зад 1 Неизвестная планета
Вы оказались на чужой планете и не знаете, как вы туда попали. Первое, что вы пытаетесь сделать — побольше узнать об этой планете. Вы помните, как бросал шары Галилей. Вдохновлённые его примером, вы построили вертикальную башню высотой \(H =2000\,\mathrm{м}\). Теперь вы можете кидать шары с башни с любой высоты \(h\) (расстояние между поверхностью земли и нижней точкой шара непосредственно перед броском). Из-за ваших ограниченных возможностей по выбору материалов, вы можете бросать шары только с радиусами \(5\,\mathrm{см} \leq r \leq 50\,\mathrm{см}\), имеющие плотность \(0.1\,\mathrm{г/см}^3 \leq \rho \leq 10 \,\mathrm{г/см}^3\).
Каждый раз, когда вы бросаете шар, вы отпускаете его из состояния покоя, и можете измерить время падения \(t\) и горизонтальное расстояние \(s\) между точкой падения и точкой, над которой шар был отпущен.
Перед тем, как начать эксперименты, вы сделали следующие наблюдения о планете:
Основываясь на движении Солнца по небу, Вы обнаружили, что находитесь на экваторе.
У планеты есть атмосфера; плотность воздуха достаточно мала, поэтому можно пренебречь силой Архимеда.
Температура у поверхности земли \(T_0=20~^\circ\mathrm{C}\).
Ветер дует вдоль экватора. Его скорость не изменяется по высоте башни. Влияние башни на скорость ветра учитывать не нужно.
Программа с интерфейсом командной строки моделирует измерение времени падения \(t\) и смещения от основания башни \(s\). Вам необходимо ввести высоту \(h\) , с которой бросили шар, его радиус \(r\) и плотность \(\rho\). Все вводимые параметры задаются с клавиатуры после соответствующих запросов и подтверждаются нажатием Enter.
Чтобы начать работу, введите следующий код авторизации после запроса:
Ввод неправильного значения переведет программу в тестовый режим. Вам потребуется перезапустить программу.
Типичный вид одного цикла моделирования выглядит так:
Сначала вам нужно ввести высоту \(h\) в метрах (число от 0 до 2000), затем радиус шара \(r\) в сантиметрах (число от 5 до 50) и, наконец, плотность шара \(\rho\) в г/см\(^3\) (число от 0.1 до 10).
После ввода каждого из значений нажимайте Enter. Программа выдаст \(t\) в секундах и \(s\) в метрах.
Затем программа возвращается назад к вводу высоты башни.
Если вы введете значение, которое выходит за доступный диапазон, программа выведет сообщение об ошибке:
и затем вы сможете указать величину заново.
Вводимое значение высоты \(h\) будет округлено до 1 м, \(r\) до 1 см и \(\rho\) до 0.01 г/см\(^3\).
(Не имеет смысла вводить более точные значения).
Результаты эксперимента имеют случайные погрешности, которые имитируют ограниченную точность реального эксперимента. Величины погрешностей можно найти, наблюдая за флуктуациями выходных значений.
Если вам потребуется выйти, чтобы перезагрузить программу, нажмите Ctrl+C.
Гравитационная постоянная \(G = 6.67\times10^{-11}\,\mathrm м^3\:\mathrm {кг}^{-1}\:\mathrm с^{-2}\).
Универсальная газовая постоянная \(R = 8.314\,\mathrm {Дж}\:\mathrm {моль}^{-1}\:\mathrm К^{-1}\),
\(0^\circ\mathrm C=273.15\,\mathrm К\).
Сила сопротивления, действующая со стороны воздуха с плотностью \(\rho_a\) на шар с площадью поперечного сечения \(A\), движущийся со скоростью \(v\), определяется по формуле:\[F_d=0.24A\rho_av^2\]
Зависимость плотности воздуха от высоты для адиабатической атмосферы описывается формулой \[\rho_a(h) =\rho_{a0}\left( 1 - \frac{\gamma - 1}{\gamma}\frac{\mu gh}{RT_0}\right)^{\frac{1}{\gamma - 1}} = \rho_{a0}\left( 1 - \frac{h}{H_0}\right)^{\frac{1}{\gamma - 1}},\]
где \(\gamma\) – показатель адиабаты, \(\mu\) – молярная масса воздуха (под воздухом понимается газ, из которого состоит атмосфера планеты), \(g\) – ускорение свободного падения и \(h\) – высота от поверхности планеты. Данная формула верна до самого верха атмосферы, где \(T=0\;\mathrm{K}\).
Часть A. Свойства планеты (3.0 балла)
A1. Определите ускорение свободного падения \(g\) на планете. Выполните необходимые измерения и постройте график. Оцените погрешность результата.
A2. Отойдя от башни вдоль экватора, вы обнаружили, что вершину башни видно с расстояний вплоть до \(L = 230 \:\mathrm{км}\) (расстояние от вершины башни до вас). Чему равен радиус планеты \(R\)? Считайте, что ваша высота намного меньше высоты башни.
A3. Найдите массу планеты \(M\). Оцените погрешность результата.
Какой физический эффект сильнее всего влияет на оценку \(M\)? Отметьте правильный эффект в листе ответов.
Часть B. Свойства атмосферы (6.5 баллов)
B1. Определите скорость ветра \(u\) на поверхности планеты. Выполните необходимые измерения и постройте график. Оцените погрешность результата.
B2. Определите плотность воздуха \(\rho_{a0}\) на поверхности планеты. Используйте предыдущие данные или выполните необходимые измерения. Постройте график. Оцените погрешность результата.
B3. Предполагая, что атмосфера является адиабатической с коэффициентом \(\gamma =\) 1.4, определите толщину атмосферы \(H_0\). Выполните необходимые измерения и постройте график. Оцените погрешность результата.
B4. Определите молярную массу \(\mu\) воздуха и давление воздуха \(p_0\) у основания башни. Оцените погрешность результата.
Часть C. Продолжительность суток (2.5 балла)
C1. Определите продолжительность суток \(T_p\) на планете. Выполните необходимые измерения и постройте график. Оцените погрешность результата.
зад 2 Цилиндрический диод
Цилиндрический вакуумный диод состоит из двух коаксиальных цилиндров. Внутри расположен эмиттер (emitter) радиуса \(R_E\) и длины \(L_E\), который испускает электроны. Эти электроны движутся через вакуум к коллектору (collector), радиус которого \(R_C\), а эффективная длина бесконечна. На коллектор подается положительный потенциал \(V\). Эмиттер при этом заземлен, поэтому электроны от эмиттера притягиваются к коллектору.
Эмиттер нагревается, поэтому всегда есть избыток электронов, которые ускоряются в направлении коллектора за счет разности потенциалов. Эти электроны образуют плазму в вакууме между электродами. Из-за свойств плазмы существует максимальный ток, который может течь через диод. Этот ток зависит от потенциала коллектора и геометрии системы.
Во время всего эксперимента вам следует использовать для измерений только значения \(R_C \ge 5R_E\).
Если \(L_E\) достаточно велико по сравнению с \(R_C\), можно вычислить максимальный ток через диод по формуле:
\[I_{\infty} = G R_C{}^\alpha L_E{}^\beta V^{\gamma} \qquad(1)\]
где \(G = G(R_C/R_E)\) не постоянная, а функция безразмерного отношения \(R_C/R_E\).
Если \(L_E\) сравнимо с \(R_C\), необходимо учитывать поправки к формуле выше, тогда максимальный ток через диод описывается выражением
\[I_{L} = I_{\infty} F(R_C, R_E, L_E, V) \qquad(2)\]
где \(F\) – безразмерная функция некоторых (или всех) из параметров \(R_C\), \(R_E\), \(L_E\) и \(V\). Выражение (1) - частный случай выражения (2), соответствующий случаю \(F=1\).
В этом эксперименте вы можете использовать при моделировании любой радиус цилиндра от 0.1 см до 20.0 см с шагом 0.1 см; длина цилиндра может меняться от 1.0 см до 99.0 см также с шагом 0.1 см. При моделировании источник напряжения может создавать положительное напряжение от 0 до 2000 вольт, амперметр измеряет ток через диод.
Предлагаем вам до начала эксперимента быстро прочитать все пункты задачи, чтобы более эффективно спланировать сбор данных.
Описание программы для моделирования
Программа для моделирования в этой задаче называется Exp2. Она позволяет провести неограниченное количество измерений максимального тока \(I\) для разных наборов входных параметров: радиуса коллектора \(R_C\), радиуса и длины эмиттера \(R_E\) и \(L_E\), разности потенциалов между эмиттером и коллектором \(V\). Все значения параметров вводятся с помощью клавиатуры после соответствующего запроса и подтверждаются нажатием клавиши Enter.
Чтобы начать работу, введите следующий код авторизации после запроса:
Ввод неправильного значения переведет программу в тестовый режим. Вам потребуется перезапустить программу.
Типичный вид одного цикла моделирования выглядит так:
Сначала вам нужно ввести радиус коллектора, затем радиус эмиттера, затем длину эмиттера (все в сантиметрах), и наконец разность потенциалов (в вольтах). После ввода каждого из значений нажимайте Enter.
Затем программа снова возвращается к запросу радиуса коллектора.
Если вы введете значение, которое выходит за доступный диапазон, программа выведет сообщение об ошибке
а затем предложит заново ввести значение.
Все длины округляются до ближайшего значения в миллиметрах, а любое напряжение округляется до ближайшего целого числа вольт; ввод более точного значения не приводит к увеличению точности измерений. Считается, что длины измеряются с погрешностью 0.5 мм, напряжения - с погрешностью 0.5 В. Из-за этих погрешностей выдаваемые программой значения имеют некоторый случайный разброс, повторные измерения могут давать разные результаты.
Амперметр автоматически определяет диапазон измерений, показывая только три значащих цифры и переключаясь с мА на А в зависимости от величины тока. Его погрешность составляет \(\pm \frac{1}{2}\) последней отображаемой цифры. Обращайте внимание на то, в амперах или миллиамперах указан ток.
Если значение тока превышает 40 ампер, амперметр сгорает. Программа вам сообщает об этом и автоматически чинит амперметр для следующего измерения.
Если вам потребуется выйти, чтобы перезагрузить программу, нажмите Ctrl+C.
Часть A. Показатели степеней (4.5 балла)
Требуется определить показатели степеней в выражении (1) и оценить погрешности для каждого результата:
A1. Соберите данные, необходимые для определения степени \(\gamma\), в которую возводится величина \(V\). У вас есть две миллиметровки: с линейным масштабом и с двойным логарифмическим. Выбрав одну из них по своему усмотрению, постройте график. Рассчитайте значение \(\gamma\) и приведите расчет ее погрешности.
A2. Соберите данные, необходимые для определения степени \(\beta\), в которую возводится величина \(L_e\). Выбрав одну из миллиметровок по своему усмотрению, постройте график. Рассчитайте значение \(\beta\) и приведите расчет ее погрешности.
A3. Соберите данные, необходимые для определения степени \(\alpha\), в которую возводится величина \(R_c\). Выбрав одну из миллиметровок по своему усмотрению, постройте график. Рассчитайте значение \(\alpha\) и приведите расчет ее погрешности.
Часть B. Коэффициент G (1.0 балл)
B1. Проведя новые измерения или используя результаты предыдущих, определите значение функции \(G\), когда \(R_C=10R_E\), и приведите расчет погрешностей.
Часть C. Безразмерная функция F (2.5 балла)
Когда \(L_E\) сравнимо с \(R_c\), экспериментально определите, от каких из параметров \(R_C\), \(R_E\), \(L_E\), \(V\) зависит значение \(F\) из выражения (2).
C1. В листе ответов изобразите, как зависит \(F\) от своих параметров: возрастает, убывает или не меняется при их росте.
C2. При \(L_E \approx R_C\) функцию \(F\) можно аппроксимировать линейной функцией некой величины \(x\), выражающейся через какие-то два параметра из следующих: \(R_C\), \(R_E\), \(L_E\), \(V\). В листе ответов выберите одно из предложенных выражений для \(x\) то, которое описывает наиболее заметные изменения \(F\) при изменении параметров.
C3. Считайте, что при \(L_E\approx R_C\) выполняеся линейная зависимость \(F(x) = A + Bx\), и экспериментально определите \(B\). Выбирайте параметры из диапазона \(R_C/2 \le L_E \le 2R_C\). Постройте график линейной зависимости \(F\) от выбранной вами величины \(x\). Оценивать погрешности не требуется.
Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 2022, экспериментальный тур — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Перевод на русский — pho.rs.