\), \(L\), \(S\), \(C_{1}\).
B3. Запишите условие для тока \(I_{i} (x)\) в точке \(x=L\).
B4. Запишите условие для токов \(I_{i}(x)\) и \(I_{e} (x)\) в точке \(x=0\).
B5. Найдите полный ток \(I\) и выразите его через \(Z_{ext}\), \(\alpha\), \(\gamma\), \(e\), \(L\), \(S\). Считайте, что полный ток остается конечной величиной.
Пусть коэффициент Таунсенда \(\alpha\) постоянен. При длине разрядного промежутка, большей некоторого критического значения \(L>L_{cr}\), внешний ионизатор может быть отключен, т.е. разряд становится самостоятельным.
B6. Найдите \(L_{cr}\) и выразите его через \(Z_{ext}\), \(\alpha\), \(\gamma\), \(e\), \(L\), \(S\).
▶ОтветСкрыть
A1: \[n_0=0\qquad(A1.3)\] \[a=\sqrt\frac{Z_\mathrm{ext}}r\qquad(A1.4)\] \[b=\sqrt{rZ_\mathrm{ext}}\qquad(A1.5)\]; A2: \[n_e=20.0\cdot10^{10}~\text{см}^{-3}\qquad(A2.4)\]; A3: \[I=\frac{e\beta^2U^2S}{rL^3}\left[\sqrt{1+\frac{4rZ_\mathrm{ext}L^4}{\beta^2U^2}}-1\right]\qquad(A3.10)\]; A4: \[\rho=\frac1{2e\beta}\sqrt\frac r{Z_\mathrm{ext}}\qquad(A4.4)\]; B1: \[A_1=\alpha\qquad(B1.6)\] \[A_2=-\frac{eZ_\mathrm{ext}S}\alpha\qquad(B1.7)\]; B2: \[B_1=-C_1\qquad(B2.6)\] \[B_2=\alpha\qquad(B2.7)\]; B3: \[I_i(L)=0\qquad(B3.1)\]; B4: \[I_e(0)=\gamma I_i(0)\qquad(B4.1)\]; B5: \[I=\frac{eZ_\mathrm{ext}S}\alpha\left[\frac1{e^{-\alpha L}(1+\gamma)-\gamma}-1\right]\qquad(B5.1)\]
▶РешениеСкрыть
A1. Получим уравнение, описывающее изменение концентрации электронов со временем. Оно определяется двумя процессами: генерацией пар ионов внешним ионизатором и рекомбинацией электронов с ионами. В процессе ионизации электроны и ионы образуются парами, а при рекомбинации – исчезают парами, поэтому их концентрации равны в любой момент времени:\[n(t)=n_e(t)=n_i(t).\qquad(A1.1)\]Тогда уравнение, описывающее изменение концентрации электронов и ионов со временем запишется в виде:\[\frac{\mathrm dn(t)}{\mathrm dt}=Z_\mathrm{ext}-rn^2(t).\qquad(A1.2)\]Нетрудно показать, что при \(t\to0\) функция \(\tanh bt\to0\), поэтому в силу начального условия \(n(0)=0\), находим:
Ответ:
\[n_0=0\qquad(A1.3)\]
Подставляя в (A1.2) выражение \(n_e(t)=a\tanh bt\) и разделяя переменные по независимым функциям (гиперболическим, или \(1\) и \(e^x\)), получаем:
Ответ:
\[a=\sqrt\frac{Z_\mathrm{ext}}r\qquad(A1.4)\]
Ответ:
\[b=\sqrt{rZ_\mathrm{ext}}\qquad(A1.5)\]
A2. Согласно уравнению (A1.4) установившаяся концентрация электронов при включенных внешних ионизаторах равна:\[n_{e1}=\sqrt\frac{Z_{\mathrm{ext}1}}r,\qquad(A2.1)\]\[n_{e2}=\sqrt\frac{Z_{\mathrm{ext}2}}r,\qquad(A2.2)\]\[n_e=\sqrt\frac{Z_{\mathrm{ext}1}+Z_{\mathrm{ext}2}}r.\qquad(A2.3)\]Откуда получаем аналог теоремы Пифагора:
Ответ:
\[n_e=20.0\cdot10^{10}~\text{см}^{-3}\qquad(A2.4)\]
A3. В стационарном режиме запишем уравнения баланса электронов и ионов виде:\[Z_\mathrm{ext}SL=rn_en_iSL+\frac1eI_e,\qquad(A3.1)\]\[Z_\mathrm{ext}SL=rn_en_iSL+\frac1eI_i.\qquad(A3.2)\]Из уравнений (A3.1) и (A3.2) следует, что ионный и электронный токи равны, то есть:\[I_e=I_i.\qquad(A3.3)\]В тоже время полный ток в сечении трубки равен сумме электронного и ионного токов:\[I=I_e+I_i.\qquad(A3.4)\]Таким образом, по определению плотности тока имеем:\[I_e=\frac{I}{2}=en_evS=e\beta n_eES,\qquad(A3.5)\]\[I_i=\frac{I}{2}=en_ivS=e\beta n_iES.\qquad(A3.6)\]Подставляя (A3.5) и (A3.6) в (A3.1) или (A3.2), получаем квадратное уравнение для тока:\[Z_\mathrm{ext}SL=rSL\left[\frac I{2e\beta ES}\right]^2+\frac I{2e}.\qquad(A3.7)\]Напряженность электрического поля в газе равна:\[E=\frac UL,\qquad(A3.8)\]и решение квадратного уравнения (A3.7) имеет вид:\[I=\frac{e\beta^2U^2S}{rL^3}\left[-1\pm\sqrt{1+\frac{4rZ_\mathrm{ext}L^4}{\beta^2U^2}}\right].\qquad(A3.9)\]Очевидно, что смысл имеет лишь положительный корень. Таким образом,
Ответ:
\[I=\frac{e\beta^2U^2S}{rL^3}\left[\sqrt{1+\frac{4rZ_\mathrm{ext}L^4}{\beta^2U^2}}-1\right]\qquad(A3.10)\]
A4. При малых значениях напряжения (A3.10) упрощается и дает следующее выражение:\[I=2Ue\beta\sqrt\frac{Z_\mathrm{ext}}r\frac SL,\qquad(A4.3)\]которое представляет собой закон Ома.
Используя известные соотношения:\[R=\frac UI\qquad(A4.1)\]\[\text{и }R=\rho\frac LS,\qquad(A4.2)\]получаем:
Ответ:
\[\rho=\frac1{2e\beta}\sqrt\frac r{Z_\mathrm{ext}}\qquad(A4.4)\]
B1. Рассмотрим некоторый слой газа, расположенный от \(x\) до \(x+\mathrm dx\). Изменение количества электронов внутри слоя за малый интервал времени \(\mathrm dt\) дается выражением:\[\mathrm dN_e^I=\frac{I_e(x+\mathrm dx)-I_e(x)}{e}\mathrm dt=\frac1e\frac{\mathrm dI_e(x)}{\mathrm dx}~\mathrm dx\mathrm dt.\qquad(B1.1)\]Это изменение происходит вследствие двух процессов: действия внешнего ионизатора и образования электронной лавины.
В результате действия внешнего ионизатора в объеме \(S\,\mathrm dx\) образуется количество электронов:\[\mathrm dN_e^\mathrm{ext}=Z_\mathrm{ext}S~\mathrm dx\mathrm dt,\qquad(B1.2)\]а благодаря электронной лавине:\[\mathrm dN_e^a=\alpha N_e~\mathrm dl=n_eS~\mathrm dx~v\mathrm dt=\alpha\frac{I_e(x)}e~\mathrm dx\mathrm dt.\qquad(B1.3)\]Условие баланса числа электронов в объеме записывается в виде:\[\mathrm dN^I_e=\mathrm dN_e^\mathrm{ext}+\mathrm dN_e^a,\qquad(B1.4)\]откуда получается дифференциальное уравнение для силы электронного тока:\[\frac{\mathrm dI_e(x)}{\mathrm dx}=eZ_\mathrm{ext}S+\alpha I_e(x).\qquad(B1.5)\]Подставляя , получаем:
Ответ:
\[A_1=\alpha\qquad(B1.6)\]
Ответ:
\[A_2=-\frac{eZ_\mathrm{ext}S}\alpha\qquad(B1.7)\]
B2. С учетом того, что ионы текут в направлении, противоположном движению электронов, для ионного тока тоже можно записать уравнение баланса числа частиц:\[\mathrm dN^I_i=\mathrm dN_i^\mathrm{ext}+\mathrm dN_i^a,\qquad(B2.1)\]где\[\mathrm dN_i^I=\frac{I_i(x)-I_i(x+\mathrm dx)}{e}\mathrm dt=-\frac1e\frac{\mathrm dI_i(x)}{\mathrm dx}~\mathrm dx\mathrm dt,\qquad(B2.2)\]\[\mathrm dN_i^\mathrm{ext}=Z_\mathrm{ext}S~\mathrm dx\mathrm dt,\qquad(B2.3)\]\[\mathrm dN_i^a=\alpha\frac{I_e(x)}e~\mathrm dx\mathrm dt.\qquad(B2.4)\]Отсюда получается дифференциальное уравнение для силы ионного тока\[-\frac{\mathrm dI_i(x)}{\mathrm dx}=eZ_\mathrm{ext}S+\alpha I_e(x).\qquad(B2.5)\]Подставляя найденную ранее величину электронного тока и \(I_i(x)=C_2+B_1e^{B_2x}\), находим:
Ответ:
\[B_1=-C_1\qquad(B2.6)\]
Ответ:
\[B_2=\alpha\qquad(B2.7)\]
B3. Так как ионы начинают движение из точки \(x=L\), то должно выполняться условие:
Ответ:
\[I_i(L)=0\qquad(B3.1)\]
B4. Из определения коэффициента вторичной электронной эмиссии следует, что:
Ответ:
\[I_e(0)=\gamma I_i(0)\qquad(B4.1)\]
B5. Используя полученные зависимости электронного и ионного токов от координаты \(x\), а также условия (B3.1) и (B4.1), окончательно находим:
Ответ:
\[I=\frac{eZ_\mathrm{ext}S}\alpha\left[\frac1{e^{-\alpha L}(1+\gamma)-\gamma}-1\right]\qquad(B5.1)\]
B6. При увеличении длины разрядного промежутка знаменатель в формуле (B5.1) уменьшается. В тот момент, когда он обратится в ноль, электрический ток в газе станет самоподдерживающимся и внешний ионизатор может быть отключен. Таким образом:
Ответ:
\[L_\mathrm{cr}=\frac1\alpha\ln\left[1+\frac1\gamma\right]\qquad(B6.1)\]
Перевод: pho.rs.
Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 2014, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.