Курчатов, 2019/20, отборочный этап, 7 класс

Сначала найдите, сколько оборотов в секунду делает колесо при заданной скорости, затем пересчитайте обороты колеса в обороты педалей через отношение числа зубцов.

\(n = 1{,}7\ \text{об/с}\).

Приведём скорость велосипеда и диаметр колёс к одной системе единиц: \(V = \dfrac{40\,000}{3600}\ \text{м/с}\), длина окружности колеса \(L = \pi\cdot 0{,}6\) м. Частота вращения колеса \[n_\text{к} = \frac{V}{\pi\cdot 0{,}6} = \frac{40\,000}{3600\cdot 0{,}6\,\pi}\ \text{об/с}.\] На один полный оборот колеса приходится \(\dfrac{14}{48}\) оборота педалей, поэтому частота вращения педалей \[n = n_\text{к}\cdot\frac{14}{48} \approx 5{,}89\cdot\frac{14}{48} \approx 1{,}7~\text{об/с}.\]

Объём фигуры не меняется, поэтому рост средней плотности на \(2\%\) означает рост массы фигуры на \(2\%\). Запишите массы всех кубиков до и после намокания.

На \(21{,}1\%\).

Пусть \(V\) — объём одного кубика, тогда объём всей пирамиды \(14V\). Средняя плотность меняется только из-за деревянных кубиков, поэтому изменение средней плотности на \(2\%\) означает изменение общей массы на \(2\%\): \[1{,}02\left(9V\rho_\text{сух} + 4V\rho_\text{лат} + V\rho_\text{мед}\right) = 9V\rho_\text{вл} + 4V\rho_\text{лат} + V\rho_\text{мед}.\] Отсюда \(\rho_\text{вл} = \dfrac{1{,}02\,(9\rho_\text{сух} + 4\rho_\text{лат} + \rho_\text{мед}) - 4\rho_\text{лат} - \rho_\text{мед}}{9} \approx 0{,}618\) г/см\(^3\). Тогда \(\dfrac{\rho_\text{вл}}{\rho_\text{сух}} \approx 1{,}211\), то есть плотность влажного дерева больше плотности сухого на \(21{,}1\%\).

На пробку снаружи действует давление воды на глубине плюс атмосферное, внутри — давление воздуха в бутылке. Сравните силы с учётом трения.

\(h \approx 20{,}41\) м.

На глубине \(h\) на пробку снаружи действует сила \((p_\text{атм} + \rho_\text{в} g h)S\), которая проталкивает пробку внутрь. В противоположную сторону действуют сила, связанная с давлением внутри бутылки \(2p_\text{атм}S\), и сила трения. Условие равновесия в момент, когда пробка начинает проникать внутрь: \[F_\text{тр} + 2p_\text{атм}S = (p_\text{атм} + \rho_\text{в} g h)S.\] Отсюда \(h = \dfrac{F_\text{тр} + p_\text{атм}S}{\rho_\text{в} g S}\). Подставляя \(p_\text{атм}S = 20\) Н, \(\rho_\text{в} g S = 1{,}96\) Н/м, получаем \(h = \dfrac{40}{1{,}96} \approx 20{,}41\) м.

Куб плавает на границе воды и масла. Объём его части, погружённой в воду, найдите по изменению уровня воды в стакане, а затем приравняйте силу тяжести к сумме архимедовых сил.

\(x \approx 4{,}41\) см.

Пусть \(b = 10\) см — сторона сечения стакана, \(a = 9\) см — сторона куба, \(\Delta h = 5\) см — подъём уровня воды. Куб плавает на границе воды и масла, его нижняя часть высотой \(h_\text{в}\) находится в воде. Объём погружённой части равен \(a^2 h_\text{в} = b^2\Delta h\), откуда \(h_\text{в} = \dfrac{b^2\Delta h}{a^2} \approx 6{,}17\) см.

На куб действуют сила тяжести и две силы Архимеда: со стороны масла \(F_1 = \rho_\text{м} g a^2 (a - h_\text{в})\) и со стороны воды \(F_2 = \rho_\text{в} g a^2 h_\text{в}\). Пусть \(x\) — высота параллелепипеда из более лёгкого пластика с плотностью \(\rho_1\), тогда сила тяжести куба \(F_\text{т} = \rho_1 a^2 x g + \rho_2 a^2 (a - x) g\). Из условия плавания \(F_\text{т} = F_1 + F_2\) находим \[x = \frac{a(\rho_\text{м} - \rho_2) + \Delta h\,\dfrac{b^2}{a^2}(\rho_\text{в} - \rho_\text{м})}{\rho_1 - \rho_2}.\] Подставляя значения, получаем \(x \approx 4{,}41\) см.

Доска может начать вращаться только вокруг опоры \(B\), когда девочка окажется справа от неё. В момент начала вращения реакция опоры \(C\) равна нулю. Запишите равенство моментов относительно \(B\).

\(14\) см.

Пусть \(x\) — расстояние от опоры \(B\) до девочки в момент начала вращения. Относительно точки \(B\) вращение по часовой стрелке создаёт только вес девочки с моментом \(40g\,x\). Против часовой стрелки действуют груз на левом конце (плечо \(4{,}1\) м) с моментом \(3{,}5\cdot 4{,}1\,g\) и вес доски (плечо \(4{,}1 - 2{,}5 = 1{,}6\) м) с моментом \(10\cdot 1{,}6\,g\). Приравнивая моменты, \[40 x = 3{,}5\cdot 4{,}1 + 10\cdot 1{,}6, \qquad x \approx 0{,}76~\text{м}.\] Искомое расстояние от девочки до правого конца доски равно \(0{,}9 - 0{,}76 = 0{,}14\) м, то есть \(14\) см.

Для каждого шарика запишите равновесие: сила тяжести, сила Архимеда и сила упругости пружины. Средняя плотность второго шарика равна \(\alpha\rho_\text{возд} + (1-\alpha)\rho_\text{Al}\).

\(\Delta L \approx 0{,}94\) см.

На шарик действуют сила тяжести \(mg\), сила Архимеда \(\rho_\text{в} g V\) и сила упругости пружины \(k(L_0 - L)\), где \(L_0\) — длина недеформированной пружины. Поэтому \(mg = \rho_\text{в} g V + k(L_0 - L)\).

Для первого шарика \(m_1 = \rho_\text{Al} V\). Для второго шарика средняя плотность \(\rho_2 = \alpha\rho_\text{возд} + (1-\alpha)\rho_\text{Al}\), где \(\alpha = 0{,}7\) — доля воздуха, и \(m_2 = \rho_2 V\). Разность высот равна \[L_2 - L_1 = \frac{(m_1 - m_2)\,g}{k} = \frac{\alpha g V(\rho_\text{Al} - \rho_\text{возд})}{k}.\] Подставляя \(V = 5\cdot 10^{-6}\) м\(^3\), получаем \(L_2 - L_1 = \dfrac{0{,}7\cdot 10\cdot 5\cdot 10^{-6}\cdot 2698{,}8}{10} \approx 0{,}0094\) м, то есть примерно \(0{,}94\) см.