зад 1 Идеальный газ, давление пара и теплопроводность
В этой задаче изучаются три физических явления: поведение идеального газа, давление насыщенного водяного пара и теплопроводность. Цель задачи — исследовать взаимосвязь между давлением \(P\), объемом воздуха \(V\), температурой \(T\) и временем \(t\), представить результаты в виде графиков и оценить значения физических постоянных и их погрешности.
Экспериментальная установка
Перед началом эксперимента ознакомьтесь с инструкцией по сборке, списком оборудования, регламентом и порядком измерений в каждой из частей задачи.
Установка состоит из двух коаксиальных цилиндров (рис. 1а). Внутренний цилиндр (inner cylinder, IC) может содержать воздух и жидкости. Воздух во внутреннем цилиндре IC будем обозначать CA (confined air). Количество жидкости во внутреннем цилиндре IC можно регулировать, подсоединив шприц к концу трубки D.
Внешний цилиндр (outer cylinder, OC ) может быть заполнен только водой и служит для контроля температуры во внутреннем цилиндре. Уровень воды во внешнем цилиндре можно регулировать с помощью входной и выходной трубок и системы кранов, а температура контролируется электрическим нагревателем. Внутри внутреннего цилиндра IC установлены датчик давления и датчик температуры. Во внешнем цилиндре OC есть отдельный датчик температуры.
Экспериментальное оборудование
Установка (рис. 2)
Внутренний цилиндр (IC): на нем есть две шкалы для измерения высоты в сантиметрах. Закрепленные крышки обеспечивают герметичность содержимого.
Внешний цилиндр (OC): служит для контроля температуры.
Нагреватель: установлен во внешнем цилиндре OC и питается от электронного модуля.
Датчики температуры: два датчика, соединенные с электронным модулем черными проводами, измеряют температуру в каждом цилиндре.
Трубка датчика давления: соединяет воздух внутри цилиндра с датчиком давления в электронном модуле.
Подвод воды к внешнему цилиндру: две трубки обеспечивают поступление и откачку воды из внешнего цилиндра.
Кран E: открывает или закрывает соединение внутреннего цилиндра с атмосферой.
Электронный модуль (рис. 3)
Перед использованием электронный модуль необходимо подключить к сети питания. Выключатель питания с надписью Power расположен на задней панели модуля (рис. 4).
На экране электронного модуля отображаются следующие показания:
Внутреннее давление: давление внутри внутреннего цилиндра IC (INT. PRESSURE).
Атмосферное давление: атмосферное давление в месте проведения эксперимента (ATM. PRESSURE).
Внутренняя температура: температура внутри внутреннего цилиндра IC (INT. TEMPERATURE).
Внешняя температура: температура внутри внешнего цилиндра OC (EXT. TEMPERATURE).
Секундомер: показания секундомера (TIMER).
Функции четырех пронумерованных кнопок под экраном:
Кнопка 1 — Секундомер: запускает или останавливает секундомер.
Кнопка 2 — Сброс: обнуляет показания таймера.
Кнопка 3 — График: переключает режимы отображения числовых значений и графика. Эта функция не используется в задаче.
Кнопка 4 — Нагреватель: включает или выключает нагреватель. Когда нагреватель работает, индикатор в правом нижнем углу экрана мигает.
Внимание: ни в коем случае не включайте нагреватель, если он не полностью погружен в воду. Когда температура внешнего цилиндра достигает 65 °C, нагреватель отключается. Его можно включить снова только после того, как индикатор перестанет гореть красным.
На правой стороне модуля (рис. 5) находятся разъёмы для датчика температуры во внутреннем цилиндре (Internal Temp.), датчика температуры во внешнем цилиндре (External Temp.), нагревателя (Water Heater) и трубки, соединяющей внутренний цилиндр с датчиком давления (Internal pressure).
Гидравлический модуль (рис. 6)
Гидравлический модуль содержит четыре крана, обозначенных буквами A, B, C, D. Каждый кран управляет определенным потоком жидкости в установке:
Кран A — Наполнение внешнего цилиндра: регулирует поступление воды во внешний цилиндр через трубку A (IN H2O).
Кран B — Рециркуляция: обеспечивает перемешивание воды во внешнем цилиндре OC, подробнее в следующем разделе.
Кран C — Слив воды из внешнего цилиндра: регулирует поток воды из внешнего цилиндра через трубку C (OUT H2O).
Кран D — Подключение шприца: позволяет наполнять и опорожнять внутренний цилиндр с помощью шприца, подсоединенного к трубке D (рис. 2). Если кран или иные соединения в этой магистрали протекают, вы можете отключить трубку от входного отверстия в кран и подключить шприц к этой трубке напрямую.
Работа насоса и кранов
На передней панели электронного модуля находится выключатель насоса (PUMP, рис. 8). Перед включением насоса установите краны в положения, соответствующие нужному действию. Закрепите шланги на краю емкостей с помощью зажимов.
Заполнение внешнего цилиндра OC водой: откройте кран A и закройте краны B и C. Опустите трубку A в емкость с водой. Когда воды будет достаточно, закройте кран A. Уровень воды должен быть как минимум на 1 см ниже крышки цилиндра. Если вода не поступает во внешний цилиндр достаточно быстро, откройте и закройте кран B, чтобы прочистить насос.}
Слив воды из внешнего цилиндра OC: закройте кран A и откройте краны B и C. Поместите трубку С в емкость для сбора воды.
Перемешивание воды во внешнем цилиндре OC: откройте кран B и закройте краны A и C. Тогда вода циркулирует по внешнему цилиндру, выравнивая в нем температуру.
Манипуляции с жидкостью во внутреннем цилиндре совершаются шприцом через трубку D, насос для этого не используется.
Добавление жидкости во внутренний цилиндр IC: откройте краны D и E, затем с помощью шприца введите жидкость.
Слив жидкости из внутреннего цилиндра IC: откройте краны D и E, затем с помощью шприца отберите жидкость.
Дополнительное оборудование
Два шприца объемом 100 мл с соединительной трубкой (рис. 7). Один шприц предназначен для воды, другой — для пропиленгликоля (PG).
Пропиленгликоль: емкость с 100 мл пропиленгликоля, давление паров которого пренебрежимо мало в используемом диапазоне температур (рис. 9). Предупреждение: PG растворяется в воде. Также он может поглощать воду из воздуха. Держите емкость закрытой, когда она не используется.
Термос с 500 мл холодной воды (рис. 10).
Бутылка с водой комнатной температуры (рис. 11).
Кувшин, в который сливается лишняя вода (рис. 12).
Емкость, из которой цилиндр наполняется водой (рис. 13).
Зажимы для фиксации трубок и других элементов установки (рис. 14).
Бумажные полотенца для поддержания чистоты на рабочем месте.
Замечания
У каждого крана только два положения: открытое (I) и закрытое (II) (рис. 15).
Чтобы отсоединить трубку, нажмите на кольцо и вытащите трубку. Чтобы подключить трубку, вставьте ее до упора (рис. 16).
В начале эксперимента установка полностью собрана, и при нормальной работе установки переподключение шлангов не требуется.
На рис. 17 показаны размеры поперечного сечения цилиндров.
Обозначения на рис. 18: \(h\) — высота жидкости, а \(H\) — высота воздуха над жидкостью во внутреннем цилиндре.
Не учитывайте внутренний объем соединительных трубок и объем датчика температуры внутри внутреннего цилиндра.
Физические постоянные
В задаче могут использоваться следующие значения:
Постоянная Авогадро: \(N_{A} = 6.022\cdot 10^{23}~моль^{-1}\)
Удельная теплоемкость воды: \(c_{0} = 4.184\cdot 10^3~Дж/(кг\cdot К)\)
Плотность воды: \(\rho_{0} = 1000~кг/м^3\)
Молярная масса воды: \(M_{0} = 18.02~г/моль\)
Молярная масса воздуха: \(M_{a} = 28.96~г/моль\)
Молярный объём идеального газа в нормальных условиях: \(V_{m} = 22.4~л/моль\), при \(T_{0} = 273.15~К\) и \(P_{0} = 101.3~кПа\)
Часть A. Изохорный процесс c идеальным газом
Воздух в цилиндре подчиняется уравнению состояния идеального газа:
\[PV=nRT,\qquad(1)\] где \(R\) — универсальная газовая постоянная.
Порядок выполнения
Залейте пропиленгликоль во внутренний цилиндр до уровня \(h = 4.5~см\). Закройте краны D и E. Тогда объем воздуха во внутреннем цилиндре постоянен.
При решении используйте усреднённое значение плотности атмосферного воздуха в Букараманге \(\rho = 1.12~кг/м^3\).
A1. Рассчитайте массу \(m\), количество молей \(n\) и общее число молекул воздуха \(N\) во внутреннем цилиндре.
Заполните внешний цилиндр водой комнатной температуры почти до верха.
Включите нагреватель. Не забудьте перемешивать воду во внешнем цилиндре с помощью насоса.
A2. Занесите в таблицу значения давления \(P\) газа во внутреннем цилиндре в зависимости от его температуры \(T\).
A3. Используя результаты измерений пункта A2, постройте график зависимости давления от температуры.
На выданном вам оборудовании калибровка датчиков может быть намеренно изменена, чтобы измеренное значение R отличалось от табличной величины.}
A4. Используя график из пункта A3, определите экспериментально значение \(R\).
Термический коэффициент давления при постоянном объёме определяется соотношением:
\[\beta _{0}=\frac{1}{P_{0}}\left( \frac{\Delta P}{\Delta T} \right)\qquad(2)\]
где \(P_{0}\) — давление системы при температуре \(T_{0}\), указанной в списке физических постоянных.
A5. Определите значение коэффициента \(\beta_{0}\) для воздуха.
Прежде чем приступить к следующим частям, слейте пропиленгликоль из внутреннего цилиндра IC. Промойте внутренний цилиндр IC. Если вы переходите к части B, не сливайте горячую воду из внешнего цилиндра.}
Часть B. Давление насыщенного пара
Если жидкость и её пар находятся в закрытом сосуде в состоянии равновесия, то давление пара зависит от абсолютной температуры \(T\) согласно уравнению уравнению Клапейрона-Клаузиуса:
\[P_{v}=P_{v0}\,\exp\left[{-\frac{Q_{v}}{R}\left( \frac{1}{T}-\frac{1}{T_{0}} \right)}\right]\qquad(3)\]
Здесь \(T_{0}\) — опорная температура, равная \(0~^\circ\mathrm{C}\). \(P_{v0}\) — давление насыщенного пара при температуре \(T_{0}\). \(R\) — универсальная газовая постоянная, а \(Q_{v}\) — молярная теплота испарения воды.
Порядок выполнения
Пропиленгликоль и вода смешиваются. Используйте разные шприцы для воды и пропиленгликоля.}
Заполните внешний цилиндр OC водой так, чтобы уровень воды был близок к верхнему краю.
Наполните шприц водой, подключите его к внутреннему цилиндру IC и откройте кран E. Извлеките поршень шприца и поднимите шприц так, чтобы уровень воды во внутреннем цилиндре установился на высоте \(h\) = 5.0 см. Закройте кран E, затем закрепите шприц, например, на кувшине, как показано на рисунке 19. Такое расположение поддерживает давление внутри внутренного цилиндра IC приблизительно равным атмосферному. Убедитесь, что в шланге нет пузырьков воздуха.
Нагрейте воду во внешнем цилиндре OC до 65 °C. Не забудьте перемешивать воду во внешнем цилиндре с помощью насоса.
Дождитесь, когда температура начнет снижаться, и измерьте зависимость \(H\) от \(T\).
Для ускорения охлаждения вы можете заменить воду во внешнем цилиндре OC на холодную.
B1. Измерьте зависимость высоты \(H\) от температуры \(T\) и запишите значения в таблицу.
B2. Постройте график зависимости \(H\) от \(T\) по данным, полученным в B1.
При комнатной температуре давление насыщенного пара мало́, поэтому зависимость \(H(T)\) можно приближённо считать линейной.
B3. Экстраполируйте график из задания B2 и найдите значение \(H_{0}\) (\(H\) при \(0~^\circ\mathrm{C}\)).
B4. Во внутреннем цилиндре IC находится воздух и насыщенный водяной пар. Выразите давление насыщенного пара \(P_{v}\) через \(P_{atm}\) (атмосферное давление), \(H_{0}\), \(H\), \(T_{0}\) и \(T\). Считайте, что при \(0~^\circ\mathrm{C}\) давление насыщенного пара равно нулю.
Для следующих вопросов используйте значение \(R = 8.31~Дж/(моль\cdot К)\).
B5. Используя уравнение (3) и выражение из пункта B4, постройте подходящий график и определите значение \(Q_{v}\).
B6. Используя значение \(Q_{v}\) , определите \(L_{v}\) (удельную теплоту испарения, т.е. в расчете на единицу массы). Запишите использованную формулу.
Часть С. Теплопроводность
В этой части вы изучите теплообмен между водой во внешнем цилиндре OC и водой во внутреннем цилиндре IC через разделяющую их стенку. Анализируя изменения температуры воды во внутреннем цилиндре IC (\(T_{IC}\)) и температуры воды во внешнем цилиндре OC (\(T_{OC}\)), в данном разделе необходимо оценить эффективное тепловое сопротивление, равновесную температуру системы и теплопроводность акрила.
Теплопроводность через стенку подчиняется соотношению:
\[\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{1}{R_{Th}}\left( T_{OC}-T_{IC} \right)\qquad(4)\]
где \(\Delta Q\) — теплота, полученная водой во внутреннем цилиндре IC через стенку за интервал времени \(\Delta t\). Эффективное тепловое сопротивление \(R_{Th}\) зависит от материала и геометрии стенки, разделяющей внутренний IC и внешний OC цилиндры.
Порядок выполнения
Залейте воду во внешний цилиндр OC до уровня \(h = 15~см\).
Нагрейте воду во внешнем цилиндре OC до 65 °C. Не забудьте перемешивать в нем воду с помощью насоса.
Залейте воду во внутренний цилиндр IC до уровня \(h = 10~см\) и запустите секундомер.
C1. Измерьте зависимости внутренней температуры \(T_{IC}\) и внешней температуры \(T_{OC}\) от времени \(t\).
C2. На одном графике постройте зависимости \(T_{IC}\) и \(T_{OC}\) от времени \(t\).
В пунктах C3 и C4 не учитывайте теплоёмкость сосуда. Обозначим \(T_{eq}\) равновесную температуру, которая была бы достигнута внутренним объёмом IC и внешним объёмом OC при отсутствии теплообмена с окружающей средой.
C3. Постройте \(T_{OC}-T_{IC}\) как функции от \(T_{OC}\) и \(T_{IC}\) на одном графике, где \(T_{OC}\) и \(T_{IC}\) отложены на одной температурной оси, а на другой оси \(T_{OC}-T_{IC}\).
C4. По графикам, построенным в C3, определите \(T_{eq}\). Вычислять погрешность в этом пункте не требуется.
Для величин, которые измеряются конечное число раз, уравнение (4) можно записать в виде
\[\frac{T_{IC,j} - T_{IC,(j-1)} }{t_{j}-t_{j-1}} \propto \overline T_{OC} - \overline T_{IC} \qquad(5)\]
где \(j\) — номер измерения, а \(\overline{T}\) — средние температуры в каждом цилиндре за интервал времени от \(t_{j-1}\) до \(t_j\)
C5. Постройте график для уравнения (5), т.е. зависимость левой части выражения от правой.
C6. Вычислите значение \(R_{Th}\) по графику, построенному в C5.
В цилиндрически симметричной системе закон Фурье для теплопроводности можно записать следующим образом (мощность через тонкую цилиндрическую стенку):
\[\frac{dQ}{dt}=-\lambda A\frac{dT}{dr}\qquad(6)\]
где \(A\) — площадь стенки, \(\lambda\) — коэффициент теплопроводности материала стенки, а \(r\) обозначает расстояние от оси цилиндра.
C7. Используя уравнения (4) и (6), определите значение \(\lambda\) коэффициента теплопроводности акрила (материала, разделяющего внутренний IC и внешний OC цилиндры). Приведите использованные формулы.
▶РешениеСкрыть
A1. Измерим \(H = 10.5 \pm 0.1~см\). Следовательно \(V = \pi D^2 H /4 = 85 \pm 2~мл\) и \(m = \rho V = 0.94 \pm 0.02~г\)
A2.
| \(T,~К\) | \(P,~кПа\) | \(T,~К\) | \(P,~кПа\) |
| 303 | 96.4 | 321 | 102.2 |
| 305 | 96.9 | 322 | 102.5 |
| 307 | 97.4 | 325 | 103.9 |
| 309 | 98.2 | 327 | 104.1 |
| 311 | 98.8 | 329 | 104.5 |
| 315 | 99.3 | 331 | 105.0 |
| 317 | 100.5 | 333 | 105.9 |
| 319 | 101.3 |
A3.
A4. Наклон графика равен
\[k_{A3}=(0.324 \pm 0.015)~кПа/К=nR/V=\frac{\rho R}{M_a},\]поэтому
\[R = \frac{M_a k_{A3}}{\rho} = (8.4 \pm 0.4) ~Дж/ (моль \cdot К)\]
A5. Определим термический коэффициент давления \(\beta_0\):
\[\beta_0 = \frac{k_{A3}}{P_\text{atm}}=(0.0034 \pm 0.0007) ~К^{-1}.\]
B1.
| \(T,^\circ\text{C}\) | \(H,~см\) | \(T,^\circ\text{C}\) | \(H,~см\) |
| 57.6 | 12.1 | 42.8 | 10.7 |
| 57.5 | 12.0 | 41.5 | 10.6 |
| 56.5 | 11.9 | 40.2 | 10.5 |
| 56.0 | 11.8 | 37.8 | 10.4 |
| 55.0 | 11.7 | 35.5 | 10.3 |
| 53.9 | 11.6 | 33.8 | 10.2 |
| 53.0 | 11.5 | 33.5 | 10.1 |
| 51.8 | 11.4 | 32.8 | 10.0 |
| 50.3 | 11.3 | 31.4 | 9.9 |
| 48.7 | 11.2 | 29.7 | 9.8 |
| 47.0 | 11.1 | 26.9 | 9.7 |
| 45.8 | 11.0 | 21.0 | 9.6 |
| 44.7 | 10.9 | 19.2 | 9.5 |
| 44.1 | 10.8 |
B2.
B3. \[H_0=(8.4 \pm 0.2)^\circ \text{C}\]
B4. \[P_v = P_{atm} − \frac{nRT}{V} = P_{atm} − \frac{P_{atm} V_0}{T_0}\cdot \frac{T}{V} = P_{atm} \cdot \left( 1 − \frac{H_0 T}{HT_0}\right)\]
B5. \[\ln \frac{P_v}{P_\text{atm}} = \frac{Q_v}{R} \left( \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T} \right) \quad \Rightarrow \quad \ln P_v = -\frac{Q_v}{R} \cdot \frac{1}{T} + \text{const}\]
Коэффициент наклона графика
\[k_{B5}=-\frac{Q_v}{R} = -(3.6 \pm 0.6) \cdot 10^{3}~\frac{1}{\text{K}},\]поэтому
\[Q_v = -k_{B5}R = (30 \pm 5)~\text{кДж}/\text{моль}\]
B6. Удельная теплота испарения равна
\[L_v = \frac{Q_v}{M_0} = (1.7 \pm 0.3)~МДж/кг\]
C1.
| \(t,~с\) | \(T_{IC},^\circ\text{C}\) | \(T_{OC},^\circ\text{C}\) |
| 0 | 30.4 | 66.6 |
| 60 | 34.9 | 64.5 |
| 120 | 38.4 | 62.2 |
| 180 | 41.0 | 60.8 |
| 240 | 43.1 | 59.3 |
| 300 | 44.7 | 58.1 |
| 360 | 46.1 | 57.0 |
| 420 | 47.2 | 56.0 |
| 480 | 48.0 | 55.1 |
| 540 | 48.6 | 54.3 |
| 600 | 49.1 | 53.5 |
| 660 | 49.4 | 52.8 |
| 720 | 49.7 | 52.2 |
| 780 | 49.8 | 51.6 |
| 840 | 49.9 | 51.0 |
C2.
C3.
C4. На начальном этапе потерями можно пренебречь, и тогда линейная экстраполяция до пересечения при \(\Delta T =0\) дает
\[T_{eq} = 53^\circ\text{C}\]
C5.
C6. Коэффициент наклона равен \(k_{C5}=(2.09 \pm 0.10)~1/с\). Масса воды во внутреннем цилиндре равна \(m=(89 \pm 1)~г\). Следовательно
\[R_{Th} = c_0 m k_{C5} = (0.78 \pm 0.04)~К/Вт\]
C7. \[\frac{dQ}{dt} = \frac{\Delta T}{R_{Th}} = \lambda \pi D h\frac{\Delta T}{w} \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{w}{R_{Th} \pi D h} = (0.25 \pm 0.02)~Вт/(м \cdot К)\]
Перевод: pho.rs.
Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 2026, экспериментальный тур — условия · решения. Перевод на русский — pho.rs.