Курчатов, 2016/17, отборочный этап, 11 класс

Полезная работа равна изменению потенциальной энергии, затраченная работа включает работу против силы трения. Выразите оба слагаемых через \(mg\) и углы.

\(\eta = 80\%\).

Полезная работа — это увеличение потенциальной энергии, равное по модулю работе силы тяжести. В затраченную работу входит ещё работа против силы трения. Если тело массы \(m\) без ускорения поднимают по наклонной плоскости, составляющей угол \(45^\circ\) с горизонтом, проекция силы тяжести на направление движения равна \(-mg\sin 45^\circ\), а проекция силы трения на направление движения равна \(-0{,}25\,mg\cos 45^\circ\). КПД наклонной плоскости: \[\eta = \frac{mg\sin 45^\circ}{mg\sin 45^\circ + 0{,}25\,mg\cos 45^\circ} = \frac{1}{1 + 0{,}25} = 0{,}8 = 80\%.\]

Запишите второй закон Ньютона в проекции на направление нити. Центростремительное ускорение равно \(v^2/L\).

\(T \approx 3{,}3~\text{Н}\).

Проекция силы тяжести на ось, сонаправленную с нитью, равна \(0{,}25~\text{кг} \cdot 10~\text{м/с}^2 \cdot \cos 60^\circ = 1{,}25~\text{Н}\). Центростремительное ускорение тела равно \((2~\text{м/с})^2 / 0{,}5~\text{м} = 8~\text{м/с}^2\). Значит, сила натяжения нити равна \[T = 1{,}25~\text{Н} + 0{,}25~\text{кг} \cdot 8~\text{м/с}^2 \approx 3{,}3~\text{Н}.\]

Период математического маятника пропорционален корню из длины подвеса. Найдите старую и новую длины, затем используйте формулу периода.

\(\nu \approx 0{,}79~\text{Гц}\).

Отношение новой длины подвеса к старой равно \(1{,}41^2 = 2{,}00\), значит, старая длина равна \(20~\text{см}\), а новая — \(40~\text{см}\). По формуле математического маятника \[\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9{,}8~\text{м/с}^2}{0{,}4~\text{м}}} = 0{,}79~\text{Гц}.\]

КПД цикла Карно равен \(1 - T_\text{х}/T_\text{н}\). Запишите его для начального и конечного состояний и выразите начальный КПД.

\(\eta = 55\%\).

Для цикла Карно \(\eta = 1 - \dfrac{T_\text{х}}{T_\text{н}}\), где \(\eta\), \(T_\text{х}\) и \(T_\text{н}\) — КПД, температура холодильника и нагревателя соответственно. Значит, для конечной ситуации \[1{,}1\,\eta = 1 - \frac{0{,}9\,T_\text{х}}{T_\text{н}} = 1 - 0{,}9(1 - \eta) = 0{,}1 - 0{,}9\,\eta \;\Rightarrow\; 0{,}2\,\eta = 0{,}1 \;\Rightarrow\; \eta = 50\%.\] Конечное значение КПД равно \(1{,}1 \cdot 50\% = 55\%\).

Найдите ёмкость конденсатора, затем по ней — расстояние между обкладками. Напряжённость равна отношению напряжения к расстоянию.

\(E = 50~\text{кВ/м}\).

Ёмкость конденсатора равна \(\dfrac{4{,}4~\text{нКл}}{50~\text{В}} = 88 \cdot 10^{-12}~\text{Ф}\). Значит, расстояние между обкладками конденсатора равно \[d = \frac{8{,}85 \cdot 10^{-12}~\frac{\text{Ф}}{\text{м}} \cdot 0{,}01~\text{м}^2}{88 \cdot 10^{-12}~\text{Ф}} = 1{,}01~\text{мм}.\] Напряжённость электрического поля внутри конденсатора равна \(\dfrac{50~\text{В}}{1{,}01~\text{мм}} = 50~\text{кВ/м}\).

Увеличение равно отношению расстояния до экрана к расстоянию до предмета. Из этого и суммы расстояний найдите оба расстояния и примените формулу тонкой линзы.

\(D = 15~\text{дптр}\).

Чтобы увеличение было равно 2, расстояние от линзы до экрана должно быть в 2 раза больше расстояния от линзы до предмета. Значит, расстояние от предмета до линзы должно быть равно \(10~\text{см}\), а расстояние от линзы до экрана — \(20~\text{см}\). По формуле тонкой линзы её оптическая сила: \[D = \frac{1}{10~\text{см}} + \frac{1}{20~\text{см}} = 15~\text{дптр}.\]