зад 1 Улитка и гусеница
Улитка и гусеница устроили «забег» и пришли к финишу одновременно (победила дружба). Известно, что улитка \(20\) минут стояла на месте, а всё остальное время ползла со скоростью \(3\) мм/мин, а гусеница всё время упорно ползла со скоростью \(2\) мм/мин. Найдите расстояние между стартом и финишем.
▶ПодсказкаСкрыть
Пока улитка стоит, гусеница уползает вперёд. Сравните, на сколько улитка обгоняет гусеницу во время своего движения, и найдите время её движения.
▶РешениеСкрыть
Пока улитка стояла на месте, гусеница проползла \(40\) мм, а когда улитка ползла, её скорость превышала скорость гусеницы на \(1\) мм/мин, и за время движения улитка проползла на \(40\) мм больше гусеницы. Значит, улитка ползла \(40\) минут, а длина дистанции \[3\ \dfrac{\text{мм}}{\text{мин}} \cdot 40\ \text{мин} = 120\ \text{мм} = 12\ \text{см}.\]
зад 2 Колонна муравьёв
Колонна муравьёв перетаскивает груз из одного муравейника в другой. Один наблюдательный муравей заметил, что пока он ползёт от одного муравейника до другого без груза, он за весь путь встречает \(200\) муравьёв, ползущих ему навстречу с грузом, а когда он возвращается обратно с грузом, то он встречает \(500\) ползущих ему навстречу муравьёв. Найдите, во сколько раз скорость муравья без груза больше скорости муравья с грузом, если известно, что расстояние между соседними муравьями в колонне одинаково, вне зависимости от того, ползут они с грузом или без.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните, сколько раз за путь муравей встречает соседей в каждом случае, и учтите, что расстояние между соседними муравьями одно и то же.
▶РешениеСкрыть
Поскольку расстояние между муравьями в колоннах одинаково, то и время между двумя встречами одинаково. Значит, на путь с грузом муравей тратит в \(\dfrac{500}{200} = 2{,}5\) раз времени больше, чем без груза, при этом проходя одинаковое расстояние. Значит, скорость муравья без груза в \(2{,}5\) раза больше.
зад 3 Медный и стальной цилиндры
Площадь поперечного сечения медного цилиндра в \(2\) раза меньше, чем стального, а высота медного цилиндра \(10\) см. Найдите высоту стального цилиндра, если массы двух цилиндров одинаковы. Плотность меди \(8{,}9\) г/см\(^3\), а плотность стали \(7{,}8\) г/см\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите массу каждого цилиндра через плотность, площадь сечения и высоту.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(S\) — площадь поперечного сечения медного цилиндра, а \(h\) — высота стального. Тогда \[S\cdot 10\ \text{см}\cdot 8{,}9\ \dfrac{\text{г}}{\text{см}^3} = 2S\cdot h\cdot 7{,}8\ \dfrac{\text{г}}{\text{см}^3}.\] Отсюда \(h = 5{,}7\) см.
зад 4 Плотность тела на пружине
Тело подвешено на вертикальной пружине в воздухе, при этом удлинение пружины равно \(5\) мм. Когда это тело, не снимая с пружины, полностью погрузили в воду, удлинение пружины стало равным \(3\) мм. Определите плотность тела. Плотность воды \(1000\) кг/м\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните силу тяжести тела с его весом в воде, которые пропорциональны удлинениям пружины.
▶РешениеСкрыть
Как следует из условия задачи, вес тела в воздухе относится к силе Архимеда, действующей на полностью погружённое в воду тело, как \(5 : (5 - 3) = 2{,}5\). Значит, плотность тела в \(2{,}5\) раза больше плотности воды и равна \(2500\) кг/м\(^3\).
Источник: Олимпиада «Курчатов» по физике, 2016/17, отборочный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.