зад 1 LIGO-GW150914
В 2015 году гравитационно-волновая лаборатория LIGO впервые в истории зарегистрировала гравитационные волны (GW). Это событие, получившее название GW150914, было вызвано двумя черными дырами, которые двигались по квази-круговым орбитам. В этой задаче вам предстоит оценить некоторые параметры этой системы, по данным зарегистрированного сигнала.
Часть A. Ньютоновские (консервативные) орбиты (3 балла)
A1. Рассмотрим систему из двух звезд массами \(M_1, M_2\), находящихся, соответственно, в точках \(\vec r_1, \vec r_2\), относительно центра масс системы, т.е. \[M_1\vec r_1+M_2\vec r_2=0.\] Звезды изолированы от всех остальных объектов Вселенной и движутся с нерелятивистскими скоростями. Из законов Ньютона можно получить ускорение массы \(M_1\): \[\frac{\mathrm d^2\vec r_1}{\mathrm dt^2}=-\alpha\frac{\vec r_1}{r^n_1},\] где \(r_1=|\vec r_1|, r_2=|\vec r_2|\). Найдите \(n\in N\) и \(\alpha=\alpha(G,M_1,M_2),\) где \(G\approx 6.67\cdot 10^{-11}~Н\cdot м^2/кг\) – гравитационная постоянная.
A2. Полная механическая энергия системы двух тел, движущихся по круговым орбитам, задается формулой: \[E=A(\mu, \Omega, L)-G\frac{M\mu}{L},\] где \[\mu\equiv\frac{M_1M_2}{M_1+M_2}, \quad M\equiv M_1+M_2,\] приведенная масса и полная масса системы соответственно, \(\Omega\) – угловая скорость, а \(L\) – расстояние между двумя массами \(L=r_1+r_2\). Получите формулу для \(A(\mu, \Omega, L)\).
A3. Уравнение\[E=A(\mu, \Omega, L)-G\dfrac{M\mu}{L}\]можно упростить:\[E=\beta G\dfrac{M\mu}{L}.\]Найдите \(\beta\).
Часть B. Введение релятивистского затухания (7 баллов)
Теория гравитации (общая теория относительности), окончательно сформулированная Эйнштейном в 1915 году, предсказывает, что гравитационное взаимодействие распространяется со скоростью света. Переносчиком этого взаимодействия являются гравитационные волны. Гравитационные волны испускаются любой ускоряющейся массой, что выражается в потере ею энергии.
Рассмотрим систему из двух изолированных точечных частиц. Эйнштейн доказал, что для достаточно малых скоростей испускаемые гравитационные волны:
имеют частоту вдвое большую, чем частота орбитального вращения, и
их можно охарактеризовать параметром интенсивности, т.е. испускаемой мощностью \(\mathcal P\), которая, согласно формуле Эйнштейна, равна \[\mathcal P=\frac{G}{5 c^5} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3\left(\frac{\mathrm{d}^3 Q_{i j}}{\mathrm{~d} t^3}\right)\left(\frac{\mathrm{d}^3 Q_{i j}}{\mathrm{~d} t^3}\right).\]
Здесь, \(c\approx 3\cdot 10^8~м/с\) – скорость света. Для системы из двух точечных частиц, вращающихся в плоскости \(xy\), величины \(Q_{ij}\) даны в следующей таблице (\(i,j\) – номер строки и столбца, соответственно) \[\begin{aligned}&Q_{11}=\sum_{A=1}^2 \frac{M_A}{3}\left(2 x_A^2-y_A^2\right), \qquad &Q_{22}=\sum_{A=1}^2 \frac{M_A}{3}\left(2 y_A^2-x_A^2\right), \\&Q_{33}=-\sum_{A=1}^2 \frac{M_A}{3}\left(x_A^2+y_A^2\right),\qquad &Q_{12}=Q_{21}=\sum_{A=1}^2 M_A x_A y_A,\end{aligned}\]и \(Q_{ij}=0\) для всех иных комбинаций \(i\) и \(j\). Здесь \((x_A,y_A)\) положение массы \(A\) в системе центра масс.
B1. Для круговых орбит, описанных в пункте A2, компоненты \(Q_{ij}\) зависят от времени \(t\) следующим образом: \[Q_{ii}=\frac{\mu L^2}{2}(a_i+b_i\cos kt), Q_{ij} \stackrel{i\ne j}{=}\frac{\mu L^2}{2}c_{ij}\sin kt.\] Найдите \(k\). Ответ выразите через \(\Omega\).
Найдите значения чисел \(a_i\), \(b_i\), \(c_{ij}\).
B2. Покажите, что для этой системы мощность \(\mathcal P\), излучаемая в виде гравитационных волн, равна: \[\mathcal P=\xi \frac{G}{c^5} \mu^2 L^4 \Omega^6.\] Найдите численное значение \(\xi\).
Примечание. Если Вам не удалось получить значение \(\xi\), используйте в дальнейшем \(\xi= 6.4\).
B3. Если бы гравитационных волн не существовало, оба тела вращались бы по круговым орбитам бесконечно долго. Однако, излучение гравитационных волн приводит к потере энергии и, следовательно, к медленному уменьшению радиусов орбит.
Покажите, что изменение угловой скорости со временем \({\mathrm d\Omega}/{\mathrm dt}\) описывается формулой \[\left(\frac{\mathrm{d} \Omega}{\mathrm{d} t}\right)^3=(3 \xi)^3 \frac{\Omega^{11}}{c^{15}}\left(G M_{\mathrm{c}}\right)^5,\] где \(M_c\) – так называемая «chirp mass». Выразите \(M_c\) через \(M\) и \(\mu\). Эта масса определяет скорость, с которой увеличивается частота вращения при уменьшении радиуса орбиты.
Примечание. Слово «chirp» в переводе означает «чириканье», «щебетанье». Звук возрастающей частоты, создаваемый маленькими птицами.
B4. Пользуясь предыдущими данными, найдите связь угловой частоты \(\Omega\) с частотой гравитационных волн \(f_{\mathrm{GW}}\).
Для любой гладкой функции \(F(t)\) и \(a\ne1\) \[\frac{\mathrm{d} F(t)}{\mathrm{d} t}=\chi F(t)^a \implies F(t)^{1-a}=\chi(1-a)\left(t-t_0\right) ,\] где \(\chi\) – некоторая постоянная, а \(t_0\) – произвольная константа интегрирования.
Покажите, что из уравнения\[\left(\frac{\mathrm{d} \Omega}{\mathrm{d} t}\right)^3=(3 \xi)^3 \frac{\Omega^{11}}{c^{15}}\left(G M_{\mathrm{c}}\right)^5\] следует, что частота гравитационных волн равна \[f_{\mathrm{GW}}^{-8 / 3}=8 \pi^{8 / 3} \xi\left(\frac{G M_c}{c^3}\right)^{(2 / 3)+p}\left(t_0-t\right)^{2-p} .\] Определите постоянную \(p\).
14-го сентября 2015 г. LIGO зарегистрировал событие GW150914, показанное на рисунке. Детектор LIGO представляет собой Г-образную систему, состоящую из двух 4-км плеч. Плечи детектора линейно реагируют на проходящую гравитационную волну, так что сигнал воспроизводит волну.
В данном случае волна была создана парой черных дыр, движущихся по квази-круговым орбитам. Потери энергии за счет излучения приводят к уменьшению радиусов орбит, в конце концов черные дыры сталкиваются. Пик, следующий за точкой \(\mathrm D\) на рисунке, примерно соответствует моменту столкновения.
Рис. 1. Деформация (относительное изменение длины) каждого плеча детектора \(\mathrm H1\) в системе LIGO в зависимости от времени. Точки \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{D}\) соответствуют моментам времени \(t=0.00\), \(0.009\), \(0.034\), \(0.040\) секунд, соответственно
B5. По данным рисунка оцените \(f_{\mathrm{GW}}(t)\) для следующих двух моментов времени\[t_{\overline{\mathrm{AB}}}=\frac{t_{\mathrm{B}}+t_{\mathrm{A}}}{2} \quad \text { и } \quad t_{\overline{\mathrm{CD}}}=\frac{t_{\mathrm{D}}+t_{\mathrm{C}}}{2} .\]Пусть формула\[f_{\mathrm{GW}}^{-8 / 3}=8 \pi^{8 / 3} \xi\left(\frac{G M_c}{c^3}\right)^{(2 / 3)+p}\left(t_0-t\right)^{2-p}\] справедлива в течении всего процесса сближения черных дыр вплоть до столкновения. Массы черных дыр одинаковы. Оцените величину chirp mass \(M_c\), а также полную массу системы \(M\). Ответ дайте в массах Солнца \(M_{\odot}\approx 2\cdot 10^{30}~ кг\).
B6. Оцените расстояние между двумя объектами в момент времени \(t_{\overline{\mathrm{CD}}}\).
Оцените максимальный размер каждого объекта \(R_{\mathrm {max}}\).
Найдите величину \(R_{\odot}/R_{\mathrm {max}}\), тем самым, сравните этот размер с радиусом Солнца \(R_{\odot}\approx 7\cdot 10^5~км\).
Оцените линейную скорость каждого объекта на орбите в этот момент времени \(v_{\mathrm{col}}\) и сравните ее со скоростью света \(v_{\mathrm{col}}/c\).
Придите к выводу, что сталкивающиеся объекты чрезвычайно компактны и движутся действительно очень быстро! WOW, look at you!
▶ОтветСкрыть
A1: \[n=3, \alpha=\frac{GM_2^3}{(M_1+M_2)^2}\]; A2: \[A(\mu,\Omega, L)=\frac12\mu L^2\Omega^2\]; A3: \[\beta=-\frac12\]; B1: \[k=2\Omega, a_1=a_2=\frac13, a_3=-\frac23, b_1=1, b_2= -1, b_3=0, c_{12}=с_{21}=1, c_{ij}\stackrel {\mathrm {otherwise}}{=}0.\]; B2: \[\xi=\frac{32}{5}.\]; B3: \[M_c=(\mu^3M^2)^{1/5}.\]; B4: \[p=1.\]; B5: \[M_c\simeq 30\times M_\odot, M\simeq 69\times M_\odot.\]
▶РешениеСкрыть
A1. Запишем второй закон Ньютона для массы \(M_1\):\[M_1\frac{\mathrm d^2\vec r_1}{\mathrm dt^2}=G\frac{M_1M_2}{|\vec r_2-\vec r_1|^2}\frac{\vec r_2-\vec r_1}{|\vec r_2-\vec r_1|}.\qquad(1)\]В системе отсчёта центра масс:\[\vec r_2=-\frac{M_1}{M_2}\vec r_1,\qquad(2)\]что при подстановке в (1) даёт\[\frac{\mathrm d^2\vec r_1}{\mathrm dt^2}=-\frac{GM_2^3}{(M_1+M_2)^2r_1^2}\frac{\vec r_1}{r_1}.\qquad(3)\]
Ответ:
\[n=3, \alpha=\frac{GM_2^3}{(M_1+M_2)^2}\]
A2. Полная механическая энергия системы – это сумма кинетических энергий двух тел и потенциальной энергии их взаимодействия. Скорости тел при круговом движении:\[|\vec v_1|=r_1\Omega,\quad|\vec v_2|=r_2\Omega,\qquad(4)\]откуда полная энергия:\[E=\frac12\left[M_1r_1^2+M_2r_2^2\right]\Omega^2-\frac{GM_1M_2}L.\qquad(5)\]Поскольку\[(M_1r_1-M_2r_2)^2=0\implies M_1r_1^2+M_2r_2^2=\mu L^2.\qquad(6),\]то\[E=\frac12\mu L^2\Omega^2-G\frac{M\mu}L.\qquad(7)\]
Ответ:
\[A(\mu,\Omega, L)=\frac12\mu L^2\Omega^2\]
A3. Выражение для энергии выглядит идентично для системы, где масса \(\mu\) движется по круговой орбите радиуса \(L\) вокруг покоящейся массы \(M\) с угловой скоростью \(\Omega\). Если в такой системе приравнять гравитационное и центростремительное ускорения:\[G\frac M{L^2}=\Omega^2L,\qquad(8)\]то получится третий закон Кеплера (для круговых орбит). Тогда из (7):\[E=-\frac12 G\frac{M\mu}L.\qquad(9)\]
Ответ:
\[\beta=-\frac12\]
B1. Выпишем явно соотношения между декартовыми и полярными координатами масс:\[(x_1,y_1)=r_1 (\cos\Omega t,\sin\Omega t),\qquad (x_2,y_2)=-r_2 (\cos\Omega t,\sin\Omega t).\qquad(10)\]Отсюда:\[Q_{i j}=\frac{M_1 r_1^2+M_2 r_2^2}{2}\left(\begin{array}{ccc} \frac{4}{3} \cos ^2(\Omega t)-\frac{2}{3} \sin ^2(\Omega t) & 2 \sin (\Omega t) \cos (\Omega t) & 0 \\ 2 \sin (\Omega t) \cos (\Omega t) & \frac{4}{3} \sin ^2(\Omega t)-\frac{2}{3} \cos ^2(\Omega t) & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{2}{3} \end{array}\right)\qquad(11)\]
Упростим результат с помощью (6) и тригонометрических соотношений:\[Q_{i j}=\frac{\mu L^2}{2}\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{3}+\cos 2 \Omega t & \sin 2 \Omega t & 0 \\ \sin 2 \Omega t & \frac{1}{3}-\cos 2 \Omega t & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{2}{3} \end{array}\right) . \qquad(12)\]
Ответ:
\[k=2\Omega, a_1=a_2=\frac13, a_3=-\frac23, b_1=1, b_2= -1, b_3=0, c_{12}=с_{21}=1, c_{ij}\stackrel {\mathrm {otherwise}}{=}0.\]
B2. Возьмём третьи производные:
\[\frac{\mathrm{d}^3 Q_{i j}}{\mathrm{ d} t^3}=4 \Omega^3 \mu L^2\left(\begin{array}{ccc} \sin 2 \Omega t & -\cos 2 \Omega t & 0 \\ -\cos 2 \Omega t & -\sin 2 \Omega t & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \qquad(13)\]
и просуммируем:
\[\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{ d} t}=\frac{G}{5 c^5}\left(4 \Omega^3 \mu L^2\right)^2\left[2 \sin ^2(2 \Omega t)+2 \cos ^2(2 \Omega t)\right]=\frac{32}{5} \frac{G}{c^5} \mu^2 L^4 \Omega^6 .\qquad(14)\]
Ответ:
\[\xi=\frac{32}{5}.\]
B3. Если изменение угловой скорости происходит медленно, можно считать, что орбиты с хорошей точностью остаются круговыми.
Для начала продифференцируем по времени выражение (9):\[\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt}=\frac{GM\mu}{2L^2}\frac{\mathrm dL}{\mathrm dt}.\qquad(15)\]Так как потеря энергии происходит за счёт гравитационных волн, производная энергии равна мощность излучения гравитационных волн (14) со знаком \(-\):\[\frac{GM\mu}{2L^2}\frac{\mathrm dL}{\mathrm dt}=-\frac{32}5\frac G{c^5}\mu^2L^4\Omega^6.\qquad(16)\]Чтобы перейти от \(L\) и \(\dot L\) к \(\Omega\) и \(\dot\Omega\), воспользуемся третьим законом Кеплера (8), откуда:\[L^3=G\frac M{\Omega^2},\qquad \frac{\mathrm dL}{\mathrm dt}=-\frac23\frac L\Omega\frac{\mathrm d\Omega}{\mathrm dt}.\qquad(17)\]Подставляя в (16), получаем ответ:\[\left[\frac{\mathrm d \Omega}{\mathrm dt}\right]^3=\left[\frac{96}5\right]^3\frac{\Omega^{11}}{c^{15}}G^5\mu^3M^2\equiv\left[\frac{96}5\right]^3\frac{\Omega^{11}}{c^{15}}(GM_c)^5.\qquad(18)\]
Ответ:
\[M_c=(\mu^3M^2)^{1/5}.\]
B4. Частота обращения \(f=\Omega/2\pi\). Поскольку частота гравитационных волн в два раза больше, то\[f_{GW}=\Omega/\pi\qquad(19).\]Формула (10) преобразуется к виду\[\frac{\mathrm d\Omega}{\mathrm dt}=\chi\Omega^{11/3},\qquad\chi\equiv\frac{96}5\frac{(GM_c)^{5/3}}{c^5}.\qquad(20)\]Отсюда получаем:\[\Omega(t)^{-8/3}=\frac83\chi(t_0-t).\qquad(21)\]Если подставить сюда (20) и выражение для \(\chi\):\[f_{GW}^{-8/3}=\frac{(8\pi)^{8/3}}5\left[\frac{GM_c}{c^3}\right]^{5/3}(t_0-t).\qquad(22)\]
Ответ:
\[p=1.\]
B5. Возьмём \(\delta t\) между соседними точками на графике в качестве полупериодов. Частота гравитационных волн будет вычисляться как \(f_{GW}=1/2\Delta t\). Вычислим частоту для точек, приведённых в условии:
| \(t_{\overline{AB}}\) | \(t_{\overline{CD}}\) | |
| \(t,~с\) | \(0.0045\) | \(0.037\) |
| \(f_{GW},~Гц\) | \((2\cdot0.009)^{-1}\) | \((2\times0.006)^{-1}\) |
Это даёт две пары значений \((f_{GW},t)\) для двух неизвестных \((t_0,M_c)\). Подставив \(t_{\overline{AB}}\) и \(t_{\overline{CD}}\) в (22) и разделив уравнения друг на друга, имеем:\[t_0=\frac{At_{\overline{CD}}-t_{\overline{AB}}}{A-1},\qquad A\equiv\left[\frac{f_{GW}(t_{\overline{AB}})}{f_{GW}(t_{\overline{CD}})}\right]^{-8/3}.\qquad(23)\]Численно \(A\approx2.95\) и \(t_0\approx0.054~с\). Теперь можно найти \(M_c\), записав (22) для момента времени \(t_{\overline{AB}}\) или \(t_{\overline{AB}}\). Чирпированная масса будет равна:\[M_c\approx6\cdot10^{31}~кг\approx30M_\odot,\qquad(24)\]а полная масса \(M\) – \[M=4^{3/5}M_c\approx 69M_\odot.\qquad(25)\]Стоит отметить, что этот результат очень близок к наилучшим оценкам, полученным с помощью общей теории относительности! И это несмотря на небольшое различие масс чёрных дыр и неприменимость теории в последние мгновения перед столкновением!
Ответ:
\[M_c\simeq 30\times M_\odot, M\simeq 69\times M_\odot.\]
B6. Согласно закону Кеплера (8) \(L=\sqrt[3]{GM/\Omega^2}\). Для нахождения угловой скорости орбитального движения воспользуемся (19):\[\Omega_{\overline{CD}}\approx2.6\cdot10^{2}~рад/с.\qquad(26)\]Тогда, зная полную массу (25), можно найти расстояние:\[L\approx5\cdot10^2~км.\qquad(27)\]Таким образом, максимальный размер объектов не может превышать \(R_{\max}\approx250~км\), т.е.\[\frac{R_\odot}{R_{\max}}\approx 3\cdot10^3.\qquad(28)\]Наконец, скорость движения по орбите будет равна:\[v_\mathrm {col}=\frac L2\Omega\approx7\cdot10^4~км/с\] – это более \(1/5\) скорости света!
Ответ:
\[L_{\mathrm{collision}}\sim5\times10^2~км, \frac{R_\odot}{R_{\mathrm{max}}}\sim3\times10^3,\frac{v_{\mathrm{col}}}{c}\sim0.2.\]
Перевод: pho.rs.
зад 2 В поисках нейтрино
При соударении двух высокоэнергетических протонов в Большом Адронном Коллайдере рождаются различные частицы (электроны, мюоны, нейтрино, кварки и соответствующие им античастицы). Большинство этих частиц можно зарегистрировать с помощью детектора. Однако, кварки не могут существовать в свободном состоянии, и быстро подвергаются адронизации, т.е. превращаются в адронные струи – узконаправленные потоки частиц. В пространстве, где происходит соударение протонов, присутствует сильное магнитное поле. Оно искривляет траектории высокоэнергетических заряженных частиц, и это позволяет рассчитать их импульс. В детекторе ATLAS создается однородное магнитное поле индукцией \(2.00~Тл\). Если в процессе соударения рождаются частицы с импульсом, меньше некоторого значения, то в магнитном поле они будут двигаться по окружности малого радиуса и не достигнут детектора (поэтому не смогут быть обнаружены). Нейтрино, в силу своей природы, пролетят через детектор не взаимодействуя с ним (поэтому также не могут быть обнаружены). Численные значения:
масса электрона \(m=9.11\cdot 10^{-31}~кг\)
элементарный заряд \(e=1.60\cdot 10^{-19}~Кл\)
скорость света \(c=3.00\cdot 10^8~м/с\)
электрическая постоянная \(\varepsilon_0=8.85\cdot 10^{-12}~Ф/м\)
Часть А. Детектор ATLAS (4 балла)
A1. Найдите циклотронный радиус \(r\) – радиус круговой траектории электрона в магнитном поле, перпендикулярном вектору его скорости. Ответ выразите через кинетическую энергию электрона \(K\), модуль его заряда \(e\), массу \(m\) и величину магнитной индукции \(B\). Считайте электрон нерелятивистской, классической частицей.
Электроны, рождающиеся в установке ATLAS, в действительности, являются релятивистскими. Однако, формула для циклотронного радиуса продолжает быть справедливой, если рассматривать релятивистский импульс.
A2. Рассчитайте минимальное значение импульса электрона, которое позволяет ему вылететь за пределы внутренней части цилиндрического детектора. Ее радиус – \(1.1~м\). Электрон рождается в точке соударения протонов, расположенной на оси цилиндра. Ответ дайте в единицах \(МэВ/c\).
Когда релятивистская частица с зарядом \(e\) и массой \(m\) движется с ускорением, перпендикулярным скорости, она излучает электромагнитные волны. Мощность такого синхротронного излучения задается формулой: \[P=\frac{e^2a^2\gamma^4}{6\pi \epsilon_0c^3},\] где \(a\) – ускорение, а \(\gamma=[1-(v/c)^2]^{-1/2}\).
Частица считается ультрарелятивистской, когда ее скорость очень близка к скорости света.
A3. Мощность излучения ультрарелятивистской частицы задается формулой \[P=\xi \frac{e^4}{\epsilon_0 m^k c^n}E^2B^2,\] где \(\xi\) – численный коэффициент, \(n\), \(k\) – целые числа, \(E\) – энергия заряженной частицы, \(B\) – величина магнитной индукции поля. Найдите \(\xi\), \(n\) и \(k\).
A4. В ультрарелятивистском пределе энергия электрона зависит от времени следующим образом\[E(t)=\frac{E_0}{1+\alpha E_0t},\] где \(E_0\) – начальная энергия электрона.
Найдите \(\alpha\). Ответ выразите через \(e\), \(c\), \(B\), \(\varepsilon_0\) и \(m\).
A5. При столкновении пучков рождается электрон с энергией \(100~ ГэВ\), который летит в радиальном направлении. Оцените, какую энергию он потеряет из-за синхротронного излучения за время пока не покинет детектор.
Выразите ответ в \(МэВ\).
A6. Найдите, как зависит циклотронная частота электрона от времени в ультрарелятивистском пределе.
Часть B. В поисках нейтрино (6 балла)
Рассмотрим процесс столкновения двух протонов (см. рис). В результате соударения образовались \(t\)-кварк и \(\bar t\)-антикварк. \(t\)-кварк распадается на бозон \(W^+\) и на \(b\)-кварк, а \(\bar t\)-антикварк распадается на бозон \(W^-\) и на \(\bar b\)-антикварк. Далее бозон \(W^+\) распадается на антимюон \(\mu^+\) и нейтрино \(v\), а бозон \(W^-\) на кварк и антикварк. Ваша задача – рассчитать параметры нейтрино по значениям импульсов зарегистрированных частиц.
В этой задаче, считайте, что все струи и частицы, кроме \(t\)-кварка и бозонов \(W^{\pm}\), не имеют массы.
Импульсы продуктов распада \(t\)-кварка приведены в таблице ниже. Приведены компоненты импульсов всех частиц, кроме проекции импульса нейтрино на ось \(z\). Известно, что полный импульс частиц, равен нулю только в проекции на поперечную плоскость \(xy\). И отличен от нуля в проекции на ось \(z\) (вдоль линии столкновения). Это позволяет находить значения импульсов частиц.
Рис. 1. Детектор ATLAS
Рис. 2. Схема соударения двух протонов
В таблице ниже приведены значения компонент импульсов трех частиц, образовавшихся в результате распада \(t\)-кварка, в том числе и нейтрино.
| Частица | \(p_x~(ГэВ/c)\) | \(p_y~(ГэВ/c)\) | \(p_z~(ГэВ/c)\) |
| Антимюон, \(\mu^+\) | \(-24.7\) | \(-24.9\) | \(-12.4\) |
| Струя 1, \(j_1\) | \(-14.2\) | \(+50.1\) | \(+94.1\) |
| Нейтрино \(\nu\) | \(-104.1\) | \(+5.3\) | \(-\) |
B1. Найдите квадрат массы \(m_W\) бозона \(W^+\). Ответ выразите через компоненты импульсов нейтрино и антимюона:
поперечные \[\vec p_{\mathrm T}^{(\nu)}=p_x^{(\nu)}\hat i+p_y^{(\nu)}\hat j,\qquad \vec p_{\mathrm T}^{(\mu)}=p_x^{(\mu)}\hat i+p_y^{(\mu)}\hat j,\]
и продольные (вдоль оси \(z\)) \(p_z^{(\mu)}\), \(p_z^{(\nu)}\).
B2. Вычислите (в \(ГэВ/c\)) два возможных значения продольной компоненты импульса нейтрино \(p_z^{(\nu)}\). Массу бозона \(W^+\) примите равной \(m_W=80.4~ГэВ/c^2\).
B3. Вычислите массу \(t\)-кварка (в \(ГэВ/c^2\)), соответствующую каждому из двух полученных в предыдущем пункте значений проекции импульса нейтрино.
Примечание. Если Вы не смогли получить два решения в пункте B2, используйте следующие значения: \[p_z^{(\nu)}=70~ГэВ/c,\qquad p_z^{(\nu)}=-180~ГэВ/c.\]
Нормализованное число соударений для расчета массы \(t\)-кварка из экспериментальных включает две компоненты: «сигнал» (данные, соответствующие распаду \(t\)-кварка) и «фон» (данные, соответствующие другим процессам, проходящим без \(t\)-кварка). Экспериментальные данные учитывают оба процесса (см. рис).
Рис. 3. Распределение значений массы \(t\)-кварка, рассчитанной из экспериментальных данных (т.е. нормализованное число соударений, где было получено определенное значение массы \(t\)-кварка). Точки – экспериментальные данные, пунктир – сигнал, а затемненная зона – фон
B4. По графику распределения значений массы \(t\)-кварка, скажите, какое из двух ранее найденных значений массы \(t\)-кварка правильно с наибольшей вероятностью? Оцените вероятность получения этого наиболее вероятного значения.
B5. Для этого наиболее вероятного значения массы \(t\)-кварка, вычислите расстояние, которое он преодолеет до того как распадется. Время жизни \(t\)-кварка в состоянии покоя \(5\cdot 10^{-25}~с\).
▶ОтветСкрыть
A1: \[r=\frac{\sqrt{2Km}}{eB}.\]; A2: \[p=330~МэВ/c.\]; A3: \[\xi=\frac{1}{6\pi}, n=5, k=4.\]; A4: \[\alpha=\frac{e^4B^2}{6\pi \epsilon_0 m^4c^5}\]; A5: \[\Delta E=-56~МэВ.\]; A6: \[w(t)=\frac{ec^2B}{E_0}\left(1+\frac{e^4B^2}{6\pi\epsilon_0 m^4c^5}E_0t\right).\]; B1: \[m_W^2=\frac{1}{c^2}\left(2 p^{(\mu)} \sqrt{\left(p_{\mathrm{T}}^{(\nu)}\right)^2+\left(p_z^{(\nu)}\right)^2}-2 \vec{p}_{\mathrm{T}}^{(\mu)} \cdot \vec{p}_{\mathrm{T}}^{(\nu)}-2 p_z^{(\mu)} p_z^{(\nu)}\right).\]; B2: \[p_z^{(\nu)}=74.0~ГэВ/c~ или~ p_z^{(\nu)}=-188.3~ГэВ/c\].; B3: \[m_t=169.3~ГэВ/c^2~или~m_t=311.2~ГэВ/c^2\].; B4: Наиболее вероятное значение: \(m_t=169.3ГэВ/c^2\).
▶РешениеСкрыть
A1. Ответ:
\[r=\frac{\sqrt{2Km}}{eB}.\]
A2. Ответ:
\[p=330~МэВ/c.\]
A3. Ответ:
\[\xi=\frac{1}{6\pi}, n=5, k=4.\]
A4. Ответ:
\[\alpha=\frac{e^4B^2}{6\pi \epsilon_0 m^4c^5}\]
A5. Ответ:
\[\Delta E=-56~МэВ.\]
A6. Ответ:
\[w(t)=\frac{ec^2B}{E_0}\left(1+\frac{e^4B^2}{6\pi\epsilon_0 m^4c^5}E_0t\right).\]
B1. Ответ:
\[m_W^2=\frac{1}{c^2}\left(2 p^{(\mu)} \sqrt{\left(p_{\mathrm{T}}^{(\nu)}\right)^2+\left(p_z^{(\nu)}\right)^2}-2 \vec{p}_{\mathrm{T}}^{(\mu)} \cdot \vec{p}_{\mathrm{T}}^{(\nu)}-2 p_z^{(\mu)} p_z^{(\nu)}\right).\]
B2. Ответ:
\[p_z^{(\nu)}=74.0~ГэВ/c~ или~ p_z^{(\nu)}=-188.3~ГэВ/c\].
B3. Ответ:
\[m_t=169.3~ГэВ/c^2~или~m_t=311.2~ГэВ/c^2\].
B4. Ответ:
Наиболее вероятное значение: \(m_t=169.3ГэВ/c^2\).
B5. Ответ:
\[d=2\times 10^{-16}~м.\]
Перевод: pho.rs.
зад 3 Физика живых систем
Численные значения:
атмосферное давление при нормальных условиях \(1.013\cdot 10^5~ Па = 760~ мм. рт. ст\).
Часть А. Физика кровеносной системы (4.5 балла)
Приближенно кровеносные сосуды можно считать цилиндрическими. Известно, что для стационарного нетурбулентного потока несжимаемой жидкости в недеформируемом цилиндре разность давлений на концах цилиндра задается формулой \[\Delta P=\frac{8l\eta}{\pi r^4}Q,\] где \(l\) и \(r\) длина и радиус цилиндра соответственно, \(\eta\) – вязкостъ жидкости, а \(Q\) – объемный расход (объем жидкости, протекающей через поперечное сечение цилиндра за единицу времени). Эта формула дает верное по порядку значение для разницы давлений даже в случае пульсирующего потока, нежестких стенок сосуда, имеющих сложную форму. То, что кровь – это не просто жидкость, а смесь клеток и плазмы, также несущественно. Более того, эта формула имеет такой же вид, что и закон Ома. Проведем аналогию: объемный расход жидкости соответствует электрическому току, а разность давлений — разности потенциалов. Таким образом, величина \(\Delta P={8l\eta}/{\pi r^4}\) – сопротивление.
Рассмотрим симметричную сеть мелких артерий, доставляющих кровь от крупной артерии к капиллярам. В этой сети каждый сосуд делится на два одинаковых сосуда (см. рис). Сосуды каждого последующего уровня — более тонкие и короткие, чем на предыдущем уровне. Будем считать, что радиус и длина сосудов, принадлежащих двум соседним уровням, \(i\) и \(i+1\), связаны между собой соотношениями: \(r_{i+1}=r_i/2^{1/3}\) и \(l_{i+1}=l_i/2^{1/3}.\)
Рис. 1. Схема сети мелких артерий
A1. Найдите объемный расход \(Q_i\) в одиночном сосуде \(i\)-го уровня. Ответ выразите через число уровней сети \(N\), вязкость \(\eta\), радиус \(r_0\) и длину \(l_0\) первого сосуда и разницу давлений \(\Delta P=P_0-P_{\mathrm{cap}}\) между сосудом нулевого уровня и капиллярами.
A2. Рассчитайте объемный расход \(Q_0\) (в \(мл/ч\)) в сосуде нулевого уровня. Его радиус – \(6.0 \cdot 10^{-5} ~м\), длина – \(2.0 \cdot 10^{-3}~ м\). Давление на входе в сосуд – \(55~ мм. рт. ст.\), давление в капиллярах – \(30~ мм. рт. ст.\), число уровней сети \(N = 6\). Вязкость крови \(\eta = 3.5 \cdot 10^{-3}~ кг/(м\cdot с)\).
Электрическая RLC модель кровеносных сосудов
Представление сосудов в виде жестких цилиндров может быть усовершенствовано путем введения некоторых поправок. Особенно важно учесть нестационарность потока, а также изменение диаметра сосудов при пульсирующем потоке крови. Кроме того, как показывают наблюдения, в широких сосудах давление крови варьируется довольно значительно, в то время как в более тонких сосудах амплитуда колебаний давления намного меньше, и поток крови практически не зависит от времени.
При увеличении давления в реальном сосуде его диаметр увеличивается. Это приводит к увеличению объема крови, которая находится внутри сосуда. Когда давление снизится, этот сосуд будет источником крови для следующего сосуда. Это похоже на поведение конденсатора в электрической цепи.
Из-за нестационарности потока крови нужно учесть инерцию жидкости, считая ее пропорциональной плотности \(\rho = 1.05 \cdot 10^3 ~кг/м^3\). Электрическим эквивалентом будет индуктивность. Полная электрическая схема такой модели сосуда приведена на рисунке. Эквивалентные емкость и индуктивность задаются следующими выражениями: \[C=\frac{3l\pi r^3}{2Eh},\qquad L=\frac{9lp}{4\pi r^2},\] соответственно, где \(h\) – толщина стенки сосуда, а \(E\) – модуль Юнга (для сосудов его можно считать равным \(E = 0.06 ~МПа\)).
Рис. 2. Электрическая схема сосуда согласно описанной модели
A3. В установившемся режиме расход в сосуде колеблется с угловой частотой \(\omega\).
Найдите амплитуду колебаний давления на выходе сосуда \(P_{\mathrm{out}}\). Ответ выразите через амплитуду колебаний на его входе \(P_{\mathrm{in}}\), угловую частоту \(\omega\), сопротивление \(R\), индуктивность \(L\) и емкость \(C\). Найдите соотношение между \(\eta\), \(\rho\), \(E\), \(h\), \(r\) и \(l\), при котором на низких частотах амплитуда колебаний давления на выходе сосуда меньше, чем амплитуда колебаний давления на его входе.
A4. Для сети сосудов, описанной в пункте A2, оцените максимальную толщину стенки сосуда \(h\), для которой выполняется условие из пункта A3. Считайте, что \(h\) не зависит от уровня сосуда.
Часть B. Рост опухоли (5.5 балла)
Рассмотрим группу здоровых клеток, окруженную нерастяжимой мембраной (так формируется ткань). Таким образом, ткань сохраняет свою начальную сферическую форму радиуса \(R\) (см. рис).
Рис. 3. Упрощенная модель опухоли
Изначально в ткани отсутствуют какие-либо напряжения – в любой ее точке давление равно атмосферному.
В момент времени \(t=0\) опухоль начинает расти в центре сферы и, по мере того как она разрастается, давление внутри ткани увеличивается. Будем считать, что оба типа ткани (здоровая \(\mathrm N\) и опухолевая \(\mathrm T\)) — сжимаемы, и их плотности \(\rho_{\mathrm N}\) и \(\rho_{\mathrm T}\) растут линейно с давлением: \[\rho_{\mathrm N}=\rho_0\left(1+\frac{p}{K_{\mathrm N}}\right),\qquad \rho_{\mathrm T}=\rho_0\left(1+\frac{p}{K_{\mathrm T}}\right),\]где \(\rho_0\) – плотность ткани при нормальном давлении, \(p\) – избыточное давление по сравнению с атмосферным, \(K_{\mathrm N}\), \(K_{\mathrm T}\) – модули объемного сжатия нормальной и опухолевой тканей, соответственно. Опухолевая ткань обычно более жесткая, поэтому у нее более высокий объемный модуль упругости.
Считайте, что при росте опухоли масса здоровых клеток не меняется.
B1. Найдите отношение объема опухоли к общему объему ткани \(v=V_{\mathrm T}/V\). Ответ выразите через отношение \(\mu=M_{\mathrm T}/M_{\mathrm N}\) массы опухоли \(M_{\mathrm T}\) к массе нормальной ткани \(M_{\mathrm N}\) и отношения соответствующих модулей объемного сжатия \(\kappa=K_{\mathrm T}/K_{\mathrm N}\).
Одним из методов лечения рака является гипертермия. В этом методе, раковые клетки избирательно нагреваются от нормальной температуры человеческого тела \(37\,^{\circ}\mathrm C\) до температуры, превышающей \(43\,^{\circ}\mathrm C\), что вызывает их смерть. В настоящее время ученые работают над созданием углеродных нанотрубок, покрытых особыми белками, которые могут связываться с раковыми клетками. При облучении ткани инфракрасным излучением, нанотрубки поглощают его значительно эффективнее, чем окружающие ткани. Таким образом, можно разогреть нанотрубки и опухолевую ткань до нужной температуры, не повреждая здоровую ткань.
Пусть здоровые клетки, клетки опухоли и окружающие ткани все имеют одинаковую теплопроводность \(k\). Считайте, что плотность потока тепловой энергии (энергия проходящая в единицу времени через единицу площади) равна произведению теплопроводности \(k\) и градиента температуры \(\mathrm dT/\mathrm dr\). Нанотрубки распределены по объему опухоли равномерно и при облучении выделяют тепловую мощность на единицу объема \(\mathcal P\). Примите температуру окружающих тканей вдали от опухоли равной нормальной температуре тела.
B2. Найдите температуру в центре опухоли в стационарном режиме. Ответ выразите через \(\mathcal P\), \(k\), температуру человеческого тела и радиус опухоли \(R_{\mathrm T}\).
B3. Рассчитайте минимальную мощность на единицу объема \(\mathcal P_{\min}\), которая нужна, чтобы разогреть все раковые клетки в опухоли радиусом \(5.0~ см\) до температуры, превышающей \(43.0\,^{\circ}\mathrm C\). Теплопроводность тканей – \(k = 0.60~ Вт/(К\cdot м)\).
Пусть опухолевая ткань содержит сосудистую систему, как в пункте A1. Когда опухоль разрастается, давление \(p\) в ней становится выше, чем давление в капиллярах \(P_{\mathrm {cap}}\). При этом радиус сосудов уменьшается на величину \(\delta r\). Если давление превысит критическое значение \(p_c\) (которому соответствует \(\delta r_c\)), нормальное кровоснабжение опухоли будет нарушено из-за слипания капилляров. Давление и изменение радиуса сосудов связаны друг с другом следующим соотношением: \[\frac{p}{P_{\mathrm {cap}}}-1=\left(\frac{p_c}{P_{\mathrm {cap}}}-1\right)\left(2-\frac{\delta r}{\delta r_c}\right)\frac{\delta r}{\delta r_c}.\] В следующем пункте считайте, что при росте опухоли изменяются радиусы сосудов только на уровне \(N-1\). Считайте также, что разность \(p-P_{\mathrm {cap}}\) мала.
B4. Найдите относительное уменьшение расхода \({\delta Q_{N-1}}/{Q_{N-1}}\) в самых тонких сосудах. Ответ выразите через относительный объем опухоли \(v=V_{\mathrm T}/V\), \(K_{\mathrm N}\), \(N\), \(p_c\), \(\delta r_c\), \(r_{N-1}\), \(P_{\mathrm {cap}}\).
▶ОтветСкрыть
A1: \[Q_i=\Delta P\frac{\pi r_0^4}{2^{i+3}Nl_0\eta}.\]; A2: \[Q_0=1.5~мл/ч\]; A3: \[P_{\mathrm{out}}=\frac{P_{\mathrm{in}}}{\sqrt{(1-\omega^2 LC)^2+\omega^2C^2R^2}}.\] \[\frac{64\eta^2l^2}{3Ehr^3\rho}>1.\]; A4: \(h_{\max}\approx8\cdot10^{-5}~м\); B1: \[v=\frac{1+\mu-\sqrt{(1+\mu)^2-4\mu(1-\kappa)}}{2(1-\kappa)}.\]; B2: \(T(r=0)=310.15~К+\frac{\mathcal PR_{\mathrm T}^2}{2k}.\); B3: \(\mathcal P_{\mathrm {min}}=\frac{3\Delta Tk}{\mathcal PR_\mathrm T^2}=4.3~кВт/м^3\)
▶РешениеСкрыть
A1. Поскольку кровеносная система симметрична, поток в сосуде на \(i+1\)-м уровне будет в два раза меньше, чем ан \(i\)-том. Таким образом, сумма перепадов давлений на всех уровнях:\[\Delta P=\sum_{i=0}^{N-1}Q_iR_i=Q_0\sum_{i=0}^{N-1}\frac{R_i}{2^i}.\]Выражая через величины, требуемые в условии,\[\Delta P=Q_0\sum_{i=0}^{N-1}\frac{8l_i\eta}{2^i\pi r^4_i}=Q_0\frac{8l_0\eta}{\pi r^4}\sum_{i=0}^{N-1}\frac{2^{4i/3}}{2^{i}2^{i/3}}=Q_0N\frac{8l_0\eta}{\pi r_0^4}.\]Таким образом,\[Q_0=\Delta P\frac{\pi r_0^4}{8Nl_0\eta}.\]Значит, поток в сосуде на \(i\)-том уровне будет равен:
Ответ:
\[Q_i=\Delta P\frac{\pi r_0^4}{2^{i+3}Nl_0\eta}.\]
A2. Ответ:
\[Q_0=1.5~мл/ч\]
A3. «Ток» равен\[I=\frac{P_{\rm{in}}e^{i\omega t}}{R+i\omega L+1/i\omega C}.\]Разность давлений на <<конденсаторе>>:\[P_{\rm{out}}e^{i(\omega t+\phi)}=\frac{P_{\rm{in}}e^{i\omega t}}{R+i\omega L+1/i\omega C}\frac{1}{i\omega C}=\frac{P_{\rm{in}}e^{i\omega t}}{i\omega CR-\omega ^2LC+1}.\]Амплитуда:\[P_{\rm{out}}=\frac{P_{\rm{in}}}{\sqrt{(1-\omega ^2LC)^2+\omega^2C^2R^2}}.\]
Ответ:
\[P_{\mathrm{out}}=\frac{P_{\mathrm{in}}}{\sqrt{(1-\omega^2 LC)^2+\omega^2C^2R^2}}.\]
Чтобы в пределе \(\omega\to0\) амплитуда колебаний на выходе была меньше \(P_{\rm{in}}\), необходимо:\[(1-\omega^2LC)^2+\omega^2C^2R^2 > 1\implies-2CL+C^2R^2 > 0.\]Подставляя выражения для \(L\), \(C\) и \(R\), получим:
Ответ:
\[\frac{64\eta^2l^2}{3Ehr^3\rho}>1.\]
A4. Выражение из предыдущего пункта может быть переписано в виде:\[h < \frac{64\eta^2l^2}{3Er^3\rho}.\]Для сети сосудов из пункта A2 можем записать \(h < \frac{64\eta^2l_0^2\cdot 2^i}{3\cdot 2^{2i/3}Er_0^3\rho} = 2^{i/3}\cdot7.7\cdot10^{-5}~м\). В худшем случае \(i=0\), поэтому
Ответ:
\(h_{\max}\approx8\cdot10^{-5}~м\)
B1. Масса опухоли:\[M_\mathrm T=V_\mathrm T\rho_\mathrm T=V_\mathrm T\rho_0(1+p/K_\mathrm T).\]Масса нормальной ткани:\[M_\mathrm N=V_\mathrm N\rho_\mathrm N=(V-V_\mathrm T)\rho_0(1+p/K_\mathrm N).\]Давление можно записать в виде\[p=\frac{M_\mathrm TK_\mathrm T}{V_\mathrm T\rho_0}-K_\mathrm T,\]тогда уравнение для массы нормальной ткани:\[M_\mathrm N=V_\mathrm N\rho_\mathrm N=(V-V_\mathrm T)\frac{M_\mathrm N}{V}\left[\left(1-\frac{K_\mathrm T}{K_\mathrm N}\right)+\frac{M_\mathrm TVK_\mathrm T}{V_\mathrm TM_\mathrm NK_\mathrm N}\right].\]Упрощая,\[(1-\kappa)v^2-(1+\mu)v+\mu=0.\]У этого уравнения есть два решения. Необходимо выбрать решение, дающее \(v=0\) при \(\mu=0\), итого:
Ответ:
\[v=\frac{1+\mu-\sqrt{(1+\mu)^2-4\mu(1-\kappa)}}{2(1-\kappa)}.\]
B2. При \(r < R_\mathrm T\) поток энергии запишется как:\[4\pi r^2k\frac{\mathrm dT}{\mathrm dr}=\mathcal P\frac43\pi r^3.\]Проинтегрируем от \(0\) до \(R_\mathrm T\):\[\Delta T_1=\frac{\mathcal P R_\mathrm T^2}{6k}.\]При \(r > R_\mathrm T\) аналогично:\[4\pi r^2k\frac{\mathrm dT}{\mathrm dr}=\mathcal P\frac43\pi R^3_\mathrm T.\]Проинтегрируем от \(R_\mathrm T\) до \(+\infty\):\[\Delta T_2=\frac{\mathcal PR_\mathrm T^2}{3k}.\]Итого \(\Delta T=\frac{\mathcal P R_\mathrm T^2}{2k}\) и
Ответ:
\(T(r=0)=310.15~К+\frac{\mathcal PR_{\mathrm T}^2}{2k}.\)
B3. Наименьшее увеличение температуры наблюдается на границе опухоли:\[\Delta T(r=R_\mathrm T)=\frac{\mathcal PR_\mathrm T^2}{3k}.\]Температура должна увеличиться на \(6~К\), откуда
Ответ:
\(\mathcal P_{\mathrm {min}}=\frac{3\Delta Tk}{\mathcal PR_\mathrm T^2}=4.3~кВт/м^3\)
B4. \(\delta r\) можно связать с давлением в опухоли с помощью соотношения из условия. Оставив только первый порядок, имеем: \(\delta r=\frac{p-P_\mathrm {cap}}{2(p_\mathrm c-P_\mathrm {cap})}\delta r_\mathrm c\). Таким образом, \(\delta r\) будет малым, если мало \(p-P_\mathrm {cap}\).
Свяжем давление и объём. Поскольку
\[\frac{M_{\mathrm{N}}}{V_{\mathrm{N}}}=\frac{\rho_0 V}{V-V_{\mathrm{T}}}=\frac{\rho_0}{1-v}=\rho_0\left(1+\frac{p}{K_{\mathrm{N}}}\right) ,\]получим \(p=\frac{K_{\mathrm{N}} v}{1-v}\).
Когда мелкие сосуды сужаются, меняется поток в основном сосуде:
\[\Delta P=\left(Q_0+\delta Q_0\right) \sum_{i=0}^{N-1} \frac{8 \ell_i \eta}{2^i \pi r_i^4}=\left(Q_0+\delta Q_0\right) \frac{8 \ell_0 \eta}{\pi r_0^4}\left(\sum_{i=0}^{N-2} \frac{2^{4 i / 3}}{2^i 2^{i / 3}}+\frac{2^{4(N-1) / 3}}{2^{N-1} 2^{(N-1) / 3}\left(1-\frac{\delta r}{r_0 / 2^{(N-1) / 3}}\right)^4}\right) \\ \Longrightarrow \Delta P \simeq\left(Q_0+\delta Q_0\right) \frac{\Delta P}{N Q_0}\left(N-1+1+\frac{4 \delta r}{r_{N-1}}\right)\]
Учитывая, что \(\frac{\delta Q_{N-1}}{Q_{N-1}}=\frac{\delta Q_0}{Q_0}\), получим
\[1+\frac{\delta Q_{N-1}}{Q_{N-1}}=\frac{1}{1+\frac{4 \delta r}{N r_{N-1}}} \approx 1-\frac{4 \delta r}{N r_{N-1}} ,\]т.е.
\[\frac{\delta Q_{N-1}}{Q_{N-1}} \simeq-\frac{4}{N} \frac{\delta r}{r_{N-1}} .\]Объединяя полученные результаты, окончательный ответ:
Ответ:
\[\frac{\delta Q_{N-1}}{\delta Q_{N-1}}\simeq-\frac{2}{N}\frac{K_\mathrm N v-(1-v)P_{\mathrm {cap}}}{(1-v)(p_c-P_{\mathrm {cap}})}\frac{\delta r_c}{r_{N-1}}.\]
Перевод: pho.rs.
Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 2018, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.