IPhO 2015, теоретический тур

Фотоны, излучаемые с поверхности Солнца и нейтрино из его ядра несут нам информацию о температурах Солнца, а также могут подтвердить, что Солнце светит благодаря ядерным реакциям.

Во всех пунктах этой задачи примите массу Солнца \(M_\odot = 2.00 \cdot 10^{30}~кг\), его радиус \(R_\odot = 7.00 \cdot 10^8~м\), его мощность (энергия, излученная в единицу времени) \(L_\odot = 3.85 \cdot 10^{26}~Вт\), и расстояние от Земли до Солнца \(d_\odot = 1.50 \cdot 10^{11}~м\).

Примечание.\[\begin{gathered}\int x e^{a x} \,\mathrm d x=\left(\frac{x}{a}-\frac{1}{a^2}\right) e^{a x}+\operatorname{const}\\\int x^2 e^{a x} \,\mathrm d x=\left(\frac{x^2}{a}-\frac{2 x}{a^2}+\frac{2}{a^3}\right) e^{a x}+\operatorname{const}\\\int x^3 e^{a x} \,\mathrm d x=\left(\frac{x^3}{a}-\frac{3 x^2}{a^2}+\frac{6 x}{a^3}-\frac{6}{a^4}\right) e^{a x}+\operatorname{const}\end{gathered}\]

Часть А. Излучение Солнца (5 баллов)

A1. Полагая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, вычислите температуру \(T_S\) поверхности Солнца.

Спектр солнечного излучения можно с хорошей точностью приблизить распределением Вина. Соответственно, солнечная энергия, приходящая в единицу времени в единичном диапазоне частот на некоторую площадку на Земле, зависит от частоты так: \[u(\nu)=A \frac{R_{\odot}^2}{d_{\odot}^2} \frac{2 \pi h}{c^2} \nu^3 \exp \left(-h \nu / k_{\mathrm{B}} T_S\right)\] где \(\nu\) – это частота и \(A\) – площадь поверхности этой площадки, нормальной к направлению падающего излучения.

Рассмотрим солнечный элемент, который представляет собой тонкий диск из полупроводникового материала. Площадь диска – \(A\). Солнечный элемент расположен перпендикулярно направлению падения солнечных лучей.

A2. Используя приближение Вина, выразите полную мощность солнечного излучения \(P_\mathrm{in}\), падающего на поверхность солнечного элемента, через \(A\), \(R_\odot\), \(d_\odot\), \(T_S\) и фундаментальные константы \(c\), \(h\), \(k_B\).

A3. Как зависит от частоты число фотонов \(n_\gamma(\nu)\), падающих в единицу времени в единичном диапазоне частот на поверхность солнечного элемента? Выразите ответ через \(A\), \(R_\odot\), \(d_\odot\), \(T_S\), \(\nu\) и фундаментальные константы \(c\), \(h\), \(k_B\).

У полупроводника, из которого изготовлен солнечный элемент, ширина запрещенной зоны \(E_g\). Используйте следующую модель. Каждый фотон с энергией \(E\ge E_g\) позволяет электрону преодолеть запрещенную зону. Возбужденный электрон может преобразовать в полезную только энергию \(E_g\), остальная часть энергии рассеивается в виде тепла (не может быть преобразована в полезную).

A4. Считайте, что \(\chi_g = h\nu_g/k_BT_S\), где \(E_g = h\nu_g\). Выразите полезную мощность солнечного элемента \(P_\mathrm{out}\) через \(\chi_g\), \(A\), \(R_\odot\), \(d_\odot\), \(T_S\) и фундаментальные константы \(c\), \(h\), \(k_B\).

A5. Выразите КПД солнечного элемента \(\eta\) через \(\chi_g\).

A6. Нарисуйте качественный график зависимости \(\eta\) от \(\chi_g\). Явно укажите значения \(\eta\) при \(\chi_g = 0\) и \(\chi_g\to\infty\). Чему равен угловой коэффициент касательной к графику \(\eta(\chi_g)\) при \(\chi_g = 0\) и \(\chi_g\to\infty\)?

A7. Пусть \(\chi_0\) — это такое значение \(\chi_g\), при котором \(\eta\) максимален. Получите кубическое уравнение, для которого \(\chi_0\) будет решением. Оцените численное значение \(\chi_0\) с точностью \(\pm0.25\). Рассчитайте также \(\eta(\chi_0)\).

A8. Ширина запрещенной зоны чистого кремния \(E_g = 1.11~эВ\). Рассчитайте КПД кремниевого солнечного элемента \(\eta_\mathrm{Si}\), используя это значение.

В конце XIX века Кельвин и Гельмгольц для объяснения излучения Солнца предложили гипотезу. Они постулировали, что вначале Солнце было очень большим облаком материи массы \(M_\odot\) и пренебрежимо малой плотности. Затем Солнце постоянно сжималось. Таким образом, Солнце могло бы светить, постоянно теряя гравитационную потенциальную энергию из-за своего медленного сжатия.

A9. Предположим, что плотность вещества внутри Солнца всюду одинакова. Найдите полную гравитационную потенциальную энергию Солнца \(\Omega\), которой оно обладает в наши дни. Выразите ее через \(G\), \(M_\odot\) и \(R_\odot\).

A10. Считая, что мощность излучения Солнца оставалась постоянной на протяжении всего времени, оцените максимально возможное время \(\tau_\mathrm{KH}\) (в годах), на протяжении которого Солнце могло светить согласно гипотезе Кельвина и Гельмгольца.

Значение \(\tau_\mathrm{KH}\), рассчитанное выше, не согласуется с возрастом солнечной системы, который был оценен при изучении метеоритов. Это говорит о том, что источником энергии Солнца не может быть только гравитационная энергия.

Часть B. Нейтрино от Солнца (5 баллов)

В 1938 Ганс Бете предположил, что ядерная реакция синтеза гелия из водорода, происходящая в ядре Солнца, – это его источник энергии. Результирующее уравнение ядерной реакции:

\[4{}^1\mathrm{H} \rightarrow {}^4\mathrm{He}+2 \mathrm{e}^{+}+2 \nu_{\mathrm{e}}\]Электронные нейтрино \(\nu_e\), которые получаются в этой реакции, можно считать безмассовыми. Они вылетают из Солнца и их обнаружение на Земле подтверждает то, что внутри Солнца происходят ядерные реакции. Во всех пунктах этой задачи вы можете пренебречь энергией, уносимой нейтрино.

B1. Рассчитайте плотность потока нейтрино \(Ф_\nu\) (в \(м^{-2}с^{-1}\)), которые достигают Земли. Энергия, которая выделяется в реакции приведенной выше \(\Delta E = 4.0 \cdot 10^{-12}~Дж\). Считайте, что энергия, излучаемая Солнцем, полностью получается в реакции приведенной выше.

На пути из ядра Солнца к Земле часть электронных нейтрино \(\nu_e\) превращается в нейтрино других типов \(\nu_x\). Эффективность детектирования \(\nu_x\) составляет \(1/6\) эффективности детектирования \(\nu_e\). Если бы не происходило превращения нейтрино, мы бы в среднем детектировали \(N_1\) нейтрино в год. Однако, из-за этих превращений в среднем детектируется \(N_2\) нейтрино в год (\(\nu_e\) и \(\nu_x\) вместе).

B2. Какая доля \(f\) частиц \(\nu_e\) превращается в \(\nu_x\)? Выразите ответ через \(N_1\) и \(N_2\).

Чтобы детектировать нейтрино, построены огромные детекторы, наполненные водой. Хотя взаимодействия нейтрино с веществом крайне редки, иногда они выбивают электроны из молекул воды в детекторе. Эти высокоэнергетические электроны летят в воде с большими скоростями и при этом излучают свет. До тех пор, пока скорость электрона больше скорости света в воде (показатель преломления \(n\)), это излучение, называемое Черенковским излучением, испускается в виде конуса.

B3. Предположим, что при движении в воде электрон, выбитый нейтрино, теряет энергию с постоянной скоростью \(a\) в единицу времени. Найдите энергию, переданную электрону \(E_\mathrm{imparted}\) от нейтрино, считая, что после соударения такой электрон испускает Черенковское излучение на протяжении времени \(\Delta t\). Перед соударением электрон покоился. Выразите ответ через \(\Delta t\), \(n\), \(m_e\) и \(c\).

Синтез гелия He из водорода H внутри Солнца происходит в несколько этапов. На одном из промежуточных этапов образуется ядро бериллия \(^7\mathrm{Be}\) (масса покоя \(m_\mathrm{Be}\)). Оно может поглотить электрон и образовать ядро лития \(^7\mathrm{Li}\) (масса покоя \(m_\mathrm{Li} < m_\mathrm{Be}\)), испустив \(\nu_e\). Соответствующая реакция такая:\[^7\mathrm{Be} + e^-~\to~ ^7\mathrm{Li} + \nu_e\]Когда покоящееся ядро бериллия \(\mathrm{Be}\) \((m_\mathrm{Be} = 11.65\cdot 10^{-27}~кг)\) поглощает покоящийся электрон, испускаемое нейтрино уносит энергию \(E_\nu = 1.44\cdot 10^{-13}~Дж\). Однако, ядра бериллия находятся в постоянном тепловом движении при температуре \(T_c\) ядра Солнца и представляют собой движущиеся источники нейтрино. В результате, энергия испущенных нейтрино варьируется в среднем на \(\Delta E_\mathrm{rms}\) (среднеквадратичное отклонение).

B4. Принимая \(\Delta E_\mathrm{rms}=5.54\cdot 10^{-17}~Дж\), рассчитайте среднеквадратичную скорость теплового движения ядер бериллия \(V_\mathrm{Be}\) и затем оцените температуру \(T_c\) ядра Солнца.

Подсказка. \(\Delta E_\mathrm{rms}\) зависит от среднеквадратичного значения проекции скорости на направление, вдоль которого ведется наблюдение.

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Stefan's law: \(L_{\odot}=\left(4 \pi R_{\odot}^{2}\right)\left(\sigma T_{\mathrm{s}}^{4}\right)\)\[T_{\mathrm{s}}=\left(\frac{L_{\odot}}{4 \pi R_{\odot}^{2} \sigma}\right)^{1 / 4}=5.76 \cdot 10^{3} \mathrm{~K}\]The spectrum of solar radiation can be approximated well by the Wien distribution law. Accordingly, the solar energy incident on any surface on the Earth per unit time per unit frequency interval, \(u(\nu)\), is given by\[u(\nu)=A \frac{R_{\odot}^{2}}{d_{\odot}^{2}} \frac{2 \pi h}{c^{2}} \nu^{3} \exp \left(-h \nu / k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{s}}\right),\]where \(A\) is the area of the surface normal to the direction of the incident radiation.

Now, consider a solar cell which consists of a thin disc of semiconducting material of area, \(A\), placed perpendicular to the direction of the Sun's rays.

Ответ:

\[T_{\mathrm{s}}=\left(\frac{L_{\odot}}{4 \pi R_{\odot}^{2} \sigma}\right)^{1 / 4}=5.76 \cdot 10^{3} \mathrm{~K}\]

A2. \[P_{\mathrm{in}}=\int_{0}^{\infty} u(\nu) d \nu=\int_{0}^{\infty} A \frac{R_{\odot}^{2}}{d_{\odot}^{2}} \frac{2 \pi h}{c^{2}} \nu^{3} \exp \left(-h \nu / k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{s}}\right) d \nu\] Let \(x=\dfrac{h \nu}{k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{s}}}\). Then, \(\nu=\dfrac{k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{s}}}{h} x \quad d \nu=\dfrac{k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{s}}}{h} d x\). \[P_{\text {in }}=\frac{2 \pi h A R_{\odot}^{2}}{c^{2} d_{\odot}^{2}} \frac{\left(k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{s}}\right)^{4}}{h^{4}} \int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-x} d x=\frac{2 \pi k_{\mathrm{B}}^{4}}{c^{2} h^{3}} T_{\mathrm{s}}^{4} A \frac{R_{\odot}^{2}}{d_{\odot}^{2}} \cdot 6=\frac{12 \pi k_{\mathrm{B}}^{4}}{c^{2} h^{3}} T_{\mathrm{s}}^{4} A \frac{R_{\odot}^{2}}{d_{\odot}^{2}}\]

Ответ:

\[P_{\text {in }}=\frac{12 \pi k_{\mathrm{B}}^{4}}{c^{2} h^{3}} T_{\mathrm{s}}^{4} A \frac{R_{\odot}^{2}}{d_{\odot}^{2}}\]

A3. \[\begin{aligned} n_{\gamma}(\nu) & =\frac{u(\nu)}{h \nu} \\ & =A \frac{R_{\odot}^{2}}{d_{\odot}^{2}} \frac{2 \pi}{c^{2}} \nu^{2} \exp \left(-h \nu / k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{s}}\right) \end{aligned}\] The semiconducting material of the solar cell has a "band gap" of energy, \(E_{\mathrm{g}}\). We assume the following model. Every photon of energy \(E \geq E_{\mathrm{g}}\) excites an electron across the band gap. This electron contributes an energy, \(E_{\mathrm{g}}\), as the useful output energy, and any extra energy is dissipated as heat (not converted to useful energy).

Ответ:

\[n_{\gamma}(\nu) =A \frac{R_{\odot}^{2}}{d_{\odot}^{2}} \frac{2 \pi}{c^{2}} \nu^{2} \exp \left(-h \nu / k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{s}}\right)\]

A4. The useful power output is the useful energy quantum per photon, \(E_{\mathrm{g}} \equiv h \nu_{\mathrm{g}}\), multiplied by the number of photons with energy, \(E \geq E_{\mathrm{g}}\).\[\begin{aligned} P_{\mathrm{out}} & =h \nu_{\mathrm{g}} \int_{\nu_{\mathrm{g}}}^{\infty} n_{\gamma}(\nu) d \nu \\ & =h \nu_{\mathrm{g}} A \frac{R_{\odot}^{2}}{d_{\odot}^{2}} \frac{2 \pi}{c^{2}} \int_{\nu_{\mathrm{g}}}^{\infty} \nu^{2} \exp \left(-h \nu / k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{s}}\right) d \nu \\ & =k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{s}} x_{\mathrm{g}} A \frac{R_{\odot}^{2}}{d_{\odot}^{2}} \frac{2 \pi}{c^{2}}\left(\frac{k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{s}}}{h}\right)^{3} \int_{x_{\mathrm{g}}}^{\infty} x^{2} e^{-x} d x \\ & =\frac{2 \pi k_{\mathrm{B}}^{4}}{c^{2} h^{3}} T_{\mathrm{s}}^{4} A \frac{R_{\odot}^{2}}{d_{\odot}^{2}} x_{\mathrm{g}}\left(x_{\mathrm{g}}^{2}+2 x_{\mathrm{g}}+2\right) e^{-x_{\mathrm{g}}} \end{aligned}\]

Ответ:

\[P_{\mathrm{out}}=\frac{2 \pi k_{\mathrm{B}}^{4}}{c^{2} h^{3}} T_{\mathrm{s}}^{4} A \frac{R_{\odot}^{2}}{d_{\odot}^{2}} x_{\mathrm{g}}\left(x_{\mathrm{g}}^{2}+2 x_{\mathrm{g}}+2\right) e^{-x_{\mathrm{g}}}\]

A5. Efficiency \(\eta=\dfrac{P_{\text {out }}}{P_{\text {in }}}=\dfrac{x_{\mathrm{g}}}{6}\left(x_{\mathrm{g}}^{2}+2 x_{\mathrm{g}}+2\right) e^{-x_{\mathrm{g}}}\)

\[\eta=\dfrac{x_{\mathrm{g}}}{6}\left(x_{\mathrm{g}}^{2}+2 x_{\mathrm{g}}+2\right) e^{-x_{\mathrm{g}}}\]

A6. \[\eta=\frac{1}{6}\left(x_{\mathrm{g}}^{3}+2 x_{\mathrm{g}}^{2}+2 x_{\mathrm{g}}\right) e^{-x_{\mathrm{g}}}\]Put limiting values, \(\eta(0)=0 \quad \eta(\infty)=0\).\ Since the polynomial has all positive coefficients, it increases monotonically; the exponential function decreases monotonically. Therefore, \(\eta\) has only one maximum.\[\begin{aligned} & \frac{\mathrm{d} \eta}{\mathrm{~d} x_{\mathrm{g}}}=\frac{1}{6}\left(-x_{\mathrm{g}}^{3}+x_{\mathrm{g}}^{2}+2 x_{\mathrm{g}}+2\right) e^{-x_{\mathrm{g}}} \\ & \left.\frac{\mathrm{~d} \eta}{\mathrm{~d} x_{\mathrm{g}}}\right|_{x_{\mathrm{g}}=0}=\left.\frac{1}{3} \quad \frac{\mathrm{~d} \eta}{\mathrm{~d} x_{\mathrm{g}}}\right|_{x_{\mathrm{g}} \rightarrow \infty}=0 \end{aligned}\]

Ответ:

A7. The maximum will be for \(\dfrac{\mathrm{d} \eta}{\mathrm{d} x_{\mathrm{g}}}=\dfrac{1}{6}\left(-x_{\mathrm{g}}^{3}+x_{\mathrm{g}}^{2}+2 x_{\mathrm{g}}+2\right) e^{-x_{\mathrm{g}}}=0\) \[\Rightarrow p\left(x_{\mathrm{g}}\right) \equiv x_{\mathrm{g}}^{3}-x_{\mathrm{g}}^{2}-2 x_{\mathrm{g}}-2=0\]A Numerical Solution by the Bisection Method:

\(x_\mathrm{g}\)	\(p\)
0	-2
1	-4
2	-2
2.25	-0.171
2.5	2.375
3	10

\[2.25~{<}~x_{0}~{<}~2.5\]The approximate value of \(x_{\mathrm{g}}\) where \(\eta\) is maximum is \(x_{0}=2.27\). Alternative methods leading to the same result are acceptable.

Ответ:

\[\eta(2.27)=0.457\]

A8. \[\begin{gathered} x_{\mathrm{g}}=\dfrac{1.11 \cdot 1.60 \cdot 10^{-19}}{1.38 \cdot 10^{-23} \cdot 5763}=2.23 \\ \eta_{\mathrm{Si}}=\dfrac{x_{\mathrm{g}}}{6}\left(x_{\mathrm{g}}^{2}+2 x_{\mathrm{g}}+2\right) e^{-x_{\mathrm{g}}}=0.457 \end{gathered}\]

In the late nineteenth century, Kelvin and Helmholtz (KH) proposed a hypothesis to explain how the Sun shines. They postulated that starting as a very large cloud of matter of mass, \(M_{\odot}\), and negligible density, the Sun has been shrinking continuously. The shining of the Sun would then be due to the release of gravitational energy through this slow contraction.

Ответ:

\[\eta_{\mathrm{Si}}=0.457\]

A9. The total gravitational potential energy of the Sun: \[\Omega=-\int_{0}^{M_{\odot}} \frac{G m \mathrm{~d} m}{r}\] For constant density, \(\rho=\dfrac{3 M_{\odot}}{4 \pi R_{\odot}^{3}}, ~m=\frac{4}{3} \pi r^{3} \rho, ~\mathrm{~d} m=4 \pi r^{2} \rho \mathrm{~d} r\) \[\Omega=-\int_{0}^{R_{\odot}} G\left(\frac{4}{3} \pi r^{3} \rho\right)\left(4 \pi r^{2} \rho\right) \frac{\mathrm{d} r}{r}=-\frac{16 \pi^{2} G \rho^{2}}{3} \frac{R_{\odot}^{5}}{5}=-\frac{3}{5} \frac{G M_{\odot}^{2}}{R_{\odot}}\]

Ответ:

\[\Omega=-\frac{3}{5} \frac{G M_{\odot}^{2}}{R_{\odot}}\]

A10. \[\begin{gathered} \tau_{\mathrm{KH}}=\frac{-\Omega}{L_{\odot}} \\ \tau_{\mathrm{KH}}=\frac{3 G M_{\odot}^{2}}{5 R_{\odot} L_{\odot}}=1.88 \cdot 10^{7} ~\mathrm{years} \end{gathered}\] The \(\tau_{\mathrm{KH}}\) calculated above does not match the age of the solar system estimated from studies of meteorites. This shows that the energy source of the Sun cannot be purely gravitational.

Ответ:

\[\tau_{\mathrm{KH}}=1.88 \cdot 10^{7}~ \mathrm{years}\]

B1. \[4.0 \cdot 10^{-12} \mathrm{~J} \leftrightarrow 2 \nu\] \[\Phi_{\nu}=\frac{L_{\odot}}{4 \pi d_{\odot}^{2} \delta E} \cdot 2=\frac{3.85 \cdot 10^{26}}{4 \pi \cdot\left(1.50 \cdot 10^{11}\right)^{2} \cdot 4.0 \cdot 10^{-12}} \cdot2=6.8 \cdot 10^{14} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~s}^{-1}\] Travelling from the core of the Sun to the Earth, some of the electron neutrinos, \(\nu_{\mathrm{e}}\), are converted to other types of neutrinos, \(\nu_{\mathrm{x}}\). The efficiency of the detector for detecting \(\nu_{\mathrm{x}}\) is \(1 / 6\) th of its efficiency for detecting \(\nu_{\mathrm{e}}\). If there is no neutrino conversion, we expect to detect an average of \(N_{1}\) neutrinos in a year. However, due to the conversion, an average of \(N_{2}\) neutrinos ( \(\nu_{\mathrm{e}}\) and \(\nu_{\mathrm{x}}\) combined) are actually detected per year.

\[\Phi_{\nu}=6.8 \cdot 10^{14} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~s}^{-1}\]

B2. \[\begin{aligned} & N_{1}=\varepsilon N_{0} \\ & N_{e}=\varepsilon N_{0}(1-f) \\ & N_{x}=\varepsilon N_{0} f / 6 \\ & N_{2}=N_{e}+N_{x} \end{aligned}\] OR \[\begin{aligned} & (1-f) N_{1}+\frac{f}{6} N_{1}=N_{2} \\ & \Rightarrow f=\frac{6}{5}\left(1-\frac{N_{2}}{N_{1}}\right) \end{aligned}\] In order to detect neutrinos, large detectors filled with water are constructed. Although the interactions of neutrinos with matter are very rare, occasionally they knock out electrons from water molecules in the detector. These energetic electrons move through water at high speeds, emitting electromagnetic radiation in the process. As long as the speed of such an electron is greater than the speed of light in water (refractive index, \(n\) ), this radiation, called Cherenkov radiation, is emitted in the shape of a cone.

Ответ:

\[f=\frac{6}{5}\left(1-\frac{N_{2}}{N_{1}}\right)\]

B3. When the electron stops emitting Cherenkov radiation, its speed has reduced to \(v_{\text {stop }}=c / n\). Its total energy at this time is\[E_{\text {stop }}=\frac{m_{\mathrm{e}} c^{2}}{\sqrt{1-v_{\text {stop }}^{2} / c^{2}}}=\frac{n m_{\mathrm{e}} c^{2}}{\sqrt{n^{2}-1}}\]The energy of the electron when it was knocked out is\[E_{\mathrm{start}}=\alpha \Delta t+\frac{n m_{\mathrm{e}} c^{2}}{\sqrt{n^{2}-1}}\]Before interacting, the energy of the electron was equal to \(m_{\mathrm{e}} c^{2}\).

Thus, the energy imparted by the neutrino is\[E_{\text {imparted }}=E_{\text {start }}-m_{\mathrm{e}} c^{2}=\alpha \Delta t+\left(\frac{n}{\sqrt{n^{2}-1}}-1\right) m_{\mathrm{e}} c^{2}\]The fusion of H into He inside the Sun takes place in several steps. Nucleus of \({ }^{7} \mathrm{Be}\) (rest mass, \(m_{\mathrm{Be}}\) ) is produced in one of these intermediate steps. Subsequently, it can absorb an electron, producing a \({ }^{7} \mathrm{Li}\) nucleus (rest mass \(m_{\mathrm{Li}}<m_{\mathrm{Be}}\) ) and emitting a \(\nu_{\mathrm{e}}\). The corresponding nuclear reaction is:\[{ }^{7} \mathrm{Be}+\mathrm{e}^{-} \longrightarrow{ }^{7} \mathrm{Li}+\nu_{\mathrm{e}} .\]When a Be nucleus (\(m_{\mathrm{Be}}=11.65 \cdot 10^{-27} \mathrm{~kg}\)) is at rest and absorbs an electron also at rest, the emitted neutrino has energy \(E_{\nu}=1.44 \cdot10^{-13} \mathrm{~J}\). However, the Be nuclei are in random thermal motion due to the temperature \(T_{\mathrm{c}}\) at the core of the Sun, and act as moving neutrino sources. As a result, the energy of emitted neutrinos fluctuates with a root mean square value \(\Delta E_{\mathrm{rms}}\).

Ответ:

\[E_{\text {imparted }}=\alpha \Delta t+\left(\frac{n}{\sqrt{n^{2}-1}}-1\right) m_{\mathrm{e}} c^{2}\]

B4. Moving \({ }^{7}\mathrm{Be}\) nuclei give rise to Doppler effect for neutrinos. Since the fractional change in energy ( \(\Delta E_{\mathrm{rms}} / E_{\nu} \sim 10^{-4}\) ) is small, the Doppler shift may be considered in the nonrelativistic limit (a relativistic treatment gives almost same answer). Taking the line of sight along the \(z\)-direction, \[\begin{aligned} \frac{\Delta E_{\mathrm{rms}}}{E_{\nu}} & =\dfrac{v_{z, r m s}}{c} \\ & =3.85 \cdot 10^{-4} \\ & =\frac{1}{\sqrt{3}} \dfrac{V_{\mathrm{Be}}}{c} \end{aligned}\] \[\Rightarrow V_{\mathrm{Be}}=\sqrt{3} \cdot3.85 \cdot 10^{-4} \cdot 3.00 \cdot 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}=2.01 \cdot 10^{5} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}.\] The average temperature is obtained by equating the average kinetic energy to the thermal energy. \[\begin{aligned} & \frac{1}{2} m_{\mathrm{Be}} V_{\mathrm{Be}}^{2}=\frac{3}{2} k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{c}}  \end{aligned}\]

Ответ:

\[T_{\mathrm{c}}=1.13 \cdot 10^{7} \mathrm{~K}\]

Перевод: pho.rs.

Часть А. Принцип экстремума в механике (1.5 балла)

Рассмотрим гладкую горизонтальную плоскость \(xy\) (рис. 1). Она разделена на две области \(\mathrm{I}\) и \(\mathrm{II}\) линией \(AB\), которая удовлетворяет уравнению \(x=x_1\). Потенциальная энергия точечной частицы массы \(m\) равна нулю (\(V=0\)) в области \(\mathrm{I}\) и в области \(\mathrm{II}\). Частица начинает двигаться из начала координат \(O\) со скоростью \(v_1\) по прямой, направленной под углом \(\theta_1\) к оси \(x\). Она достигает точки \(P\) в области \(\mathrm{II}\), имея скорость \(v_2\), направленную под углом \(\theta_2\) к оси \(x\). Силой тяжести и релятивистскими эффектами можно пренебречь во всех пунктах этой задачи.

Рис. 1

A1. Получите выражение для \(v_2\) через \(m\), \(v_1\) и \(V_0\).

A2. Выразите \(v_2\) через \(v_1\), \(\theta_1\) и \(\theta_2\).

Определим величину, называемую действием \(A=m \displaystyle\int v(s)\,\mathrm ds\), где \(\mathrm ds\) – бесконечно малый элемент длины вдоль траектории частицы массы \(m\), движущейся со скоростью \(v(s)\). Интеграл берется вдоль траектории. Например, для частицы, движущейся с постоянной скоростью \(v\) по окружности радиуса \(R\), действие \(A\) за один оборот равно \(2\pi mRv\). Можно показать, что для частицы с постоянной энергией \(E\), из всех возможных траекторий между двумя фиксированными точками реализуется та, вдоль которой действие \(A\), определенное выше, имеет экстремум (минимум или максимум). Это утверждение известно как принцип наименьшего действия (ПНД).

A3. ПНД подразумевает, что траектория частицы, движущейся между двумя фиксированными точками в области постоянного потенциала, – это прямая. Пусть координаты двух фиксированных точек \(O\) и \(P\) (рис. 1) – это \((0,0)\) и \((x_0, y_0)\) соответственно; а \((x_1, \alpha)\) – это координаты точки на границе, где частица переходит из области \(\mathrm{I}\) в область \(\mathrm{II}\). Отметим, что величина \(x_1\) фиксирована, и действие \(A\) зависит только от координаты \(\alpha\). Получите выражение для действия \(A(\alpha)\). Используя ПНД, получите соотношение между \(v_1/v_2\) и упомянутыми координатами.

Часть В. Принцип экстремума в оптике (4 балла)

Луч света переходит из среды \(\mathrm{I}\) в среду \(\mathrm{II}\) с показателями преломления \(n_1\) и \(n_2\) соответственно. Эти две среды разделены линией, параллельной оси \(x\). Луч света распространяется под углом \(i_1\) к оси \(y\) в среде \(\mathrm{I}\) и под углом \(i_2\) в среде \(\mathrm{II}\). Чтобы получить траекторию луча, воспользуемся другим принципом экстремума (максимума или минимума) – принципом наименьшего времени Ферма.

Рис. 2

B1. Принцип утверждает, что между двумя фиксированными точками луч света движется по такому пути, что время движения имеет экстремум. Получите соотношение между \(\sin i_1\) и \(\sin i_2\), исходя из принципа Ферма.

На рис. 3 схематически показана траектория лазерного луча, падающего горизонтально на раствор сахара, в котором концентрация сахара уменьшается с высотой. Следовательно, показатель преломления раствора также уменьшается с высотой.

Рис. 3. Сосуд с раствором сахара

B2. Пусть показатель преломления \(n(y)\) зависит только от \(y\). Используя уравнение, полученное в пункте B1, получите выражение для углового коэффициента касательной к пути луча \(\mathrm dy/\mathrm dx\). Выразите его через показатель преломления \(n_0\) (при \(y=0\)) и \(n(y)\).

B3. На рис. 3 показано, что лазерный луч направлен горизонтально из начала координат \((0,0)\) в раствор сахара. Он входит в раствор на расстоянии \(y_0\) от дна сосуда. Считайте, что \(n(y)=n_0-ky\), где \(n_0\) и \(k\) – положительные константы. Получите выражение для траектории лазерного луча в таком сосуде, т.е. найдите, как \(x\) зависит от \(y\) и остальных параметров задачи.

Примечание.\[\int \sec \theta\,\mathrm d \theta=\ln (\sec \theta+\tan \theta)+\operatorname{const},\]где \(\sec \theta=1 / \cos \theta\) или \[\int \frac{\mathrm d x}{\sqrt{x^2-1}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)+ \mathrm {const}.\]

B4. Рассчитайте значение \(x_0\) точки, в которой луч падает на дно сосуда. Считайте, что \(y_0=10.0~см\), \(n_0=1.50\), \(k=0.050~см^{-1}\).

Часть С. Принцип экстремума и волновая природа материи (1.8 балла)

Теперь исследуем связь между ПНД и волновой природой движущейся частицы. Для этого предположим, что частица, движущаяся из точки \(O\) в точку \(P\) может выбирать все возможные траектории. Будем искать траекторию, соответствующую взаимоусиливающей интерференции волн де Бройля.

C1. Пусть частица переместилась на бесконечно малое расстояние \(\Delta s\) вдоль своей траектории. Свяжите изменение фазы \(\Delta \varphi\) ее волны де Бройля с изменением действия \(\Delta A\) и постоянной Планка.

Вспомните задачу из части A, где частица движется из точки \(O\) в точку \(P\) (рис. 4). Пусть между двумя областями, вдоль их границы \(AB\), установлена непрозрачная перегородка. В ней есть небольшая щель \(CD\) ширины \(d\), причем \(d\ll (x_0-x_1)\) и \(d\ll x_1\).

Рис. 4

C2. Рассмотрим две крайние траектории \(OCP\) и \(ODP\), причем \(OCP\) соответствует классической траектории, рассмотренной в части A. Найдите в первом приближении разность фаз \(\Delta \varphi _{CD}\) между двумя траекториями.

Часть D. Интерференция волн материи (2.7 балла)

Электронная пушка, находящаяся в точке \(O\), направляет коллимированный пучок электронов на узкую щель в точке \(F\) в непрозрачной перегородке \(A_1B_1\). Перегородка расположена на линии \(x=x_1\), так что \(OFP\) – это прямая. \(P\) – это точка на экране при \(x=x_1\) (рис. 5). Скорость в области \(\mathrm{I}\) равна \(v_1=2.0000 \cdot 10^7 м/с\), угол \(\theta = 10.0000^\circ\). Потенциал в области \(\mathrm{II}\) выбран так, что скорость \(v_2=1.9900\cdot 10^7 м/с\). Расстояние \(x_0-x_1\) равно \(250.00~мм\). Взаимодействием между электронами пренебречь.

Рис. 5

D1. Рассчитайте ускоряющий потенциал \(U_1\), считая, что электроны ускоряются в точке \(O\) из состояния покоя.

D2. В перегородке \(A_1B_1\), ниже щели \(F\) на расстоянии \(215.00~нм\) (\(1 ~нм=10^{-9}~м\)), проделали еще одну такую же щель \(G\). Разность фаз между волнами де Бройля, пришедшими в точку \(P\) через щели \(F\) и \(G\), может быть представлена как \(2\pi \beta\). Вычислите \(\beta\).

D3. Чему равно наименьшее расстояние \(\Delta y\) от точки \(P\) до точки на экране, в которой вероятность обнаружить электрон равна нулю?

Примечание. \(\sin (\theta + \Delta\theta)\approx \sin\theta + \Delta\theta\cos\theta\).

D4. Луч имеет квадратное сечение \(500~нм\times 500~нм\), длина установки – \(2~м\). Какова минимальная плотность потока электронов \(I_{\min}\), если в среднем в установке в любой момент времени имеется хотя бы один электрон? Плотность потока электронов – это количество электронов, проходящих в единицу времени через единичную площадку по нормали к ней.

В природном уране, в соединении \(\mathrm{UO_2}\) только \(0.720\, \%\) процента атомов урана являются атомами изотопа \(^{235}\mathrm U\). Если ядро \(^{235}\mathrm U\) поглощает нейтрон, то оно практически мгновенно делится, испуская при этом 2-3 нейтрона, имеющих большую кинетическую энергию. Вероятность деления будет возрастать, если нейтрон, вызывающий реакцию деления, обладает малой кинетической энергией. Таким образом, уменьшение кинетической энергии нейтронов, появившихся в результате деления, может привести к возникновению цепной ядерной реакции. Эта идея является основой работы ядерных реакторов (ЯР). Типичный ЯР представляет собой цилиндрический сосуд высоты \(H\) и радиуса \(R\), заполненный веществом, которое называется замедлителем. Цилиндрические трубы, называемые топливными каналами, каждый из которых состоит из набора цилиндрических топливных стержней природного \(\mathrm{UO_2}\) высотой \(H\), расположены параллельно оси цилиндра в вершинах квадратной сетки. Нейтроны, возникшие в процессе деления, выходят из топливного канала, сталкиваются с замедлителем, теряют энергию и попадают в другие топливные каналы уже с низкой энергией, и приводят к делению других ядер (рис. 1–3). Теплота, выделившаяся в результате деления в топливных стержнях, переносится охлаждающей жидкостью, текущей вдоль стержней. В данной задаче вам необходимо изучить некоторые физические явления, проходящие в топливных стержнях (часть A), замедлителе (часть B), и ЯР цилиндрической формы (часть C).

Рис. 1. Увеличенное изображение топливного канала (1 – топливные стержни)

Рис. 2. Изображение ЯР (2 – топливные каналы)

Схема ядерного реактора (ЯР). Показаны только те элементы реактора, которые имеют отношение к данной задаче (например, не показаны управляющие стержни, охладитель)

Часть А. Топливный стержень (4 балла)

Данные для \(\mathrm{UO_2}\)

• Молярная масса \(M_\mathrm w = 0.270~кг\cdot моль^{-1}\)

• Плотность \(\rho = 1.060 \cdot 10^4~кг\cdot м^{-3}\)

• Температура плавления \(T_\mathrm m = 3.138 \cdot 10^3~K\)

• Теплопроводность \(\lambda = 3.280~Вт\cdot м^{-1}\cdot К^{-1}\)

A1. Рассмотрим следующую реакцию деления – неподвижное ядро \(^{235}\mathrm{U}\) после поглощения нейтрона с пренебрежимо малой кинетической энергией распадается по схеме

\[^{235}\mathrm{U} + {}^{1}\mathrm{n} \to {}^{94}\mathrm{Zr} + {}^{140}\mathrm{Ce} + 2{}^{1}\mathrm{n} + \Delta E.\]Оцените полную энергию \(\Delta E\) (в МэВ), выделяющуюся в реакции. Массы частиц равны:\(m({}^{235}\mathrm{U}) = 235.044~а.е.м.\), \(m({}^{94}\mathrm{Zr}) = 93.9063~а.е.м.\), \(m({}^{140}\mathrm{Ce}) = 139.905~МэВ\), \(m({}^{1}\mathrm{n}) = 1.00867~а.е.м.\), где \(1~а.е.м. = 931.502~МэВ\). Не обращайте внимания на неcохранение электрического заряда в этом уравнении.

A2. Оцените \(N\) – число атомов \({}^{235}\mathrm{U}\) в единице объема природного \(\mathrm{UO_2}\).

A3. Предположим, что поток нейтронов в ядерном топливе является однородным и равным \(\varphi = 2.000 \cdot 10^{18}~м^{-2}\cdot с^{-1}\). Сечение реакции деления (эффективная площадь ядра-мишени) ядра \({}^{235}\mathrm{U}\) равно \(\sigma_f = 5.400 \cdot 10^{-26}~м^2\). Считая, что \(80.00\,\%\) энергии выделяющейся при делении превращается в тепловую, найдите тепловую мощность, выделяющуюся в единице объема ядерного топлива – \(Q\) (в \(Вт\cdot м^{-3}\)). \(1~ Мэв = 1.602 \cdot 10^{-13}~Дж\).

A4. Установившаяся разность температур между центром \((T_c)\) и поверхностью \((T_s)\) топливного стержня может описана формулой \(T_c - T_s = kF(Q,a,\lambda)\), где \(k = 1/4\) – безразмерная постоянная, \(a\) – радиус стержня, \(\lambda\) – теплопроводность \(\mathrm{UO_2}\). Используя метод размерностей, получите выражение для функции \(F(Q,a,\lambda)\).

A5. Максимально допустимая температура охладителя равна \(5.770 \cdot 10^2~К\). Рассчитайте максимально возможный радиус \(a_u\) топливного стержня.

Часть B. Замедлитель (3.5 балла)

Рассмотрим абсолютно упругое столкновение на плоскости двух частиц: нейтрона массой \(1~а.е.м.\) с частицей замедлителя массы \(A~а.е.м.\). Считайте, что в лабораторной системе отсчета (ЛСО) все частицы замедлителя перед столкновениями находятся в состоянии покоя. Пусть \(\vec{v}_m\) и \(\vec{v}_a\) – скорости нейтрона в ЛСО до и после столкновения соответственно. Обозначим \(\vec{v}_m\) скорость центра масс системы в ЛСО, а \(\theta\) угол отклонения нейтрона в системе отсчета, связанной с центром масс (СОЦМ). Все сталкивающиеся частицы – нерелятивистские.

B1. На рис. 4 показан схематически процесс столкновения в ЛСО, где \(\theta_L\) угол отклонения нейтрона. Нарисуйте схематически процесс столкновения в СОЦМ. На этом рисунке укажите угол рассеяния \(\theta\), а также скорости частиц для положений 1, 2 и 3 в СОЦМ, которые должны быть выражены через \(\vec{v}_b, \vec{v}_a~и~\vec{v}_m\).

Процесс столкновения в ЛСО 1 — Нейтрон до столкновения 2 — Нейтрон после столкновения 3 — Частица замедлителя до столкновения 4 — Частица замедлителя после столкновения

B2. В СОЦМ определите скорости нейтрона \(v\) и частицы замедлителя \(V\) после столкновения, выразив их через \(A\) и \(v_b\).

B3. Получите выражение для зависимости \(G(a, \theta) = E_a/E_b\), где \(E_b\) и \(E_a\) — кинетические энергии нейтрона в ЛСО до и после столкновения соответственно, а \(a\equiv [(A - 1)/(A+1)]^2\).

B4. Предположим, что вышеуказанное выражение справедливо для молекулы \(\mathrm{D_2O}\). Вычислите максимально возможную долю потери энергии \(f_l \equiv \dfrac {E_b-E_a}{E_b}\) нейтрона в замедлителе \(\mathrm{D_2O}\) \((20~а.е.м.)\).

Часть C. Ядерный реактор (2.5 балла)

Для работы ядерного реактора при любом постоянном потоке нейтронов \(\psi\) (в стабильном режиме), количество нейтронов покидающих реактор должно быть скомпенсировано числом нейтронов вырабатываемых в ядерном процессе. Для реактора цилиндрической формы, количество покидающих нейтронов в единицу времени равно \(k_1[(2.405/R)^2 + (\pi /H)^2]\psi\), в то время как количество нейтронов, образуемых в ядерных реакциях в единицу времени, равно \(k_2\psi\). Константы \(k_1\) и \(k_2\) зависят от свойств материалов, из которого сделан ядерный реактор.

C1. Рассмотрите ядерный реактор, для которого \(k_1=1.021\cdot 10^{-2}~м\) и \(k_2=8.787 \cdot 10^{-3}~м^{-1}\). Заметим, что для эффективного использования топлива, количество улетающих нейтронов при работе в стационарном режиме должно быть минимально. Рассчитайте размеры ядерного реактора (высоту и радиус), при фиксированном его объеме, удовлетворяющие указанному условию.

C2. Топливные каналы расположены в узлах квадратной сетки, как показано на рис. 3. Расстояния между ближайшими каналами равно \(0.286~м\), а радиус топливного канала \(3.617 \cdot 10^{-2}~м\). Оцените количество топливных каналов \(F_\mathrm{n}\) в ядерном реакторе и массу \(M\) природного урана \(\mathrm{UO_2}\), необходимого для работы ядерного реактора в стационарном режиме.

Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 2015, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.