IPhO 2020, теоретический тур

Через центр неподвижного куба со стороной \(a\), равномерно заряженного по объёму с плотностью заряда \(\rho\), проходит узкий прямолинейный канал. Расстояние от центра куба до пересечения канала с гранями равно \(L\). В канале находится частица с массой \(m\) и зарядом \(q\).

A1. Найдите период малых колебаний частицы вблизи центра. Гравитационным взаимодействием частицы и куба можно пренебречь. Заряды куба и частицы разноимённые.

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. We will use a coordinate system with axes parallel to the cube’s edges, with the origin set at the cube’s center. Assuming the particle is at coordinates \((x, y, z)\) \(x\ll a\), \(y\ll a\), \(z\ll a\), we will find the force \(\vec{F}\) acting on the particle, by splitting the cube \(a\times a\times a\) into a rectangular cuboid \((a - 2x)\times (a - 2y)\times (a - 2z)\) and three square plates of thickness \(2x\), \(2y\) and \(2z\).

The particle is in the center of the cuboid, so there is no force from the cuboid.

Let us find the force between a particle with a charge \(q\) and a uniformly charged square plate of small thickness \(h\) and edge length \(a\). The plate’s charge density is \(\rho\), the particle is placed above the center of the plate at distance \(a/2\).

Due to symmetry and Gauss’s law, the flux of the particle’s electric field through the plate is

\[\Phi = \frac{q}{6\varepsilon_0}.\]Hence, the force

\[F = \sigma\Phi = \frac{q\rho h}{6\varepsilon_0},\]where \(\sigma = \rho h\) is plate’s surface charge density.

Three square plates act on the particle with forces \(\vec{F_1} = \frac{q\rho x}{3\varepsilon_0}\hat{x}\), \(\vec{F_2} = \frac{q\rho y}{3\varepsilon_0}\hat{y}\), and \(\vec{F_3} = \frac{q\rho z}{3\varepsilon_0}\hat{z}\). Net force \(\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \frac{q\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r},\) where \(\vec{r}\) is the position vector of the particle.

The particle’s equation of motion

\[m\vec{\ddot{r}} = \frac{q\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r}\]is an equation of simple harmonic motion with period

Ответ:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{3m\varepsilon_0}{q(-\rho)}}.\]

Перевод: pho.rs.

Сила трения не всегда изотропна. Часто величина и направление силы трения может зависеть от направления движения тела. Например, анизотропия трения может возникать при наличии «борозд» заданной ориентации на поверхности контакта тел (известно, что коэффициент трения дуба по дубу вдоль волокон равен \(0,48\), тогда как дуба по дубу поперек волокон одного куска и вдоль волокон другого куска \(0,34\)). Наличие анизотропии в трении может привести к необычным свойствам движения, с которыми и предлагается познакомиться в данной задаче.

Что нужно знать про анизотропное трение

Пусть некоторая плоскость сделана из анизотропного материала. В рамках одной из наиболее популярных моделей анизотропного трения существуют перпендикулярные друг к другу координатные оси \(X\) и \(Y\) (которые мы будем называть главными) такие, что сила трения \(\vec{F}\), действующая на тело, будет зависеть от направления движения тела следующим образом:

\[F_x = -\cfrac{|N|}{|v|} \mu_x v_x\]

\[F_y = -\cfrac{|N|}{|v|} \mu_y v_y\]

где \(F_x, F_y\) – проекции силы трения, \(N\)– сила реакции опоры, действующая на тело, \(v_x\) и \(v_y\) – проекции вектора скорости \(\vec{v}\), \(\mu_x\) и \(\mu_y\) – коэффициенты трения вдоль главных осей.

Здесь и далее по умолчанию будет предполагаться, что координатные оси на плоскости направлены вдоль главных осей трения. Коэффициенты трения – \(\mu_x = 0,75\) и \(\mu_y = 0,5\), если не сказано обратного.

В частях A и B тело можно считать материальной точкой. Плоскость, по которой движутся тела, горизонтальна во всех частях задачи.

Во всех пунктах задачи, где это возможно, дайте также численный ответ.

Часть A. Движение тела по горизонтальной поверхности (4.0 балла)

A1. Под каким углом \(\alpha_1\) к оси \(X\) должен быть направлен вектор скорости тела, чтобы абсолютная величина мощности силы трения была максимальной?

A2. Под каким углом \(\alpha_2\) к оси \(X\) должен быть направлен вектор скорости тела, чтобы абсолютная величина мощности силы трения была в \(1,2\) раза меньше максимальной?

A3. Пусть начальная скорость тела имеет проекции \(v_{0x} = 1 \; м/с\) и \(v_{0y} = 1 \; м/с\). Через некоторое время проекция скорости на ось \(Y\) равна \(v_{1y} = 0,25 \; м/c\). Чему равен модуль скорости тела в этот момент времени?

A4. Известно, что скорость тела равна \(v_2 = 1,0 \;м/с\). Под каким углом \(\alpha_3\) к оси \(X\) должен быть направлен вектор скорости, чтобы радиус кривизны траектории был минимальным? Чему он равен? Ускорение свободного падения \(g = 9,8 \; м/с^2\).

A5. Для коэффициентов трения, указанных ранее, качественно изобразите на одном рисунке траектории тела в плоскости \(XY\) при углах запуска \(\alpha_4 = \pi/6\) и \(\alpha_5 = \pi/3\). Начальные скорости одинаковы. Решите эту же задачу для

коэффициентов трения \(\mu_x = 0,4\) и \(\mu_y = 0,7\).

Часть B. Условия начала движения тела (2.0 балла)

B1. Тело массой \(m\) покоится в начале координат. К нему прикладывают силу, направленную под углом \(\alpha\) к оси \(X\). Величина силы \(F(t) = \gamma t\) прямо пропорциональна времени. Пренебрегая явлением застоя, найдите зависимость момента времени, когда тело сдвинется с места, от угла \(\alpha\).

Часть C. Движение тела по окружности (4.0 балла)

Две материальные точки с одинаковой массой \(m\) расположены на плоскости с анизотропным трением и соединены невесомым нерастяжимым стержнем длины \(L = 1 \; м\). Стержень расположен вдоль оси \(Y\) и не касается плоскости. Одному из тел сообщают скорость, направленную перпендикулярно к стержню.

C1. Считая заданной начальную скорость тела \(v_0\), получите зависимость его дальнейшей скорости \(v\) от угла поворота стержня \(\varphi\), считая, что другое тело при дальнейшем движении покоится.

C2. Найдите максимальное значение начальной скорости \(v_{0 max}\), при которой другое тело останется в состоянии покоя.

C3. Какое расстояние пройдет тело до момента полной остановки при движении с начальной скоростью \(v_{0 max}\)?

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Мощность силы трения задается выражением:\[P=\left(F,v\right)=-\left(\mu_xmg\cos^2\alpha+\mu_ymg\sin^2\alpha\right)v\] Поскольку \(\mu_x>\mu_y\), максимум мощности достигается при \(\alpha=0\).

Ответ:

\[\alpha=0\]

A2. Из предыдущего пункта следует, что: \[\mu_xmgv\cos^2\alpha+\mu_ymgv\sin^2\alpha=\frac{1}{1.2} \mu_xmgv\] Отсюда получаем: \[\cos \alpha_2 = \pm \sqrt{\frac{5\mu_x - 6\mu_y}{6(\mu_x - \mu_y)}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\\ \sin \alpha_2 = \pm \sqrt{\frac{\mu_x}{6(\mu_x-\mu_y)}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Ответ:

\[\alpha_2=\pm \pi/4; \pm 3\pi/4\]

A3. Второй закон Ньютона: \[\begin{cases} m\dfrac{dv_x}{dt} &=-\mu_xmg\dfrac{v_x}{v}\\ m\dfrac{dv_y}{dt} &=-\mu_ymg\dfrac{v_y}{v} \end{cases}\] Разделив почленно одно уравнение на другое, получим:

\[\dfrac{dv_x}{dv_y}=\dfrac{\mu_xv_x}{\mu_yv_y}\] Интегрируем: \[\dfrac{v_x^{\mu_y}}{v_y^{\mu_x}}=\operatorname{const}.\] Из начальных условий: \[v_x=0.125~\text{м/с}\] Таким образом, модуль скорости равен

Ответ:

\[v=0.28~\text{м/с}\]

A4. Проекция силы трения на направление, перпендикулярное скорости, даётся выражением: \[F_n=mg(\mu_x-\mu_y)\sin\alpha\cos\alpha\] Второй закон Ньютона, спроецированный на направление, перпендикулярное скорости, имеет вид:

\[\dfrac{mv^2}{R}=mg(\mu_x-\mu_y)\sin\alpha\cos\alpha,\] где \(R\) – радиус кривизны траектории. Очевидно, что \[R=\dfrac{v^2}{g(\mu_x-\mu_y)\sin\alpha\cos\alpha}=\dfrac{2v^2}{g(\mu_x-\mu_y)\sin2\alpha}\] Минимальный радиус кривизны достигается при:

Ответ:

\[\alpha=\pi/4,\quad R_{\min}=\dfrac{2v^2}{g(\mu_x-\mu_y)}\]

A5. Если \(\mu_x=\mu_y\), то ускорения вдоль осей \(x\) и \(y\) будут пропорциональны отношению начальных скоростей, и тело будет двигаться прямолинейно. Если \(\mu_x>\mu_y\), то скорость вдоль оси \(x\) будет уменьшаться быстрее, чем в предыдущем случае, и тело отклонится от прямолинейного движения, как показано на рисунке. Направление отклонения не зависит от того, как направлена начальная скорость. Если же \(\mu_x<\mu_y\), то тело отклонится в противоположную сторону.

Ответ:

B1. Заметим, что тело начнет движение под углом \(\varphi \neq \alpha\). Проекции сил в момент начала движения равны\[\begin{cases}F_{\text{fr},x} = \mu_x mg \cos \varphi = \gamma t\cos \alpha \\\\ F_{\text{fr},y} = \mu_y mg \sin \varphi = \gamma t\sin \alpha \end{cases}\] Разделим эти уравнения на \(\mu_x mg\) и \(\mu_y mg\) соответственно, возведём в квадраты и просуммируем:\[(mg)^2 = (\gamma t)^2 \left[ \left(\frac{\cos \alpha}{\mu_x} \right)^2 + \left(\frac{\sin \alpha}{\mu_y} \right)^2 \right]\] Таким образом,

Ответ:

\[t=\dfrac{\mu_x\mu_ymg}{\gamma\sqrt{\mu_y^2\cos^2\alpha+\mu_x^2\sin^2\alpha}}\]

C1. Второй закон Ньютона в проекции на направление движения: \[m\dfrac{dv}{dt}=-mg(\mu_x\cos^2\varphi+\mu_y\sin^2\varphi)\] Поскольку \(v=L\varphi\), то:

\[L\ddot\varphi=-g(\mu_x\cos^2\varphi+\mu_y\sin^2\varphi)\] Умножив это уравнение на \(\dot\varphi\, dt\), получим \[L\dot\varphi d\dot\varphi=-g(\mu_x\cos^2\varphi+\mu_y\sin^2\varphi)d\varphi\] Интегрируем:

Ответ:

\[v^2+gL\left((\mu_x+\mu_y)\varphi+(\mu_x-\mu_y)\dfrac{\sin2\varphi}{2}\right)=v_0^2\]

C2. Второй закон Ньютона в проекции на стержень имеет вид: \[T+F_{\text{fr}}\sin\beta=m\dot\varphi^2L\], где \(\beta\) – угол между силой трения и направлением скорости.

Используя результат пункта C1, находим:\[T=\frac{mv_0^2}{L}-mg(\mu_x+\mu_y)\varphi-mg(\mu_x-\mu_y)\sin2\varphi\] Используя результат B1, получаем:

\[\frac{mv_0^2}{L}-mg(\mu_x+\mu_y)\varphi-mg(\mu_x-\mu_y)\sin2\varphi\le\dfrac{\mu_x\mu_y}{\sqrt{\mu_y^2\sin^2\varphi+\mu_x^2\cos^2\varphi}}mg\]Поскольку при увеличении \(\varphi\) левая часть уменьшается, а правая увеличивается, тело начинает двигаться вправо при \(\varphi=0\). Таким образом,

Ответ:

\[v_{0\max}=\sqrt{\mu_ygL}=2.2~\text{м/с}\]

C3. Подставив \(v_{0\max}\) из предыдущего пункта в последнее уравнение C1, получим уравнение для \(\varphi\) в точке остановки \((v=0)\):\[gL\left((\mu_x+\mu_y)\varphi+(\mu_x-\mu_y)\dfrac{\sin2\varphi}{2}\right)=\mu_y gL\] Численно решая это уравнение, получаем ответ для \(\varphi\). Пройденное расстояние равно

Ответ:

\[L \varphi = 0.34~\text{м}\]

Перевод: pho.rs.

При решении задачи используйте следующие значения физических постоянных:

• скорость света в вакууме \(c = 3.00 \cdot 10^8 \; м/с\);

• постоянная Планка \(\hbar = 1.055 \cdot 10^{-34} \; Дж \cdotp с\);

• константа в законе Кулона и электрическая постоянная \(k = \cfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 8.99 \cdot 10^9 \; Н \cdotp м^2 \cdotp Кл^{-2}\);

• элементарный заряд \(e = 1.60 \cdot 10^{-19} \; Кл\).

Часть A. Классическая модель сверхизлучения

Лазеры — источники когерентного оптического излучения. Лазерное излучение формируется за счет того, что большое количество атомов, переведенных с помощью внешнего воздействия (накачки) в возбужденное состояние, излучают фотоны с одинаковой фазой и поляризацией. Для построения последовательной теории лазерного излучения нужно использовать квантовую механику, однако некоторые аспекты его работы можно понять и с помощью классической электродинамики.

Рассмотрим сначала излучение фотона единичным атомом. С точки зрения классической электродинамики атом можно рассматривать как дипольный излучатель. В этой модели с атомом связывают электрический диполь, образованный неподвижным положительно заряженным ядром атома с зарядом \(+q\) и совершающим гармонические колебания около него отрицательным зарядом \(-q\), расположенным в центре распределения зарядов электронного облака. При этом дипольный момент атома изменяется по закону \(\vec{p}(t) = \vec{p}_m(t) \cos{(\omega t + \varphi)}\). Циклическая частота колебаний связана с энергией испускаемых фотонов соотношением Планка \(E_{\gamma} = \hbar \omega\). В дальнейшем под частотой фотонов будем подразумевать их циклическую частоту. Мощность излучения классической системы с переменным дипольным моментом \(\vec{P} (t)\) определяется формулой:

\[W = \cfrac{2 k}{3 c^3} \left\langle  \left( \cfrac{d^2 \vec{P}}{d t^2}\right) ^2 \right\rangle,\]

где угловые скобки означают усреднение по периоду колебаний.

A1. Атом излучает свет с длиной волны \(\lambda_0 = 300 \;нм\). Оцените в классической модели время высвечивания атома \(\tau\) (то есть время, за которое он излучает энергию, равную энергии одного фотона). Это время совпадает по порядку величины с характерным временем, за которое атом излучает фотон. Все излучение создается одним электроном, находящимся на расстоянии порядка \(a_0 = 0.1 \;нм\) от ядра. Выразите ответ через физические постоянные, \(\lambda_0\) и \(a_0\).

Допустим, что в некотором объеме кратковременным воздействием накачки переведены в возбужденное состояние \(N\) атомов. Известно, что один атом излучает фотон с частотой \(\omega\) за характерное время \(\tau\).

A2. Оцените мощность \(W_s\) электромагнитного излучения всех \(N\) атомов при спонтанном режиме излучения, то есть когда направление атомного диполя и фаза его колебаний случайным образом изменяется от атома к атому. В ответе запишите формулу для мощности через \(N\), \(\omega\) и \(\tau\).

A3. Оцените длительность импульса спонтанного излучения этой системы атомов. В ответе запишите формулу (через те же величины).

A4. Оцените мощность \(W_i\) электромагнитного излучения всех \(N\) атомов в режиме сверхизлучения, то есть когда направление атомных диполей и фазы их колебаний совпадают у всех атомов, находящихся в возбужденном состоянии. В ответе запишите формулу для мощности через \(N\), \(\omega\) и \(\tau\).

A5. Оцените длительность импульса излучения системы атомов в режиме сверхизлучения. В ответе запишите формулу (через те же величины).

Часть B. Нелинейная оптика и сжатие импульсов

Импульсы еще более малой длительности можно получить, уменьшая длительность уже сгенерированных лазерных импульсов. Длительность импульса \(\Delta t\) и разброс частот входящих в него колебаний \(\Delta \omega\) (спектральная ширина) связаны неравенством \(\Delta \omega \Delta t \geq 2 \pi\). Лазерные импульсы, генерируемые в режиме сверхизлучения, уже имеют минимально возможную длительность при данном разбросе частот \(\Delta t_0 \approx 2 \pi/\Delta \omega_0\). Поэтому длительность импульса можно уменьшить в два этапа: сначала увеличить спектральную ширину импульса (не меняя длительности), а затем сжать импульс по времени.

Одним из самых популярных способов решения первой задачи является чирпирование импульсов (от англ. «chirp»). В основе этого метода лежит использование нелинейности среды, то есть зависимости показателя преломления среды \(n\) от амплитуды колебаний напряженности электрического поля в волне \(E_m\). Зависимость имеет вид \(n = n_0 + n_2 E^2_{m}\), где \(n_0\), \(n_2\) — константы, зависящие от свойств вещества. Нелинейные эффекты малы, например в кварце при интенсивности света \(I_{1} = 10^9 \; Вт/см^2\) показатель преломления увеличивается всего на \(n_2 E^2_{m1} \approx 3.2 \cdot 10^{-7}\). Интенсивность электромагнитной волны в среде определяется формулой: \[I = \cfrac{\varepsilon_0 n_0 c}{2} E^2_m.\]

Рассмотрим импульс длительностью \(\Delta t_0\) с малым разбросом частот \(\Delta \omega_0 \approx 2\pi/\Delta t_0\), средняя частота импульса \(\omega_0\). На рисунке 1 изображена примерная зависимость напряженности электрического поля от времени в таком импульсе. Скорость перемещения волновых максимумов на краях импульса одинакова, а в центральной части она уменьшается за счет эффектов нелинейности. Благодаря этому общая длительность импульса не меняется, частота в «задней» части импульса растет, а в «передней» — убывает. Такие импульсы и называют «чирпированными».

Рис. 1.

B1. Пусть амплитуды двух максимумов волны равны \(E_{m1}\) и \(E_{m2}\) соответственно. Найдите разность скоростей их распространения \(\Delta v\). Выразите ответ через \(n_0\), \(n_2\), \(c\), \(E_{m1}\) и \(E_{m2}\).

B2. Световой импульс с длиной волны в вакууме \(\lambda_0=300 \;нм\) и максимальной интенсивностью \(I_0 = 3 \cdot 10^9 \;Вт/см^2\) распространяется вдоль оси кварцевого оптоволокна. Огибающую зависимости квадрата напряженности электрического поля волны от времени \(E^2_m (t)\) считайте параболой. Определите длину \(s\) оптоволокна, при прохождении которого спектральная ширина импульса возрастет в \(K = 200\) раз. Ответ выразите через \(K\), \(\lambda_0\), \(n_2\), \(E_m,\) вычислите также значение (в метрах, с точностью до целого значения).

Для сжатия чирпированного импульса по времени можно пропустить его через среду, в которой групповая скорость волны зависит от частоты. В окрестности средней частоты \(\omega_0\) можно для рассматриваемой среды представить зависимость волнового числа от частоты в виде \(k(\omega) = k_0 + \beta_1 (\omega - \omega_0) + \frac{\beta_2}{2} (\omega - \omega_0)^2\). Для используемого вещества \(\beta_1 = 5 \; нс/м\), \(|\beta_2| = 20 \; фс^2/мм\).

B3. Какой должен быть знак у \(\beta_2\) для того, чтобы импульс, чирпированный по описанной выше схеме, сжимался по времени в этой среде? В ответе укажите «+» или «—». В дальнейшем считайте, что \(\beta_2\) имеет именно такой знак.

B4. Найдите расстояние, которое должен пройти в такой среде импульс из В2, имевший длительность \(\Delta t_0 = 10 \; пс\) и начальную спектральную ширину \(\Delta \omega_0 \approx 2 \pi/\Delta t_0\) (до чирпирования), чтобы после чирпирования с уширением спектра в \(K = 200\) раз достичь минимально возможной длительности. В ответе запишите формулу через физические постоянные \(K\), \(\Delta t_0\), \(\beta_1\) и \(\beta_2\), а также укажите числовое значение в метрах, с точностью до целого значения.

B5. Нелинейность среды приводит к исчезновению дифракционной расходимости у пучка света достаточно большой интенсивности. Оцените минимальную мощность светового импульса \(W_c\), при которой он не испытывает дифракционной расходимости, то есть распространяется внутри узкого цилиндрического канала постоянного радиуса. В ответе запишите формулу для \(W_c\) через физические постоянные, частоту \(\omega_0\), \(n_0\) и \(n_2\). Распределение интенсивности по сечению канала считайте примерно равномерным. Найдите численное значение мощности для импульса с длиной волны в вакууме \(\lambda_0 = 300 \; нм\), распространяющегося в кварце. Коэффициент \(n_0 = 1.47\).

Часть C. Экзопланеты

В астрономии наблюдения светящихся объектов производятся в течении длительного времени. Это позволяет изучать изменение спектров их излучения. С помощью спектральных измерений можно обнаружить планеты, вращающиеся вокруг других звезд — «экзопланеты». Экзопланеты не имеют собственного излучения, поэтому приходится изучать спектр излучения их звезд. Если для экзопланеты направление на Землю лежит практически в плоскости ее орбиты, такую экзопланету можно найти по снижению яркости звезды в моменты прохождения экзопланеты по диску звезды. Однако если плоскость орбиты наклонена по отношению к направлению на Землю, такой метод не годится.

C1. Предложите метод, позволяющий с помощью изучения спектра звезды в оптическом диапазоне обнаруживать экзопланеты с заметным наклоном орбит по отношению к лучу зрения. В качестве ответа назовите физическое явление, лежащее в основе Вашего метода.

С2. Пусть экзопланета массы \(m\) обращается вокруг звезды массы \(M\) по круговой орбите радиуса \(R\). Период обращения равен \(T\) , плоскость орбиты этой планеты составляет угол \(\theta\) с направлением на Землю. Оцените относительную точность измерения частот, необходимую для обнаружения предложенным Вами методом такой экзопланеты. В ответе выразите относительную точность \(\Delta \omega / \omega\), с которой нужно измерять частоту, через фундаментальные постоянные \(R\), \(T\) , \(\theta\), \(m\) и \(M\).

C3. Пусть масса экзопланеты из ее звезды равны массе Земли и Солнца соответственно, а радиус круговой орбиты совпадает с расстоянием от Земли до Солнца (\(R \approx 1.5 \cdot 10^{11} \; м\)), угол \(\theta = 60^{\circ}\), а масса Солнца в \(330000\) раз больше массы Земли, период обращения Земли вокруг Солнца — \(1\) год. Укажите целое число \(n\), такое, что \(10^{-n}\) — относительная точность определения частоты, необходимая для вашего метода. Использование сверхкоротких (фемтосекундных) лазерных импульсов позволяет измерять частоты в оптическом диапозоне (\(10^{15} \; Гц\)) с точностью порядка \(10 \; Гц\). Достаточно ли такой точности, чтобы зарегистрировать экзопланету?

Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 2020, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.