зад 1 Водород и галактики
Эта задача посвящена особенностям физики галактик: их динамике и структуре. В частности, мы объясним, как изнутри измерить распределение массы нашей Галактики. Для этого мы сосредоточимся на водороде, её главной составной части.
Во всей задаче мы будем использовать только \(\hbar = h/2\pi\).
Часть A. Введение
Модель Бора. Считаем, что атом водорода состоит из нерелятивистского электрона массы \(m_e\), движущегося вокруг неподвижного протона. Во всей этой части считаем, что движение электрона происходит по круговой орбите.
A.1. Определите скорость \(v\) электрона на круговой орбите радиуса \(r\). (0,2 балла)
В модели Бора модуль момента импульса электрона \(L\) квантован: \(L = n\hbar\), где \(n > 0\) — целое число. Определим \[\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} \approx 7{,}27\cdot 10^{-3}.\]
A.2. Покажите, что радиус каждой орбиты задаётся формулой \(r_n = n^2 r_1\), где \(r_1\) называется боровским радиусом. Выразите \(r_1\) через \(\alpha\), \(m_e\), \(c\) и \(\hbar\) и вычислите его численное значение с тремя значащими цифрами. Выразите \(v_1\) — скорость на орбите радиуса \(r_1\) — через \(\alpha\) и \(c\). (0,5 балла)
A.3. Определите механическую энергию электрона \(E_n\) на орбите радиуса \(r_n\) через \(e\), \(\varepsilon_0\), \(r_1\) и \(n\). Определите \(E_1\) в основном состоянии через \(\alpha\), \(m_e\) и \(c\). Вычислите её численное значение в эВ. (0,5 балла)
Тонкая и сверхтонкая структура водорода. Редкое спонтанное обращение спина электрона приводит к испусканию фотона в среднем раз в 10 миллионов лет на каждый атом водорода. Это излучение служит индикатором водорода во Вселенной и поэтому фундаментально важно в астрофизике. Переход, ответственный за это излучение, мы изучим в два этапа.
Сначала рассмотрим взаимодействие спина электрона с относительным движением электрона и протона. Работая в системе отсчёта электрона, протон обращается вокруг электрона на расстоянии \(r_1\). Это создаёт магнитное поле \(\vec B_1\).
A.4. Определите модуль \(B_1\) вектора \(\vec B_1\) в положении электрона через \(\mu_0\), \(e\), \(\alpha\), \(c\) и \(r_1\). (0,5 балла)
Во-вторых, спин электрона создаёт магнитный момент \(\vec{\mathcal M}_s\). Его модуль приблизительно равен \(\mathcal M_s = \dfrac{e}{m_e\hbar}\). Тонкая (F) структура связана с разностью энергий \(\Delta E_F\) между электроном с магнитным моментом \(\vec{\mathcal M}_s\), параллельным \(\vec B_1\), и электроном с \(\vec{\mathcal M}_s\), антипараллельным \(\vec B_1\). Аналогично сверхтонкая (HF) структура связана с разностью энергий \(\Delta E_{HF}\), обусловленной взаимодействием параллельных и антипараллельных магнитных моментов электрона и протона. Известно, что приближённо \(\Delta E_{HF} \simeq 3{,}72\,\dfrac{m_e}{m_p}\,\Delta E_F\), где \(m_p\) — масса протона.
A.5. Выразите \(\Delta E_F\) через \(\alpha\) и \(E_1\). Выразите длину волны \(\lambda_{HF}\) фотона, испущенного при переходе между двумя состояниями сверхтонкой структуры, и дайте её численное значение с двумя значащими цифрами. (0,5 балла)
Часть B. Кривые вращения галактик
Данные: 1 кпк \(= 3{,}09\cdot 10^{19}\) м; масса Солнца \(1\,M_\odot = 1{,}99\cdot 10^{30}\) кг.
Рассмотрим сферическую галактику, центрированную в неподвижной точке \(O\). В любой точке \(P\) пусть \(\rho = \rho(P)\) — объёмная плотность массы, а \(\varphi = \varphi(P)\) — связанный с ней гравитационный потенциал (то есть потенциальная энергия на единицу массы). Оба \(\rho\) и \(\varphi\) зависят только от \(r = \|\overrightarrow{OP}\|\). Движение массы \(m\), находящейся в точке \(P\) под действием поля \(\varphi\), ограничено плоскостью, содержащей \(O\).
B.1. Для случая круговой орбиты определите скорость \(v_c\) объекта на круговой орбите, проходящей через \(P\), через \(r\) и \(\dfrac{d\varphi}{dr}\). (0,2 балла)
Рис. 1(A) — фотография спиральной галактики NGC 6946 в видимом диапазоне (получена 0,8-метровым телескопом Шульмана в Центре неба Маунт-Леммон в Аризоне). Маленькие эллипсы на рис. 1(B) показывают экспериментальные измерения \(v_c\) для этой галактики. Центральная область (\(r < 1\) кпк) называется балджем. В этой области распределение массы примерно однородно. Красная кривая — предсказание для \(v_c\), если бы система была однородной в балдже и кеплеровской (\(\varphi(r) = -\beta/r\) при \(\beta > 0\)) вне его, то есть если считать, что вся масса галактики сосредоточена в балдже.
Рис. 1: Галактика NGC 6946: фотография (A) и кривая вращения (B). На рисунке: 18 kpc — 18 кпк; \(r\) [kpc] — \(r\) [кпк]; \(v_c\) [km/s] — \(v_c\) [км/с].
B.2. Определите по красной кривой на рис. 1(B) массу \(M_b\) балджа NGC 6946 в единицах массы Солнца. (0,5 балла)
Сравнение кеплеровской модели с экспериментальными данными убеждает астрономов, что часть массы невидима на снимке. Поэтому они предполагают, что истинная плотность массы галактики задаётся формулой \[\rho_m(r) = \frac{C_m}{r_m^2 + r^2}, \tag{1}\] где \(C_m > 0\) и \(r_m > 0\) — постоянные.
B.3. Покажите, что профиль скорости \(v_{c,m}(r)\), соответствующий плотности массы (1), можно записать в виде \[v_{c,m}(r) = \sqrt{\,k_1 - k_2\,\frac{\arctan(r/r_m)}{r}\,}.\] Выразите \(k_1\) и \(k_2\) через \(C_m\), \(r_m\) и \(G\). Упростите \(v_{c,m}(r)\) при \(r \ll r_m\) и при \(r \gg r_m\). Покажите, что если \(r \gg r_m\), то масса \(M_m(r)\), заключённая в сфере радиуса \(r\) с плотностью (1), упрощается и зависит только от \(C_m\) и \(r\). Оцените массу галактики NGC 6946, фактически присутствующую на рис. 1(A). (1,8 балла)
Подсказки из условия: \(\displaystyle\int_0^r \frac{x^2}{a^2+x^2}\,dx = r - a\arctan(r/a)\); \(\arctan x \simeq x - x^3/3\) при \(x \ll 1\).
Часть C. Распределение массы в нашей Галактике
Для спиральной галактики модель (1) модифицируется, и обычно считают, что гравитационный потенциал задаётся формулой \[\varphi_G(r,z) = \varphi_0 \ln\!\left(\frac{r}{r_0}\right)\exp\!\left[-\left(\frac{z}{z_0}\right)^2\right],\] где \(z\) — расстояние до галактической плоскости (определяемой условием \(z = 0\)), \(r < r_0\) — теперь осевой радиус, а \(\varphi_0 > 0\) — константа, которую предстоит определить. \(r_0\) и \(z_0\) — постоянные.
C.1. Найдите уравнение движения по \(z\) для вертикального движения точечной массы \(m\) в таком потенциале, считая \(r\) постоянным. Покажите, что при \(r < r_0\) галактическая плоскость является устойчивым положением равновесия, найдя угловую частоту \(\omega_0\) малых колебаний около неё. (0,5 балла)
Далее полагаем \(z = 0\).
C.2. Определите режим, \(r \gg r_m\) или \(r \ll r_m\), в котором модель (1) воспроизводит потенциал вида \(\varphi_G(r,0)\) с подходящим определением \(\varphi_0\). В этом случае \(v_c(r)\) уже не зависит от \(r\). Выразите его через \(\varphi_0\). (0,6 балла)
Итак, вне балджа модуль скорости \(v_c\) не зависит от расстояния до центра галактики. Мы будем использовать этот факт, как это делают астрономы, чтобы измерить распределение массы галактики изнутри.
Все галактические объекты, рассматриваемые здесь для астрономических наблюдений, например звёзды или туманности, в основном состоят из водорода. Вне балджа будем считать, что они вращаются по круговым орбитам вокруг центра галактики \(C\). \(S\) — положение Солнца, \(E\) — положение данного галактического объекта, излучающего в водородном спектре. В галактической плоскости рассмотрим луч зрения \(SE\), соответствующий направлению наблюдения, с единичным вектором \(\vec u_v\) (см. рис. 2).
Рис. 2: Геометрия измерения.
Пусть \(\ell\) — галактическая долгота, измеряемая как угол между \(SC\) и \(SE\). Скорость Солнца на его круговой орбите радиуса \(R_\odot = 8{,}00\) кпк обозначена \(\vec v_\odot\). Галактический объект в \(E\) движется по другой окружности радиуса \(R\) со скоростью \(\vec v_E\). Используя эффект Доплера на ранее изученной линии 21 см, можно получить относительную радиальную скорость \(v_{rE/S}\) излучателя \(E\) относительно Солнца \(S\): это проекция \(\vec v_E - \vec v_\odot\) на луч зрения.
C.3. Определите \(v_{rE/S}\) через \(\ell\), \(R\), \(R_\odot\) и \(v_\odot\). Затем выразите \(R\) через \(R_\odot\), \(v_\odot\), \(\ell\) и \(v_{rE/S}\). (0,7 балла)
С помощью радиотелескопа мы наблюдаем в плоскости нашей Галактики в направлении долготы \(\ell = 30^\circ\). Используемый диапазон частот содержит линию 21 см, частота которой \(f_0 = 1{,}42\) ГГц. Результаты приведены на рис. 3.
Рис. 3: Электромагнитный сигнал как функция сдвига частоты, измеренный в радиочастотном диапазоне при \(\ell = 30^\circ\) с использованием EU-HOU RadioAstronomy. На рисунке: Flux [arbitrary units] — поток [произв. ед.]; \(f - f_0\) [MHz] — \(f - f_0\) [МГц].
C.4. В нашей Галактике \(v_\odot = 220\) км\(\cdot\)с\(^{-1}\). Определите значения относительной радиальной скорости (с 3 значащими цифрами) и расстояния от центра Галактики (с 2 значащими цифрами) для трёх источников, наблюдаемых на рис. 3. Расстояния выразите в кратных \(R_\odot\). (0,6 балла)
C.5. На виде сверху нашей Галактики (в поле ответа) отметьте положения источников, наблюдаемых на рис. 3. Что можно вывести из повторных измерений при изменении \(\ell\)? (0,6 балла)
Часть D. Соотношение Талли–Фишера и теория MOND
Плоская внешняя кривая скорости NGC 6946 на рис. 1 — общее свойство спиральных галактик, что видно на рис. 4 (слева). Если построить зависимость постоянного внешнего значения скорости \(v_{c,\infty}\) от измеренной полной массы \(M_{\rm tot}\) каждой галактики, получается интересная корреляция, называемая соотношением Талли–Фишера, см. рис. 4 (справа).
Рис. 4. Слева: кривые вращения типичных спиральных галактик. Справа: \(\log_{10}(M_{\rm tot})\) как функция \(\log_{10}(v_{c,\infty})\) в линейном масштабе. Цветные точки соответствуют разным галактикам и разным обзорам. Зелёная линия — соотношение Талли–Фишера, очень хорошо согласующееся с наилучшей подгонкой данных (чёрная линия). На рисунке: Spiral galaxies from different surveys — спиральные галактики из разных обзоров; Tully Fischer Relation — соотношение Талли–Фишера; \(V\) (km s\(^{-1}\)) — \(V\) (км\(\cdot\)с\(^{-1}\)); \(R\) (kpc) — \(R\) (кпк); \(\log_{10}(M_{\rm tot}/M_\odot)\), \(\log_{10}(v_{c,\infty}/1\ \text{km/s})\) — без изменений.
D.1. Предполагая, что радиус \(R\) галактики не зависит от её массы, покажите, что модель (1) из части B даёт соотношение вида \(M_{\rm tot} = \eta\, v_{c,\infty}^{\gamma}\), где \(\gamma\) и \(\eta\) нужно указать. Сравните это выражение с соотношением Талли–Фишера, вычислив \(\gamma_{TF}\). (0,4 балла)
В режиме экстремально малых ускорений порядка \(a_0 = 10^{-10}\) м\(\cdot\)с\(^{-2}\) теория модифицированной ньютоновской динамики (MOND) предполагает, что второй закон Ньютона можно изменить так: \(\vec F = m\,\mu\!\left(\dfrac{a}{a_0}\right)\vec a\), где \(a = \|\vec a\|\) — модуль ускорения, а функция \(\mu\) определена как \(\mu(x) = \dfrac{x}{1+x}\).
D.2. Используя данные для NGC 6946 с рис. 1, оцените в рамках ньютоновской теории модуль ускорения \(a_m\) массы во внешних областях NGC 6946. (0,2 балла)
D.3. Пусть \(m\) — масса на круговой орбите радиуса \(r\) со скоростью \(v_{c,\infty}\) в гравитационном поле неподвижной массы \(M\). В рамках теории MOND при \(a \ll a_0\) определите показатель соотношения Талли–Фишера. Используя данные для NGC 6946 и/или закон Талли–Фишера, вычислите \(a_0\), чтобы показать, что MOND работает в правильном режиме. (0,8 балла)
D.4. Рассмотрев релевантные случаи, определите \(v_c(r)\) для всех значений \(r\) в теории MOND для гравитационного поля, создаваемого однородно распределённой массой \(M\) с радиусом \(R_b\). (0,9 балла)
▶ПодсказкаСкрыть
Для круговой орбиты центростремительное ускорение задаётся скоростью и радиусом; подставьте его в модифицированный второй закон Ньютона. Для части C сравните потенциал с законом Гаусса для гравитации, а для части D рассмотрите предельные случаи \(a \ll a_0\) и \(a \gg a_0\).
▶ОтветСкрыть
A.1) \(v = \sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e r}}\); A.2) \(r_1 = \dfrac{\hbar}{\alpha m_e c}\approx 5{,}31\cdot10^{-11}\text{ м}\); \(v_1 = \alpha c\); A.3) \(E_n = -\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 n^2 r_1}\); \(E_1 = -\dfrac12\alpha^2 m_e c^2 \approx -2{,}17\cdot10^{-18}\) Дж \(= -13{,}6\) эВ; A.4) \(B_1 = \dfrac{\mu_0 e\alpha c}{4\pi r_1^2}\); A.5) \(\Delta E_F = -4\alpha^2E_1\), \(\lambda_{HF} = \dfrac{hc}{\Delta E_{HF}}\approx 21\) см; B.1) \(v_c = \sqrt{r\,\dfrac{d\varphi}{dr}}\); B.2) \(M_b \approx 9\cdot10^{8}\,M_\odot\) (\(\approx 1{,}8\cdot10^{39}\) кг); B.3) \(k_1 = 4\pi C_m G\), \(k_2 = 4\pi C_m G\,r_m\); при \(r\ll r_m\): \(v_{c,m}\simeq\sqrt{\dfrac{4\pi C_m G r^2}{3r_m^2}}\); при \(r\gg r_m\): \(v_{c,m}\simeq\sqrt{4\pi C_m G}\); \(M_m(r)\simeq 4\pi C_m r\); \(C_m\simeq 3\cdot10^{19}\) кг/м, \(M\simeq 10^{41}\) кг \(\simeq 10^{11}\,M_\odot\); C.1) \(\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\varphi_0}{z_0^2}\left|\ln\dfrac{r}{r_0}\right|}\); C.2) \(r\gg r_m\), \(\varphi_0 = 4\pi C_m G\), \(v_c = \sqrt{\varphi_0}\); C.3) \(v_{rE/S} = v_\odot\left(\dfrac{R_\odot}{R}-1\right)\sin\ell\), \(R = \dfrac{R_\odot}{1+\dfrac{v_{rE/S}}{v_\odot\sin\ell}}\); C.4) \(v_r = 6{,}33;\ 31{,}7;\ 54{,}9\) км/с; \(R = 0{,}95R_\odot;\ 0{,}78R_\odot;\ 0{,}67R_\odot\); C.5) см. решение (положения на виде сверху; повторные измерения при разных \(\ell\) позволяют восстановить распределение водорода, т.е. спиральную структуру); D.1) \(\gamma = 2\), \(\eta = R/G\); \(\gamma_{TF}\approx 3{,}75\); D.2) \(a_m\approx 1{,}5\cdot10^{-10}\) м\(\cdot\)с\(^{-2}\); D.3) \(\gamma_{\rm MOND} = 4\), \(M = \dfrac{v_{c,\infty}^4}{a_0 G}\), \(a_0\approx 1{,}5\cdot10^{-10}\) м\(\cdot\)с\(^{-2}\); D.4) см. решение.
▶РешениеСкрыть
A.1. Второй закон Ньютона для электрона в электрическом поле протона при круговой орбите, спроецированный на \(\vec u_r\): \(-m_e\dfrac{v^2}{r} = -\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\), откуда \(v = \sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e r}}\).
A.2. Квантование дает \(L = m_e r_n v_n = n\hbar\). Из предыдущего пункта \(v_n = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e r_n} = \dfrac{\alpha\hbar c}{m_e r_n}\). Тогда \(r_n = \dfrac{n\hbar}{m_e v_n} = \dfrac{\hbar n^2}{\alpha m_e c}\), откуда \(r_1 = \dfrac{\hbar}{\alpha m_e c}\). Численно \(\alpha = 7{,}27\cdot10^{-3}\) и \(r_1 = 5{,}31\cdot10^{-11}\) м. Для скорости имеем \(m_e v_1^2 = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_1} = \dfrac{e^2 m_e v_1}{4\pi\varepsilon_0\hbar}\), откуда \(v_1 = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar} = \alpha c\).
A.3. Механическая энергия \(E_n = \dfrac12 m_e v_n^2 - \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n} = -\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r_n}\), то есть \(E_n = -\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 n^2 r_1}\). Для основного состояния \(E_1 = -\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r_1}\). Используя выражение для \(\alpha\), получаем \(E_1 = -\dfrac12\alpha^2 m_e c^2\). Численно \(E_1 = -2{,}17\cdot10^{-18}\) Дж, что соответствует \(E_1 = -13{,}6\) эВ.
A.4. Период движения \(T = \dfrac{2\pi r_1}{v_1}\); ток, связанный с орбитой протона, \(i = \dfrac{e}{T} = \dfrac{e v_1}{2\pi r_1} = \dfrac{e\alpha c}{2\pi r_1}\). Магнитное поле витка с током \(i\) и радиусом \(R\) равно \(B = \dfrac{\mu_0 i}{2R}\), что здесь даёт \(B_1 = \dfrac{\mu_0 e\alpha c}{4\pi r_1^2}\).
A.5. Потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента спина с полем ядра: \(E_p = -\vec{\mathcal M}_s\cdot\vec B_1\). Разность энергий двух состояний спина, параллельного и антипараллельного \(\vec B_1\), равна \(\Delta E_F = 2\mathcal M_s B_1 = 2\dfrac{e}{m_e\hbar}\dfrac{\mu_0 e\alpha c}{4\pi r_1^2}\), что записывается как \(\Delta E_F = -4\alpha^2E_1\). Тогда \(\Delta E_{HF} = -3{,}72\,\dfrac{m_e}{m_p}\,4\alpha^2E_1\) и \(\lambda_{HF} = \dfrac{hc}{\Delta E_{HF}} = -\dfrac{hc}{3{,}72\,\dfrac{m_e}{m_p}\,4\alpha^2E_1}\), численно \(\lambda_{HF} = 21\) см.
B.1. Сила, создаваемая потенциалом: \(\vec F = -m\vec\nabla\varphi(r) = -m\dfrac{d\varphi}{dr}\vec u_r\). Второй закон Ньютона для круговой орбиты: \(m\dfrac{v_c^2}{r} = m\dfrac{d\varphi}{dr}\), откуда \(v_c = \sqrt{r\,\dfrac{d\varphi}{dr}}\).
B.2. По теореме Гаусса \(4\pi r^2 g(r) = -4\pi G M_{\rm int}(r)\), то есть \(g(r) = GM_{\rm int}(r)/r^2\) (можно также воспользоваться законом \(g = GM/r^2\) и использовать внутреннюю массу). Если почти вся масса сосредоточена внутри радиуса балджа \(r_b\), то при \(r > r_b\) имеем \(M_{\rm int}(r) = M_b\) и \(\vec g(r > r_b) = -\dfrac{GM_b}{r^2}\vec u_r\); так как \(\vec g = -\dfrac{d\varphi}{dr}\vec u_r\), получаем \(v_c(r > r_b) = \sqrt{\dfrac{GM_b}{r}}\). Если скорость задаётся только балджем, то на расстоянии \(R\) должно быть \(M_b = v_c^2 R/G\). По красной кривой на рис. 1(B) при \(R = 10\) кпк читается \(v_c = 20\) км\(\cdot\)с\(^{-1}\), откуда \(M_b = \dfrac{v_c^2 R}{G} \simeq \dfrac{4\cdot10^{8}\cdot 3{,}1\cdot10^{20}}{6{,}7\cdot10^{-11}}\simeq 1{,}8\cdot10^{39}\) кг, то есть \(M_b\simeq 9\cdot10^{8}\,M_\odot\).
B.3. По теореме Гаусса \(g_m(r) = \dfrac{GM_{\rm int}(r)}{r^2}\); с другой стороны, \(M_{\rm int} = \int_0^r 4\pi x^2\rho_m(x)\,dx = 4\pi C_m\left(r - r_m\arctan\dfrac{r}{r_m}\right)\), поэтому \[g_m(r) = -\frac{4\pi C_m G\left(r - r_m\arctan\frac{r}{r_m}\right)}{r^2}. \tag{2}\] Из \(m\dfrac{v_{c,m}^2}{r} = m\,|g_m(r)|\) получаем \(v_{c,m} = \sqrt{r\,|g_m(r)|}\): \[v_{c,m}(r) = \sqrt{\frac{4\pi C_m G}{r}\left(r - r_m\arctan\frac{r}{r_m}\right)}. \tag{3}\] Отсюда \(k_1 = 4\pi C_m G\) и \(k_2 = 4\pi C_m G\,r_m\). Два предельных случая: при \(r \ll r_m\) разложение \(\arctan\) до третьего порядка даёт \(v_{c,m}\simeq\sqrt{\dfrac{4\pi C_m G\,r^2}{3\,r_m^2}}\), а при \(r\gg r_m\) имеем \(\arctan(r/r_m)\simeq\pi/2\) и \(v_{c,m}\simeq\sqrt{4\pi C_m G}\). Функция \(v_{c,m}(r)\) обращается в ноль при \(r\to 0\) и асимптотически постоянна при \(r\to\infty\), что соответствует наблюдаемой кривой галактики (чёрные кружки в правой части рис. 1(B)). Естественно интерпретировать \(r_m\) как типичный радиус, за пределами которого круговая скорость постоянна. По рисунку читаем \(v_c\simeq 160\) км\(\cdot\)с\(^{-1}\) для постоянного значения после \(r_m\), откуда \(C_m = \dfrac{v_c^2}{4\pi G}\simeq\dfrac{(1{,}6\cdot10^5)^2}{4\pi\cdot 6{,}67\cdot10^{-11}}\simeq 3\cdot10^{19}\) кг\(\cdot\)м\(^{-1}\). Масса внутри сферы радиуса \(r\) равна \(M_{\rm int} = 4\pi C_m\left(r - r_m\arctan\frac{r}{r_m}\right)\), что при \(r\gg r_m\) сводится к \(M_{\rm int}\simeq 4\pi C_m r\). На рисунке радиус галактики \(R = 9\) кпк \(= 2{,}27\cdot10^{20}\) м, поэтому масса \(M_{\rm int}\simeq 4\pi C_m R\simeq 10^{41}\) кг \(\simeq 10^{11}\,M_\odot\). Это более чем в десять раз больше массы, видимой на снимке: это и есть концепция тёмной материи.
C.1. Уравнение движения по второму закону Ньютона \(m\vec a = \vec F = -m\vec\nabla\varphi\); проецируя на \(\vec u_z\): \(m\ddot z = -m\dfrac{\partial\varphi}{\partial z}\). Для данного потенциала \(\ddot z = \dfrac{2z}{z_0^2}\varphi_0\ln\dfrac{r}{r_0}\exp\left[-\left(\dfrac{z}{z_0}\right)^2\right]\). Вблизи галактической плоскости экспонента равна единице, и \(\ddot z \simeq \dfrac{2\varphi_0}{z_0^2}\ln\dfrac{r}{r_0}\,z\). При \(r<r_0\) логарифм отрицателен, и уравнение имеет вид \(\ddot z\simeq-\omega_0^2 z\) с \(\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\varphi_0}{z_0^2}\left|\ln\dfrac{r}{r_0}\right|}\). Это доказывает, что \(z\) колеблется около \(z = 0\) и что движение устойчиво.
C.2. По формуле (2) из части B при \(r\gg r_m\) имеем \(g_m(r)\simeq -\dfrac{4\pi C_m G}{r}\). Интегрированием получаем \(\varphi(r) = 4\pi C_m G\ln r + \text{const}\); константу выбираем правильным выбором начала отсчёта потенциала. Это совпадает с \(\varphi_G(r,0) = \varphi_0\ln(r/r_0)\) при \(\varphi_0 = 4\pi C_m G\). Тогда в галактической плоскости уравнение движения даёт \(-m\dfrac{v_c^2}{r} = -m\,g_m(r)\), откуда \(v_c = \sqrt{r\,g_m(r)} = \sqrt{4\pi C_m G}\), то есть \(v_c = \sqrt{\varphi_0}\).
C.3. Вектор \(\overrightarrow{Ss} = v_\odot\sin\alpha\,\vec u_v\) и \(\overrightarrow{Ee} = v_E\cos\beta\,\vec u_v\). В прямоугольном треугольнике \(S s S_v\) сумма углов даёт \((\overrightarrow{Ss}, \overrightarrow{SS_v}) = \dfrac{\pi}{2}-\alpha\); так как \(\vec v_\odot\) перпендикулярна радиусу \(CS\), также \((\overrightarrow{Ss}, \overrightarrow{SS_v}) = \dfrac{\pi}{2}-\ell\), откуда \(\alpha = \ell\). С другой стороны, \(CT = R_\odot\sin\ell = R\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\beta\right)\), что даёт \(\cos\beta = \dfrac{R_\odot}{R}\sin\ell\). Объединяя эти результаты и учитывая, что \(v_E = v_\odot\) и \(\vec v_{rE/S} = \overrightarrow{Ee} - \overrightarrow{Ss}\), получаем \(v_{rE/S} = v_\odot\left(\dfrac{R_\odot}{R}-1\right)\sin\ell\), и окончательно \(R = \dfrac{R_\odot}{1+\dfrac{v_{rE/S}}{v_\odot\sin\ell}}\).
C.4. На рис. 3 измеряем три сдвига частоты \((f - f_0)\) для пиков: \(\Delta f_1 = 0{,}03\) МГц, \(\Delta f_2 = 0{,}15\) МГц и \(\Delta f_3 = 0{,}26\) МГц. Относительные доплеровские скорости \(v_{r,i} = c\,\Delta f_i/f_0\) при \(f_0 = 1420\) МГц: \(v_{r,1} = 6{,}33\) км\(\cdot\)с\(^{-1}\), \(v_{r,2} = 31{,}7\) км\(\cdot\)с\(^{-1}\), \(v_{r,3} = 54{,}9\) км\(\cdot\)с\(^{-1}\). Поскольку пики приходятся на узлы сетки, допустим разброс значений, связанный с тем, что участники могли использовать \(c = 3{,}00\cdot10^{8}\) м/с вместо девяти знаков из справочника. Расстояния от центра галактики \(R_i = \dfrac{R_\odot}{1+\dfrac{v_{r,i}}{v_\odot\sin\ell}}\) при \(\ell = 30^\circ\): \(R_1 = 0{,}95R_\odot\), \(R_2 = 0{,}78R_\odot\), \(R_3 = 0{,}67R_\odot\).
C.5. Правильную линию зрения можно построить геометрически (без транспортира): по делениям сетки 15° откладываем угол 30° от перпендикуляра к \(CS\); получаем линию, проходящую через \(S\) и касающуюся окружности радиуса \(CS/2\) (так как \(\sin 30° = 0{,}5\)). Проведя окружности радиусов \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) и линию зрения, для каждого пика получаем две возможные точки пересечения: ближнюю и дальнюю. На рисунке ответа отмечены ближние. Дальние пересечения гораздо дальше и, следовательно, вероятно менее интенсивны. Астрономы могут также использовать изменение радиосигнала при медленном изменении \(\ell\), чтобы определить истинное положение источника. При непрерывном изменении \(\ell\) в интервале \([0, 2\pi]\) появляются источники водорода в Галактике; поскольку Галактика состоит в основном из водорода, можно проследить её распределение массы, то есть спиральную структуру.
D.1. Мы получили \(v_{c,\infty}^2 = 4\pi C_m G\), а для галактики радиуса \(R\) имеем \(M_{\rm tot}\simeq 4\pi C_m R\). Отсюда \(C_m = \dfrac{M_{\rm tot}}{4\pi R}\) и \(v_{c,\infty}^2 = \dfrac{G M_{\rm tot}}{R}\), то есть \(M_{\rm tot} = \dfrac{R}{G}v_{c,\infty}^2\). Это соотношение вида \(M_{\rm tot} = \eta v_{c,\infty}^\gamma\) с \(\gamma = 2\) и \(\eta = R/G\). По данным анализа соотношения Талли–Фишера показатель \(\gamma_{TF}\simeq\dfrac{12-9}{2{,}6-1{,}8} = 3{,}75\): модель из части B не воспроизводит этот закон.
D.2. В ньютоновской теории для круговых внешних орбит \(a_m\simeq v_c^2/R\). Для NGC 6946 скорость примерно постоянна и равна \(v_c = 160\) км\(\cdot\)с\(^{-1}\) при \(R > 5\) кпк. Для наименьшего такого расстояния \(a_m = \dfrac{(1{,}6\cdot10^5)^2}{5\cdot3{,}09\cdot10^{19}}\simeq 1{,}5\cdot10^{-10}\) м\(\cdot\)с\(^{-2}\) — это максимальное ускорение, которое испытывает звезда во внешних областях этой галактики. Оно соответствует режиму MOND.
D.3. При \(x = a/a_0\ll 1\) имеем \(\mu(x)\simeq x\) и теория MOND даёт \(\vec F = m\dfrac{a}{a_0}\vec a\). Для радиальной компоненты взаимодействия массы \(m\) с \(M\): \(\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{m a^2}{a_0}\). Радиальное ускорение на круговой орбите радиуса \(r\) всегда \(a = v_{c,\infty}^2/r\), поэтому \(\dfrac{GM}{r^2} = \dfrac{v_{c,\infty}^4}{r^2 a_0}\), откуда \(v_{c,\infty} = (a_0 G M)^{1/4}\) и \(M = \dfrac{1}{a_0 G}v_{c,\infty}^4\). Это степенной закон с \(\gamma_{\rm MOND} = 4\), согласующийся с соотношением Талли–Фишера. Для NGC 6946 \(v_{c,\infty} = 160\) км\(\cdot\)с\(^{-1}\), поэтому \(\log_{10}(v_{c,\infty}/1\text{ км/с}) = 2{,}2\). По соотношению Талли–Фишера \(\log_{10}(M_{\rm tot}/M_\odot) = 10{,}5\), то есть \(M_{\rm tot} = 2{,}1\cdot10^{40{,}5}\) кг. Подставляя в \(a_0 = \dfrac{v_{c,\infty}^4}{G M_{\rm tot}}\), получаем \(a_0 = 1{,}5\cdot10^{-10}\) м\(\cdot\)с\(^{-2}\), как и ожидалось.
D.4. Рассмотрим полную формулу для \(\mu\). Модифицированный второй закон для круговой скорости \(v_c\) на радиусе \(r\) записывается как \(\mathcal G(r)\,m = -m\,\dfrac{v_c^2/(a_0 r)}{1+v_c^2/(a_0 r)}\,\dfrac{v_c^2}{r}\), где \(\mathcal G(r)\) — гравитационное поле однородного шара массы \(M\) и радиуса \(R_b\). Поле шара по теореме Гаусса: \(\mathcal G(r) = -GM/r^2\) при \(r > R_b\) и \(\mathcal G(r) = -GMr/R_b^3\) при \(r\le R_b\).
Вне шара (\(r > R_b\)) скорость \(v_c\) является решением биквадратного уравнения \(v_c^4 - \dfrac{GM}{r}v_c^2 - a_0 GM = 0\), положительный корень которого \[v_c(r) = \sqrt{\frac{GM}{2r}\left(1+\sqrt{1+\frac{4a_0r^2}{GM}}\right)}, \qquad r > R_b.\] При \(r\to\infty\) скорость асимптотически постоянна, а \(M\to\dfrac{v_{c,\infty}^4}{a_0 G}\), что соответствует соотношению Талли–Фишера.
Внутри шара (\(r\le R_b\)) аналогичные преобразования дают другое биквадратное уравнение \(v_c^4 - \dfrac{GM}{r}\left(\dfrac{r}{R_b}\right)^3 v_c^2 - a_0 GM\left(\dfrac{r}{R_b}\right)^3 = 0\), положительное решение которого \[v_c(r) = \sqrt{\frac{GM}{2r}\left(\frac{r}{R_b}\right)^3\left[1+\sqrt{1+\frac{4a_0r^2}{GM}\left(\frac{R_b}{r}\right)^3}\right]}, \qquad r\le R_b.\] При \(r\to 0\) имеем \(v_c\to 0\), как и в экспериментальных данных.
зад 2 Часы Кокса
В 1765 году британский часовщик Джеймс Кокс изобрёл часы, единственным источником энергии которых служат колебания атмосферного давления. В часах Кокса использовались два сосуда с ртутью. Изменения атмосферного давления заставляли ртуть перетекать между сосудами, а сами сосуды смещались относительно друг друга. Это движение служило источником энергии для собственно часов.
Мы предлагаем проанализировать это устройство. Во всей задаче будем считать, что:
гравитационное поле Земли \(\vec g = -g\,\vec u_z\) однородно, \(g = 9{,}8\) м\(\cdot\)с\(^{-2}\), \(\vec u_z\) — единичный вектор;
все жидкости несжимаемы, их плотность обозначена \(\rho\);
эффекты поверхностного натяжения не учитываются;
изменениями атмосферного давления с высотой пренебрегаем;
температура окружающей среды \(T_a\) однородна, и все процессы изотермические.
Рис. 1. Художественное изображение часов Кокса.
Часть A. Вытягивание погружённой трубки
Сначала рассмотрим ванну с водой, занимающую полупространство \(z \le 0\). Воздух над ней находится под давлением \(P_a = P_0\). Вертикальная цилиндрическая трубка длиной \(H = 1\) м, площадью поперечного сечения \(S = 10\) см\(^2\) и массой \(m = 0{,}5\) кг погружена в ванну. Нижний конец трубки открыт, верхний — закрыт. Обозначим \(h\) высоту верхнего конца трубки, а \(z_\ell\) — высоту уровня воды внутри трубки. Толщиной стенок трубки пренебрегаем.
Рис. 2. Схема трубки в различных конфигурациях (a, b, c).
Начнём с ситуации, когда трубка на рис. 2 не содержит газа и её верх находится на уровне ванны: иначе говоря, \(h = 0\) и \(z_\ell = 0\) (случай a). Трубку затем медленно поднимают, пока её нижний конец не достигнет уровня ванны. Сила, приложенная к трубке, обозначена \(\vec F = F\,\vec u_z\).
A.1. Для конфигурации, показанной на рис. 2 (случай b), выразите давление \(P_w\) в воде на верхнем конце трубки. Также выразите силу \(\vec F\), необходимую для удержания трубки в этом положении. Выражения должны быть записаны через \(P_0\), \(\rho\), \(m\), \(S\), \(h\), \(g\) и \(\vec u_z\). (0,2 балла)
Проводятся три эксперимента. В каждом трубку поднимают из начального состояния, показанного на рис. 2(a), при условиях, указанных в таблице 1.
Таблица 1. Экспериментальные условия и численные значения физических величин для каждого опыта (\(P_{\rm sat}\) — давление насыщенного пара чистой жидкости):
опыт 1: жидкость — вода, \(T_a = 20\) °C, \(\rho = 1{,}00\cdot10^{3}\) кг\(\cdot\)м\(^{-3}\), \(P_{\rm sat} = 2{,}34\cdot10^{3}\) Па;
опыт 2: жидкость — вода, \(T_a = 80\) °C, \(\rho = 0{,}97\cdot10^{3}\) кг\(\cdot\)м\(^{-3}\), \(P_{\rm sat} = 47{,}4\cdot10^{3}\) Па;
опыт 3: жидкость — вода, \(T_a = 99\) °C, \(\rho = 0{,}96\cdot10^{3}\) кг\(\cdot\)м\(^{-3}\), \(P_{\rm sat} = 99{,}8\cdot10^{3}\) Па.
В каждом случае изучаем эволюцию силы \(F\), которую нужно приложить, чтобы удерживать трубку в равновесии на высоте \(h\), при внешнем давлении, фиксированном на уровне \(P_a = P_0 = 1{,}000\cdot10^{5}\) Па. Возможны два различных поведения.
Поведения A и B (графики без номера; на левом — \(F_0\), \(F_{\max}\), \(H\), \(h\), \(F\); на правом — \(h^\star\)). На рисунке: Behaviour A — поведение A; Behaviour B — поведение B.
A.2. Для каждого опыта заполните таблицу в листе ответов, указав ожидаемое поведение и численные значения \(F_{\max}\) и \(h^\star\) (если применимо), где \(F_{\max}\) и \(h^\star\) определены на рисунках, иллюстрирующих два поведения. (0,8 балла)
Когда воду заменяют жидкой ртутью (свойства которой приведены ниже), наблюдается поведение B. Ртуть: \(T_a = 20\) °C, \(\rho = 13{,}5\cdot10^{3}\) кг\(\cdot\)м\(^{-3}\), \(P_{\rm sat} = 0{,}163\) Па.
A.3. Выразите относительную погрешность \(\varepsilon\), которая возникает, когда при оценке максимальной силы \(F_{\max}\) пренебрегают \(P_{\rm sat}\) по сравнению с \(P_0\). Дайте численное значение \(\varepsilon\). (0,3 балла)
Часть B. Двухчастная барометрическая трубка
Далее работаем со ртутью (плотность \(\rho = 13{,}5\cdot10^{3}\) кг\(\cdot\)м\(^{-3}\)) при температуре окружающей среды \(T_a = 20\) °C и полагаем \(P_{\rm sat} = 0\).
Рассмотрим трубку с резервуаром наверху, моделируемую как две расположенные друг над другом цилиндрические части разных размеров, см. рис. 3.
Нижняя часть (по-прежнему называемая трубкой) имеет площадь поперечного сечения \(S_t\) и высоту \(H_t = 80\) см.
Верхняя часть (называемая колбой) имеет площадь поперечного сечения \(S_b > S_t\) и высоту \(H_b = 20\) см.
Рис. 3. Схема двухчастной барометрической трубки. На рисунке: \(H_t = 80\) см, \(H_b = 20\) см; обозначения: \(z_\ell\) — высота столба ртути, \(\vec g\) — ускорение свободного падения, \(\vec F\) — сила.
Как и в части A, система подготовлена так, что трубка не содержит воздуха. Положение трубки по вертикали определяем высотой \(h_t\) соединения нижней части трубки с колбой. Высота столба ртути снова обозначена \(z_\ell\). Сила \(\vec F\), которую нужно приложить для удержания трубки в равновесии в конфигурации, показанной на рис. 3, может быть записана как \[\vec F = \left(m_{\rm tb} + m_{\rm add}\right) g\,\vec u_z, \tag{1}\] где \(m_{\rm tb}\) — полная масса двухчастной трубки (пустой, без ртути).
B.1. На листе ответов закрасьте область, соответствующую объёму жидкой ртути, который отвечает за слагаемое \(m_{\rm add}\) в уравнении (1). (0,3 балла)
Масса \(m_{\rm add}\) зависит как от высоты \(h_t\), так и от атмосферного давления \(P_a\). В следующем вопросе считаем атмосферное давление фиксированным: \(P_a = P_0 = 1{,}000\cdot10^{5}\) Па. Начиная с ситуации, когда система полностью погружена, трубку медленно поднимают, пока её основание не окажется вровень с уровнем жидкости в ванне.
B.2. Постройте эскиз зависимости массы \(m_{\rm add}\) от \(h_t\) при \(h_t \in [-H_b, H_t]\). На графике укажите выражения для наклонов различных участков, а также аналитические значения \(h_t\) всех угловых точек — через \(P_0\), \(\rho\), \(g\), \(S_b\), \(S_t\), \(H_b\) и \(H_t\). (1,4 балла)
Поскольку трубку поднимают при \(P_a = P_0 = 10^5\) Па, останавливаемся, когда свободная поверхность жидкости оказывается в середине колбы. Значение \(h_t\) фиксируется, и затем наблюдаем вариации массы \(m_{\rm add}\), вызванные вариациями атмосферного давления, описываемыми как \[P_a(t) = P_0 + P_1(t), \tag{2}\] где \(P_0\) — среднее значение, а \(P_1\) — возмущающее слагаемое. Моделируем \(P_1\) периодической треугольной функцией с амплитудой \(A = 5\cdot10^{2}\) Па и периодом \(\tau_1\), равным одной неделе.
Рис. 4. Упрощённая модель возмущающего слагаемого \(P_1(t)\).
B.3. Считая \(S_t = 5\) см\(^2\) и \(S_b = 200\) см\(^2\), выразите амплитуду \(\Delta m_{\rm add}\) вариаций массы \(m_{\rm add}\) со временем, затем дайте её численное значение. Считайте, что уровень жидкости всегда остаётся в колбе. (0,3 балла)
Часть C. Часы Кокса
Реальный механизм, разработанный Коксом, сложен (рис. 5). Мы изучаем упрощённую версию, изображённую на рис. 6 и описанную ниже:
цилиндрическая нижняя кювета, содержащая ванну с ртутью;
двухчастная барометрическая трубка, идентичная изученной в части B и также полностью очищенная от воздуха, погружена в ванну;
кювета и двухчастная трубка каждая подвешены на тросе. Оба троса (нерастяжимые и невесомые) проходят через систему идеальных блоков и крепятся к разным сторонам одной и той же массы \(M\), которая может скользить по горизонтальной поверхности;
полный объём жидкой ртути в системе \(V_\ell = 5\) л.
Два упора ограничивают перемещение массы \(M\) так, что \(-X \le x \le X\) (с \(X > 0\)). Считаем, что значение \(X\) гарантирует, что:
нижний конец двухчастной трубки никогда не касается дна кюветы и не выходит из ванны;
высота \(z_\ell\) столба ртути всегда находится в верхней колбе.
Рис. 5. Реальные часы Кокса (без ртути).
Рис. 6. Схема системы, моделирующей часы. На рисунке: liquid mercury — жидкая ртуть; \(x\), \(-X\), \(X\), \(M\), \(\vec g\) — без изменений.
Таблица 2. Размеры и обозначения модельной системы:
1 — кювета: высота \(H_c = 30\) см, площадь сечения \(S_c = 210\) см\(^2\), пустая масса \(m_c\);
2 — трубчатая часть барометрической трубки: высота \(H_t = 80\) см, площадь сечения \(S_t = 5\) см\(^2\);
2\('\) — колба барометрической трубки: высота \(H_b = 20\) см, площадь сечения \(S_b = 200\) см\(^2\);
полная масса барометрической трубки (для 2 и 2\('\)): \(m_{\rm tb}\).
Система взаимодействует с атмосферой, давление которой колеблется как на рис. 4 (с амплитудой \(A = 5\cdot10^{2}\) Па и периодом \(\tau_1 = 1\) неделя). В начальный момент \(t = 0\) масса \(M\) покоится в \(x = 0\), натяжения двух тросов по обе стороны от массы \(M\) уравновешены, при \(P_1(0) = 0\). Определим \[\xi = \frac{S_b + S_c - S_t}{S_b S_c}\,\frac{F_s}{A} \simeq \frac{S_b + S_c}{S_b S_c}\,\frac{F_s}{A}, \tag{3}\] где последнее выражение использует \(S_t \ll S_b, S_c\) (что будем считать справедливым до конца задачи).
C.1. Определите пороговое значение \(\xi^\star\), такое что \(M\) остаётся неподвижной неограниченно долго при \(\xi > \xi^\star\). (1 балл)
Только для следующего вопроса предположим, что масса \(M\) временно заблокирована в \(x = X\).
C.2. Выразите полную силу натяжения \(\vec T = T\,\vec u_x\), действующую на массу \(M\) со стороны двух тросов в этом положении, при \(P_1 = 0\), через \(\rho\), \(g\), \(X\) и соответствующие площади сечений. (1 балл)
При \(\xi < \xi^\star\), начиная снова с \(x = 0\) и \(P_1 = 0\), для \(t \ge 0\) можно наблюдать два различных поведения. Чтобы их различить, введём ещё один параметр \[\lambda = 2\,\frac{S_b - S_t}{S_b}\,\frac{\rho g X}{A} \simeq \frac{2\rho g X}{A}. \tag{4}\]
C.3. Заполните таблицу в листе ответов, указав условие, при котором реализуется каждый режим. Условия должны быть записаны как неравенства для \(\xi\) и/или \(\lambda\). Кроме того, постройте эскиз зависимости \(x(t)/X\) для \(t \in [0, 3\tau_1]\), согласованный с уже известными изменениями \(P_1(t)/A\). Координаты характерных точек указывать не требуется. (2 балла)
В реальных часах Кокса энергия, которую даёт механизм, запасается с помощью системы храповиков и используется для подъёма противовеса, как в традиционных часах. В упрощённой модели, изучаемой здесь, энергия, которую восстанавливают часы, соответствует энергии, рассеянной силой трения, действующей со стороны горизонтальной поверхности на массу \(M\). Далее считаем, что система сконструирована так, чтобы работать в режиме, позволяющем часам восстанавливать энергию. Также считаем, что установился периодический режим. Обозначим \(W\) энергию, рассеянную силой сухого трения за период \(\tau_1\); её можно выразить только через \(F_s\) и \(X\).
При прочих равных \(F_s\) и \(X\) можно подбирать так, чтобы максимизировать энергию \(W\); их значения в оптимальной ситуации обозначим \(F_s^\star\) и \(X^\star\).
C.4. Считая \(S_b \simeq S_c\) и \(S_t \ll S_b\), определите выражения для \(F_s^\star\) и \(X^\star\) как функций \(\rho\), \(g\), \(S_c\) и \(A\). Выразите соответствующую максимальную энергию \(W^\star\), затем вычислите её численное значение при \(A = 5\cdot10^{2}\) Па. (1 балл)
Обозначим \(W^\star_{\rm pr}\) работу сил атмосферного давления, полученную системой в оптимальной ситуации за период \(\tau_1\).
C.5. Выразите \(W^\star_{\rm pr}\), затем вычислите отношение \(W^\star/W^\star_{\rm pr}\). Может оказаться полезным изобразить эволюцию системы на диаграмме \((P, V)\), где \(V\) — объём системы. (1,7 балла)
Источники рисунков: [1] Bruno Vacaro; [2] Victoria and Albert Museum, London.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните давления в двух сосудах при одинаковом уровне их свободной поверхности и найдите, как меняются массы ртути в кювете и в трубке при перемещении массы \(M\). Для части C используйте условие равновесия на границе трения.
▶ОтветСкрыть
A.1) \(P_w = P_0 - \rho g h\); \(\vec F = (m + \rho S h)\,g\,\vec u_z\); A.2) опыт 1: поведение A, \(F_{\max} = 14{,}7\) Н, \(h^\star\) не применимо (не требуется); опыт 2: поведение A, \(F_{\max} = 14{,}4\) Н, \(h^\star\) не применимо; опыт 3: поведение B, \(h^\star \approx 2{,}1\) см, \(F_{\max} \approx 5{,}1\) Н; A.3) \(\varepsilon = \dfrac{P_{\rm sat}}{P_0 + mg/S}\approx 1{,}6\cdot10^{-6}\); B.1) закрашивается объём ртути в трубке и колбе выше наружного уровня ванны (\(z = 0\)); B.2) наклоны: \(\rho S_b\), \(\rho S_t\), \(-\rho(S_b - S_t)\), \(0\); угловые точки: \(h_t = -H_b\), \(h_t = P_0/(\rho g) - H_b\) (\(= 56\) см), \(h_t = P_0/(\rho g)\) (\(= 76\) см), \(h_t = H_t\) (см. решение); B.3) \(\Delta m_{\rm add} = S_b A/g \approx 1\) кг; C.1) \(\xi^\star = 2\); C.2) \(T = \dfrac{4 S_c(S_b - S_t)}{S_b + S_c - S_t}\rho g X \simeq \dfrac{4S_bS_c}{S_b+S_c}\rho g X\); C.3) режим 1: \(\xi + 2\lambda > 2\) (масса остаётся неподвижной в \(x = X\) после первого переключения); режим 2: \(\xi + 2\lambda < 2\) (периодические переключения между \(\pm X\), период \(\tau_1\), скважность 50 C.4) \(F_s^\star = \dfrac{A S_c}{2}\), \(X^\star = \dfrac{A}{4\rho g}\), \(W^\star = \dfrac{A^2 S_c}{2\rho g}\approx 20\) мДж; C.5) \(W^\star_{\rm pr} = \dfrac{S_c A^2}{\rho g}\), \(\dfrac{W^\star}{W^\star_{\rm pr}} = \dfrac12\).
▶РешениеСкрыть
A.1. По гидростатическому закону \(P_w = P_a - \rho g h = P_0 - \rho g h\). В конфигурации b на трубку действуют три силы: её вес, равнодействующая сил давления и сила оператора. Из условия равновесия \(\vec 0 = m\vec g + (P_w - P_0)S\,\vec u_z + \vec F\) получаем \(\vec F = -(m + \rho S h)\vec g = (m + \rho S h)\,g\,\vec u_z\).
A.2. Пороговая высота, при которой в трубке появляется насыщенный пар, задаётся равенством \(P_w = P_0 - \rho g h^\star = P_{\rm sat}(T_a)\), откуда \(h^\star = \dfrac{P_0 - P_{\rm sat}(T_a)}{\rho g}\). Если полученное значение больше \(H\), наблюдается поведение A; иначе — поведение B. По предыдущему вопросу \(F = (m + \rho S h) g\). Поэтому \(F_{\max} = (m + \rho S H)g\) для поведения A и \(F_{\max} = (m + \rho S h^\star) g\) для поведения B. Предсказания: опыт 1 — A, \(F_{\max} \approx 14{,}7\) Н; опыт 2 — A, \(F_{\max} \approx 14{,}4\) Н; опыт 3 — B, \(h^\star \approx 2{,}1\) см, \(F_{\max} \approx 5{,}1\) Н. (Поведение определяется всей совокупностью ответов: A/A/B.)
A.3. Для поведения B \(F_{\max} = mg + (P_0 - P_{\rm sat}) S\). Пренебрегая \(P_{\rm sat}\) по сравнению с \(P_0\), получаем \(F_{\max}\simeq mg + P_0 S\). Относительная погрешность \(\varepsilon = \dfrac{P_{\rm sat}}{P_0 + mg/S}\simeq 1{,}6\cdot10^{-6}\).
B.1. Масса \(m_{\rm add}\) — это масса жидкой ртути в двухчастной трубке, находящейся выше наружной поверхности жидкости в ванне.
B.2. Насыщенный пар появляется в двухчастной трубке, когда высота столба жидкости в трубке достигает критического значения \(z_\ell^\star = \dfrac{P_0 - P_{\rm sat}}{\rho g} = \dfrac{P_0}{\rho g} = 76\) см (при \(P_{\rm sat} = 0\)). С учётом результата предыдущего вопроса получается график из четырёх прямолинейных участков: положительный наклон \(\rho S_b\) на первом участке, положительный наклон \(\rho S_t\) на втором (он меньше первого), отрицательный наклон \(-\rho(S_b - S_t)\) на третьем и нулевой наклон на четвёртом. Угловые точки: \(h_t = P_0/(\rho g) - H_b\) (\(= 56\) см), \(h_t = P_0/(\rho g)\) (\(= 76\) см) и \(h_t = H_t\) (конец диапазона); концы диапазона: \(h_t = -H_b\) и \(h_t = H_t\).
B.3. Свободная поверхность в колбе: \(z_\ell(t) = \dfrac{P_a(t)}{\rho g} = \dfrac{P_0}{\rho g} + \dfrac{P_1(t)}{\rho g}\). Тогда \(m_{\rm add}(t) = \rho\left[S_t h_t + S_b\left(z_\ell(t) - h_t\right)\right] = \rho\left[S_t h_t + S_b(z_{\ell,0} - h_t)\right] + \dfrac{S_b P_1(t)}{g}\). Первое слагаемое даёт среднее значение, последнее — временные вариации, так что \(\Delta m_{\rm add} = \dfrac{S_b A}{g}\simeq 1\) кг.
C.1. Рассмотрим случай, когда масса \(M\) остаётся в покое при \(x = 0\). В начальный момент натяжения двух тросов уравновешены: сила \(F_0\), необходимая для подвеса трубки (вместе с содержащейся в ней жидкостью), равна силе, необходимой для подвеса кюветы (вместе с содержащейся жидкостью). Когда атмосферное давление растёт от \(P_a = P_0\), жидкость поднимается в барометрической трубке и опускается в кювете. Поэтому добавочная масса в трубке растёт, а в кювете — уменьшается. Обозначим \(m_{1,tb}\) и \(m_{1,c}\) (алгебраические) изменения кажущихся масс каждого сосуда. Тогда натяжения тросов: \((F_0 + m_{1,tb} g)\,\vec u_x\) для правого троса, подвешивающего трубку, и \((-F_0 + m_{1,c} g)\,\vec u_x\) для левого троса, подвешивающего кювету. По сохранению массы \(m_{1,tb} = -m_{1,c}\). Далее оставляем в выражениях только \(m_{1,c}\). Сила трения, необходимая для поддержания равновесия: \(\vec R_t = -F_0\vec u_x - m_{1,c}g\,\vec u_x + F_0\vec u_x + m_{1,c}g\,\vec u_x = 2m_{1,c}\,g\,\vec u_x\)
По схеме \(m_{1,c} = \rho S_c\,\delta_c\), где \(\delta_c\) — алгебраическое смещение уровня в кювете. Используем: — гидростатический закон: \(\delta_b - \delta_c = \dfrac{P_1}{\rho g}\); — сохранение полного объёма ртути: \(S_b\delta_b = -(S_c - S_t)\delta_c \simeq -S_c\delta_c\). Решая систему, получаем \(\delta_c = -\dfrac{S_b}{S_b + S_c - S_t}\dfrac{P_1}{\rho g}\simeq -\dfrac{S_b}{S_b+S_c}\dfrac{P_1}{\rho g}\), откуда \(\vec R_t = -\dfrac{2S_bS_c}{S_b+S_c-S_t}P_1\,\vec u_x\simeq -\dfrac{2S_bS_c}{S_b+S_c}P_1\,\vec u_x\). С треугольным законом для \(P_1(t)\) максимум статической силы трения достигается при \(P_1 = \pm A\). По закону Кулона масса \(M\) остаётся в покое тогда и только тогда, когда \(\dfrac{2S_bS_c}{S_b+S_c-S_t}A < F_s\), что эквивалентно \(2 < \dfrac{S_b+S_c-S_t}{S_bS_c}\dfrac{F_s}{A} = \xi\). Значит, \(\xi^\star = 2\).
C.2. Сравним конфигурации при \(x = 0\) и \(x = X\). При \(P_a = P_0\) разность уровней \(\Delta z_{\ell,0} = P_0/(\rho g)\) одинакова в обеих конфигурациях, поэтому \(\delta_b = \delta_c\). Сохранение полного объёма ртути даёт \((S_c - S_t)\delta_c - (S_c + S_t)X + S_b(\delta_b + X) = 0\), откуда \(\delta_b = \delta_c = \dfrac{S_c - S_b + S_t}{S_b + S_c - S_t}X\). Тогда \(m_{1,c} = \rho S_c(\delta_c - X) = -\rho\dfrac{2S_c(S_b - S_t)}{S_c + S_b - S_t}X\simeq -\dfrac{2S_bS_c}{S_b+S_c}\rho X\), и \(m_{1,tb} = -m_{1,c}\). Результирующая сила \(\vec T = (m_{1,tb} - m_{1,c})g\,\vec u_x = -2m_{1,c}g\,\vec u_x\), то есть \(\vec T = \dfrac{4S_c(S_b - S_t)}{S_b + S_c - S_t}\rho g X\,\vec u_x \simeq \dfrac{4S_bS_c}{S_b+S_c}\rho g X\,\vec u_x\).
C.3. При \(\xi < \xi^\star\) существует момент, начиная с которого масса \(M\) начинает смещаться вправо. Далее масса \(M\) непрерывно ускоряется суммарным натяжением \(\vec T\), пока не упрётся в упор \(x = X\). Поскольку \(X\) порядка нескольких сантиметров, время переключения между положениями \(x = 0\) и \(x = X\) можно пренебречь по сравнению с периодом \(\tau_1\). Когда масса заблокирована в \(x = X\), гидростатический закон и сохранение объёма дают \(\delta_b - \delta_c = P_1/(\rho g)\) и \(S_b\delta_b + (S_c - S_t)\delta_c = (S_c - S_b + S_t)X\), откуда \(\delta_c = \dfrac{S_c - S_b + S_t}{S_b + S_c - S_t}X - \dfrac{S_b}{S_b+S_c-S_t}\dfrac{P_1}{\rho g}\) и \[m_{1,c} = \rho S_c(\delta_c - X) = -\frac{2\rho S_c(S_b - S_t)}{S_b+S_c-S_t}X - \frac{S_bS_c}{S_b+S_c-S_t}\frac{P_1}{g}.\] Тогда натяжение \(\vec T = -2m_{1,c}g\,\vec u_x = \left[\dfrac{4S_c(S_b-S_t)}{S_b+S_c-S_t}\rho g X + \dfrac{2S_bS_c}{S_b+S_c-S_t}P_1\right]\vec u_x\). По закону Кулона масса \(M\) остаётся неподвижной в \(x = X\), пока \(\vec T\cdot\vec u_x > -F_s\). При наихудшем значении \(P_1 = -A\) это условие выполнено всегда, если \(\dfrac{4S_c(S_b-S_t)}{S_b+S_c-S_t}\rho g X - \dfrac{2S_bS_c}{S_b+S_c-S_t}A > -F_s\), что эквивалентно \(\xi + 2\lambda > 2\). Используя \(\xi\) и \(\lambda\), получаем два режима: — режим 1: \(\xi + 2\lambda > 2\) — после того как масса достигла \(x = X\), она остаётся в покое неограниченно долго; — режим 2: \(\xi + 2\lambda < 2\) — после того как масса достигла \(x = X\), она периодически перемещается между двумя упорами. Эскиз \(x(t)/X\) для \(t\in[0, 3\tau_1]\): в режиме 1 функция поднимается от \(0\) до \(1\) однократно в интервале \(t\in[0, \tau_1/4]\) (на возрастании \(P_1\)) и далее остаётся равной \(1\); в режиме 2 функция — периодический прямоугольный сигнал с амплитудой \(\pm1\) и периодом \(\tau_1\), совпадающий по знаку с \(P_1\), при этом первый скачок от \(x=0\) к \(x = X\) длится дольше остальных.
C.4. За период масса совершает одно движение влево и одно вправо; полная длина перемещения \(4X\). Полная работа силы трения \(W = 4F_s X\). Её нужно максимизировать при ограничении \(\xi + 2\lambda \le 2\), которое можно записать как \(\dfrac{2\rho gX}{A} + \dfrac{F_s}{S_c A}\le 1\). Оптимум достигается на границе ограничения: \(F_s = S_c(A - 2\rho gX)\). Тогда \(W = 4XS_c(A - 2\rho gX)\), максимальное при \(X^\star = \dfrac{A}{4\rho g}\) и \(F_s^\star = \dfrac{AS_c}{2}\). Оптимальная работа \(W^\star = \dfrac{A^2 S_c}{2\rho g}\simeq 20\) мДж.
C.5. Колебания давления и положения сосуда приводят к перетеканию жидкости между кюветой и двухчастной трубкой. В результате полный объём системы \(V(t)\) в атмосфере меняется: \(V(t) = V_0 + V_1(t)\), где \(V_0\) — объём в начальном состоянии (\(x = 0\), \(P_a = P_0\)), а \(V_1(t)\) — возмущение. Физически \(V_1\) — изменение объёма жидкости в кювете: \(V_1 = m_{1,c}/\rho\). Используя \(S_b\simeq S_c\) и пренебрегая \(S_t\), в любом состоянии \(V_1(t) = -S_c\left[x(t) + \dfrac{P_1(t)}{2\rho g}\right] = -S_c X\left[\dfrac{x}{X} + \dfrac{1}{\lambda}\dfrac{P_1}{A}\right]\) (с учётом \(\lambda\simeq 2\rho g X/A\)).
За период работа сил атмосферного давления равна \(W_{\rm pr} = -\oint P_a\,dV = -\oint P_1\,dV_1\) и совпадает с площадью цикла в диаграмме \((P_1, V_1)\). В оптимальном случае масса \(M\) переключается между положениями \(x = \pm X^\star\) при \(P_1 = \pm A\). Состояния цикла: 1) \(P_1 = A\), \(x = X^\star\), \(V_1 = -3S_cX^\star\); 2) \(P_1 = -A\), \(x = X^\star\), \(V_1 = S_cX^\star\); 3) \(P_1 = -A\), \(x = -X^\star\), \(V_1 = 3S_cX^\star\); 4) \(P_1 = A\), \(x = -X^\star\), \(V_1 = -S_cX^\star\). Цикл в диаграмме \((P_1, V_1)\) — параллелограмм с основанием \(2S_cX^\star\) и высотой \(2A\). Площадь параллелограмма: \(W^\star_{\rm pr} = 4S_cX^\star A = \dfrac{S_c A^2}{\rho g}\), и \(\dfrac{W^\star}{W^\star_{\rm pr}} = \dfrac{1}{2}\).
зад 3 Шампанское!
Предупреждение: чрезмерное употребление алкоголя вредно для здоровья, а употребление алкоголя лицами моложе установленного законом возраста запрещено.
Шампанское — французское игристое вино. Брожение сахаров производит углекислый газ (CO\(_2\)) в бутылке. Молярная концентрация CO\(_2\) в жидкой фазе \(c_\ell\) и парциальное давление \(P_{\rm CO_2}\) в газовой фазе связаны законом \(c_\ell = k_H P_{\rm CO_2}\), известным как закон Генри, где \(k_H\) называется константой Генри.
Данные:
поверхностное натяжение шампанского \(\sigma = 47\cdot10^{-3}\) Дж\(\cdot\)м\(^{-2}\);
плотность жидкости \(\rho_\ell = 1{,}0\cdot10^{3}\) кг\(\cdot\)м\(^{-3}\);
константа Генри при \(T_0 = 20\) °C: \(k_H(20\,\text{°C}) = 3{,}3\cdot10^{-4}\) моль\(\cdot\)м\(^{-3}\cdot\)Па\(^{-1}\);
константа Генри при \(T_0 = 6\) °C: \(k_H(6\,\text{°C}) = 5{,}4\cdot10^{-4}\) моль\(\cdot\)м\(^{-3}\cdot\)Па\(^{-1}\);
атмосферное давление \(P_0 = 1\) бар \(= 1{,}0\cdot10^{5}\) Па;
газы идеальные с показателем адиабаты \(\gamma = 1{,}3\).
Рис. 1. Бокал, наполненный шампанским.
Часть A. Зарождение, рост и подъём пузырьков
Сразу после открытия бутылки шампанского при температуре \(T_0 = 20\) °C мы наполняем бокал. Давление в жидкости равно \(P_0\), её температура остаётся постоянной и равной \(T_0\). Концентрация \(c_\ell\) растворённого CO\(_2\) превышает равновесную концентрацию, и мы изучаем зарождение пузырька CO\(_2\). Обозначим \(a\) его радиус, а \(P_b\) — его внутреннее давление.
A.1. Выразите давление \(P_b\) через \(P_0\), \(a\) и \(\sigma\). (0,2 балла)
В жидкости концентрация растворённого CO\(_2\) зависит от расстояния до пузырька. На большом расстоянии она равна \(c_\ell\), а вблизи поверхности пузырька обозначим её \(c_b\). По закону Генри \(c_b = k_H P_b\). Далее во всей задаче предполагаем, что пузырьки содержат только CO\(_2\).
Так как \(c_\ell \ne c_b\), молекулы CO\(_2\) диффундируют из областей с высокой концентрацией в области с низкой концентрацией. Также предполагаем, что любая молекула из жидкой фазы, достигшая поверхности пузырька, переходит в пар.
A.2. Выразите критический радиус \(a_c\), выше которого пузырёк, как ожидается, растёт, через \(P_0\), \(\sigma\), \(c_\ell\) и \(c_0\), где \(c_0 = k_H P_0\). Рассчитайте численно \(a_c\) для \(c_\ell = 4c_0\). (0,5 балла)
На практике пузырьки в основном растут из уже существующих газовых полостей. Рассмотрим пузырёк с начальным радиусом \(a_0 \approx 40\) мкм. Число молей CO\(_2\), переходящих на поверхность пузырька за единицу площади и единицу времени, обозначим \(j\). Для \(j\) возможны две модели:
модель (1): \(j = \dfrac{D}{a}(c_\ell - c_b)\), где \(D\) — коэффициент диффузии CO\(_2\) в жидкости;
модель (2): \(j = K(c_\ell - c_b)\), где \(K\) — здесь постоянная.
Рис. 2. Зависимость радиуса пузырька CO\(_2\) от времени в бокале шампанского (адаптировано из [1]).
A.3. Выразите число молей CO\(_2\) \(n_c\) в пузырьке через \(a\), \(P_0\), \(R\) и \(T_0\). Найдите \(a(t)\) для обеих моделей. Укажите, какая модель объясняет экспериментальные результаты на рис. 2. В зависимости от ответа рассчитайте численно \(K\) или \(D\). (1,2 балла)
В конце концов пузырьки отрываются от дна бокала и продолжают расти, поднимаясь. На рис. 3 показана цепочка пузырьков. Пузырьки цепочки имеют одинаковый начальный радиус и испускаются с постоянной частотой \(f_b = 20\) Гц.
Рис. 3. Цепочка пузырьков. Фото повёрнуто горизонтально для вёрстки страницы (адаптировано из [1]). На рисунке: \(\vec u_z\), \(\vec g_0\) — без изменений; 1 mm — 1 мм.
Для диапазона скоростей, рассматриваемых здесь, сила сопротивления \(F\) на пузырёк радиуса \(a\), движущийся со скоростью \(v\) в жидкости с динамической вязкостью \(\eta\), задаётся законом Стокса \(F = 6\pi\eta a v\). Измерения показывают, что в любой момент времени пузырёк можно считать движущимся с установившейся (предельной) скоростью.
A.4. Запишите выражения для основных сил, действующих на вертикально поднимающийся пузырёк. Получите выражение \(v(a)\). Дайте численную оценку \(\eta\), используя \(\rho_\ell\), \(g_0\) и величины, измеренные на рис. 3. (0,8 балла)
Квазистационарный рост пузырьков со скоростью \(q_a = \dfrac{da}{dt}\) по-прежнему применим во время подъёма пузырька.
A.5. Выразите радиус \(a_{H_\ell}\) пузырька, достигающего свободной поверхности, через пройденную высоту \(H_\ell\), скорость роста \(q_a = \dfrac{da}{dt}\) и любые необходимые постоянные. Предполагая \(a_{H_\ell} \gg a_0\) и \(q_a\) постоянной, дайте численное значение \(a_{H_\ell}\) при \(H_\ell = 10\) см и \(q_a\), соответствующей рис. 2. (0,5 балла)
Пусть имеется \(N_b\) центров зарождения пузырьков. Считаем, что пузырьки зарождаются с постоянной частотой \(f_b\) на дне бокала шампанского (высота \(H_\ell\) для объёма \(V_\ell\)), при этом \(a_0\) по-прежнему пренебрежимо мало. Диффузией CO\(_2\) на свободной поверхности пренебрегаем.
A.6. Запишите дифференциальное уравнение для \(c_\ell(t)\). Из этого уравнения получите характерное время \(\tau\) убывания концентрации растворённого CO\(_2\) в жидкости. (1,1 балла)
Часть B. Акустическое излучение лопающегося пузырька
Маленькие пузырьки почти сферические, когда достигают свободной поверхности. Как только жидкостная плёнка, отделяющая пузырёк от воздуха, достаточно истончается, в плёнке образуется круглое отверстие радиуса \(r\), которое под действием поверхностного натяжения очень быстро раскрывается (рис. 4, слева). Отверстие раскрывается с постоянной скоростью \(v_f\) (рис. 4, справа). Плёнка за пределами обода остаётся неподвижной и имеет постоянную толщину \(h\).
Из-за диссипативных процессов только половина разности поверхностной энергии между моментами \(t\) и \(t + dt\) обода и накопленной им жидкости переходит в кинетическую энергию. Далее считаем, что изменение поверхности обода пренебрежимо мало по сравнению с изменением поверхности плёнки.
Рис. 4. (Слева) (\(\alpha\)) Пузырёк на поверхности: (1) жидкость, (2) воздух под давлением \(P_0\) и (3) CO\(_2\) под давлением \(P_b\); (\(\beta\)) и (\(\gamma\)) втягивание жидкой плёнки, где обод показан тёмно-синим; (\(\delta\)) схлопывание пузырька. (Справа) Втягивание жидкой плёнки в момент \(t\): сверху — схема проколотой плёнки, вид сверху; снизу — поперечное сечение обода и втягивающейся плёнки. За время \(dt\) обод накапливает близлежащую жидкость (пунктир). На рисунке: rim — обод; film — плёнка (без изменений в обозначениях \(r(t)\), \(R_{\rm m}\), \(h\), \(v_f\), \(A\)).
B.1. Выразите \(v_f\) через \(\rho_\ell\), \(\sigma\) и \(h\). (1,1 балла)
Когда плёнка лопается, она высвобождает внутреннее давление и испускает звук. Мы моделируем это акустическое излучение резонатором Гельмгольца: полостью, открытой в атмосферу с давлением \(P_0\) через узкое отверстие площадью \(S\) (рис. 5, слева). В горлышке масса \(m_p\) совершает малые колебания под действием сил давления, которые она испытывает, когда газ в полости адиабатически расширяется или сжимается. Сила тяжести, действующая на \(m_p\), пренебрежимо мала по сравнению с силами давления. Пусть \(V_0\) — объём газа под массой \(m_p\) при \(P = P_0\) и \(z = 0\).
Рис. 5. (Слева) Резонатор Гельмгольца. (Справа) Пузырёк как осциллятор. На рисунке: \(P(t)\), \(P_0\), \(m_p\), \(S\), \(z\), \(a\), \(2r\) — без изменений.
B.2. Выразите частоту колебаний \(f_0\) массы \(m_p\). Подсказка: при \(\varepsilon \ll 1\) выполняется \((1+\varepsilon)^\alpha \approx 1 + \alpha\varepsilon\). (1,1 балла)
Модель Гельмгольца можно применить к пузырьку радиуса \(a\); \(V_0\) — объём закрытого пузырька. По литературным данным масса эквивалентного поршня равна \(m_p = \dfrac{8\rho_g r^3}{3}\), где \(r\) — радиус круглого отверстия, а \(\rho_g = 1{,}8\) кг\(\cdot\)м\(^{-3}\) — плотность газа (рис. 5, справа). В процессе разрыва \(r\) меняется от \(0\) до \(r_c\), заданного формулой \(r_c = \dfrac{2}{\sqrt3}\,a^2\sqrt{\dfrac{\rho_\ell g_0}{\sigma}}\). Одновременно частота испускаемого звука возрастает до максимального значения \(40\) кГц, а время разрыва равно \(t_b = 3\cdot10^{-2}\) мс.
B.3. Найдите радиус \(a\) и толщину \(h\) плёнки шампанского, отделяющей пузырёк от атмосферы. (1,1 балла)
Часть C. Открытие бутылки шампанского
В бутылке полное количество CO\(_2\) равно \(n_T = 0{,}2\) моль: часть растворена в объёме \(V_L = 750\) мл жидкого шампанского, а часть — в газовой фазе в объёме \(V_G = 25\) мл под пробкой (рис. 6, слева). \(V_G\) содержит только CO\(_2\). Равновесие между двумя фазами CO\(_2\) подчиняется закону Генри. Предполагаем, что быстрое расширение газообразного CO\(_2\) при открытии бутылки адиабатическое и обратимое. Температура окружающей среды \(T_0\) и давление \(P_0 = 1\) бар постоянны.
Рис. 6. Слева: традиционное горлышко: (1) окружающий воздух, (2) пробка, (3) газовое пространство под пробкой (headspace), (4) жидкое шампанское. Справа: два явления, наблюдаемые при открытии бутылки при двух различных температурах (адаптировано из [2]). На рисунке: \(P_0\), \(P_i, V_G\), \(c_\ell = k_H P_i\), \(V_L\), \(d\), \(\ell_0\) — без изменений.
C.1. Дайте численное значение давления газообразного CO\(_2\) \(P_i\) в бутылке при \(T_0 = 6\) °C и при \(T_0 = 20\) °C. (0,4 балла)
Другой этап производства шампанского (здесь не описанный) приводит к следующим значениям \(P_i\), которые мы будем использовать в следующих вопросах: \(P_i = 4{,}69\) бар при \(T_0 = 6\) °C и \(P_i = 7{,}45\) бар при \(T_0 = 20\) °C.
При открытии бутылки в зависимости от \(T_0\) могут наблюдаться два различных явления (рис. 6, справа):
либо появляется синий туман, обусловленный образованием твёрдых кристаллов CO\(_2\) (при этом конденсация воды подавлена);
либо появляется серовато-белый туман, обусловленный конденсацией водяного пара в воздухе вокруг горлышка. В этом случае твёрдые кристаллы CO\(_2\) не образуются.
Давление насыщенного пара \(P^{\rm CO_2}_{\rm sat}\) для перехода твёрдое тело — газ у CO\(_2\) задаётся формулой \(\log_{10}\!\left(\dfrac{P^{\rm CO_2}_{\rm sat}}{P_0}\right) = A - \dfrac{B}{T + C}\), где \(T\) в К, \(A = 6{,}81\), \(B = 1{,}30\cdot10^{3}\) К и \(C = -3{,}49\) К.
C.2. Дайте численное значение \(T_f\) — температуры газообразного CO\(_2\) в конце расширения после открытия бутылки при \(T_0 = 6\) °C и при \(T_0 = 20\) °C, если фазового перехода не происходит. Выберите, какие утверждения верны (возможно несколько):
При \(T_0 = 6\) °C при открытии бутылки появляется серовато-белый туман.
При \(T_0 = 6\) °C при открытии бутылки появляется синий туман.
При \(T_0 = 20\) °C при открытии бутылки появляется серовато-белый туман.
При \(T_0 = 20\) °C при открытии бутылки появляется синий туман.
При открытии бутылки пробка выскакивает. Определим максимальную высоту \(H_c\), которой она достигает. Предполагаем, что сила трения \(F\), действующая со стороны горлышка на пробку, равна \(F = \alpha A\), где \(A\) — площадь контакта, а \(\alpha\) — постоянная, которую нужно определить. Вначале сила давления незначительно превышает силу трения. Масса пробки \(m = 10\) г, её диаметр \(d = 1{,}8\) см, а длина цилиндрической части, изначально застрявшей в горлышке, \(\ell_0 = 2{,}5\) см. После того как пробка покинет горлышко, результирующей силой давления можно пренебречь.
C.3. Дайте численное значение \(H_c\) при внешней температуре \(T_0 = 6\) °C. (1,3 балла)
Источники: [1] Liger-Belair et al., Am. J. Enol. Vitic., Vol. 50, No. 3 (1999). [2] Liger-Belair et al., Sc. Reports 7, 10938 (2017).
▶ПодсказкаСкрыть
Для части A сравните давление внутри пузырька с давлением жидкости и используйте баланс молекул CO\(_2\). Для части C учтите, что расширение газа адиабатическое, а работа сил трения и внешнего давления входит в баланс энергии пробки.
▶ОтветСкрыть
A.1) \(P_b = P_0 + \dfrac{2\sigma}{a}\); A.2) \(a_c = \dfrac{2\sigma}{P_0\,(c_\ell/c_0 - 1)}\), \(a_c \approx 0{,}3\) мкм; A.3) \(n_c = \dfrac{4}{3}\pi a^3\dfrac{P_0}{RT_0}\); модель (1): \(a^2 = a_0^2 + \dfrac{2DRT_0}{P_0}(c_\ell - c_0)\,t\); модель (2): \(a = a_0 + \dfrac{KRT_0}{P_0}(c_\ell - c_0)\,t\); эксперимент соответствует модели (2), \(\dot a \approx 0{,}24\) мм\(\cdot\)с\(^{-1}\), \(K \approx 1{,}0\cdot10^{-4}\) м\(\cdot\)с\(^{-1}\); A.4) \(v = \dfrac{2}{9}\dfrac{\rho_\ell g_0}{\eta}a^2\); \(\eta \approx 2\cdot10^{-3}\) Па\(\cdot\)с; A.5) \(a_{H_\ell} = \left(\dfrac{27\,q_a\,\eta H_\ell}{2\rho_\ell g_0}\right)^{1/3}\approx 0{,}4\) мм; A.6) \(\dfrac{dc_\ell}{dt} = -\dfrac{18\pi N_b f_b\,\eta K H_\ell}{\rho_\ell g_0 V_\ell}\,(c_\ell - c_0)\), \(\tau = \dfrac{\rho_\ell g_0 V_\ell}{18\pi N_b f_b\,\eta K H_\ell}\); B.1) \(v_f = \sqrt{\dfrac{2\sigma}{\rho_\ell h}}\); B.2) \(f_0 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{\gamma S^2 P_0}{m_p V_0}}\); B.3) \(a = \dfrac{3\sqrt3}{64\pi}\dfrac{\gamma P_0}{\rho_g f_0^2}\sqrt{\dfrac{\rho_\ell g_0}{\sigma}}\approx 0{,}53\) мм, \(h = \dfrac{2\sigma}{\rho_\ell v_f^2}\approx 3{,}7\) мкм; C.1) \(P_i = 4{,}81\) бар при \(6\) °C, \(P_i = 7{,}76\) бар при \(20\) °C; C.2) \(T_f \approx 195{,}3\) К (\(-77{,}8\) °C) при \(6\) °C и \(T_f \approx 184{,}3\) К (\(-88{,}8\) °C) при \(20\) °C; верные утверждения: 1 и 4; C.3) \(H_c \approx 7{,}7\) м.
▶РешениеСкрыть
A.1. По закону Лапласа \(P_b = P_0 + \dfrac{2\sigma}{a}\).
A.2. Критический радиус: \(c_\ell = c_b\). Так как \(c_b = k_H P_b = k_H\left(P_0 + \dfrac{2\sigma}{a}\right)\) и \(c_0 = k_H P_0\), получаем \(a_c = \dfrac{2\sigma}{P_0(c_\ell/c_0 - 1)}\). Численно \(a_c = 0{,}3\) мкм.
A.3. Число молей CO\(_2\) в пузырьке (идеальный газ): \(n_c = \dfrac{4}{3}\pi a^3\dfrac{P_0}{RT_0}\). Баланс молекул CO\(_2\) в пузырьке: \(\dfrac{dn_c}{dt} = 4\pi a^2\dfrac{da}{dt}\dfrac{P_0}{RT_0} = 4\pi a^2 j\), откуда \(\dfrac{da}{dt} = \dfrac{jRT_0}{P_0}\). Модель (1): \(\dfrac{da}{dt} = \dfrac{DRT_0}{aP_0}(c_\ell - c_0)\), откуда \(a^2 = a_0^2 + \dfrac{2DRT_0}{P_0}(c_\ell - c_0)\,t\). Модель (2): \(\dfrac{da}{dt} = \dfrac{KRT_0}{P_0}(c_\ell - c_0)\), откуда \(a = a_0 + \dfrac{KRT_0}{P_0}(c_\ell - c_0)\,t\). Экспериментально \(\dfrac{da}{dt}\) постоянна: это модель (2). Наклон экспериментальных данных \(\dot a \approx 150/0{,}62 \approx 0{,}24\) мм\(\cdot\)с\(^{-1}\). Тогда \(K = \dfrac{\dot a\,P_0}{RT_0(c_\ell - c_0)} \approx 1{,}0\cdot10^{-4}\) м\(\cdot\)с\(^{-1}\).
A.4. На пузырёк действуют архимедова сила \(\dfrac{4}{3}\pi a^3\rho_\ell g_0\) (вверх), сила сопротивления \(6\pi\eta a v\) (вниз); сила тяжести пузырька пренебрежимо мала, так как \(\rho_{\rm CO_2}/\rho_\ell \approx P_e M_{\rm CO_2}/(RT\rho_\ell) \approx 10^{-3}\), т.е. \(m_b \ll m_\ell\). Упрощённое уравнение — баланс архимедовой силы и силы сопротивления: \(\dfrac{4}{3}\pi a^3\rho_\ell g_0 = 6\pi\eta a v\), откуда \(v = \dfrac{2}{9}\dfrac{\rho_\ell g_0}{\eta}a^2\). Интервал между двумя пузырьками \(\Delta t = 1/f_b = 5\cdot10^{-2}\) с. Из \(\eta = \dfrac{2\rho_\ell g_0}{9}\dfrac{a^2}{v}\) для предпоследнего пузырька с \(a_{n-1} \approx 0{,}19\) мм и скоростью \(v(t_{n-1}) = \dfrac{z(t_n) - z(t_{n-2})}{2f_b^{-1}} = 4{,}5\) см\(\cdot\)с\(^{-1}\) получаем \(\eta \approx 2\cdot10^{-3}\) Па\(\cdot\)с.
A.5. Из \(v = \dfrac{dz}{dt} = \dfrac{2\rho_\ell g_0}{9\eta}a^2\) и \(\dfrac{da}{dt} = q_a\) получаем \(\dfrac{dz}{da} = \dfrac{2\rho_\ell g_0}{9\eta q_a}a^2\). Интегрируя при \(z = 0\) и пренебрегая \(a_0\): \(z = \dfrac{2\rho_\ell g_0}{27\eta q_a}a^3\), откуда \(a_{H_\ell} = \left(\dfrac{27\,q_a\,\eta H_\ell}{2\rho_\ell g_0}\right)^{1/3}\). При \(H_\ell = 10\) см и \(q_a\) из рис. 2 получаем \(a_{H_\ell} = 3{,}9\cdot10^{-4}\) м при \(\eta = 2{,}0\cdot10^{-3}\) Па\(\cdot\)с (допустимый диапазон \(0{,}36\)–\(0{,}49\) мм).
A.6. Число пузырьков, достигающих свободной поверхности за единицу времени: \(N_b f_b\). Объём CO\(_2\), выделяемого у свободной поверхности за единицу времени: \(\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{4}{3}\pi a_{H_\ell}^3\,N_b f_b\). По результату A.5 \(\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{18\pi N_b f_b\eta H_\ell}{\rho_\ell g_0}\,q_a\). Поскольку \(q_a = \dfrac{RT_0}{P_0}K(c_\ell - c_0)\), получаем \(\dfrac{dn}{dt} = -\dfrac{P_0}{RT_0}\dfrac{dV}{dt} = -\dfrac{18\pi N_b f_b\eta K H_\ell}{\rho_\ell g_0}(c_\ell - c_0)\) (в жидкости \(c_b \approx c_0\)). С учётом \(c_\ell = n/V_\ell\) получаем линейное уравнение первого порядка \(\dfrac{dc_\ell}{dt} + \dfrac{18\pi N_b f_b\eta K H_\ell}{\rho_\ell g_0 V_\ell}(c_\ell - c_0) = 0\). Отсюда экспоненциальное убывание с характерным временем \(\tau = \dfrac{\rho_\ell g_0 V_\ell}{18\pi N_b f_b\eta K H_\ell}\).
B.1. Накопленная за \(dt\) жидкость имеет объём \(\delta\mathcal V = h\,\ell\,v_f\,dt\), где \(\ell = 2\pi r\) — длина обода. Её кинетическая энергия: \(dE_c = \dfrac12\rho_\ell\,\delta\mathcal V\,v_f^2 = \pi r\rho_\ell h v_f^3\,dt\). Изменение поверхностной энергии (две поверхности плёнки): \(\delta E_s = -2\sigma\,\ell\,v_f\,dt = -4\pi\sigma r v_f\,dt\). По условию половина потерянной поверхностной энергии переходит в кинетическую: \(dE_c = -\dfrac12\delta E_s\), откуда \(\pi r\rho_\ell h v_f^3 = 2\pi\sigma r v_f\) и \(v_f = \sqrt{\dfrac{2\sigma}{\rho_\ell h}}\).
B.2. На \(m_p\) действует сила давления \(F_z = (P(t) - P_0)S\). Объём \(V(t) = V_0 + Sz\). Адиабатическое обратимое сжатие: \(PV^\gamma = P_0V_0^\gamma\), \(P(t) = P_0\left(1 + \dfrac{Sz}{V_0}\right)^{-\gamma} \approx P_0\left(1 - \gamma\dfrac{Sz}{V_0}\right)\). Тогда \(F_z = -\gamma S^2P_0\dfrac{z}{V_0}\) и \(m_p\ddot z + \gamma S^2P_0\dfrac{z}{V_0} = 0\) — гармонический осциллятор с \(\omega_0^2 = \dfrac{\gamma S^2 P_0}{m_pV_0}\), откуда \(f_0 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{\gamma S^2P_0}{m_pV_0}}\).
B.3. Максимальное значение \(f_0 = 40\) кГц достигается при \(r = r_c\). С \(m_p = \dfrac{8\rho_g r^3}{3}\), \(S = \pi r_c^2\) и \(V_0 = \dfrac{4}{3}\pi a^3\) получаем \(f_0 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{3r_c\pi^2 P_0\gamma}{8\rho_g V_0}}\), что даёт \[a = \frac{3\sqrt3}{64\pi}\,\frac{\gamma P_0}{\rho_g f_0^2}\sqrt{\frac{\rho_\ell g_0}{\sigma}}\approx 0{,}53\text{ мм}.\] Далее \(r_c = \dfrac{2}{\sqrt3}a^2\sqrt{\dfrac{\rho_\ell g_0}{\sigma}} \approx 0{,}15\) мм, и \(v_f = \dfrac{r_c}{t_b} \approx 5{,}0\) м\(\cdot\)с\(^{-1}\). Отсюда \(h = \dfrac{2\sigma}{\rho_\ell v_f^2}\approx 3{,}7\) мкм.
C.1. Баланс молекул CO\(_2\): \(n_T = n_V + n_L = n_V + k_H(T_0)P_iV_L\); газовая фаза — по закону идеального газа \(n_V = \dfrac{P_iV_G}{RT_0}\). Тогда \(P_i = \dfrac{n_T}{V_Lk_H(T_0) + \dfrac{V_G}{RT_0}}\). Численно \(P_i = 4{,}81\) бар при \(T_0 = 6\) °C и \(P_i = 7{,}76\) бар при \(T_0 = 20\) °C.
C.2. Адиабатическое обратимое расширение идёт от \(P_i\) до \(P_0\); \(T_f = T_0\left(\dfrac{P_i}{P_0}\right)^{1/\gamma - 1}\). При \(T_0 = 6\) °C: \(P_i = 4{,}69\) бар и \(T_f = 195{,}3\) К \(= -77{,}8\) °C. При \(T_0 = 20\) °C: \(P_i = 7{,}45\) бар и \(T_f = 184{,}3\) К \(= -88{,}8\) °C. Сравнение давления насыщенного пара с \(P_0\): при \(T_f = 195{,}3\) К \(P^{\rm CO_2}_{\rm sat} = 1{,}07\) бар \(> P_0\), т.е. конечное состояние газообразное (вторым способом: температура перехода при \(P_0\) равна \(T_{\rm trans} = \dfrac{B}{A} - C = 194{,}4\) К, и \(T_f = 195{,}3 > T_{\rm trans}\)). При \(T_f = 184{,}3\) К \(P^{\rm CO_2}_{\rm sat} = 0{,}41\) бар \(< P_0\) и \(T_f < T_{\rm trans}\): гипотеза о газовом конечном состоянии неверна, фазовый переход произошёл. Итак, верны утверждения 1 и 4.
C.3. Пробка: сила трения \(F = \alpha\pi d(\ell_0 - z)\). В начальный момент \(F = \pi\alpha d\ell_0 = \dfrac{\pi d^2}{4}(P_i - P_0)\), откуда \(\alpha = \dfrac{(P_i - P_0)d}{4\ell_0}\). Работа силы трения: \(W_f = -\dfrac{(P_i - P_0)\pi d^2\ell_0}{8}\) (для \(P_i = 4{,}69\) бар: \(W_f = -1{,}17\) Дж). Работа газа CO\(_2\) над пробкой (адиабатическое расширение): \(W_{\rm CO_2\to cork} = \dfrac{P_iV_G}{\gamma-1}\left[1 - \left(1 + \dfrac{\pi d^2\ell_0}{4V_G}\right)^{-(\gamma-1)}\right]\), и изменение внутренней энергии газа \(\Delta U_g = -W_{\rm CO_2\to cork}\) (численно \(\Delta U_g = -2{,}57\) Дж). Работа внешнего давления: \(W_e = -P_0\dfrac{\pi d^2}{4}\ell_0 = -0{,}64\) Дж. Энергия пробки на выходе из горлышка: \(E_c = -\Delta U_g + W_f + W_e = 0{,}76\) Дж. Высота: \(H_c = \dfrac{E_c}{mg_0} \approx 7{,}7\) м. Если считать давление газа постоянным и равным \(P_i\), работа газа была бы \(P_i\dfrac{\pi\ell_0d^2}{4} = 3\) Дж вместо \(2{,}56\) Дж, и \(H_c = 12\) м: разница существенна.
Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 2025, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.