Курчатов, 2019/20, отборочный этап, 8 класс

Подсказка

На пробку снаружи действует давление воды на глубине плюс атмосферное, внутри — давление воздуха в бутылке. Сравните силы с учётом трения.

Ответ

\(h \approx 20{,}41\) м.

Решение

На глубине \(h\) на пробку снаружи действует сила \((p_\text{атм} + \rho_\text{в} g h)S\), которая проталкивает пробку внутрь. В противоположную сторону действуют сила, связанная с давлением внутри бутылки \(2p_\text{атм}S\), и сила трения: \[F_\text{тр} + 2p_\text{атм}S = (p_\text{атм} + \rho_\text{в} g h)S.\] Отсюда \(h = \dfrac{F_\text{тр} + p_\text{атм}S}{\rho_\text{в} g S}\). Подставляя \(p_\text{атм}S = 20\) Н и \(\rho_\text{в} g S = 1{,}96\) Н/м, получаем \(h = \dfrac{40}{1{,}96} \approx 20{,}41\) м.

Подсказка

Тепло кипятильника уходит на нагрев воды и кастрюли до кипения и на испарение части воды. Составьте два уравнения теплового баланса для разного числа кипятильников и вычтите одно из другого.

Ответ

\(t_0 = 30\,^\circ\)C.

Решение

Пусть \(m = 5\) кг — масса воды, \(C = 4{,}2\) кДж/(кг\(\cdot^\circ\)C), \(C_\text{к} = 0{,}9\) кДж/\(^\circ\)C — теплоёмкость кастрюли, \(q = 2{,}3\) МДж/кг. Тепло, отданное кипятильниками, идёт на нагрев воды и кастрюли до \(100^\circ\)C и на испарение: \[P\tau = \left(mC + C_\text{к}\right)(100 - t_0) + \frac{qm}{10}, \qquad 2P\tau = \left(mC + C_\text{к}\right)(100 - t_0) + \frac{qm}{3}.\] Вычитая первое уравнение из второго, находим \(P\tau = qm\left(\dfrac13 - \dfrac1{10}\right) \approx 2{,}68\) МДж. Тогда \(\left(mC + C_\text{к}\right)(100 - t_0) = P\tau - \dfrac{qm}{10} \approx 1{,}53\) МДж, откуда \(100 - t_0 \approx 70\) и \(t_0 \approx 30\,^\circ\)C.

Подсказка

Сначала найдите, сколько оборотов в секунду делает колесо при заданной скорости, затем пересчитайте обороты колеса в обороты педалей через отношение числа зубцов.

Ответ

\(n = 1{,}7\ \text{об/с}\).

Решение

Приведём скорость велосипеда и диаметр колёс к одной системе единиц: \(V = \dfrac{40\,000}{3600}\ \text{м/с}\), длина окружности колеса \(L = \pi\cdot 0{,}6\) м. Частота вращения колеса \[n_\text{к} = \frac{V}{\pi\cdot 0{,}6} = \frac{40\,000}{3600\cdot 0{,}6\,\pi}\ \text{об/с} \approx 5{,}89~\text{об/с}.\] На один полный оборот колеса приходится \(\dfrac{14}{48}\) оборота педалей, поэтому частота вращения педалей \[n = n_\text{к}\cdot\frac{14}{48} \approx 1{,}7~\text{об/с}.\]

Подсказка

Куб плавает на границе воды и масла. Объём его части, погружённой в воду, найдите по изменению уровня воды в стакане, а затем приравняйте силу тяжести к сумме архимедовых сил.

Ответ

\(x \approx 4{,}41\) см.

Решение

Пусть \(b = 10\) см — сторона сечения стакана, \(a = 9\) см — сторона куба, \(\Delta h = 5\) см — подъём уровня воды. Куб плавает на границе воды и масла, его нижняя часть высотой \(h_\text{в}\) находится в воде. Объём погружённой части равен \(a^2 h_\text{в} = b^2\Delta h\), откуда \(h_\text{в} = \dfrac{b^2\Delta h}{a^2} \approx 6{,}17\) см.

На куб действуют сила тяжести и две силы Архимеда: со стороны масла \(F_1 = \rho_\text{м} g a^2 (a - h_\text{в})\) и со стороны воды \(F_2 = \rho_\text{в} g a^2 h_\text{в}\). Пусть \(x\) — высота параллелепипеда из более лёгкого пластика с плотностью \(\rho_1\), тогда сила тяжести куба \(F_\text{т} = \rho_1 a^2 x g + \rho_2 a^2 (a - x) g\). Из условия плавания \(F_\text{т} = F_1 + F_2\) находим \[x = \frac{a(\rho_\text{м} - \rho_2) + \Delta h\,\dfrac{b^2}{a^2}(\rho_\text{в} - \rho_\text{м})}{\rho_1 - \rho_2}.\] Подставляя значения, получаем \(x \approx 4{,}41\) см.

Подсказка

В установившемся режиме ток через конденсаторы не идёт, поэтому потенциалы узлов \(B\) и \(D\) находятся из условия равенства токов через резисторы в каждом узле.

Ответ

\(\Delta q = -5{,}83\) пКл.

Решение

Ёмкости: \(1\) пФ — между \(B\) и \(C\), \(2\) пФ — между \(A\) и \(D\).

Центральный резистор между \(A\) и \(C\). Тогда конденсаторы включены под напряжением \(5\) В, и запасённый заряд \(q_1 = 1\cdot 5 + 2\cdot 5 = 15\) пКл.

Центральный резистор между \(B\) и \(D\). В установившемся режиме токи через конденсаторы нулевые, поэтому токи идут только через резисторы \(1\) Ом (\(A\)–\(B\)), \(2\) Ом (\(B\)–\(D\)) и \(3\) Ом (\(D\)–\(C\)). Из условий токов в узлах \(B\) и \(D\) находим \(\varphi_B = \dfrac{25}{6}\) В и \(\varphi_D = \dfrac{5}{2}\) В (при \(\varphi_A = 5\) В, \(\varphi_C = 0\)). Напряжение на конденсаторе \(BC\) равно \(\dfrac{25}{6}\) В, на конденсаторе \(AD\) — \(\dfrac{15}{6}\) В. Заряд \(q_2 = 1\cdot\dfrac{25}{6} + 2\cdot\dfrac{15}{6} = \dfrac{55}{6}\) пКл.

Изменение заряда \(\Delta q = q_2 - q_1 = -\dfrac{35}{6} \approx -5{,}83\) пКл, то есть заряд уменьшился на \(5{,}83\) пКл.

Подсказка

Для каждого шарика запишите равновесие: сила тяжести, сила Архимеда и сила упругости пружины. Средняя плотность второго шарика равна \(\alpha\rho_\text{возд} + (1-\alpha)\rho_\text{Al}\).

Ответ

\(\Delta L \approx 0{,}94\) см.

Решение

На шарик действуют сила тяжести \(mg\), сила Архимеда \(\rho_\text{в} g V\) и сила упругости пружины \(k(L_0 - L)\), где \(L_0\) — длина недеформированной пружины. Поэтому \(mg = \rho_\text{в} g V + k(L_0 - L)\).

Для первого шарика \(m_1 = \rho_\text{Al} V\). Для второго шарика средняя плотность \(\rho_2 = \alpha\rho_\text{возд} + (1-\alpha)\rho_\text{Al}\), где \(\alpha = 0{,}7\) — доля воздуха, и \(m_2 = \rho_2 V\). Разность высот равна \[L_2 - L_1 = \frac{(m_1 - m_2)\,g}{k} = \frac{\alpha g V(\rho_\text{Al} - \rho_\text{возд})}{k}.\] Подставляя \(V = 5\cdot 10^{-6}\) м\(^3\), получаем \(L_2 - L_1 \approx 0{,}0094\) м, то есть примерно \(0{,}94\) см.