IPhO 2024, экспериментальный тур

Экспериментальная установка

В этом эксперименте используется медный стержень длиной \(57.0~ см\) и диаметром \(1.20~ см\), помещённый внутрь металлического ящика, опирающегося на квадратные фланцы (рис. 1). Металлический ящик служит для изоляции потока воздуха внутри.

Рис. 1. Общий вид экспериментального оборудования

Как показано на рисунке 2, по \(7.0~ см\) с каждого конца стержня изолированы пенополистиролом. В стержне просверлено семь отверстий на равных расстояниях по \(7.0~ см\). Глубина отверстий равна \(0.6~ см\), и в каждое из них помещен датчик температуры (терморезистор). Эти датчики пронумерованы от 1 до 7 слева направо. Аналогичный датчик под номером 8 помещен внутрь металлического ящика для измерения его температуры (обозначена \(\theta_\mathrm b\)).

Рис. 2. Медный стержень и просверленные отверстия

На двух концах стержня в просверленных продольно отверстиях длиной \(5.2~ см\) установлены два электрических нагревателя с разной мощностью. Левый и правый нагреватели пронумерованы как №2 и №3 соответственно. Четыре вентилятора в верхней части металлического ящика используются для создания потока воздуха внутри ящика и вокруг стержня. Эти вентиляторы, а также медный стержень видны снизу ящика, как показано на рисунке 3.

Рис. 3. Вид снизу

Спереди установлена панель управления AVA-T403. На этой панели находятся все переключатели для управления различными компонентами установки: вентиляторами, нагревателями, секундомером и т.д. На мониторе панели управления отображаются все измерения, сделанные датчиками. Питание, необходимое для работы всех приборов, обеспечивается блоком питания \(24~ В\), подключенным к розетке. Он находится рядом с металлическим ящиком.

Справа от панели управления установлен меньший медный стержень длиной \(12.0~ см\), который также обёрнут пенополистиролом. В продольное отверстие справа вставлен нагреватель №1 с выходной мощностью \(1 . 95 \pm 0 . 06~ Вт\), как показано на рис. 4. На другом конце просверлено еще одно продольное отверстие, в которое вставлен терморезистор PT100 (платиновый термометр-100), а также аналогичный восьми другим датчикам температуры терморезистор R9. Эти два датчика и нагреватель подключены к AVA, и AVA показывает значения их сопротивления (в омах).

Рис. 4. Медный стержень меньшего размера

Обратите внимание на следующие моменты:

1. Не прикасайтесь к кнопкам на оборудовании и не приводите их в действие до тех пор, пока этого явно не просят в условии.

2. Вам не нужно делать с установкой ничего, помимо указанного в условии. Будьте осторожны, чтобы не нарушить её состояние и не отсоединить провода.

3. Не перемещайте установку во время эксперимента.

4. Если на мониторе появится сообщение «Turn off Heater1», немедленно выключите нагреватель №1.

5. Включение нагревателей приводит к повышению температуры, поэтому системе потребуется дополнительное время для достижения равновесного состояния. Не включайте нагреватели без необходимости.

6. Вычисление погрешностей требуется для тех значений, напротив которых в листах ответов присутствует знак \(\pm\).

7. Коэффициент корреляции (обозначается \(\mathrm{reg}\) в условии и \(r\) на калькуляторе) – это число от \(1\) до \(-1\), показывающее, насколько хорошо данные могут быть описаны линейной зависимостью. Если \(\mathrm{reg}=1\), это означает, что данные полностью лежат на прямой.

   Для расчёта погрешности углового коэффициента b линейной зависимости вы всегда должны использовать формулу:\[\Delta b=b\sqrt{\frac{1}{n-2}\left(\frac{1}{\mathrm{reg}^2}-1\right)},\]где \(n\) – число экспериментальных точек.

Оборудование

1. Резисторы могу вести себя по-разному в ответ на изменение температуры. Одним из широко используемых резисторов является PT100, сопротивление которого ведёт себя линейно в значительном диапазоне температур, т.е.:\[R=R_0(1+\alpha\theta),\qquad(1)\]где \(R_0\) – значение сопротивления при \(0\,{}^\circ\mathrm C\), \(\alpha\) – постоянный коэффициент (в диапазоне температур данной задачи), а \(\theta\) – температура в градусах Цельсия. Значение \(\alpha\) для резистора, используемого в этой задаче, равно \(0.0039083 \,{}^\circ\mathrm C^{-1}\). Для PT100, \(R_0=100.00~ Ом\).

2. Терморезисторы с 1 по 9 ведут себя нелинейно в ответ на изменение температуры и обычно используются для измерения небольших изменений температуры. Сопротивление этих терморезисторов изменяется с температурой следующим образом:\[R'=R'_0\exp\left[\frac{E_\mathrm g}{2k_\mathrm BT}\right].\qquad(2)\]Здесь \(R'_0\) – постоянная величина, \(k_\mathrm B=8.61733\cdot10^{-5}~ эВ/К\) – постоянная Больцмана, \(T\) – температура в кельвинах, а \(E_\mathrm g\) – так называемая ширина запрещённой зоны полупроводникового материала терморезистора. Напоминаем, что \(T=(\theta+273.15)~К\).

3. Цифровое устройство AVA было разработано иранскими инженерами специально для этого эксперимента. AVA измеряет мгновенные сопротивления терморезисторов с 1 по 9 и PT100 каждые две секунды. Затем, основываясь на формуле (2), оно выводит на экран температуру этих датчиков, кроме терморезистора №9, для которого отображается только значение сопротивления. Слева на мониторе AVA в столбик отображаются температуры датчиков с 1 по 7. В последней строке отображается либо температура датчика 8, либо сопротивление датчика 9 (\(R_9\)). Вы можете переключаться между этими двумя значениями, нажимая кнопку \(\theta_\mathrm b-R_9\) показанную на рисунке 5.

   В AVA также есть секундомер, который работает так же, как и любой его привычный аналог: при нажатии кнопки Start/Stop секундомер начинает измерять прошедшее время, а повторное нажатие кнопки Start/Stop останавливает отсчёт. Во время работы секундомера нажатие кнопки Lap приводит к сохранению всех отображаемых значений. При нажатии на ту же кнопку, когда секундомер не работает, показания сбрасываются, однако сохраненные данные не стираются. Чтобы стереть данные, необходимо нажать и удерживать кнопку Lap/Reset в течение 5 секунд.

   Сохраненные данные можно просмотреть, повторно нажав кнопку Next/Prev: нажатие Prev показывает предыдущее значение, нажатие Next – следующее. Все сохраненные данные удаляются при выключении и включении устройства. Устройство не выключается автоматически.

4. Как показано на рисунке 5, на панели AVA есть один переключатель для включения и выключения вентиляторов, а также три переключателя для включения нагревателей. Значок каждого переключателя находится под ним. Мощность первого нагревателя равна \(1.95~ Вт\), мощность второго нагревателя указана на устройстве (см. рис. 6), а мощность третьего нагревателя неизвестна.

Рис. 5. Кнопки Start/Stop и Lap (подробная информация о функциях кнопок приведена в пункте 3)

Рис. 6. Мощность второго нагревателя

Теория

В этой задаче тепло передается внутри стержня посредством теплопроводности, а от стержня к окружающему воздуху – посредством естественной или принудительной конвекции. Кроме того, из-за теплоемкости стержня часть тепла, попадающего в стержень, уходит на повышение его температуры.

(a) Теплопроводность: для проводящего тепло материала в форме стержня скорость теплопередачи \(\mathrm dQ/\mathrm dt\) через малый участок (рис. 7) без потерь тепла на боковой поверхности в установившемся режиме выглядит следующим образом:\[\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=-kA\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dx},\qquad(3)\]где \(\mathrm d\theta\) – разность температур между двумя краями дифференциального элемента, \(A\) – площадь поперечного сечения, \(\mathrm dx\) – длина рассматриваемого малого участка, а \(k\) – коэффициент теплопроводности, который зависит от типа материала, из которого изготовлен стержень.

Рис. 7. Теплопроводность в малом участке стержня (без учёта конвекции)

(b) Конвекция: Для любого объекта, обменивающегося теплом с воздухом через свою боковую поверхность, справедливо следующее соотношение:\[\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=-hS\Delta\theta,\qquad(4)\]где \(S\) – площадь боковой поверхности, \(\Delta\theta\) – разность температур между объектом и окружающим воздухом, а \(h\) – коэффициент конвективной теплопередачи, который зависит от формы объекта и характера теплового потока через боковые поверхности объекта.

Эксперимент

Чтобы сэкономить время, мы рекомендуем вам включить нагреватель 2 и вентиляторы, которые понадобятся в части B. Убедитесь, что другие нагреватели при этом выключены.

Часть A. Короткий медный стержень (3.9 балла)

A0. Запишите цифры от 0 до 9 в таблицу.

Перед включением нагревателя 1 маленький стержень имеет ту же температуру, что и окружающая среда. Пункты A1 – A3 относятся к процессу нагревания, а пункты A4 – A7 – к процессу охлаждения стержня.

A1. Запишите начальное значение сопротивления \(R_\mathrm{env}\) для PT100, когда он находится при температуре окружающей среды. Используя уравнение \((1)\), вычислите эту температуру.

Обозначим суммарную теплоемкость стержня, нагревателя и датчиков как \(C_S\). Чтобы найти \(C_S\), необходимо включить нагреватель 1 и измерять значения сопротивления в течение не менее 150 секунд. Обратите внимание, что нагрев и охлаждение датчиков происходят с временной задержкой.

A2. Через промежутки времени примерно в 10 секунд записывайте значение \(R\). Проделайте это не менее 15 раз.

A3. Постройте график снятой в пункте A2 зависимости, проведите по точкам прямую и найдите её угловой коэффициент. Из углового коэффициента найдите \(C_S\).

Подождите, пока значение \(R\) не достигнет \(120~Ом\), а затем выключите нагреватель 1. Через несколько секунд температура стержня и сопротивление \(R\) начнут медленно уменьшаться. Когда PT100 остывает, его сопротивление определяется по формуле:\[R-R_\mathrm{env}=A\mathrm e^{-\gamma t},\qquad(5)\]где \(A\) и \(\gamma\) – некоторые постоянные.

A4. Снимите зависимость от времени величины \(R-R_\mathrm{env}\).

A5. Постройте на миллиметровке в листах ответов полулогарифмический график зависимости, снятой вами в пункте A4. Вычислите отсюда \(\gamma\).

Благодаря изолятору, который обёрнут вокруг стержня, резисторы быстрее достигают теплового равновесия, а стержень имеет более равномерный температурный профиль.

A6. Измерьте и запишите сопротивление \(R_9\) терморезистора 9, выраженное в единицах \(R\). Проведите измерение не менее чем при семи различных значениях \(R\) в диапазоне \(114-120~Ом\).

A7. Постройте полулогарифмический график зависимости \(R_9\) от \(1/T\) на миллиметровке в листах ответов и вычислите по нему ширину запрещённой зоны \(E_\mathrm g\) в электронвольтах (эВ).

Часть B. Длинный медный стержень (4.1 балла)

Прежде чем приступать к этой части, дождитесь, когда стержень достигнет равновесного состояния, то есть когда измеренные температуры во всех точках будут постоянными. Обозначим температуры терморезисторов 1 – 7 как \(\theta_1\)–\(\theta_7\) соответственно. Положение терморезистора 1 соответствует \(x=0\).

.

B1. Когда стержень достигнет равновесного состояния, измерьте и запишите температуру \(\theta_\mathrm b\), а также температуры \(\theta_x\) семи точек на стержне.

Чтобы сэкономить время, сначала ознакомьтесь с частью C, а затем продолжите часть B.

B2. Постройте на миллиметровке в листах ответов полулогарифмический график зависимости разности между температурой в точке \(x\) и температурой в ящике, \(\theta_x-\theta_\mathrm{b}\), от положения \(x\) вдоль стержня.

Можно показать, что зависимость температуры от расстояния \(x\) до нагревателя 2 описывается следующим соотношением:\[\theta_x=\theta_\mathrm b+A\mathrm e^{-\lambda x}+B\mathrm e^{\lambda x},\qquad(6)\]где \(\theta_\mathrm b\) – температура воздуха в ящике, \(A\) и \(B\) – некоторые постоянные, а \(\lambda=\sqrt{2h/kr}\), где \(r\) – радиус стержня. В первом приближении можно проигнорировать точки с большими значениями \(x\), и принять \(B\) равным нулю. В этом случае мы можем в первом приближении найти \(\lambda\) и \(A\), назовем их \(\lambda^0\) и \(A^0\).

B3. Используя температуры \(\theta_1\)–\(\theta_5\) и график из пункта B2, найдите \(\lambda^0\) и \(A^0\).

Температура на самом дальнем от нагревателя конце стержня \(x=d\) не меняется при малом изменении \(x\). Это можно использовать для определения \(B\) при известных \(\lambda\), \(A\) и \(d\).

B4. Выразите \(B\) через \(\lambda\), \(A\) и \(d\). Используя результаты пункта B3, вычислите \(B\) при \(d= 44 . 0 ~см\). Обозначим полученное значение как \(B^1\).

Теперь мы можем использовать полученное значение \(B\) для уточнения предыдущих расчётов. Для этого введём величины:\[\theta'_x=\theta_x-B^1\mathrm e^{\lambda^0x}.\]

B5. Вычислите значения от \(\theta'_1\) до \(\theta'_7\) и заполните соответствующие столбцы в таблице в листах ответов для пункта B1.

B6. Постройте на миллиметровке в листах ответов новый полулогарифмический график, позволяющий получить уточнённые значения \(\lambda\) и \(A\). Обозначим эти значения как \(\lambda^1\) и \(A^1\) соответственно.

Для получения точного решения необходимо многократно повторять процесс корректировки значений, но в итоге мы обнаружим, что окончательный ответ близок к \(\lambda=\dfrac{\lambda^0+\lambda^1}{2}\) и \(A=\dfrac{A^0+A^1}{2}\).

B7. Из условия равенства мощности, входящей в стержень, и мощности, выходящей из него, вычислите \(h\) и \(k\).

Часть C. Измерение неизвестной мощности (2.0 балла)

Оставляя вентиляторы включенными, включите нагреватели 2 и 3 и подождите, пока температура не достигнет равновесия во всех точках медного стержня (это займет около 15 минут).

C1. Измерьте и запишите значения температур с \(\theta_1\) по \(\theta_7\).

Можно показать, что в этом случае зависимость температуры от расстояния \(x\) выражается следующим образом:\[\theta_x-\theta_\mathrm b=A'\operatorname{ch}\left[\lambda(x-x_0)\right],\]где \(A'\) – постоянная, а \(\operatorname{ch}(u)\) – гиперболический косинус \(u\), который определяется как:\[\operatorname{ch}(u)=\frac{\mathrm e^u+\mathrm e^{-u}}{2}.\]

C2. Постройте график зависимости температуры от расстояния и вычислите отсюда \(x_0\).

C3. Используя свой собственный метод, вычислите мощность нагревателя 3. Поясните свой метод как можно яснее, записав в явном виде математические формулы, которые вы использовали для получения результатов.

▶РешениеСкрыть

Решение

A0.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
٠	١	٢	٣	۴	۵	۶	۷	۸	۹

A1. Ответ:

\[R_\mathrm{env}=(110.11\pm0.01)~Ом\]

По формуле \(\theta=\dfrac{R-R_0}{R_0\alpha}\) получаем ответ для температуры:

Ответ:

\[\theta_\mathrm{env}=(25.87\pm0.03)\,{}^\circ\mathrm C\]

A2. Ответ:

\(n\)	\(R,~Ом\)	\(t,~с\)
1	110.11	0
2	110.11	10
3	110.15	20
4	110.18	30
5	110.26	40
6	110.40	50
7	110.53	60
8	110.66	70
9	110.82	80
10	110.96	9
11	111.12	100
12	111.25	110
13	111.41	120
14	111.57	130
15	111.73	140

A3. Ответ:

Ответ:

\[\dfrac{\mathrm dR}{\mathrm dt}=0.0147~Ом/с\]

Скорость изменения температуры:\[\dfrac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}=0.03761~{}^\circ\mathrm C/ с\]Теплоёмкость:\[C_S=\dfrac{P_1}{\mathrm d\theta/\mathrm dt}=52~Дж/{}^\circ\mathrm C\]Погрешность:\[\Delta C_S=C_s\dfrac{\Delta P_1}{P_1}=2~Дж/{}^\circ\mathrm C\]

Ответ:

\[C_S=(52\pm 2)~Дж/{}^\circ\mathrm C\]

A4. Ответ:

\(n\)	\(R,~Ом\)	\(t,~с\)	\((R-R_\mathrm{env}),~Ом\)
1	119.98	40	9.82
2	119.17	175	9.01
3	118.39	300	8.23
4	117.29	500	7.13
5	116.58	650	6.42
6	115.91	800	5.75
7	115.15	1000	4.99
8	114.51	1200	4.35
9	113.91	1400	3.75
10	113.40	1600	3.24

A5. Ответ:

Ответ:

\[\gamma=(710\pm3)\cdot10^{-6}~с^{-1}\]

A6. Ответ:

\(n\)	\(R,~Ом\)	\(R_9,~Ом\)	\(T,~К\)	\(T^{-1},~К^{-1}\)
1	8528	110.78	300.733	0.003325
2	7020	112.81	305.9272	0.003269
3	4005	117.83	318.772	0.003137
4	3601	119.13	322.0984	0.003105
5	3014	120.96	326.7808	0.00306
6	2658	122.27	330.1328	0.003029
7	1803	126.42	340.7515	0.002935
8	1547	128.09	345.0245	0.002898
9	1296	130.00	349.9117	0.002858
10	1246	130.45	351.0631	0.002848

A7. Ответ:

Ответ:

\[E_\mathrm g=(0.698\pm0.007)~эВ\]

B1. Ответ:

\[\theta_\mathrm b=24.41\,{}^\circ\mathrm C\]

Ответ:

B1	B5
\(n\)	\(x,~см\)	\(\theta_x,~{}^\circ\mathrm C\)	\((\theta_x-\theta_b),~{}^\circ\mathrm C\)	\(B^{(1)}e^{\lambda^{(0)}x},~{}^\circ\mathrm C\)	\((\theta'_x-\theta_b),~{}^\circ\mathrm C\)
1	0	44.61	17.23	0.27	16.96
2	7	39.37	11.99	0.37	11.62
3	14	35.92	8.54	0.51	8.03
4	21	33.58	6.20	0.72	5.48
5	28	31.98	4.60	1.00	3.60
6	35	31.02	3.64	1.39	2.25
7	42	30.68	3.30	1.93	1.37

B2. Ответ:

B3. Ответ:

\[A^{(0)}=16.87~{}^\circ\mathrm C,\quad \lambda^{(0)}=(0.047\pm0.005)~см^{-1}\]

B4. Ответ:

\[B=Ae^{-2\lambda d},\quad B^{(1)}=0.266~{}^\circ\mathrm C\]

B5.

B6. Ответ:

Ответ:

\[A^{(1)}=17.91~{}^\circ\mathrm C,\quad \lambda^{(1)}=(0.059\pm0.002)~см^{-1}\]

B7. \[P_{2}=\int\limits_{0}^{d} 2 \pi r h\left(\theta_{x}-\theta_{\mathrm{b}}\right)\,\mathrm d x = \int_{-0.5 { см}}^{42.5 { см}}\limits 2 \pi r h\left(\theta_{x}-\theta_{\mathrm{b}}\right) \,\mathrm d x=\frac{2 \pi r h A}{\lambda}\left(1-e^{-2 \lambda d}\right) =4.5 Вт\\ \\\lambda=(0.053 \pm 0.008) см^{-1},\quad h=\frac{P_{2} \lambda}{2 \pi r A\left(1-e^{-2 \lambda d}\right)}, \quad k=\frac{2 h}{\lambda^{2} r}\]

Ответ:

\[h=(0.0037 \pm 0.0003)~\frac{Вт}{К\cdot м^2},\quad k=(3.9 \pm 0.3) ~\frac{Вт}{К\cdot см}\]

C1. \(\theta_b=27.38~{}^\circ\mathrm C\)

Ответ:

\(n\)	\(x,~см\)	\(\theta_x,~{}^\circ\mathrm C\)	\((\theta_x-\theta_b),~{}^\circ\mathrm C\)	B-1	C-B	Обратный порядок
1	0	46.02	18.64	17.23	1.41	9.73
2	7	40.99	13.61	11.99	1.62	6.69
3	14	38.04	10.66	8.54	2.12	4.58
4	21	36.67	9.29	6.20	3.09	3.09
5	28	36.56	9.18	4.60	4.58	2.12
6	35	37.71	10.33	3.64	6.69	1.62
7	42	40.41	13.03	3.30	9.73	1.41

C2.

Ответ:

\[x_0=25~см\]

C3. Есть несколько возможных способов найти мощность нагревателя 3:

1. \(\dfrac{P_3}{P_1}=\dfrac{\left.\mathrm d\theta/\mathrm d x\right|_{x=42~см}}{\left.\mathrm d\theta/\mathrm dx\right|_{x=0~см}}=\dfrac{\left.\Delta \theta/\Delta x\right|_{x=42~см}}{\left.\Delta \theta/\Delta x\right|_{x=0~см}}=\dfrac{\theta_7-\theta_6}{\theta_0-\theta_1}\)

2. \(\dfrac{P_3}{P_1}=\dfrac{\left.\mathrm d\theta/\mathrm d x\right|_{x=42~см}}{\left.\mathrm d\theta/\mathrm dx\right|_{x=0~см}}=\dfrac{\operatorname{sinh}(\lambda (42~см-x_0))}{\operatorname{sinh}(\lambda x_0)}\)

3. численно проинтегрировать мощность конвекционного теплообмена между стержнем и окружающей средой

4. определить угловой коэффициент зависимости C-B(B):

\[P_3=0.60 P_2\pm 0.01P_2=(2.9\pm0.1)~Вт\]

Ответ:

\[P_3=(2.9\pm0.1)~Вт\]

Перевод: pho.rs.

Чтобы достать установку, необходимо открутить белые пластиковые крепежные стержни в направлении, указанном сверху. Вытаскивайте основную платформу из коробки, как показано на рисунке 3. После этого снимите красные резинки, указанные на рисунке 2, и поочередно извлеките остальные компоненты из коробки. Для извлечения приборов держите их за металлические части или за внешнюю поверхность.

Установка (подробно):

 1. Основная платформа экспериментальной установки. Её компоненты:

(a) Горизонтальное основание.

(b) Белый вращающийся транспортир: его можно вращать с помощью белой пластиковой ручки рядом с ним. Для определения угла используйте нулевую метку на металлической пластине (см. рис. 4-1).

(c) Круглая пластина с 4 прямоугольными отверстиями для размещения контейнера с неизвестной жидкостью.

(d) Красный лазер и (e) выпуклая линза для увеличения дифракционной картины, установленные на стенках с двух сторон платформы: их высоту можно регулировать, поворачивая ручки вверху.

(f) Четыре выступа внутри транспортира для фиксации держателей стеклянных деталей.

2. Держатели S1 (2.1) и S2 (2.2): каждый держатель имеет в основании круглую металлическую пластину. Четыре выступа (f) фиксируют держатель. Держатель S1 включает в себя черную деталь, которая удерживает тонкую стеклянную пластинку. Нижний край тонкой стеклянной пластинки полностью свободен, и на него можно светить лазером. Держатель S2 полностью аналогичен S1, с той лишь разницей, что в него помещается толстая стеклянная пластинка.

3. Экран для наблюдения: его можно разместить на любом расстоянии от установки.

4. Контейнер с неизвестной жидкостью: после удаления защитной клейкой бумаги его можно поместить на прямоугольные отверстия в центре транспортира (рис. 4-1c).

5. Розовая жидкость: в бутылке на вашем столе, с неизвестным коэффициентом переломления.

6. Монтажная плата лазера: Подключите лазер к плате, а плату – к блоку питания. Кнопка «Вкл/Выкл» на плате включает/выключает лазер. Поворачивая ручку регулятора тока на электронной плате, установите интенсивность лазерного излучения на комфортный для ваших глаз уровень.

7. Блок питания (power bank) и электрические кабели.

Обратите внимание на следующее: 

1. Не прикасайтесь к стеклянным линзам и пластинам, потому что ваши отпечатки пальцев могут повлиять на результаты эксперимента. Стеклянные пластинки довольно тонкие и могут легко сломаться.

2. Не пейте неизвестную жидкость.

3. Не смотрите прямо в лазер.

Теория 

Когда лазерный луч светит на край прозрачной стеклянной пластины, возникает разность фаз между той частью, которая проходит через стекло, и той, которая не проходит. Эта разность фаз приводит к появлению дифракционной картины, линии которой параллельны краю слайда (см. рисунок 5).

Теоретическая дифракционная картина

Дифракционная картина, наблюдаемая в лаборатории

Примем направление луча за направление \(z\) (см. рисунок 6) и сначала предположим, что слайд находится в плоскости и его горизонтальный край совпадает с осью (т.е. угол на рисунке 6 равен нулю). В этом случае разность фаз между двумя частями луча явно равна: \[\phi_{0}=\frac{2\pi h}{\lambda}\left(n-N\right) \qquad(1)\] где \(h\) – толщина пластины, \(\lambda\) – длина волны лазерного луча, \(N\) – показатель преломления окружающей среды, а \(n\) показатель преломления пластины.

Схема лазерного луча, стеклянной пластинки и экрана

При повороте стеклянной пластинки вокруг оси \(y\) так, чтобы нормаль к поверхности пластинки составляла угол \(\theta\) с падающим лучом, разность фаз вычисляется по формуле: \[\phi=\frac{2 \pi h}{\lambda}\left(\sqrt{n^{2}-N^{2} \sin ^{2} \theta}-N \cos \theta\right) \qquad(2)\] Следовательно, разность фаз является функцией \(\theta\). Если плавно изменять этот угол, то разность фаз будет непрерывно увеличиваться и форма изображения меняться. Когда разность фаз достигнет \(2 \pi\), интерференционная картина возвратится к исходной форме. Назовём этот полный цикл одним сдвигом линий. На рисунке 7 показаны различные этапы одного сдвига линий.

Различные стадии сдвига линий, как видно на экране в лаборатории и как предсказано теоретически (слева направо, разности фаз на картинках составляют соответственно \(\varphi\), \(\varphi+4 \pi / 9\), \(\varphi+6 \pi / 9\), \(\varphi+10 \pi / 9\), \(\varphi+14 \pi / 9\) и \(\varphi+2 \pi\)).

Мы можем начать с \(\theta = 0\) и постепенно увеличивать угол . После \(m\) таких сдвигов линий, соответствующих повороту на \(\theta = \theta_m\), мы получим:

\[\phi = \frac{2\pi h}{\lambda} \left( \sqrt{m^{2}-N^{2} \sin^{2}\theta_{m}} - N\cos\theta_{m}\right)=2\pi m+\phi_{0} \qquad(3)\]или\[m = \frac{h}{\lambda} \left( \sqrt{m^{2}-N^{2} \sin^{2}\theta_{m}} - N\cos\theta_{m}\right) - \frac{\phi_0}{2\pi} \qquad(3)\]

Важное замечание:

1. Погрешности нужно указывать только тогда, когда знак \(\pm\) присутствует в листе ответов.

2. Для нахождения коэффициента наклона и свободного члена графиков воспользуйтесь выданным калькулятором.

3. Примечание: Коэффициент корреляции (обозначается \(\mathrm{reg}\) в условии и как \(r\) на калькуляторе) это число от \(1\) до \(-1\), показывающее, насколько хорошо данные могут быть описаны линейной зависимостью. Если \(|\mathrm{reg}|=1\), это означает, что данные полностью лежат на прямой. После вычисления коэффициента наклона (\(B\)) и свободного члена (\(A\)) с помощью калькулятора, используйте приведенные ниже формулы для расчета их погрешности: \[\Delta B=B \sqrt{\frac{1}{({n}-2)}\left(\frac{1}{r^{2}}-1\right)}, \quad \Delta A=\Delta B \sqrt{\overline{x^{2}}}\] где \(n\) – количество полученных точек данных, а \(\overline{x^{2}}\) – среднее квадратическое значение \(x\). Для расчёта погрешностей углового коэффициента и свободного члена линейной зависимости вы всегда должны использовать приведённые формулы.

Часть А. Толщина тонкой стеклянной пластинки (S1) (2.0 балла)

Для следующих пунктов возьмите показатель преломления стеклянных пластин (S1, S2) равным \(1.51\) а показатель преломления воздуха равным \(1.00\). Длина волны красного лазера равна \(650~ нм\). Погрешностью данных величин пренебрегите.

Включите лазер. Поместите держатель S1 на транспортир и отрегулируйте высоту лазера так, чтобы он светил на нижний край стеклянной пластинки. Затем отрегулируйте высоту объектива так, чтобы вы могли наблюдать дифракционную картину на экране (эта высота должна быть почти равна высоте лазерного луча). Обратите внимание, что линии на дифракционной картине расположены горизонтально. На рисунке 8 показана экспериментальная установка для части А. Теперь медленно поворачивайте транспортир и наблюдайте за смещением линий.

Экспериментальная установка в работе (часть А)

A1. Проворачивайте транспортир от \(0\) до \(70\) градусов. Наблюдайте за количеством сдвигов линий и запишите угол \(\theta\), соответствующий каждому номеру сдвига линий. Проведите измерения не менее чем для 25 точек и заполните таблицу.

A2. Постройте соответствующий график.

A3. Найдите коэффициент наклона (\(A\)) и свободный член (\(B\)).

A4. Используя коэффициент наклона, найдите толщину тонкой пластинки.

Часть B. Толщина толстой стеклянной пластинки (S2) (1.6 балла)

B1. Повторите задание A1 для \(\theta\) от \(0\) до \(20\) градусов и снимите не менее 15 точек.

B2. Предполагая, что в уравнении \((4)\) \(\theta_m\) достаточно мал, разложите уравнение до порядка малости \(\theta_m^2\) и найдите линейную зависимость между числом сдвига линий \(m\) и \(\theta_m^2\) (считайте \(N = 1.00\)).

B3. Постройте соответствующий график.

B4. Найдите коэффициент наклона и свободный член.

B5. Используя коэффициент наклона, найдите толщину толстой пластинки.

Часть С. Нахождение \(N\) с помощью толстой стеклянной пластинки (S2) (1.6 балла)

Налейте неизвестную жидкость в контейнер. Поместите контейнер в центр транспортира и аккуратно установите держатель S2 обратно на транспортир таким образом, чтобы толстая стеклянная пластинка была погружено в жидкость. Отрегулируйте высоту лазера и стеклянной пластинки так, чтобы лазерный луч светил на границу между ней и окружающей жидкостью. На экране снова будет наблюдаться дифракционная картина.

C1. Повторите задание B1 (15 точек от \(0\) до \(20\) градусов).

C2. Повторите задание В2 для произвольного \(N\).

C3. Постройте соответствующий график.

C4. Найдите коэффициент наклона и свободный член.

C5. Найдите показатель преломления неизвестной жидкости (\(N\)).

Часть D. Нахождение \(N\) с помощью тонкой пластинки (S1) (4.8 балла)

Поместите держатель S1 вместо S2 в неизвестную жидкость.

D1. Повторите задание A1 для этого случая (25 точек данных от \(0\) до \(70\) градусов).

D2. Выполните простые вычисления и исключите \(\phi_0\) из уравнений \((1)\) и \((4)\). Затем получите соотношение вида \(N(n-N) + u N = w\). Найдите \(u\) и \(w\) в терминах \(n\), \(m\), \(h\), \(\lambda\) и \(\theta\).

D3. С помощью калькулятора вычислите \(u\) и \(w\).

D4. Постройте график зависимости \(w\) от \(u\).

D5. Для линейной области на предыдущем графике вычислите наклон и свободный член.

D6. Найдите показатель преломления, сначала используя коэффициент наклона \((N_B)\), а затем с помощью свободного члена \((N_A)\).

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Ответ:

\(n\)	\(m\)	\(\theta_{m},~{}^\circ\)	\(\sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \theta_{m}}-\cos \theta_{m}\)
1	1	9.00	0.5142
2	2	13.00	0.5188
3	3	15.75	0.5229
4	4	18.00	0.5270
5	5	20.50	0.5322
6	6	22.25	0.5362
7	7	24.00	0.5406
8	9	27.00	0.5491
9	11	29.75	0.5579
10	13	32.25	0.5668
11	16	35.50	0.5798
12	19	38.50	0.5931
13	21	40.25	0.6015
14	23	42.00	0.6105
15	26	44.25	0.6228
16	29	46.75	0.6375
17	31	48.00	0.6453
18	36	51.25	0.6671
19	41	54.25	0.6891
20	46	57.00	0.7110
21	51	59.50	0.7325
22	56	62.00	0.7555
23	61	64.00	0.7750
24	66	66.25	0.7982
25	71	68.25	0.8200
26	75	69.75	0.8371

A2. Ответ:

A3. Ответ:

\[B = 229.1,\quad A = -116.8\]

A4. Ответ:

\[h=(148.9 \pm 0.1) ~мкм\]

B1. Ответ:

\(n\)	\(m\)	\(\theta_{m},~{}^\circ\)	\(\sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \theta_{m}}-\cos \theta_{m}\)
1	1	2.50	0.00190
2	2	4.25	0.00550
3	3	5.50	0.00921
4	4	6.50	0.01287
5	5	7.25	0.01601
6	6	8.25	0.02073
7	8	9.50	0.02749
8	10	10.75	0.03520
9	12	11.75	0.04206
10	15	13.25	0.05348
11	18	14.50	0.06405
12	20	15.25	0.07084
13	22	16.00	0.07798
14	25	17.00	0.08803
15	29	18.50	0.10426
16	31	19.00	0.10997
17	33	19.75	0.11882

B2. \[\begin{gathered} m=\frac{H}{\lambda}\left(\sqrt{n^{2}-N^{2} \sin ^{2} \theta_{m}}-N \cos \theta_{m}\right)-\frac{H}{\lambda}(n-N) \\~\\ \theta_{m} \ll 1\implies \sin \theta_{m} \approx \theta_{m} ,~ \cos \theta_{m} \approx 1-\frac{\theta_{m}^{2}}{2} \\~\\ m=\frac{H}{\lambda}\left(n \sqrt{1-\frac{N^{2} \theta_{m}^{2}}{n^{2}}}-N\left(1-\frac{\theta_{m}^{2}}{2}\right)\right)-\frac{H}{\lambda}(n-N) \\~\\ m=\frac{H}{\lambda}\left(n\left(1-\frac{N^{2} \theta_{m}^{2}}{2 n^{2}}\right)-N\left(1-\frac{\theta_{m}^{2}}{2}\right)\right)-\frac{H}{\lambda}(n-N) \\~\\ m=\frac{H}{2 \lambda} N\left(1-\frac{N}{n}\right) \theta_{m}^{2} \end{gathered}\]Итого, при \(N=1\):

Ответ:

\[m=\frac{H}{2 \lambda}\left(1-\frac{1}{n}\right) \theta_{m}^{2}\]

B3. Ответ:

B4. \(B = 275.7\)

\(A =0.43\)

B5. Ответ:

\[H=(1.061 \pm 0.004) ~{мм}\]

C1. Ответ:

\(n\)	\(m\)	\(\theta_{m},~{}^\circ\)	\(\theta_{m}^{2},~рад^2\)
1	1	5.75	0.01007
2	2	7.75	0.01830
3	3	9.50	0.02749
4	4	10.75	0.03520
5	5	12.00	0.04386
6	6	13.00	0.05148
7	7	14.00	0.05971
8	8	14.75	0.06627
9	9	15.75	0.07556
10	10	16.50	0.08293
11	11	17.25	0.09064
12	12	18.00	0.09870
13	13	18.50	0.10426
14	14	19.25	0.11288
15	15	19.75	0.11882

C2. Ответ:

\[m=\frac{H}{2 \lambda}\left(N-\frac{N^{2}}{n}\right) \theta_{m}^{2}\]

C3. Ответ:

C4. Ответ:

\[B = 128.0,\quad A = −0.50\]

C5. Ответ:

\[N=1.332 \pm 0.002\]

Нахождение погрешности:\[\begin{gathered} B=\frac{H}{2 \lambda}\left(N-\frac{N^{2}}{n}\right) \implies \left(N-\frac{N^{2}}{n}\right)=\frac{2 \lambda}{H} B \equiv c \\ \implies\frac{\Delta c}{c}=\sqrt{\left(\frac{\Delta B}{B}\right)^{2}+\left(\frac{\Delta H}{H}\right)^{2}} \\ \left(N-\frac{N^{2}}{n}\right)=c \implies N=\frac{n}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{n}{2}\right)^{2}-c n} \end{gathered}\] Следует использовать минус: \[N=\frac{n}{2}+\sqrt{\left(\frac{n}{2}\right)^{2}-c n} \implies\Delta N=\frac{n}{2 \sqrt{\left(\frac{n}{2}\right)^{2}-c n}} \Delta c\]

D1.

\(n\)	\(m\)	\(\theta_{m},~{}^\circ\)	\(u\)	\(w\)
1	1	13.25	0.00436	0.24795
2	2	19.00	0.00873	0.24265
3	3	23.00	0.01309	0.24981
4	4	26.00	0.01746	0.26200
5	5	29.00	0.02182	0.26474
6	6	31.50	0.02619	0.27069
7	7	33.75	0.03055	0.27653
8	8	35.75	0.03492	0.28307
9	10	39.25	0.04365	0.29637
10	12	42.25	0.05238	0.30973
11	15	46.25	0.06547	0.32743
12	18	50.00	0.07857	0.34076
13	20	52.00	0.08730	0.35289
14	22	53.75	0.09603	0.36608
15	25	56.25	0.10912	0.38415
16	28	58.50	0.12222	0.40213
17	30	60.00	0.13095	0.41261
18	32	61.25	0.13968	0.42517
19	35	63.25	0.15277	0.44072
20	38	65.00	0.16587	0.45761
21	40	66.00	0.17460	0.47008
22	42	67.00	0.18333	0.48193
23	44	68.00	0.19205	0.49320
24	46	68.75	0.20078	0.50715
25	48	69.75	0.20951	0.51739

D2. \[\begin{gathered} m=\frac{h}{\lambda}\left(\sqrt{n^{2}-N^{2} \sin ^{2} \theta_{m}}-N \cos \theta_{m}\right)-\frac{h}{\lambda}(n-N) \\ \frac{m \lambda}{h}+n-N\left(1-\cos \theta_{m}\right)=\sqrt{n^{2}-N^{2} \sin ^{2} \theta_{m}} \\ \left(\frac{m \lambda}{h}\right)^{2}+2 n\left(\frac{m \lambda}{h}\right)+n^{2}+N^{2}\left(1-\cos \theta_{m}\right)^{2}-2 N\left(1-\cos \theta_{m}\right)\left(\frac{m \lambda}{h}+n\right)=n^{2}-N^{2} \sin ^{2} \theta_{m} \\ \left(\frac{m \lambda}{h}\right)^{2}+2 n\left(\frac{m \lambda}{h}\right)+N^{2}\left(2-2 \cos \theta_{m}\right)-2 N n\left(1-\cos \theta_{m}\right)-2 N\left(1-\cos \theta_{m}\right)\left(\frac{m \lambda}{h}\right)=0 \\ \frac{\frac{m \lambda}{h}\left(n+\frac{m \lambda}{2 h}\right)}{1-\cos \theta_{m}}+N^{2}-N n-N\left(\frac{m \lambda}{h}\right)=0 \\ \frac{\frac{m \lambda}{h}\left(n+\frac{m \lambda}{2 h}\right)}{1-\cos \theta_{m}}=N(n-N)+\left(\frac{m \lambda}{h}\right) N \\ w=N(n-N)+u N \end{gathered}\]

Ответ:

\[u=\frac{m \lambda}{h},\quad {w}=\frac{\frac{m \lambda}{h}\left(n+\frac{m \lambda}{2 h}\right)}{1-\cos \theta_{m}}\]

D3.

D4. Ответ:

D5. Ответ:

\[B=1.337,\quad A=0.2372\]

D6. Ответ:

\[N_{B}=(1.337 \pm 0.005),\quad N_{A}=(1.3319 \pm 0.0005)\]

Нахождение погрешности: \[N_{A}\left(n-N_{A}\right)=A \Rightarrow N_{A}=\frac{n}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{n}{2}\right)^{2}-A}\] Следует использовать знак минус: \[N_{A}=\frac{n}{2}+\sqrt{\left(\frac{n}{2}\right)^{2}-A} \implies\Delta N_{A}=\frac{\Delta A}{2 \sqrt{\left(\frac{n}{2}\right)^{2}-A}}\] Разумеется, это вычисления игнорируют погрешности \(u\) и \(w\). Поскольку \(u\) и \(w\) зависят от \(h\), погрешность \(h\) приводит к погрешности в этой величине, которая не учитывается.

Перевод: pho.rs.

Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 2024, экспериментальный тур — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Перевод на русский — pho.rs.