Курчатов, 2017/18, отборочный этап, 11 класс

Условие плавания в каждом случае — равенство силы тяжести и суммы архимедовых сил от погружённых частей куба. Исключите массу куба из двух соотношений.

\(h = \dfrac{a\,\rho_{\text{р}}}{2\,(\rho_{\text{р}} - \rho_{\text{в}})} = 5{,}4\) см.

Запишем условие плавания куба в ртути, приравняв силу тяжести выталкивающей силе: \[mg = \rho_{\text{р}}\, g\,\frac{a^3}{4} \quad\longrightarrow\quad m = \rho_{\text{р}}\,\frac{a^3}{4},\] где \(m\) — масса куба, \(a^3\) — его объём, \(g\) — ускорение свободного падения. Запишем теперь условие плавания для случая, когда поверх ртути налита вода: \[mg = \rho_{\text{в}}\, g\,a^2 h + \rho_{\text{р}}\, g\,a^2\left(\frac{3a}{4} - h\right) \quad\longrightarrow\quad m = \rho_{\text{в}}\,a^2 h + \rho_{\text{р}}\,a^2\left(\frac{3a}{4} - h\right).\] Здесь \(\left(\frac{3a}{4} - h\right)\) — толщина слоя ртути, в котором находится нижняя часть куба. Исключая из полученных соотношений массу куба, находим \(h\): \[\rho_{\text{р}}\,\frac{a^3}{4} = \rho_{\text{в}}\,a^2 h + \rho_{\text{р}}\,a^2\left(\frac{3a}{4} - h\right) \quad\longrightarrow\quad \rho_{\text{р}}\,a = 4\rho_{\text{в}} h + \rho_{\text{р}}(3a - 4h),\] \[4(\rho_{\text{р}} - \rho_{\text{в}})\,h = 2\rho_{\text{р}}\,a \quad\longrightarrow\quad h = \frac{\rho_{\text{р}}\,a}{2(\rho_{\text{р}} - \rho_{\text{в}})}.\] Подставим числовые значения в системе СГС: \[h = \frac{13{,}6\cdot 10}{2\cdot(13{,}6 - 1)} = 5{,}4~\text{см}.\]

Пока брусок не скользит, он движется вместе с доской как одно тело. Найдите силу трения покоя, которая сообщает бруску это ускорение, и момент, когда она достигнет предельного значения.

\(T = \dfrac{\mu\,(m+M)\,g}{F_0}\,t_0 = 2{,}5\) с.

Рассмотрим случай, когда брусок не скользит по доске. В этом случае брусок и доска движутся как одно тело массой \(m+M\) с ускорением \(a\). По второму закону Ньютона \[(m+M)\,a = F \quad\longrightarrow\quad a = \frac{F}{m+M}.\] На брусок со стороны доски действует сила трения покоя \(F_{\text{т}}\), сообщающая ему ускорение \(a\). Записав второй закон Ньютона для бруска, получаем: \[F_{\text{т}} = ma = \frac{mF}{m+M} = \frac{mF_0}{m+M}\cdot\frac{t}{t_0}.\] Брусок начнёт скользить по доске в момент времени \(T\), когда сила \(F_{\text{т}}\) станет равна силе трения скольжения: \[F_{\text{т}} = \mu mg \quad\longrightarrow\quad \frac{mF_0}{m+M}\cdot\frac{T}{t_0} = \mu mg \quad\longrightarrow\quad T = \frac{\mu\,(m+M)\,g}{F_0}\,t_0.\] Подставим числовые значения: \[T = \frac{0{,}1\cdot(0{,}3 + 4{,}7)\cdot 10}{10}\cdot 5 = 2{,}5~\text{с}.\]

Одинаковость скоростей даёт связь импульсов \(p_2 = x\,p_1\). Запишите законы сохранения энергии и импульса, а импульсы сложите по теореме косинусов.

\(x = 1 - 2\cos\vartheta = 1{,}7\).

Пусть \(\vec p\) и \(\vec p_1\) — начальный и конечный импульсы шайбы 1, \(\vec p_2\) — конечный импульс шайбы 2. Так как конечные скорости шайб одинаковы, то \[\frac{p_2}{p_1} = \frac{m_2}{m_1} = x \quad\longrightarrow\quad p_2 = x\,p_1.\] Из закона сохранения энергии имеем: \[\frac{p^2}{2m_1} = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} \quad\longrightarrow\quad x\,p^2 = x\,p_1^2 + p_2^2 = x\,p_1^2 + x^2 p_1^2 \quad\longrightarrow\quad p^2 = p_1^2(1 + x).\] Запишем закон сохранения импульса \(\vec p = \vec p_1 + \vec p_2\). Нарисовав треугольник из входящих сюда векторов и используя теорему косинусов, получаем: \[p^2 = p_1^2 + p_2^2 - 2p_1p_2\cos(\pi - \vartheta) \quad\longrightarrow\quad p_1^2(1 + x) = p_1^2 + x^2 p_1^2 + 2p_1^2\,x\cos\vartheta,\] \[1 + x = 1 + x^2 + 2x\cos\vartheta \quad\longrightarrow\quad 1 = x + 2\cos\vartheta \quad\longrightarrow\quad x = 1 - 2\cos\vartheta = 1{,}7.\]

Сначала сравните тепло, которое нужно на нагрев и плавление всего льда, с теплом, которое может выделиться при конденсации пара и охлаждении образовавшейся воды.

\(m_{\text{в}} = 84\) г.

Выясним, растает ли весь лёд. Количество теплоты, необходимое для нагревания льда от начальной температуры до температуры плавления \(0\,^\circ\)C: \[Q_1 = m_{\text{л}}\,C_{\text{л}}\,(0\,^\circ\text{C} - t_{\text{л}}) = 0{,}1\cdot 2{,}1\cdot 10 = 2{,}1~\text{кДж}.\] Количество теплоты, необходимое для плавления всего льда при \(0\,^\circ\)C: \[Q_2 = m_{\text{л}}\,\lambda = 0{,}1\cdot 335 = 33{,}5~\text{кДж}, \qquad Q_{12} = Q_1 + Q_2 = 35{,}6~\text{кДж}.\] Тепло выделяется при конденсации пара и охлаждении образовавшейся воды. Количество теплоты, выделившееся при конденсации: \[Q_3 = m_{\text{п}}\,L = 0{,}01\cdot 2260 = 22{,}6~\text{кДж}.\] Максимальное количество теплоты, которое может выделиться при охлаждении сконденсировавшейся воды до \(0\,^\circ\)C: \[Q_4 = m_{\text{п}}\,C_{\text{в}}\,(t_{\text{п}} - 0\,^\circ\text{C}) = 0{,}01\cdot 4{,}2\cdot 100 = 4{,}2~\text{кДж}.\] В сумме \(Q_{34} = Q_3 + Q_4 = 26{,}8\) кДж. Выполняются неравенства \(Q_1 < Q_{34} < Q_{12}\): тепла достаточно для нагревания льда до температуры плавления, но недостаточно для плавления всего льда. Поэтому в конечном состоянии в калориметре будет смесь воды и льда при \(0\,^\circ\)C. Найдём массу \(m\) растаявшего льда: \[Q_{34} = Q_1 + m\lambda \quad\longrightarrow\quad m = \frac{Q_{34} - Q_1}{\lambda} = \frac{26{,}8 - 2{,}1}{335} = 0{,}074~\text{кг} = 74~\text{г}.\] Масса воды в калориметре складывается из массы \(m_{\text{п}}\) сконденсировавшейся воды и массы \(m\) растаявшего льда: \[m_{\text{в}} = m_{\text{п}} + m = 10~\text{г} + 74~\text{г} = 84~\text{г}.\]

Соединённые проводом сферы имеют общий потенциал. Потенциал каждой сферы складывается из вкладов всех сфер, а заряд сохраняется.

\(\varphi = \dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{kq}{R} = 45\) В.

Пусть \(q_1\) и \(q_2\) — конечные заряды средней и внешней сфер, \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\) — их потенциалы. Учитывая, что потенциал внутри заряженной сферы постоянен и равен потенциалу на её поверхности, имеем: \[\varphi_1 = \frac{kq}{2R} + \frac{kq_1}{2R} + \frac{kq_2}{4R} = \frac{k(2q + 2q_1 + q_2)}{4R}, \qquad \varphi_2 = \frac{kq}{4R} + \frac{kq_1}{4R} + \frac{kq_2}{4R} = \frac{k(q + q_1 + q_2)}{4R}.\] Так как средняя и внешняя сферы соединены проводом, они образуют единый проводник, потенциал которого во всех точках одинаков. Приравнивая \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\), получаем: \[2q + 2q_1 + q_2 = q + q_1 + q_2 \quad\longrightarrow\quad q_1 = -q.\] Из закона сохранения заряда \(q_1 + q_2 = 2q\), откуда \(q_2 = 3q\). Потенциал внутренней сферы равен: \[\varphi = \frac{kq}{R} + \frac{kq_1}{2R} + \frac{kq_2}{4R} = \frac{k(4q + 2q_1 + q_2)}{4R} = \frac{k(4q - 2q + 3q)}{4R} = \frac{5}{4}\cdot\frac{kq}{R}.\] Подставим числовые значения: \[\varphi = \frac{5}{4}\cdot\frac{9\cdot 10^9\cdot 0{,}2\cdot 10^{-9}}{0{,}05} = 45~\text{В}.\]

Используйте закон сохранения заряда для суммарного заряда обкладок, который после соединения распределяется поровну. Теплота равна разности энергий до и после соединения.

\(Q = 0{,}64\) мДж.

До соединения обкладок заряды конденсаторов равны \(CV_1\) и \(CV_2\). После соединения на конденсаторах устанавливаются одинаковые напряжения. Так как ёмкости равны, то конденсаторы приобретают один и тот же конечный заряд \(q\). Из закона сохранения заряда: \[2q = CV_1 + CV_2 \quad\longrightarrow\quad q = \frac{C(V_1 + V_2)}{2}.\] Запишем баланс энергии в цепи: \[W_1 = W_2 + Q,\] где \(W_1\) и \(W_2\) — начальная и конечная энергии конденсаторов, \(Q\) — выделившееся количество теплоты. Для энергий имеем: \[W_1 = \frac{CV_1^2}{2} + \frac{CV_2^2}{2}, \qquad W_2 = \frac{2q^2}{2C} = \frac{C(V_1 + V_2)^2}{4}.\] Количество теплоты равно: \[Q = W_1 - W_2 = \frac{C(V_1 - V_2)^2}{4}.\] Подставим числовые значения: \[Q = \frac{1{,}6\cdot 10^{-6}\cdot(100 - 60)^2}{4} = 0{,}64~\text{мДж}.\]