зад 1 Характеристика коллоидов почвы
Коллоидная наука полезна для характеристики частиц почвы, поскольку многие из них можно рассматривать как коллоидные частицы микрометрового размера. Например, броуновское движение (случайное движение коллоидных частиц) можно использовать для измерения размеров частиц.
Часть A. Движение коллоидных частиц (\(1{,}6\) балла). Рассмотрим одномерное броуновское движение коллоидной частицы массой \(M\). Уравнение движения для её скорости \(v(t)\): \[M\dot v = -\gamma v(t) + F(t) + F_{\text{ext}}(t), \qquad (1)\] где \(\gamma\) — коэффициент трения, \(F(t)\) — сила, обусловленная случайными соударениями с молекулами воды, \(F_{\text{ext}}(t)\) — внешняя сила. В части A считаем \(F_{\text{ext}}(t)=0\).
(A.1) Молекула воды сталкивается с частицей в момент \(t=t_0\), передавая импульс \(I_0\), и после этого \(F(t)=0\). Если до столкновения \(v(t)=0\), то \(v(t)=v_0e^{-(t-t_0)/\tau}\) при \(t>t_0\). Определите \(v_0\) и \(\tau\), используя \(I_0\) и необходимые параметры уравнения (1). (\(0{,}8\) балла) В дальнейшем в ответах можно использовать \(\tau\).
(A.2) На самом деле молекулы воды сталкиваются с частицей одна за другой. Пусть \(i\)-е столкновение передаёт импульс \(I_i\) в момент времени \(t_i\). Определите \(v(t)\) при \(t>0\) и \(v(0)=0\). Также укажите неравенство, задающее диапазон \(t_i\), который нужно учитывать при заданном \(t\). В бланке ответов не обязательно указывать этот диапазон в выражении для \(v(t)\). (\(0{,}8\) балла)
Часть B. Эффективное уравнение движения (\(1{,}8\) балла). Из полученных результатов следует, что скорости \(v(t)\) и \(v(t')\) можно считать некоррелированными случайными величинами, если \(|t-t'|\gg\tau\). На этом основании введём теоретическую модель, приближённо описывающую одномерное броуновское движение, в которой скорость случайным образом меняется в каждом интервале времени \(\delta(\gg\tau)\), т.е. \[v(t)=v_n \qquad (t_{n-1}<t\le t_n), \qquad (2)\] где \(t_n=n\delta\) (\(n=0,1,2,\dots\)), а \(v_n\) — случайная величина, для которой \[\langle v_n\rangle=0, \qquad \langle v_nv_m\rangle=\begin{cases} C & (n=m),\\ 0 & (n\ne m),\end{cases} \qquad (3)\] с параметром \(C\), зависящим от \(\delta\). Здесь \(\langle X\rangle\) — среднее значение \(X\): если разыгрывать случайное число \(X\) бесконечно много раз, среднее будет \(\langle X\rangle\). Теперь рассмотрим смещение частицы \(\Delta x(t)=x(t)-x(0)\) при \(t=N\delta\), где \(N\) — целое число.
(B.1) Определите \(\langle\Delta x(t)\rangle\) и \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\), используя \(C\), \(\delta\) и \(t\). (\(1{,}0\) балл)
(B.2) Величина \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) называется среднеквадратичным смещением (СКС, mean square displacement, MSD). Это характерная наблюдаемая броуновского движения, соответствующая предельному случаю \(\delta\to0\). Отсюда можно показать, что \(C\propto\delta^{\alpha}\) и \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\propto t^{\beta}\). Определите значения \(\alpha\) и \(\beta\). (\(0{,}8\) балла)
Часть C. Электрофорез (\(2{,}7\) балла). Здесь рассматривается электрофорез, т.е. перенос заряженных частиц электрическим полем. Суспензия коллоидных частиц массой \(M\) и зарядом \(Q(>0)\) помещена в узкий канал с площадью поперечного сечения \(A\) (рис. 1(a)). Мы пренебрегаем взаимодействием между частицами, влиянием стенок, жидкости, ионов в ней и силой тяжести.
Рис. 1: Схема для части C.
Под действием однородного электрического поля \(E\) в направлении \(x\) частицы переносятся, и их концентрация \(n(x)\) (число частиц в единице объёма) становится неоднородной (рис. 1(b)). Когда \(E\) выключают, эта неоднородность постепенно исчезает. Это происходит из-за броуновского движения частиц. Если \(n(x)\) неоднородна, число частиц, движущихся вправо и влево, может различаться (рис. 1(c)). Это порождает поток частиц \(J_D(x)\) — среднее число частиц, проходящих через \(x\) вдоль оси \(x\) в единицу времени через единицу площади поперечного сечения. Известно, что этот поток удовлетворяет \[J_D(x)=-D\,\frac{dn}{dx}(x), \qquad (4)\] где \(D\) — коэффициент диффузии.
Для простоты допустим, что половина частиц имеет скорость \(+v\), а другая половина — \(-v\). Пусть \(N_+(x_0)\) — число частиц со скоростью \(+v\), пересекающих \(x_0\) слева направо, на единицу площади поперечного сечения в единицу времени. Чтобы частицы со скоростью \(+v\) пересекли \(x_0\) за промежуток времени \(\delta\), они должны находиться в заштрихованной области рис. 1(c). Поскольку \(\delta\) мало, в этой области \(n(x)\simeq n(x_0)+(x-x_0)\dfrac{dn}{dx}(x_0)\).
(C.1) Выразите \(N_+(x_0)\) через величины \(v\), \(\delta\), \(n(x_0)\) и \(\dfrac{dn}{dx}(x_0)\). (\(0{,}5\) балла)
Величину \(N_-(x_0)\) определим как аналог \(N_+(x_0)\) для скорости \(-v\). Тогда \(J_D(x_0)=\langle N_+(x_0)-N_-(x_0)\rangle\). По формуле (3) \(\langle v^2\rangle=C\).
(C.2) Определите \(J_D(x_0)\) через величины \(C\), \(\delta\), \(n(x_0)\) и \(\dfrac{dn}{dx}(x_0)\). Используя это и формулу (4), выразите \(D\) через \(C\) и \(\delta\), а \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) — через \(D\) и \(t\). (\(0{,}7\) балла)
Теперь рассмотрим влияние осмотического давления \(\Pi\). Оно задаётся формулой \(\Pi=\dfrac{n}{N_A}RT=nkT\), где \(N_A\) — постоянная Авогадро, \(R\) — газовая постоянная, \(T\) — температура, \(k=\dfrac{R}{N_A}\) — постоянная Больцмана. Поскольку \(n(x)\) зависит от \(x\), от \(x\) зависит и \(\Pi(x)\). Силы, обусловленные \(\Pi(x)\) и \(\Pi(x+\Delta x)\), должны уравновешивать полную силу поля \(E\), действующую на частицы (рис. 2). Здесь рассматриваем малые \(\Delta x\), так что \(n(x)\) можно считать постоянной на этом отрезке, а \(n(x+\Delta x)-n(x)\simeq\Delta x\,\dfrac{dn}{dx}(x)\).
Рис. 2: Баланс сил.
(C.3) Выразите \(\dfrac{dn}{dx}(x)\) через \(n(x)\), \(T\), \(Q\), \(E\) и \(k\). (\(0{,}5\) балла)
Рассмотрим баланс потоков. Помимо потока \(J_D(x)\), обусловленного броуновским движением, есть также поток \(J_Q(x)\), обусловленный электрическим полем: \[J_Q(x)=n(x)\,u, \qquad (5)\] где \(u\) — предельная скорость частиц под действием поля.
(C.4) Чтобы определить \(u\), используем уравнение (1) с \(F_{\text{ext}}(t)=QE\). Поскольку \(v(t)\) флуктуирует, рассмотрим \(\langle v(t)\rangle\). Полагая \(\langle v(0)\rangle=0\) и используя \(\langle F(t)\rangle=0\), вычислите \(\langle v(t)\rangle\) и найдите \(u=\lim_{t\to\infty}\langle v(t)\rangle\). (\(0{,}5\) балла)
(C.5) Баланс потоков: \(J_D(x)+J_Q(x)=0\). Выразите коэффициент диффузии \(D\) через \(k\), \(\gamma\) и \(T\). (\(0{,}5\) балла)
Часть D. Среднеквадратичное смещение (\(2{,}4\) балла). Допустим, мы наблюдаем броуновское движение изолированной сферической коллоидной частицы радиуса \(a=5{,}0\) мкм в воде. На рис. 3 показана гистограмма смещений \(\Delta x\) по оси \(x\), измеренных через каждые \(\Delta t=60\) с. Коэффициент трения \(\gamma=6\pi a\eta\), вязкость воды \(\eta=8{,}9\times10^{-4}\) Па\(\cdot\)с, температура \(T=25\,^{\circ}\)C.
Рис. 3: Гистограмма смещений (таблица под гистограммой содержит число смещений \(N_{\text{count}}\) для каждого значения \(\Delta x\), мкм).
(D.1) Оцените значение \(N_A\), не используя того факта, что это постоянная Авогадро, с точностью до двух значащих цифр по данным рис. 3. Газовая постоянная \(R=8{,}31\) Дж/(К\(\cdot\)моль). Не используйте значение постоянной Больцмана \(k\), приведённое в общих инструкциях. Что касается постоянной Авогадро, вы можете получить значение, отличающееся от приведённого в общих инструкциях. (\(1{,}0\) балл)
Теперь расширим модель из части B на описание движения частицы с зарядом \(Q\) в электрическом поле \(E\). Скорость \(v(t)\) из (2) заменяется на \(v(t)=u+v_n\) \((t_{n-1}<t\le t_n)\), где \(v_n\) удовлетворяет (3), а \(u\) — предельная скорость из (5).
(D.2) Выразите СКС \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) через \(u\), \(D\) и \(t\). Получите приближённые степенные законы для малых и больших \(t\), а также характерное время \(t_*\), при котором происходит изменение. Нарисуйте примерный график СКС в логарифмических координатах (log-log), отметив приблизительное положение \(t_*\). (\(0{,}8\) балла)
Далее рассмотрим плавающих микробов (рис. 4(a)), для простоты — одномерно (рис. 4(b)). Это сферические частицы радиуса \(a\). Они плывут со скоростью либо \(+u_0\), либо \(-u_0\); знак случайно выбирается в каждом интервале времени \(\delta_0\) без корреляций. Наблюдаемое движение — сумма смещений за счёт плавания и смещений за счёт броуновского движения сферической частицы.
Рис. 4: (a) Движение микробов. (b) Одномерная версия.
(D.3) На рис. 5 показан СКС \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) этих микробов; видны различные степенные законы для малых, больших и промежуточных \(t\), показанные пунктирными линиями. Получите степенной закон для каждого диапазона времени и выразите его через \(D\), \(u_0\), \(\delta_0\) и \(t\). (\(0{,}6\) балла)
Рис. 5: Среднеквадратичное смещение микробов. На рисунке: sec — с (секунда).
Часть E. Очистка воды (\(1{,}5\) балла). Здесь обсуждается очистка воды, содержащей коллоидоподобные почвенные частицы, путём добавления электролитов для их коагуляции. Частицы взаимодействуют через силы Ван-дер-Ваальса и электростатические силы; последние включают эффекты как поверхностных зарядов, так и окружающего слоя противоположно заряженных ионов (такие ионы и их слой называются противоионами и двойным электрическим слоем соответственно; см. рис. 6(a)). В результате потенциал взаимодействия для расстояния \(d\) между частицами (рис. 6(b)) задаётся формулой \[U(d)=-\frac{A}{d}+\frac{B\epsilon(kT)^2}{q^2}\,e^{-d/\lambda}, \qquad (6)\] где \(A\) и \(B\) — положительные постоянные, \(\epsilon\) — диэлектрическая проницаемость воды, \(\lambda\) — толщина двойного электрического слоя. Полагая, что заряды ионов равны \(\pm q\), имеем \[\lambda=\sqrt{\frac{\epsilon kT}{2N_Aq^2c}}, \qquad (7)\] где \(c\) — молярная концентрация ионов.
Рис. 6: (a) Поверхностные заряды коллоидных частиц и противоионы. (b) Определение расстояния \(d\).
(E.1) Добавление хлорида натрия (NaCl) к суспензии вызывает коагуляцию коллоидных частиц. Определите наименьшую концентрацию \(c\) NaCl, необходимую для коагуляции. Достаточно рассмотреть две частицы без тепловых флуктуаций, т.е. \(F(t)=0\) в уравнении (1), и считать, что предельная скорость для данной потенциальной силы достигается мгновенно. (\(1{,}5\) балла)
▶ПодсказкаСкрыть
Ключевая идея: в части A удобно пользоваться линейностью уравнения движения; в части B — тем, что дисперсия суммы независимых случайных скачков растёт пропорционально времени; в части E — условием исчезновения потенциального барьера как условием обращения в ноль производной \(U'(d)\).
▶ОтветСкрыть
A.1) \(v_0=\dfrac{I_0}{M}\), \(\tau=\dfrac{M}{\gamma}\); A.2) \(v(t)=\displaystyle\sum_i\frac{I_i}{M}e^{-(t-t_i)/\tau}\), неравенство \(0<t_i<t\); B.1) \(\langle\Delta x(t)\rangle=0\), \(\langle\Delta x(t)^2\rangle=C\delta t\); B.2) \(\alpha=-1\), \(\beta=1\); C.1) \(N_+(x_0)=\dfrac12 n(x_0)v-\dfrac14\dfrac{dn}{dx}(x_0)v^2\delta\); C.2) \(J_D(x_0)=-\dfrac12\dfrac{dn}{dx}(x_0)C\delta\), \(D=\dfrac12C\delta\), \(\langle\Delta x(t)^2\rangle=2Dt\); C.3) \(\dfrac{dn}{dx}=\dfrac{n(x)}{kT}QE\); C.4) \(\langle v(t)\rangle=\dfrac{QE}{\gamma}\left(1-e^{-t/\tau}\right)\), \(u=\dfrac{QE}{\gamma}\); C.5) \(D=\dfrac{kT}{\gamma}\); D.1) \(N_A=5{,}6\cdot10^{23}\) моль\(^{-1}\); D.2) \(\langle\Delta x(t)^2\rangle=(ut)^2+2Dt\); при малых \(t\) \(\langle\Delta x^2\rangle\propto t\), при больших \(t\) \(\langle\Delta x^2\rangle\propto t^2\), \(t_*=\dfrac{2D}{u^2}\); D.3) при малых \(t\): \(\langle\Delta x^2\rangle=2Dt\); при промежуточных \(t\): \(\langle\Delta x^2\rangle=u_0^2t^2\); при больших \(t\): \(\langle\Delta x^2\rangle=u_0^2\delta_0t\); E.1) \(c=\dfrac{8B^2\epsilon^3(kT)^5}{e^4N_AA^2q^6}\).
▶РешениеСкрыть
Часть A. Связь импульса с его изменением даёт \(Mv_0=I_0\), откуда \[v_0=\frac{I_0}{M}.\] При \(F=0\) уравнение движения имеет вид \(M\dot v=-\gamma v\). Подставляя \(v(t)=v_0e^{-(t-t_0)/\tau}\), получаем \[\tau=\frac{M}{\gamma}.\]
Благодаря линейности уравнения движения можно применить принцип суперпозиции: \(v(t)\) есть сумма решений для отдельных соударений, произошедших до момента \(t\): \[v(t)=\sum_i\frac{I_i}{M}\,e^{-(t-t_i)/\tau},\] где суммирование ведётся по тем \(i\), для которых \(0<t_i<t\). Это можно вывести и непосредственно. Сразу после \(i\)-го соударения скорость равна \(v(t_i)=v_0(t_i)+\dfrac{I_i}{M}\), где \(v_0(t_i)\) — скорость непосредственно перед соударением. Между соударениями \(t_i<t<t_{i+1}\) соударений не происходит, поэтому \(v(t)=\left(v_0(t_i)+\dfrac{I_i}{M}\right)e^{-(t-t_i)/\tau}\). Отсюда \(v_0(t_{i+1})=\left(v_0(t_i)+\dfrac{I_i}{M}\right)e^{-(t_{i+1}-t_i)/\tau}\), и при \(v_0(t_1)=0\) \[v_0(t_i)=\sum_{j=1}^{i-1}\frac{I_j}{M}\,e^{-(t_i-t_j)/\tau},\] а при \(t_i<t<t_{i+1}\) \[v(t)=\sum_{j=1}^{i}\frac{I_j}{M}\,e^{-(t-t_j)/\tau},\] что эквивалентно выражению выше.
Часть B. Из определения модели \[\Delta x(t)=\sum_{n=1}^{N}v_n\delta.\] Усредняя и используя \(\langle v_n\rangle=0\), получаем \(\langle\Delta x(t)\rangle=0\). Для СКС возводим эту сумму в квадрат и усредняем: \[\langle\Delta x(t)^2\rangle=\sum_{m=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\langle v_mv_n\rangle\delta^2.\] Используя \(\langle v_mv_n\rangle=C\) при \(n=m\) и \(0\) при \(n\ne m\), находим \(\langle\Delta x(t)^2\rangle=NC\delta^2\). Поскольку \(N\delta=t\), \[\langle\Delta x(t)^2\rangle=C\delta t.\] Как сказано в условии, СКС — характерная наблюдаемая броуновского движения, принимающая конечное значение при заданном \(t\). Для модели имеем \(C\delta t\), но для описания броуновского движения нужно рассмотреть предел \(\delta\to0\). Для этого \(C\delta\) должно оставаться конечным, так что \(C\propto\delta^{-1}\). Тогда \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\propto t\).
Примечание. Непрерывный предел \(\delta\to0\) этой модели соответствует сверхдемпфированному уравнению Ланжевена (без внешней силы) \[\gamma\frac{dx}{dt}=\xi(t), \qquad \langle\xi(t)\rangle=0,\quad \langle\xi(t)\xi(t')\rangle=2D\,\delta(t-t'),\] где \(\xi(t)\) — гауссов шум, \(D\) — коэффициент диффузии; \(\delta(t)\) — дельта-функция, \(\delta(t)=0\) при \(t\ne0\), \(\delta(0)=\infty\), но \(\int_a^b\delta(t)\,dt=1\) для любых \(a<0\) и \(b>0\).
Часть C. Баланс сил, показанный на рис. 2, выражается уравнением \[\Pi(x)A+n(x)A\,\Delta x\,QE=\Pi(x+\Delta x)A.\] Для малых \(\Delta x\) считаем, что \(n(x)\) можно считать постоянной на этом участке.
Для частиц со скоростью \(v\,(>0)\) через точку \(x_0\) за время \(\delta\) проходят только частицы из интервала \(x_0-v\delta\le x\le x_0\). Поэтому число таких частиц на единицу площади поперечного сечения в единицу времени равно \[N_+(x_0)=\frac{1}{\delta}\int_{x_0-v\delta}^{x_0}\frac12\,n(x)\,dx.\] Разлагая \(n(x)\simeq n(x_0)+(x-x_0)\dfrac{dn}{dx}(x_0)\) и интегрируя, получаем \[N_+(x_0)=\frac12 n(x_0)v-\frac14\frac{dn}{dx}(x_0)\,v^2\delta.\] Аналогично \[N_-(x_0)=\frac12 n(x_0)v+\frac14\frac{dn}{dx}(x_0)\,v^2\delta,\] и из \(J_D(x_0)=\langle N_+(x_0)-N_-(x_0)\rangle\) \[J_D(x_0)=-\frac12\frac{dn}{dx}(x_0)\,\langle v^2\rangle\delta=-\frac12\frac{dn}{dx}(x_0)\,C\delta.\] Сравнивая с (4), получаем \(D=\dfrac12C\delta\), а из результата B: \[\langle\Delta x(t)^2\rangle=2Dt.\]
Из баланса сил \(\Pi(x)=n(x)kT\) (уравнение Вант-Гоффа) и разложения \(n(x+\Delta x)\) в ряд Тейлора находим \[\frac{dn}{dx}=\frac{n(x)}{kT}\,QE.\]
Уравнение движения для \(\langle v(t)\rangle\): \[M\frac{d\langle v(t)\rangle}{dt}=-\gamma\langle v(t)\rangle+QE.\] При начальном условии \(\langle v(0)\rangle=0\) получаем \[\langle v(t)\rangle=\frac{QE}{\gamma}\left(1-e^{-t/\tau}\right), \qquad u=\lim_{t\to\infty}\langle v(t)\rangle=\frac{QE}{\gamma}.\] Примечание. Ожидается, что студент угадает, что решение этого уравнения имеет функциональный вид, аналогичный решению (S1.2), приведённому в условии.
Из результата C.3 и формулы (4): \[J_D(x)=-\frac{DQE}{kT}\,n(x).\] Из результата C.4 и формулы (5): \[J_Q(x)=\frac{QE}{\gamma}\,n(x).\] Подставляя в баланс потоков \(J_D+J_Q=0\), получаем \[D=\frac{kT}{\gamma}.\]
Часть D. Комбинируя результаты C.2 и C.5 при \(k=R/N_A\) и \(\gamma=6\pi a\eta\), получаем соотношение, связывающее СКС с \(N_A\): \[\langle\Delta x^2\rangle=\frac{RT\,\Delta t}{3\pi a\eta N_A}.\] По данным рис. 3 СКС оценивается как \(\langle\Delta x^2\rangle\approx6{,}34\) мкм\(^2\). Подставляя это и значения параметров, получаем \[N_A=5{,}6\times10^{23}\ \text{моль}^{-1}.\] Примечание. В 1908 году Жан Батист Перрен провёл подобное наблюдение и получил оценку \(N_A\), согласующуюся с известными тогда значениями других методов. Это убедило научное сообщество в том, что молекулы, а значит, и атомы существуют как составные части вещества. Перрен получил Нобелевскую премию по физике 1926 года за работы о прерывистом строении материи и, в особенности, за открытие седиментационного равновесия. Подробнее см., например, S. G. Brush, «A History of Random Processes: I. Brownian Movement from Brown to Perrin», Archive for History of Exact Sciences, т. 5, с. 1–36 (1968). Примечание. 20 мая 2019 года определения физических постоянных, включая постоянную Авогадро \(N_A\), были изменены. Теперь \(N_A\) задаётся фиксированным значением и не определяется измерениями.
D.2. Используя \(\Delta x(t)=\sum_{n=1}^{N}(u+v_n)\delta\) и формулу (3), для произвольного \(t\) получаем \[\langle\Delta x^2\rangle=(ut)^2+2Dt.\] Это можно переписать как \[\langle\Delta x^2\rangle=u^2t\left(t+\frac{2D}{u^2}\right)=u^2t(t+t_*), \qquad t_*=\frac{2D}{u^2}.\] Следовательно, \[\langle\Delta x^2\rangle\propto \begin{cases} t & \text{при } t\ll t_*,\\ t^2 & \text{при } t\gg t_*.\end{cases}\] Пример графика для ответа:
На графике: \(\log\langle\Delta x(t)^2\rangle\) — по вертикали, \(\log t\) — по горизонтали, отмечено положение \(t_*\) (log \(t_*\)).
D.3. Поскольку микроб не меняет направление плавания при \(t\ll\delta_0\), можно использовать результат D.2, заменив \(u\) на \(u_0\). Напротив, при \(t\gg\delta_0\) движение микроба описывается моделью из части B, однако параметр \(\delta\) здесь уже не искусственный, а характеризует движение микроба: \(\delta=\delta_0\). Параметр \(C\) равен \(C=u_0^2\). Подставляя это в (S1.14) и собирая результаты, получаем \[\langle\Delta x^2\rangle= \begin{cases} 2Dt & \text{при } t\ll 2D/u_0^2,\\ u_0^2t^2 & \text{при } 2D/u_0^2\ll t\ll\delta_0,\\ u_0^2\delta_0\,t & \text{при } \delta_0\ll t. \end{cases}\] Примечание. Точнее, при \(t\gg\delta_0\) можно показать, что \(\langle\Delta x^2\rangle=(u_0^2\delta_0+2D)t\). Однако для существования промежуточного режима нужно \(2D/u_0^2\ll\delta_0\), откуда \(u_0^2\delta_0\gg2D\), и выражение выше является хорошим приближением. Примечание. Описанное движение микроба называется «run-and-tumble» (бег и кувырок), за исключением того, что обычно предполагается, что микроб меняет направление плавания («кувырок») через случайные промежутки времени. Некоторые бактерии, включая Escherichia coli, плавают именно так.
Часть E. Вывод. Потенциальный барьер есть, если \(c\) мало, но он исчезает, когда \(c\) превышает пороговое значение. Именно это пороговое значение и требуется найти. Условие исчезновения барьера: \[\min U'(d)=0.\] Это выражается двумя уравнениями: \[U'(d)=\frac{A}{d^2}-\frac{B\epsilon(kT)^2}{q^2\lambda}\,e^{-d/\lambda}=0, \qquad U''(d)=-\frac{2A}{d^3}+\frac{B\epsilon(kT)^2}{q^2\lambda^2}\,e^{-d/\lambda}=0.\] Решая их, получаем \[d=2\lambda=\sqrt{\frac{Aq^2\lambda}{B\epsilon(kT)^2}}\]
и, следовательно, \[\lambda=\frac{e^2Aq^2}{4B\epsilon(kT)^2}.\] Подставляя это в \(c=\dfrac{\epsilon kT}{2N_Aq^2}\,\lambda^{-2}\), получаем \[c=\frac{8B^2\epsilon^3(kT)^5}{e^4N_AA^2q^6}.\] Примечание. В литературе также принято считать, что критическая концентрация достигается, когда барьер опускается до уровня энергии при \(d\to\infty\), т.е. \(\max U(d)=0\). Хотя это не соответствует требованиям условия, при этом условии получаем \(c=\dfrac{B^2\epsilon^3(kT)^5}{2e^2N_AA^2q^6}\), что отличается от (S1.42) лишь множителем \(e^2/8\approx0{,}92\).
зад 2 Нейтронные звёзды
Мы обсуждаем устойчивость больших ядер и оцениваем массу нейтронных звёзд теоретически и экспериментально.
Часть A. Масса и устойчивость ядер (\(2{,}5\) балла). Энергия покоя ядра \(m(Z,N)c^2\), состоящего из \(Z\) протонов и \(N\) нейтронов, меньше суммы энергий покоя протонов и нейтронов (далее — нуклонов) на энергию связи \(B(Z,N)\), где \(c\) — скорость света в вакууме. Пренебрегая малыми поправками, энергию связи можно приближённо записать как сумму объёмного члена с \(a_V\), поверхностного члена с \(a_S\), кулоновского члена с \(a_C\) и члена симметрии с \(a_{\text{sym}}\): \[m(Z,N)c^2=Am_Nc^2-B(Z,N),\] \[B(Z,N)=a_VA-a_SA^{2/3}-a_C\frac{Z^2}{A^{1/3}}-a_{\text{sym}}\frac{(N-Z)^2}{A}, \qquad (1)\] где \(A=Z+N\) — массовое число, \(m_N\) — масса нуклона. В расчётах используйте \(a_V\approx15{,}8\) МэВ, \(a_S\approx17{,}8\) МэВ, \(a_C\approx0{,}711\) МэВ и \(a_{\text{sym}}\approx23{,}7\) МэВ (МэВ = \(10^6\) эВ).
(A.1) При условии \(Z=N\) определите \(A\), при котором энергия связи на нуклон \(B/A\) максимальна. (\(0{,}9\) балла)
(A.2) При фиксированном \(A\) атомный номер наиболее стабильного ядра \(Z^*\) определяется максимизацией \(B(Z,A-Z)\). Для \(A=197\) вычислите \(Z^*\) по формуле (1). (\(0{,}9\) балла)
(A.3) Ядро с большим \(A\) распадается на более лёгкие ядра делением, чтобы минимизировать полную энергию покоя. Для простоты рассмотрим один из возможных способов разделения ядра с \((Z,N)\) на два одинаковых ядра, который происходит, когда выполняется соотношение \[m(Z,N)c^2>2\,m(Z/2,N/2)c^2.\] Записав это соотношение в виде \[Z^2/A>C_{\text{fission}}\,\frac{a_S}{a_C},\] найдите \(C_{\text{fission}}\) с точностью до двух значащих цифр. (\(0{,}7\) балла)
Часть B. Нейтронная звезда как гигантское ядро (\(1{,}5\) балла). Для больших ядер с достаточно большим массовым числом \(A>A_c\), при некотором пороге \(A_c\), такие ядра остаются устойчивыми к делению благодаря достаточно большой энергии связи, обусловленной гравитацией.
(B.1) Предположим, что \(N=A\) и \(Z=0\) реализуются при достаточно большом \(A\), и формула (1) продолжает выполняться с добавлением гравитационной энергии связи. Гравитационная энергия связи \[B_{\text{grav}}=\frac35\,\frac{GM^2}{R},\] где \(M=m_NA\) и \(R=R_0A^{1/3}\), \(R_0\simeq1{,}1\times10^{-15}\) м \(=1{,}1\) фм — масса и радиус ядра соответственно. Для \(B_{\text{grav}}=a_{\text{grav}}A^{5/3}\) найдите \(a_{\text{grav}}\) в МэВ с точностью до первой значащей цифры. Затем, пренебрегая поверхностным членом, оцените \(A_c\) с точностью до первой значащей цифры. В расчётах используйте \(m_Nc^2\simeq939\) МэВ и \(G=\hbar c/M_P^2\), где \(M_Pc^2\simeq1{,}22\times10^{22}\) МэВ и \(\hbar c\simeq197\) МэВ\(\cdot\)фм. (\(1{,}5\) балла)
Часть C. Нейтронная звезда в двойной системе (\(6{,}0\) балла). Некоторые нейтронные звёзды являются пульсарами: они регулярно излучают электромагнитные волны (для простоты здесь называемые «светом») с постоянным периодом. Нейтронные звёзды часто образуют двойные системы с белым карликом. Рассмотрим конфигурацию звёзд, показанную на рис. 1, где световой импульс от нейтронной звезды N до Земли E проходит вблизи белого карлика W двойной системы. Измерение этих импульсов, искажённых гравитационным полем звезды, позволяет точно оценить массу W, как объяснено ниже, и тем самым оценить массу N.
Рис. 1: Конфигурации с осью \(x\) вдоль линии, соединяющей N и E. (a) при \(x_N<0\), (b) при \(x_N>0\).
(C.1) Как показано на рисунке ниже, в однородном гравитационном ускорении \(g\) размещаем два уровня I и II с разностью высот \(\Delta h\,(>0)\). Устанавливаем одинаковые часы на уровнях I и II и на свободно падающей системе \(F\); часы обозначим соответственно часы-I, часы-II и часы-\(F\).
Схема мысленного эксперимента.
Допустим, что наблюдатель находится вместе с часами-\(F\), и изначально \(F\) находится на той же высоте, что и часы-I, а её скорость равна нулю. Поскольку часы одинаковы, они отсчитывают одинаковые интервалы времени: \(\Delta\tau_F=\Delta\tau_I\). Затем отпустим \(F\) свободно падать и будем работать в системе отсчёта \(F\), которую считаем инерциальной. В этой системе часы-II проходят мимо часов-\(F\) со скоростью \(v\), поэтому замедление времени для часов-II определяется преобразованием Лоренца. Когда на часах-\(F\) проходит время \(\Delta\tau_I\), на часах-II проходит время \(\Delta\tau_{II}\). Определите \(\Delta\tau_{II}\) через \(\Delta\tau_I\) с точностью до первого порядка по \(\Delta\phi/c^2\), где \(\Delta\phi=g\Delta h\) — разность гравитационного потенциала, т.е. потенциальной энергии на единицу массы. (\(1{,}0\) балл)
(C.2) Под действием гравитационного потенциала \(\phi\) задержки времени изменяют эффективную скорость света \(c_{\text{eff}}\), наблюдаемую на бесконечности, хотя локальная скорость света равна \(c\). При \(\phi(r=\infty)=0\) \(c_{\text{eff}}\) с точностью до первого порядка по \(\phi/c^2\) равна \[c_{\text{eff}}\approx\left(1+\frac{2\phi}{c^2}\right)c,\] включая эффект искривления пространства, который не учитывался в C.1. Заметим, что путь света можно приближённо считать прямой линией. Как показано на рис. 1(a), направим ось \(x\) вдоль светового пути от нейтронной звезды N к Земле E и поместим \(x=0\) в точке, где белый карлик W ближе всего к световому пути. Пусть \(x_N(<0)\) — координата \(x\) звезды N, \(x_E(>0)\) — координата E, а \(d\) — расстояние между W и световым путём. Оцените изменение времени прихода \(\Delta t\) света от N до E, вызванное белым карликом массой \(M_{\text{WD}}\), и выразите ответ в простом виде, пренебрегая членами высшего порядка малости величин: \(d/|x_N|\ll1\), \(d/x_E\ll1\) и \(GM_{\text{WD}}/(c^2d)\ll1\). При необходимости используйте формулу \[\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+d^2}}=\frac12\log\!\left(\frac{\sqrt{x^2+d^2}+x}{\sqrt{x^2+d^2}-x}\right)+C\] (log — натуральный логарифм). (\(1{,}8\) балла)
(C.3) Как показано ниже, в двойной звёздной системе N и W движутся по круговым орбитам с нулевым эксцентриситетом вокруг центра масс \(G\) в плоскости орбиты. Пусть \(\varepsilon\) — угол наклона орбиты, отсчитываемый от плоскости орбиты до направления от \(G\) к E, \(L\) — расстояние между N и W, а \(M_{\text{WD}}\) — масса белого карлика. Далее считаем \(\varepsilon\ll1\).
Двойная звёздная система.
Мы наблюдаем световые импульсы от N на E, далёкой от N. Путь света до E меняется со временем в зависимости от конфигурации N и W. Задержка между приходом импульсов на E имеет максимальное значение \(\Delta t_{\max}\) при \(x_N\simeq-L\) и минимальное значение \(\Delta t_{\min}\) при \(x_N\simeq L\) (конфигурация см. на рис. 1(b)). Вычислите \(\Delta t_{\max}-\Delta t_{\min}\) в простом виде, пренебрегая членами высшего порядка малости, как в C.2. Заметим, что задержки из-за гравитации от звёздных объектов, отличных от W, предполагаются взаимно сокращающимися в \(\Delta t_{\max}-\Delta t_{\min}\). (\(1{,}8\) балла)
(C.4) На рисунке ниже показаны наблюдаемые задержки времени как функция орбитальной фазы \(\varphi\) для двойной звёздной системы с \(L\approx6\times10^6\) км и \(\cos\varepsilon\approx0{,}99989\). Оцените \(M_{\text{WD}}\) в единицах массы Солнца \(M_\odot\) и приведите результат для \(M_{\text{WD}}/M_\odot\) с точностью до первой значащей цифры. Здесь можно использовать приближённое соотношение \(GM_\odot/c^3\approx5\) мкс.
Наблюдаемые задержки \(\Delta t\) как функция орбитальной фазы \(\varphi\) (см. рисунок в C.3), позволяющие определить положения N и W на орбитах. (\(0{,}8\) балла)
(C.5) В двойной системе нейтронных звёзд две звезды теряют энергию и угловой момент, излучая гравитационные волны, и в конце концов сталкиваются и сливаются. Для простоты рассмотрим только круговое движение с радиусом \(R\) и угловой скоростью \(\omega\); тогда \(\omega=\chi R^{p}\), где константа \(\chi\) не зависит ни от \(\omega\), ни от \(R\), если пренебречь релятивистскими эффектами. Определите значение \(p\). (\(0{,}4\) балла)
(C.6) Амплитуда излучаемой гравитационной волны от двойной системы из C.5 пропорциональна \(R^2\omega^2\). На рисунке ниже качественно показаны четыре различных временных профиля наблюдаемых гравитационных волн перед слиянием двух звёзд. Выберите наиболее подходящий профиль из (a)–(d). (\(0{,}2\) балла)
Наблюдаемые профили гравитационных волн.
▶ПодсказкаСкрыть
Ключевая идея: в части C задержка света вблизи массивного тела выражается через логарифм, а разность задержек для двух конфигураций сокращает неизвестные координаты; в части B сравните гравитационную энергию связи с объёмным членом.
▶ОтветСкрыть
A.1) \(A=50\); A.2) \(Z^*=79\); A.3) \(C_{\text{fission}}=7{,}0\cdot10^{-1}\); B.1) \(a_{\text{grav}}\approx6\cdot10^{-37}\) МэВ, \(A_c\approx4\cdot10^{55}\); C.1) \(\Delta\tau_{II}=\left(1-\dfrac{\Delta\phi}{c^2}\right)\Delta\tau_I\); C.2) \(\Delta t=\dfrac{2GM_{\text{WD}}}{c^3}\log\dfrac{4|x_N|x_E}{d^2}\); C.3) \(\Delta t_{\max}-\Delta t_{\min}=\dfrac{2GM_{\text{WD}}}{c^3}\log\dfrac{4}{\varepsilon^2}\); C.4) \(M_{\text{WD}}/M_\odot=0{,}5\); C.5) \(p=-\dfrac32\); C.6) профиль (b).
▶РешениеСкрыть
Часть A. Формула энергии связи, приведённая в условии, известна как формула Вайцзеккера–Бете; физическая интерпретация объёмного и поверхностного членов основана на модели жидкой капли. Формула хорошо работает, за исключением оболочечных эффектов. Найдём \(A\), при котором энергия связи на единицу массового числа достигает экстремума: \[\frac{B}{A}=a_V-a_SA^{-1/3}-\frac{a_C}{4}A^{2/3}. \qquad (S2.1)\]
При малом \(A\) второй член доминирует и быстро растёт с \(A\), пока его не перекроет третий, убывающий член. Поэтому экстремум соответствует максимуму \(B/A\). Тогда \[\frac{d(B/A)}{dA}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{a_S}{3}A^{-4/3}-\frac{a_C}{6}A^{-1/3}=0,\] откуда \[A=\frac{2a_S}{a_C}. \qquad (S2.4)\] По заданным числовым значениям \(A=50\) (должно быть целым). Примечание. На самом деле \(B/A\) имеет максимум при \(A\) от \({}^{56}\)Fe до \({}^{62}\)Ni. Расхождение с ответом этой задачи объясняется пренебрежением энергией спаривания и разностью масс протона и нейтрона.
A.2. Дифференцируя \(B(Z,A-Z)/A\) по \(Z\) при фиксированном \(A\), получаем \[-\frac{2a_CZ^*}{A^{1/3}}-4a_{\text{sym}}\frac{2Z^*-A}{A}=0,\] откуда \[Z^*=\frac{1}{1+\dfrac{a_C}{4a_{\text{sym}}}A^{2/3}}\cdot\frac{A}{2}. \qquad (S2.6)\] Из этого выражения видно, что \(Z^*\simeq N\) при достаточно малом \(A\), а для больших \(A\) \(Z^*\) становится гораздо меньше \(N\). Симметрийная энергия стремится к \(Z=N\), кулоновское взаимодействие — к \(Z\to0\), и баланс этих эффектов определяет \(Z^*\). Ядра с избытком нейтронов (протонов) претерпевают \(\beta^-\)-распад (\(\beta^+\)-распад или захват электрона) к стабильному \((Z,N)\).
A.3. Подставляя энергию связи в данное неравенство, видим, что объёмные члены сокращаются благодаря сохранению объёма. Тогда условие содержит только \(a_S\) и \(a_C\): \[a_S\left[A^{2/3}-2\left(\frac A2\right)^{2/3}\right]+a_C\left[\frac{Z^2}{A^{1/3}}-\frac{2(Z/2)^2}{(A/2)^{1/3}}\right]>0,\] что, как указано в условии, упрощается до \[\frac{Z^2}{A}>\frac{2^{1/3}-1}{1-2^{-2/3}}\cdot\frac{a_S}{a_C}.\] Следовательно, числовой коэффициент равен \(0{,}7\). Примечание. Используя значения \(a_S\) и \(a_C\), находим, что такой симметричный процесс деления возможен при \(Z^2/A\gtrsim18\). Например, свинец (Pb) с \(Z=82\) и \(A=208\) — стабильный элемент среди нескольких изотопов. Для него \(82^2/208\approx32\), что больше порога 18. Ключ к разрешению этого расхождения — потенциальный барьер деформации. Когда тяжёлое ядро делится на два осколка, его форма и поверхность меняются по сравнению со стабильной конфигурацией (которая из-за взаимодействия не обязательно сферическая), поэтому поверхностная энергия возрастает. Хотя некоторые тяжёлые элементы энергетически неустойчивы, время, необходимое для преодоления потенциального барьера, может быть очень большим.
Часть B. Выражение, не зависящее от \(A\) явно, можно идентифицировать как \[a_{\text{grav}}=\frac35\,\frac{Gm_N^2}{R_0}. \qquad (S2.9)\] Выражая \(G\) через \(M_P\), получаем \[a_{\text{grav}}=\frac35\,\frac{\hbar c\,m_N^2}{R_0M_P^2} =\frac35\cdot\frac{197\ \text{фм}\cdot\text{МэВ}\times(939\ \text{МэВ}/c^2)^2}{1{,}1\ \text{фм}\times(1{,}22\times10^{22}\ \text{МэВ}/c^2)^2} \simeq6{,}4\times10^{-37}\ \text{МэВ}. \qquad (S2.10)\] Здесь \(M_P\) — величина, часто называемая массой Планка. Гравитационный эффект крайне мал по сравнению с типичным масштабом ядерной физики, и эта разница масштабов очевидна при записи \(G\) через \(M_P\) в МэВ.
Устойчивость определяется условием положительности энергии связи: \[B_{\text{total}}(A)=a_VA-a_{\text{sym}}A+a_{\text{grav}}A^{5/3}>0. \qquad (S2.11)\] Это неравенство приводится к виду \(A>A_c\), где \[A_c=\left(\frac{a_{\text{sym}}-a_V}{a_{\text{grav}}}\right)^{3/2}\simeq4{,}4\times10^{55}. \qquad (S2.12)\] Примечание. Можно думать, что отрыв одного нейтрона — процесс с наименьшим изменением площади поверхности и потому с наименьшим барьером. Это приводит к условию \(B_{\text{total}}(A)>B_{\text{total}}(A-1)\), или приближённо \(dB_{\text{total}}(A)/dA>0\), которое выполняется в окне с \(B_{\text{total}}<0\). Условие \(dB_{\text{total}}/dA=0\) даёт меньшее \(A_c\), но неясно, можно ли в природе приготовить такое неустойчивое начальное состояние. Нейтронная звезда рождается при сверхновых типа II (коллапс ядра), а протонейтронная звезда, образующаяся сразу после этого, — энергичное состояние при высокой температуре. Нейтрино выносят тепло из протонейтронной звезды за время порядка \(\mathcal{O}(10)\) с. Какова возможная наименьшая масса нейтронной звезды? Это до конца не понято, отчасти потому, что компьютерное моделирование сверхновых остаётся серьёзной проблемой даже сегодня. Хотя по теории масса нейтронной звезды может стать гораздо меньше \(M_\odot\), моделирование и наблюдения указывают на массу \(\gtrsim1{,}4\,M_\odot\).
Часть C. Из закона сохранения энергии свободно падающая система приобретает кинетическую энергию \(\tfrac12mv^2\) за счёт потенциальной энергии \(mg\Delta h\), и её скорость равна \[v^2=2g\Delta h=2\Delta\phi. \qquad (S2.13)\] Задержку времени можно вывести из стандартных рассуждений. Пусть часы-II проходят две бесконечно близкие точки \(z\) и \(z+\Delta z\) в системе \(F\) в моменты \(t\) и \(t+\Delta\tau_{II}\); тогда интервал времени по часам-II равен \[\Delta\tau_{II}=\frac{\gamma}{c}\left(c\,\Delta\tau_F-\beta\,\Delta z\right), \qquad (S2.14)\] где использовано преобразование Лоренца, \(\beta=v/c\), \(\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\). Поскольку \(\Delta z/\Delta\tau_F=v\) и \(\Delta\tau_F=\Delta\tau_I\), это выражение записывается как \[\Delta\tau_{II}=\gamma(1-\beta^2)\Delta\tau_F=\sqrt{1-\beta^2}\,\Delta\tau_I. \qquad (S2.15)\] Используя выражение для \(v^2\), получаем \[\Delta\tau_{II}=\sqrt{1-\frac{2\Delta\phi}{c^2}}\,\Delta\tau_I\simeq\left(1-\frac{\Delta\phi}{c^2}\right)\Delta\tau_I. \qquad (S2.16)\] Сноска. Часы-\(F\) находятся в инерциальной системе, а часы-II — нет. Используя часы-II\('\) в другой свободно падающей системе II\('\) как инерциальный эталон для часов-II, преобразование Лоренца обосновывается для часов-II\('\), наблюдаемых из \(F\).
C.2. Через эффективную скорость света полное время, необходимое свету на путь от N до E: \[t_{E\text{-}N}=\int_{x_N}^{x_E}\frac{dx}{c_{\text{eff}}(x)}. \qquad (S2.17)\] Знаменатель раскладывается по гравитационному потенциалу, и главная поправка равна \[t_{E\text{-}N}\simeq\frac1c\int_{x_N}^{x_E}dx\left(1+\frac{2GM_{\text{WD}}}{c^2\sqrt{x^2+d^2}}\right) =\frac{x_E-x_N}{c}+\Delta t,\] где задержка \(\Delta t\) равна \[\Delta t=\frac{2GM_{\text{WD}}}{c^3}\int_{x_N}^{x_E}\frac{dx}{\sqrt{x^2+d^2}} =\frac{GM_{\text{WD}}}{c^3}\log\!\left(\frac{\sqrt{x^2+d^2}+x}{\sqrt{x^2+d^2}-x}\right)\Bigg|_{x=x_N}^{x=x_E}. \qquad (S2.18)\text{–}(S2.19)\] Внутри логарифма используются приближения \[\sqrt{x_N^2+d^2}+x_N\simeq\frac{d^2}{2|x_N|}, \qquad \sqrt{x_N^2+d^2}-x_N\simeq2|x_N|, \qquad (S2.20)\] и \[\sqrt{x_E^2+d^2}-x_E\simeq\frac{d^2}{2x_E}, \qquad \sqrt{x_E^2+d^2}+x_E\simeq2x_E. \qquad (S2.21)\] Тогда простой вид приближённой задержки: \[\Delta t\simeq\frac{2GM_{\text{WD}}}{c^3}\log\frac{4|x_N|x_E}{d^2}. \qquad (S2.22)\]
C.3. Для \(\Delta t_{\max}\) имеем \(|x_N|=L\cos\varepsilon\simeq L\) и \(d=L\sin\varepsilon\simeq L\varepsilon\), поэтому ответ C.2 даёт \[\Delta t_{\max}=\frac{2GM_{\text{WD}}}{c^3}\log\frac{4x_E}{L\varepsilon^2}. \qquad (S2.23)\] Для \(\Delta t_{\min}\) знак \(x_N\) меняется. Выражение для \(\Delta t\) сохраняется, но приближения принимают другой вид: \[\sqrt{x_N^2+d^2}+x_N\simeq2x_N, \qquad \sqrt{x_N^2+d^2}-x_N\simeq\frac{d^2}{2x_N}. \qquad (S2.24)\] Тогда \[\Delta t_{\min}\simeq\frac{GM_{\text{WD}}}{c^3}\log\!\left(\frac{2x_E\cdot d^2/(2x_N)}{d^2/(2x_E)\cdot2x_N}\right) =\frac{2GM_{\text{WD}}}{c^3}\log\frac{x_E}{L}, \qquad (S2.25)\] где использовано \(x_N\simeq L\) в последнем выражении. В разности \(\Delta t_{\max}-\Delta t_{\min}\) величины \(L\) и \(x_E\) сокращаются: \[\Delta t_{\max}-\Delta t_{\min}=\frac{2GM_{\text{WD}}}{c^3}\log\frac{4}{\varepsilon^2}.\]
C.4. Используя разложение \(\cos\varepsilon\simeq1-\frac12\varepsilon^2\), получаем \[\varepsilon^2\simeq2(1-\cos\varepsilon)=0{,}00022. \qquad (S2.26)\] По графику разность задержек по времени приблизительно равна \[\Delta t_{\max}-\Delta t_{\min}\approx50\ \text{мкс}. \qquad (S2.27)\] Из этих численных значений \[M_{\text{WD}}=M_\odot\left(\frac{2GM_\odot}{c^3}\right)^{-1}\frac{\Delta t_{\max}-\Delta t_{\min}}{\log(4/\varepsilon^2)} \simeq\frac{50\ \text{мкс}}{10\ \text{мкс}\cdot\log(4/0{,}00022)}\,M_\odot\simeq0{,}5\,M_\odot. \qquad (S2.28)\] Примечание. Данные этой задачи приблизительно соответствуют пульсару PSR J1614-2230 [см. P. B. Demorest et al., Nature 467, 1080–1083 (2010)]. По задержке Шапиро масса белого карлика оценивалась как \(0{,}500\pm0{,}006\,M_\odot\). По кеплеровским орбитальным параметрам двойной системы масса нейтронной звезды считалась равной \(1{,}97\pm0{,}04\,M_\odot\), что было самой тяжёлой известной нейтронной звездой на тот момент. С тех пор найдены несколько кандидатов в более тяжёлые нейтронные звёзды.
C.5. Для круговой орбиты радиуса \(R\) уравнение движения \[mR\omega^2=\frac{GmM}{R^2}, \qquad (S2.29)\] если \(M\) достаточно велика. Отсюда \[R^3\omega^2=GM=\text{const}. \qquad (S2.30)\] Это третий закон Кеплера, и соотношение выполняется и для более общих эллиптических орбит вокруг центра масс. Следовательно, \(\omega\propto R^{-3/2}\), т.е. \(p=-\dfrac32\).
C.6. Сумма кинетической и потенциальной энергий \[E=\frac12mR^2\omega^2-\frac{GmM}{R}. \qquad (S2.31)\] Из уравнения движения это переписывается как \[E=-\frac12\,\frac{GmM}{R}. \qquad (S2.32)\] Поэтому при уменьшении \(E\) из-за излучения гравитационных волн \(R\) уменьшается, а \(\omega\) растёт. Поскольку амплитуда пропорциональна \(R^2\omega^2\propto R^{-1}\), она тоже растёт. Итак, и частота, и амплитуда возрастают со временем, как показано на профиле (b).
зад 3 Вода и тела
В этой задаче рассматриваются явления, вызванные взаимодействием воды с телами и связанные с поверхностным натяжением. Часть A посвящена движению, части B и C — статическим ситуациям. Если нужно, можно использовать тот факт, что если функция \(y(x)\) удовлетворяет дифференциальному уравнению \(y''(x)=a\,y(x)\) (\(a\) — положительная постоянная), то её общее решение имеет вид \(y(x)=Ae^{\sqrt{a}\,x}+Be^{-\sqrt{a}\,x}\), где \(A\) и \(B\) — произвольные постоянные.
Часть A. Слияние капель воды (\(2{,}0\) балла). Как показано на рис. 1, рассмотрим две неподвижные сферические капли воды на поверхности супергидрофобного материала, т.е. между материалом и водой существует очень сильная отталкивающая сила. Изначально две соседние одинаковые сферические капли воды помещаются на поверхность; затем они сливаются после соприкосновения и образуют большую сферическую каплю, которая внезапно подпрыгивает вверх.
Рис. 1: Слияние двух капель воды и подпрыгивание слившейся капли.
(A.1) Радиус \(a\) обеих капель воды до слияния равен \(100\ \text{мкм}\). Плотность воды \(\rho\) равна \(1{,}00\times10^3\) кг/м\(^3\). Коэффициент поверхностного натяжения \(\gamma\) равен \(7{,}27\times10^{-2}\) Дж/м\(^2\). Часть \(k\) разности поверхностной энергии до и после слияния, \(\Delta E\), переходит в кинетическую энергию подпрыгнувшей капли. Определите начальную скорость подскока \(v\) слившейся капли с точностью до двух значащих цифр при следующих допущениях: \(k=0{,}06\); до и после слияния полный объём воды сохраняется. (\(2{,}0\) балла)
Часть B. Вертикально расположенная пластина (\(4{,}5\) балла). Плоская пластина погружена в воду вертикально. На рис. 2(a) и 2(b) показаны формы поверхности воды для гидрофильного (притягивающего) и гидрофобного материала пластины соответственно. Толщиной пластины пренебрегаем. Поверхность пластины лежит в плоскости \(yz\), а горизонтальная поверхность воды вдали от пластины — в плоскости \(xy\) при \(z=0\). Форма поверхности не зависит от координаты \(y\). Пусть \(\theta(x)\) — угол между поверхностью воды и горизонтальной плоскостью в точке \((x,z)\) поверхности воды в плоскости \(xz\). Угол \(\theta(x)\) отсчитывается от положительного направления оси \(x\), вращение против часовой стрелки считается положительным. Пусть \(\theta(x)\) равно \(\theta_0\) в точке контакта пластины с водой (\(x=0\)). В дальнейшем \(\theta_0\) определяется свойствами материала пластины.
Плотность воды \(\rho\) постоянна, коэффициент поверхностного натяжения \(\gamma\) однороден. Ускорение свободного падения \(g\). Атмосферное давление \(P_0\) всюду считается однородным. Определим форму поверхности воды в следующих шагах. Заметим, что единица поверхностного натяжения — Дж/м\(^2\), так же как Н/м.
Рис. 2: Пластины, вертикально погружённые в воду. (a) гидрофильный случай; (b) гидрофобный случай.
(B.1) Рассмотрим гидрофильный случай, показанный на рис. 2(a). Заметим, что давление воды \(P\) удовлетворяет условиям \(P<P_0\) при \(z>0\) и \(P=P_0\) при \(z=0\). Выразите \(P\) на высоте \(z\) через \(\rho\), \(g\), \(z\) и \(P_0\). (\(0{,}6\) балла)
(B.2) Рассмотрим блок воды, вырез которого показан затенённым на рис. 3(a). Его сечение в плоскости \(xz\) показано штриховкой на рис. 3(b). Пусть \(z_1\) и \(z_2\) — левая и правая координаты краёв границы (поверхности воды) между блоком воды и воздухом. Найдите горизонтальную (\(x\)-) компоненту результирующей силы на единицу длины вдоль оси \(y\), \(f_x\), действующей на блок воды из-за давления, через \(\rho\), \(g\), \(z_1\) и \(z_2\). Заметим, что \(P_0\) не создаёт результирующей горизонтальной силы на блок воды. (\(0{,}8\) балла)
Рис. 3: Вырез блока воды на поверхности воды. (a) вид сверху (bird's eye view) и (b) поперечное сечение.
(B.3) Сила поверхностного натяжения, действующая на блок воды, уравновешивается силой \(f_x\) из B.2. Обозначим \(\theta_1\) и \(\theta_2\) углы между поверхностью воды и горизонтальной плоскостью на левом и правом краях соответственно. Выразите \(f_x\) через \(\gamma\), \(\theta_1\) и \(\theta_2\). (\(0{,}8\) балла)
(B.4) В произвольной точке \((x,z)\) поверхности воды выполняется соотношение \[\frac12\left(\frac{z}{\ell}\right)^{a}+\cos\theta(x)=\text{const}. \qquad (1)\] Определите показатель \(a\) и выразите постоянную \(\ell\) через \(\gamma\) и \(\rho\). Заметим, что это соотношение выполняется независимо от того, гидрофильный или гидрофобный материал пластины. (\(0{,}8\) балла)
(B.5) В уравнении (1) из B.4 предположим, что изменение поверхности воды медленное, т.е. \(|z'(x)|\ll1\), так что можно разложить \(\cos\theta(x)\) по \(z'(x)\) до второго порядка включительно. Затем, дифференцируя полученное уравнение по \(x\), получим дифференциальное уравнение для \(z(x)\). Решите это уравнение и определите \(z(x)\) при \(x\ge0\) через \(\tan\theta_0\) и \(\ell\). Заметим, что вертикальные масштабы рис. 2 и 3 преувеличены для наглядности и не удовлетворяют условию \(|z'(x)|\ll1\). (\(1{,}5\) балла)
Часть C. Взаимодействие двух стержней (\(3{,}5\) балла). Одинаковые стержни A и B, изготовленные из одного и того же материала, плавают параллельно на поверхности воды на одинаковом расстоянии от оси \(y\) (рис. 4).
Рис. 4: Два стержня A и B, плавающие на поверхности воды.
(C.1) В точках контакта стержня B с поверхностью воды определим \(z\)-координаты \(z_a\) и \(z_b\) и углы \(\theta_a\) и \(\theta_b\), как показано на рис. 5. Определите горизонтальную компоненту силы \(F_x\), действующей на стержень B на единицу длины вдоль оси \(y\), через \(\theta_a\), \(\theta_b\), \(z_a\), \(z_b\), \(\rho\), \(g\) и \(\gamma\). (\(1{,}0\) балл)
Рис. 5: Вертикальное поперечное сечение двух стержней, плавающих на поверхности воды.
(C.2) Определим \(z\)-координату поверхности воды \(z_0\) в середине между двумя стержнями в плоскости \(xz\). Выразите силу \(F_x\), полученную в C.1, без использования \(\theta_a\), \(\theta_b\), \(z_a\) и \(z_b\). (\(1{,}5\) балла)
(C.3) Пусть \(x_a\) — координата \(x\) точки контакта между поверхностью воды и левой стороной стержня B. Используя дифференциальное уравнение, полученное в B.5, выразите координату уровня воды \(z_0\) в середине двух стержней A и B через \(x_a\) и \(z_a\). Можно использовать постоянную \(\ell\), введённую в B.4. (\(1{,}0\) балл)
▶ПодсказкаСкрыть
Ключевая идея: баланс сил на вырезанном блоке воды даёт интеграл гидростатического давления, который уравновешивается силой поверхностного натяжения; из этого следует постоянная вдоль поверхности величина, и решение дифференциального уравнения задаёт форму поверхности.
▶ОтветСкрыть
A.1) \(v\approx0{,}23\) м/с; B.1) \(P=P_0-\rho gz\); B.2) \(f_x=\dfrac12\rho g\left(z_2^2-z_1^2\right)\); B.3) \(f_x=\gamma\cos\theta_1-\gamma\cos\theta_2\); B.4) \(a=2\), \(\ell=\sqrt{\dfrac{\gamma}{\rho g}}\); B.5) \(z(x)=-\ell\tan\theta_0\,e^{-x/\ell}\); C.1) \(F_x=\dfrac12\rho g\left(z_b^2-z_a^2\right)+\gamma\left(\cos\theta_b-\cos\theta_a\right)\); C.2) \(F_x=-\dfrac12\rho g z_0^2\); C.3) \(z_0=\dfrac{2z_a}{e^{x_a/\ell}+e^{-x_a/\ell}}\).
▶РешениеСкрыть
Часть A. Поверхностная энергия одной капли до слияния \[E=4\pi a^2\gamma. \qquad (S3.1)\] Изменение поверхностной энергии при слиянии \[\Delta E=4\pi\left(2-2^{2/3}\right)a^2\gamma. \qquad (S3.2)\] Передача поверхностной энергии в кинетическую описывается соотношением \[\frac{Mv^2}{2}=k\,\Delta E, \qquad (S3.3)\] где \(k=0{,}06\) и \(M=\dfrac{4\pi a^3\rho}{3}\times2=\dfrac{8\pi a^3\rho}{3}\) — масса капли после слияния. Численный расчёт даёт \[v=\sqrt{\frac{2k\,\Delta E}{M}}=\sqrt{3\left(2-2^{2/3}\right)\frac{k\gamma}{\rho a}} =\sqrt{3\left(2-2^{2/3}\right)\times\frac{0{,}06\times7{,}27\times10^{-2}}{1{,}0\times10^{3}\times100\times10^{-6}}} \approx0{,}232\ \text{м/с}. \qquad (S3.4)\] Примечание. Интересное явление, связанное с этим вопросом: на супергидрофобной поверхности при слиянии маленьких капель они высвобождают поверхностную энергию, а площадь поверхности уменьшается. Высвободившаяся энергия подбрасывает слившуюся каплю вверх. Это явление напоминает природный механизм у цикад: их крылья, обладающие супергидрофобной поверхностью, облегчают удаление капель воды при слиянии. Процесс служит естественной системой самоочистки, превращая поверхностную энергию в кинетическую, как описано в работе: Wisdom et al., Proc. Natl. Acad. Sci. USA 110, 7992–7997 (2013).
Часть B. Рассмотрим вертикальный столбик воды, показанный штриховкой на рис. S3-1. Баланс вертикальных сил на этот блок, приходящийся на единицу площади, даёт \(P+\rho gz=P_0\), откуда \[P=P_0-\rho gz.\]
Рис. S3-1 (решение B.1).
Поскольку атмосферное давление \(P_0\) не создаёт результирующей горизонтальной силы на блок воды, \[f_x=\int_{z_2}^{z_1}(-\rho gz)\,dz=\frac12\rho g\left(z_2^2-z_1^2\right). \qquad (S3.5)\] Эта сила направлена влево. Примечание. Причина, по которой \(P_0\) не создаёт результирующей горизонтальной силы, такова. Рассмотрим малый участок около поверхности (бесконечно малый кусок), который можно считать прямоугольным треугольником (рис. S3-2). Горизонтальная компонента суммарной силы, действующей на прямоугольный треугольник \(ABC\) на единицу длины вдоль оси \(y\), создаваемой атмосферным давлением, равна \[P_0\times\overline{AB}-P_0\times\overline{AC}\times\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=0.\] Интегрируя бесконечно малые куски по конечной области, получаем конечный объём воды, а результирующая сила остаётся равной нулю.
Рис. S3-2 (к примечанию B.2).
Горизонтальная компонента силы поверхностного натяжения, действующей на блок воды, равна \(\gamma\cos\theta_2-\gamma\cos\theta_1\). Тогда баланс горизонтальных сил \[f_x+\gamma\cos\theta_2-\gamma\cos\theta_1=0. \qquad (S3.6)\] Отсюда \(f_x=\gamma\cos\theta_1-\gamma\cos\theta_2\).
Из результатов B.2 и B.3 \[\frac12\rho gz_1^2+\gamma\cos\theta_1=\frac12\rho gz_2^2+\gamma\cos\theta_2. \qquad (S3.7)\] Поскольку это соотношение выполняется в произвольной точке \((x,z)\) поверхности воды, \[\frac12\rho gz^2+\gamma\cos\theta=\text{const}, \qquad (S3.8)\] что можно записать как \[\frac12\left(\frac z\ell\right)^{a}+\cos\theta(x)=\text{const} \qquad (S3.9)\] с \(a=2\) и \(\ell=\sqrt{\gamma/(\rho g)}\). Примечание. Соотношение (S3.9) — своего рода закон сохранения. Постоянная \(\ell\) называется капиллярной длиной.
B.5. Производная \(z'\) координаты поверхности воды связана с углом наклона \(\theta\) соотношением \(z'=\tan\theta\). Отсюда \[\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+(z')^2}} \qquad\Rightarrow\qquad \cos\theta\simeq1-\frac12\,(z')^2. \qquad (S3.10)\text{–}(S3.11)\] Подставляя в (S3.9), получаем \[\frac{z^2}{\ell^2}-z'^2=\text{const}. \qquad (S3.12)\] Дифференцируя по \(x\), \[z''=\frac{z}{\ell^2}, \qquad (S3.13)\] что и есть дифференциальное уравнение, определяющее форму поверхности воды. Его общее решение \[z=Ae^{x/\ell}+Be^{-x/\ell}. \qquad (S3.14)\] Граничное условие \(z(\infty)=0\) даёт \(A=0\), а условие \(z'(0)=\tan\theta_0\) даёт \(B=-\ell\tan\theta_0\).
Часть C. Горизонтальная компонента силы давления \[\int_{z_a}^{z_b}(\rho gz)\,dz=\frac12\rho g\left(z_b^2-z_a^2\right). \qquad (S3.15)\] Пусть \(z_{\text{bottom}}\) — координата \(z\) нижней точки стержня. Тогда \[F_x=\int_{z_a}^{z_{\text{bottom}}}(-\rho gz)\,dz+\left(-\int_{z_b}^{z_{\text{bottom}}}(-\rho gz)\,dz\right) =\int_{z_a}^{z_b}(\rho gz)\,dz. \qquad (S3.16)\]
Вклад поверхностного натяжения, по аналогии с B.3, равен \(\gamma(\cos\theta_b-\cos\theta_a)\), и тогда \[F_x=\frac12\rho g\left(z_b^2-z_a^2\right)+\gamma\left(\cos\theta_b-\cos\theta_a\right).\] Примечание. Тот факт, что вклад давления не зависит от формы сечения, можно показать так. Давление в точке \(s\) на контуре \(C\) вдоль границы сечения равно \[-\hat P\hat n\,ds=\left(-P_0+\rho gz\right)\hat n\,ds. \qquad (S3.17)\] Пусть \(\hat x\) — единичный вектор в положительном направлении \(x\), и заметим, что \(\hat x\cdot\hat n\,ds=dz\) (рис. S3-3). Тогда горизонтальная компонента \[-\hat P\,\hat n\cdot\hat x\,ds=-P_0\,dz+\rho gz\,dz. \qquad (S3.18)\] Интегрирование по контуру \(C\) даёт \[\int_{z_a}^{z_b}(\rho gz)\,dz=\frac12\rho g\left(z_b^2-z_a^2\right). \qquad (S3.19)\]
Рис. S3-3 (к примечанию C.1). На рисунке: bottom — дно (нижняя точка стержня).
C.2. По граничным условиям к (S3.8): \[\underbrace{\frac12\rho gz_a^2+\gamma\cos\theta_a}_{x=x_a} =\underbrace{\frac12\rho gz_0^2+\gamma}_{x=0}, \qquad (S3.20)\] \[\underbrace{\frac12\rho gz_b^2+\gamma\cos\theta_b}_{x=x_b} =\underbrace{\gamma}_{x\to\infty}. \qquad (S3.21)\] Вычитая (S3.20) из (S3.21), получаем \(F_x=-\dfrac12\rho gz_0^2\). Примечание. Физическая основа этой задачи такова. Когда один стержень помещён на поверхность воды, форма поверхности по обе стороны от стержня остаётся одинаковой. Иначе говоря, стержень находится в среде с симметрией слева направо, и на него не действует сила. Когда же на поверхность помещены два стержня, симметрия слева направо нарушается с точки зрения каждого стержня, и возникает притягивающая сила. Смещение поверхности воды в середине между стержнями отличается от смещения горизонтальной поверхности; это отклонение обозначено \(z_0\). Иными словами, \(z_0\) играет роль параметра нарушения симметрии (рис. S3-4). То, что сила притяжения между стержнями определяется только этим параметром, указывает, что нарушение симметрии непосредственно является источником силы. Это соответствует фундаментальному принципу физики, связывающему нарушение симметрии с возникновением силы.
Рис. S3-4 (к примечанию C.2).
C.3. Общее решение для высоты поверхности воды: \[z(x)=Ae^{x/\ell}+Be^{-x/\ell}. \qquad (S3.22)\] Из симметрии слева направо \[A=B. \qquad (S3.23)\] Граничное условие \(z(0)=z_0\) даёт \[A+B=z_0. \qquad (S3.24)\] Следовательно, \(A=\dfrac{z_0}{2}\), \(B=\dfrac{z_0}{2}\). (S3.25) Подставляя в \(z(x_a)=z_a\) (точка контакта), получаем \[z_0=\frac{2z_a}{e^{x_a/\ell}+e^{-x_a/\ell}}.\]
Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 2023, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.