IPhO 2021, экспериментальный тур

Дифференциальную емкость (именно она всегда далее подразумевается далее под словом «емкость») можно определить, зная зависимость напряжения от времени \(U(t)\) и тока от напряжения \(I(U)\) при зарядке конденсатора через резистор \(R_1\):

\[C(U)=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}U}=\frac{I\mathrm{d}t}{\mathrm{d}U}=\frac{I\left(U\right)}{\mathrm{d}U/\mathrm{d}t}.\]

Электрическая схема, используемая в этом эксперименте, показана на рис. 1.1. Ключ S1 на плате используется для переключения между конденсаторами C1 и C2. Среднее положение ключа не нужно в данном эксперименте, не используйте его.

Внимание: Один из предоставленных конденсаторов содержит диэлектрик с диэлектрической проницаемостью, зависящей от скорости изменения напряжения конденсатора. Для того чтобы обеспечить постоянную скорость зарядки используется следующий подход. Если вы проводите измерения для положительных напряжений, уменьшайте напряжение от 9 В в сторону –9 В. И наоборот, для отрицательных напряжений увеличивайте напряжение от –9 В в сторону 9 В. Измеряемая емкость может зависеть от предшествующего состояния конденсатора. Поэтому перед началом измерений подержите конденсатор при стартовом напряжении в течение 10 секунд минимум.

Часть A. Конденсаторы при комнатной температуре (4.0 балла)

A1. Проведите необходимые измерения при комнатной температуре.

Постройте совместно в одних координатах графики \(C_1(U)\) и \(C_2(U)\) в диапазоне от –7 В до 7 В.

В листе ответов запишите значения \(C_1\) и \(C_2\) при 0 В, 3 В и 6 В.

Запишите формулу расчета емкости через измеряемые величины.

Также запишите номер платы (Board ID) и температуру в комнате.

A2. При некотором напряжении величина \(\left(\frac{\mathrm{d}C\left(U\right)}{C\left(U\right)\mathrm{d}U}\right)\) максимальна.

В листе ответов отметьте, для какого из конденсаторов (C1 или C2) эта величина больше.

Укажите также напряжение \(U_{\max\,\mathrm{change}}\), при котором это наибольшее значение достигается.

A3. Какие заряды \(q_1\) и \(q_2\) будут на конденсаторах C1 и C2 к моменту достижения 6 В?

Часть B. Калибровка NTC-термистора (1.0 балл)

Измерьте напряжение на NTC-термисторе при известной комнатной температуре (измеренной термометром). NTC-термистор – это термистор с отрицательным температурным коэффициентом.

Формула, связывающая его сопротивление и температуру, приведена в Инструкции к оборудованию G1 под номером (1).

B1. Найдите постоянную NTC-термистора \(R_0\).

Часть C. Конденсаторы при различных температурах (3.0 балла)

C1. Проведите необходимые измерения при температурах 40 °C, 65 °C и 85 °C и постройте графики \(C_1(U)\) и \(C_2(U)\) в диапазоне от –7 В до 7 В.

C2. Постройте графики \(C_1(T)\) и \(C_2(T)\) при 0 В и 6 В в диапазоне от комнатной температуры до 85 °C.

C3. В листе ответов запишите отношение \(C(85\:^\circ \mathrm{C})/C(40\:^\circ \mathrm{C})\) для обоих конденсаторов C1 и C2 при 0 В и 6 В.

Часть D. Источники погрешностей измерений (2.0 балла)

Предыдущие части этого эксперимента предполагают длительную зарядку конденсатора. Однако, если речь идет о коротких временах перезарядки (\(0.1\dots 10\) с), могут возникать следующие источники погрешностей:

1. Ток утечки.

2. Поляризационные свойства диэлектрика в конденсаторе. Можно считать, что диэлектрическая проницаемость зависит от временных параметров.

Внимание: теплоизолирующий материал может поглощать влагу из воздуха и становиться проводником. Уберите его, когда будете проводить измерения, связанные с током утечки.

Определите основной источник погрешности при измерениях C1 и C2. Так как утечка в конденсаторе и входные токи вольтметра зависят от напряжения, оцените эти погрешности при напряжении, близком к 9 В. Придумайте, какие дополнительные измерения и при каких условиях должны быть проведены, чтобы ответить на эти вопросы. В своих ответах на последующие вопросы D.1 и D.2 укажите условия, при которых вы проводили измерения, какие величины измеряли и какие выводы сделали. Примеры приведены в таблицах ниже.

Примечание: это всего лишь примеры того, как схематически описать свои измерения; вам нужно самостоятельно определить необходимые условия измерений.

Примеры того, как должны быть записаны ответы на вопросы D.1 и D.2:

D1. Какой основной источник погрешности измерения \(C_1(9\:\mathrm{V})\)? Приведите все шаги измерений в таблицах.

D2. Какой основной источник погрешности измерения \(C_2(9\:\mathrm{V})\)? Приведите все шаги измерений в таблицах.

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Зарядим конденсатор до \(\approx-9~В\) с помощью W2. Соединим конденсатор с источником напряжения \(+9\mathrm V\) с помощью провода W1 и измерим зависимость напряжения на нём от времени. Когда конденсатор полностью зарядится, измерим максимальное напряжение \(U_{\max}\). Ёмкость рассчитывается по формуле:\[C(U)=\frac{U_{\max}-U(t)}{R_1}\Bigg/\frac{\mathrm dU}{\mathrm dt}.\]Аналогично сделаем при противоположной полярности. Чтобы увеличить точность, будем использовать при расчёте ёмкости только те точки, для которых \(U(t)\) и \(U_{\max}\) имеют противоположный знак.

	\(C_1\)	\(C_2\)
\(0~В\)	\(0.100~мкФ\)	\(0.473~мкФ\)
\(3~В\)	\(0.100~мкФ\)	\(0.183~мкФ\)
\(6~В\)	\(0.100~мкФ\)	\(0.086~мкФ\)

Результаты получены при комнатной температуре \(29\,{}^\circ\mathrm C\)

A2. \(U_{\max \mathrm{change}}=1.6~В\) на конденсаторе \(C_2\)

A3. \[q_1=0.60~мкКл,\quad q_2=1.3~мкКл\]

Примечание: для конденсатора \(C_2\) необходимо посчитать интеграл \(\displaystyle\int\limits_{0~В}^{6~В}C(U)\,\mathrm dU\), а не просто умножить \(C(6~В)\cdot6~В\).

B1. \[R_0=\frac{U_{T_0}R_3}{U-U_{T_0}}e^{-B/T}=0.0341~Ом,\]где \(U=3.3~В\), \(U_{T_0}\) – значение uT при комнатной температуре, \(T\) – температура в Кельвинах.

C1.

\(C_1(U,T)\) – константа, \(C_2(U)\) – максимальна при \(0~В\)

C2.

\(C_1(T)\) – константа

C3. \[C_1(85\,{}^\circ\mathrm C)/C_1(40\,{}^\circ\mathrm C)|_{0~В}=1.00\\C_1(85\,{}^\circ\mathrm C)/C_1(40\,{}^\circ\mathrm C)|_{6~В}=1.00\\C_2(85\,{}^\circ\mathrm C)/C_2(40\,{}^\circ\mathrm C)|_{0~В}=0.63\\C_2(85\,{}^\circ\mathrm C)/C_2(40\,{}^\circ\mathrm C)|_{6~В}=1.06\]

D1. Начальные параметры:

Положение \(S_1\)	Соединение \(\rm IN\)
\(C_1\)	\(-9\mathrm V\) или \(\mathrm{GND}\)

Процесс:

Номер шага	Положение \(S_1\)	Соединение \(\rm IN\)	Длительность, \(с\)	Измеряемая переменная
1	\(C_1\)	\(+9\mathrm V\)	\(0.2~с\) (сгодится любой короткий промежуток времени)
2	\(C_1\)	\(\mathrm{Free}\)		\(|\mathrm d uC(t)|/\mathrm dt\)
3	\(C_1\)	\(+9\mathrm V\)	\(5~с\) (должен быть много больше предыдущего)
4	\(C_1\)	\(\mathrm{Free}\)		\(|\mathrm d uC(t)|/\mathrm dt\)

Обоснование: \(|\mathrm d uC(t)|/\mathrm dt|_2= |\mathrm d uC(t)|/\mathrm dt|_4\)

Основной источник погрешности: 1 (Ток утечки)

D2. Начальные параметры:

Положение \(S_1\)	Соединение \(\rm IN\)
\(C_2\)	\(-9\mathrm V\) или \(\mathrm{GND}\)

Процесс:

Номер шага	Положение \(S_1\)	Соединение \(\rm IN\)	Длительность, \(с\)	Измеряемая переменная
1	\(C_2\)	\(+9\mathrm V\)	\(0.2~с\) (сгодится любой короткий промежуток времени)
2	\(C_2\)	\(\mathrm{Free}\)		\(|\mathrm d uC(t)|/\mathrm dt\)
3	\(C_2\)	\(+9\mathrm V\)	\(5~с\) (должен быть много больше предыдущего)
4	\(C_2\)	\(\mathrm{Free}\)		\(|\mathrm d uC(t)|/\mathrm dt\)

Обоснование: \(|\mathrm d uC(t)|/\mathrm dt|_2\gg |\mathrm d uC(t)|/\mathrm dt|_4\)

Основной источник погрешности: 2 (Поляризационные свойства диэлектрической среды в конденсаторе)

Перевод: pho.rs.

В этом эксперименте изучаются электрические и тепловые свойства светодиодов (LED). Для измерения температуры светодиода используйте коэффициенты, найденные в части B.1 Эксперимента №1. Электрическая схема, используемая в эксперименте, приведена на рисунке 2.1. Инструкция по работе с оборудованием находится в описании Эксперимента №1.

В этом эксперименте мы будем исследовать зависимость напряжения от тока через светодиод и от его температуры \(T_\mathrm{J}\):

\[U_\mathrm{LED}=\mathrm{function}(I_\mathrm{LED},\:T_\mathrm{J}).\]

Внимание: На светодиод можно подавать либо постоянный ток либо короткие прямоугольные импульсы тока. В случае импульсов можно считать, что они достаточно короткие, поэтому можно пренебречь нагреванием светодиода за счет протекающего через него тока (например если использовать импульсы длиной 1 мс с промежутком между измерениями как минимум 100 мс). Тогда можно считать, что температура светодиода равна температуре платы \(T_J=T_{PCB}\). Если же через светодиод течет постоянный ток, его температура больше температуры платы \(T_J>T_{PCB}\) и можно вычислить тепловое сопротивление между светодиодом и платой (PCB) \(\frac{\Delta T}{P}\). Оно рассчитывается по формуле следующим образом:

\[\frac{\Delta T}{P}=\frac{(T_\mathrm{J}-T_\mathrm{PCB})}{P},\]

где \(P\) – электрическая мощность при разных значениях \(I_\mathrm{LED}\).

Часть А. ВАХ при различных температурах (5.0 баллов)

Физический механизм нагрева один и тот же в Эксперименте №1 и в Эксперименте №2. Используйте результаты Эксперимента №1, чтобы связать напряжение на термисторе с его температурой. В качестве альтернативного варианта вы можете использовать приближенную формулу:

\[T(U)=\frac{3500}{9.9-\ln(\frac{1}{U}-0.3)},\]

где \(T\) – температура термистора в кельвинах, \(U\) – напряжение на термисторе в вольтах.

A1. Используйте импульсный режим. Снимите зависимость тока \(I_\mathrm{LED\_pulsed}(U_\mathrm{LED\_pulsed}, T)\) в интервале от 3 мА до 50 мА при комнатной температуре, а также при 40, 60 и 80 °C. Постройте все эти зависимости на одном графике.

A2. В листе ответов заполните таблицу значений \(U_\mathrm{LED\_pulsed}\) при значениях тока через светодиод \(I_\mathrm{LED\_pulsed}\) 3, 10, 20, 40 мА при комнатной температуре, при 40, 60 и 80 °C.

A3. Постройте график напряжения на диоде \(U_\mathrm{LED\_pulsed}(I_\mathrm{LED\_pulsed},T)\) (в точках, указанных в пункте A.2) и вычислите приближенно (графически) коэффициенты линейной зависимости напряжения от температуры (\(\Delta U(I)/\Delta T\)) при значениях тока 3, 10, 20 и 40 мА.

Часть B. ВАХ на постоянном токе (3.5 балла)

B1. Снимите зависимость тока через диод \(I_\mathrm{LED\_continuous}(U_\mathrm{LED\_continuous})\) от напряжения в интервале от 3 мА до 50 мА при выключенном нагревателе в режиме постоянного тока и постройте график. В листе ответов также запишите значения \(U_\mathrm{LED\_continuous}\), температуры светодиода \(T_J\), температуры платы \(T_\mathrm{PCB}\) и разности напряжений \(\Delta U= U_\mathrm{LED\_pulsed} - U_\mathrm{LED\_continuous}\) при значениях тока 3, 10, 20 и 40 мА.

B2. Сопротивление светодиода непостоянно (зависит от тока), поэтому вводится термин дифференциальное сопротивление \(\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}I}\). Используя график из B.1, оцените значение обратного дифференциального сопротивления \(1/(\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}I})=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}U}\). В листе ответов запишите значения \(\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}U}\) при значениях тока 3, 10, 20 и 40 мА. Проведите касательные в этих точках на графике.

B3. Вычислите разность температур \(\Delta T(P)\) между непрерывно работающим светодиодом (температура \(T_\mathrm{J}\)) и температурой платы (\(T_\mathrm{PCB}\)) как функцию электрической мощности \(P\) (при значениях тока 3, 10, 20 и 40 мА). Вычислите приближенно (с помощью графика) тепловое сопротивление светодиода \(\frac{\Delta T}{P}\), запишите его в листе ответов.

Примечание: Можно считать, что вся электрическая энергия, потребленная светодиодом переходит в тепло, а энергией светового излучения можно пренебречь.

Часть C. Зависимость тока через светодиод от температуры (1.5 балла)

Обычно через светодиод пускается постоянный ток, а не подается постоянное напряжение. Предположим, что вместо этого на диод подано постоянное напряжение, отвечающее номинальному току 20 мА, которое вы измерили в части B.1.

C1. Используя характеристики фотодиода, найденные в части B, оцените ток, который фактически течет через фотодиод, если напряжение поддерживается постоянным (используйте значение \(U(\mathrm{20mA})\) из B.1), а температура платы равна 0 °C и 40 °C.

▶РешениеСкрыть

Решение

A1.

A2. \(U_{\mathrm{LED}}(I_{\mathrm{LED}},T), ~В:\)

	«Комната» \(22\,{}^\circ\mathrm C\)	\(40~{}^\circ\mathrm C\)	\(60~{}^\circ\mathrm C\)	\(80~{}^\circ\mathrm C\)
\(3~мА\)	1.844	1.818	1.785	1.754
\(10~мА\)	1.954	1.925	1.888	1.855
\(20~мА\)	2.048	2.020	1.982	1.945
\(40~мА\)	2.186	2.150	2.108	2.070

A3.

Графики линейные. Их угловые коэффициенты:

\(I_{\mathrm{LED}}\)	\(3~мА\)	\(10~мА\)	\(20~мА\)	\(40~мА\)
\(\Delta U(I,T)/\Delta T\)	\(-1.55~мВ/К\)	\(-1.7~мВ/К\)	\(-1.8~мВ/К\)	\(-2.0~мВ/К\)

B1.

\(I_{\mathrm{LED}}\)	\(3~мА\)	\(10~мА\)	\(20~мА\)	\(40~мА\)
\(U_{\mathrm{LED}}\)	\(1.83~В\)	\(1.93~В\)	\(2.00~В\)	\(2.08~В\)
\(\Delta U\)	\(0.014~В\)	\(0.024~В\)	\(0.048~В\)	\(0.106~В\)
\(T_\mathrm J\)	\(\sim 32.3\,{}^\circ\mathrm C\)	\(\sim 43\,{}^\circ\mathrm C\)	\(\sim 49\,{}^\circ\mathrm C\)	\(\sim 76.5\,{}^\circ\mathrm C\)
\(T_{\mathrm{PCB}}\)	\(\sim 25-30\,{}^\circ\mathrm C\)	\(\sim 30-35\,{}^\circ\mathrm C\)	\(\sim 33-37\,{}^\circ\mathrm C\)	\(\sim 35-40\,{}^\circ\mathrm C\)

\(T_\mathrm J\) – наиболее важные величины, вычисленные в этом пункте. Их можно рассчитать, сопоставив значения \(U_\mathrm{LED}\) с кривыми из предыдущей части при соответствующих значениях тока.

B2.

\(I_\mathrm{LED}\)	\(3~мА\)	\(10~мА\)	\(20~мА\)	\(40~мА\)
\(\mathrm dI/\mathrm dU\)	\(41.6~мА/В\)	\(100~мА/В\)	\(166.7~мА/В\)	\(400~мА/В\)

B3. Величину \(\Delta T\equiv T_\mathrm J-T_\mathrm{PCB}\) можно вычислить из точек, снятых в B1.

Примечание: Температура платы изменяется в ходе эксперимента и увеличивается на \(\sim7\,{}^\circ\mathrm C\) при больших токах. Это необходимо учитывать при вычислении \(\Delta T\).

Тепловая мощность \(P=I_\mathrm{LED}\cdot U_\mathrm{LED}\), поскольку энергией излучение при этом можно пренебречь.

График получается линейным с угловым коэффициентом (тепловым сопротивлением светодиода) \(\mathrm d(\Delta T)/\mathrm dP\approx400~К/Вт\).

\(I_\mathrm{LED}\)	\(3~мА\)	\(10~мА\)	\(20~мА\)	\(40~мА\)
\(\Delta T\)	\(5.0~К\)	\(12~К\)	\(20~К\)	\(37~К\)

C1. Первое решение

Ток \(I_\mathrm{LED}\) при постоянном \(U_\mathrm{LED}=U_{20~мА}\) можно найти как:\[I_\mathrm{LED}(U_{20~мА},T)=20~мА-(T-T_\mathrm{PCB})\cdot\frac{\Delta U(20~мА,T)}{\Delta T}\cdot\frac{\mathrm dI(20~мА,U)}{\mathrm dU}.\]Конечно, в величину \(\mathrm dI(20~мА,U)/\mathrm dU\) вносит вклад увеличение температуры платы при увеличении тока, однако этот вклад учесть невозможно.

Второе решение

Необходимые величины можно получить, интерполируя / экстраполируя значения из A3 при \(T_\mathrm J\), пересчитанными с помощью \(\Delta T\) из B3. В этом случае также возникает погрешность, поскольку тепловая мощность \(P\) зависит от температуры.

\[I_\mathrm{LED}(U_{20~мА},0\,{}^\circ\mathrm C)\approx10-15~мА,\quad I_\mathrm{LED}(U_{20~мА},40\,{}^\circ\mathrm C)\approx22~мА\]

Перевод: pho.rs.

Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 2021, экспериментальный тур — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Перевод на русский — pho.rs.