Курчатов, 2019/20, отборочный этап, 9 класс

Скорость колобка на вершине горки найдите из закона сохранения энергии, а дальность полёта выразите через время падения с высоты \(H\). Затем исследуйте функцию дальности на максимум.

\(H = \dfrac{v_0^2}{4g} = 2{,}5\) м.

Из закона сохранения энергии скорость колобка на вершине горки \(v^2 = v_0^2 - 2gH\). Горизонтальная скорость после слёта \(v\), время падения \(t = \sqrt{\dfrac{2H}{g}}\), дальность \(S = vt\). Тогда \[S^2 = (v_0^2 - 2gH)\,\frac{2H}{g} = 2H\left(\frac{v_0^2}{g} - 2H\right).\] Максимум этого выражения достигается при \(H_\text{max} = \dfrac{v_0^2}{4g} = \dfrac{100}{40} = 2{,}5\) м.

Брусок оторвётся, когда сила упругости пружины в верхней точке колебаний шайбы станет не меньше \(Mg\). Положение равновесия шайбы и амплитуду колебаний найдите через \(mg/k\).

\(x_0 = \dfrac{(M + 2m)g}{k} \approx 32\) мм.

Шайба колеблется около положения равновесия, в котором пружина сжата на \(mg/k\). Амплитуда колебаний \(A = x_0 - \dfrac{mg}{k}\). В верхней точке колебаний пружина растянута на \(A - \dfrac{mg}{k} = x_0 - \dfrac{2mg}{k}\), и она тянет брусок вверх с силой \(k\left(x_0 - \dfrac{2mg}{k}\right)\). Брусок оторвётся от стола, если эта сила не меньше \(Mg\): \[k\left(x_0 - \frac{2mg}{k}\right) \ge Mg \quad\Rightarrow\quad x_0 \ge \frac{(M + 2m)g}{k}.\] Численно \(x_0 = \dfrac{0{,}45\cdot 10}{140}\ \text{м} \approx 0{,}032\) м \(= 32\) мм.

В жидкости сила Кулона уменьшается в \(\varepsilon\) раз. Чтобы угол не изменился, натяжение нитей тоже должно уменьшиться в \(\varepsilon\) раз. Запишите равновесие шарика с учётом силы Архимеда.

В \(3{,}5\) раза.

До погружения в жидкость: \(F_\text{эл} = T\sin\alpha\), \(mg = T\cos\alpha\). После погружения сила Кулона уменьшается в \(\varepsilon\) раз, и при том же угле горизонтальная проекция натяжения \(T'\sin\alpha = F_\text{эл}/\varepsilon = \dfrac{T\sin\alpha}{\varepsilon}\), откуда \(T' = \dfrac{T}{\varepsilon}\). Вертикальное равновесие: \(mg - F_\text{А} = T'\cos\alpha = \dfrac{mg}{\varepsilon}\), то есть \[F_\text{А} = mg\,\frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}.\] Выталкивающая сила \(F_\text{А} = \rho_\text{ж} g\,\dfrac{m}{\rho}\), поэтому \[\frac{\rho}{\rho_\text{ж}} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon - 1} = \frac{1{,}4}{0{,}4} = 3{,}5.\]

Четыре узла цепи соединены попарно шестью резисторами. Воспользуйтесь симметрией: какие узлы имеют одинаковый потенциал?

\(R_{AB} = 0{,}5\) Ом.

Узлы \(A\), \(B\), \(O\) (центр) и \(D\) (нижняя вершина) соединены попарно, каждая пара — одним резистором \(1\) Ом. Пусть на \(A\) подан потенциал \(V\), на \(B\) — ноль. Схема симметрична относительно перестановки узлов \(O\) и \(D\), поэтому их потенциалы равны, \(\varphi_O = \varphi_D = \varphi\), и резистор \(OD\) тока не несёт. Из условия токов в узле \(O\) (токи в резисторах \(OA\) и \(OB\), ток в \(OD\) равен нулю): \[(V - \varphi) - \varphi = 0 \quad\Rightarrow\quad \varphi = \frac{V}{2}.\] Ток через резистор \(AB\) равен \(V\), через резисторы \(AO\) и \(AD\) — суммарно \(2\cdot\dfrac{V}{2} = V\). Полный ток \(I = 2V\), поэтому \(R_{AB} = \dfrac{V}{I} = 0{,}5\) Ом.

Из треугольника «шарнир — конец стержня — груз» найдите угол наклона стержня. Затем запишите правило моментов относительно шарнира и условие равновесия груза по горизонтали и вертикали.

\(M \approx 6{,}9\) кг.

Пусть \(\alpha\) — угол стержня с горизонталью, \(\beta\) — угол между стержнем и верёвкой, \(\gamma\) — угол верёвки с горизонталью. Из треугольника «шарнир — конец стержня — груз» \(\cos\alpha = \dfrac{s^2 - x^2 - l^2}{2xl} \approx 0{,}671\).

Правило моментов относительно шарнира: \(mg\,\dfrac{l}{2}\cos\alpha = T\,l\sin\beta\). Отсюда натяжение \(T = \dfrac{mg\cos\alpha}{2\sin\beta} \approx 0{,}71\,mg\), так как \(\sin\beta \approx 0{,}47\) для принятой геометрии.

Для груза по горизонтали \(\mu N = T\cos\gamma\), по вертикали \(N + T\sin\gamma = Mg\), где \(\cos\gamma \approx 0{,}94\), \(\sin\gamma \approx 0{,}34\). Исключая \(N\): \[M = \frac{T}{g}\left(\frac{\cos\gamma}{\mu} + \sin\gamma\right) \approx 0{,}71\,m\cdot 9{,}76 \approx 6{,}9~\text{кг}.\]

Горизонтальная координата камня задаётся движением горки, вертикальная — свободным полётом. Точка падения на склон — там, где отношение высоты к горизонтальному смещению равно \(\operatorname{tg}\alpha\).

\(S \approx 4{,}53\) м.

Координаты камня: по вертикали \(y = v_0 t - \dfrac{g t^2}{2}\), по горизонтали \(x = u t\). Условие падения на склон \(\dfrac{y}{x} = \operatorname{tg}\alpha = 1\) даёт \[\frac{v_0 t - \frac{g t^2}{2}}{u t} = 1 \quad\Rightarrow\quad 10 - 5t = 2 \quad\Rightarrow\quad t = 1{,}6~\text{с}.\] Тогда \(x = 3{,}2\) м, \(y = 3{,}2\) м, и расстояние от подножия до точки падения \(S = \sqrt{x^2 + y^2} = 3{,}2\sqrt2 \approx 4{,}53\) м.