Курчатов, 2020/21, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Разложите скорости шайб на составляющие вдоль стержня и перпендикулярно ему. Для компонент вдоль стержня выполняется одно и то же условие, а закон сохранения импульса и энергии даст остальные связи.

Ответ

\(\alpha = 27^\circ\).

Решение

Разложим скорости шайб на составляющие, параллельные и перпендикулярные стержню в конечном положении: \[\vec V_1 = \vec u + \vec u_1, \qquad \vec V_2 = \vec u + \vec u_2.\]

Вектор \(\vec u\) направлен вдоль стержня. Так как длина стержня не меняется при движении, эта составляющая одинакова для обеих шайб. Векторы \(\vec u_1\) и \(\vec u_2\) перпендикулярны стержню. Поскольку шайбы движутся без трения, их суммарный импульс сохраняется: \[m_2\vec V_0 = m_1\vec V_1 + m_2\vec V_2 \;\Rightarrow\; 2\vec V_0 = 3\vec u + \vec u_1 + 2\vec u_2.\] Направим оси неподвижной системы координат вдоль начального и конечного положений стержня. В проекциях имеем: \[2V_0 = 3u \;\Rightarrow\; u = \frac{2V_0}{3}, \qquad 0 = -u_1 + 2u_2 \;\Rightarrow\; u_1 = 2u_2.\] Далее воспользуемся законом сохранения энергии: \[2V_0^2 = 3u^2 + u_1^2 + 2u_2^2.\] Подставляя сюда полученные выше выражения для \(u\) и \(u_1\), находим составляющую скорости \(u_2\): \[2V_0^2 = \frac{4V_0^2}{3} + 4u_2^2 + 2u_2^2 \;\Rightarrow\; u_2^2 = \frac{V_0^2}{9} \;\Rightarrow\; u_2 = \frac{V_0}{3}.\]

Так как вектор \(\vec u\) направлен вдоль стержня, искомый угол \(\alpha\) есть угол между векторами \(\vec u\) и \(\vec V_2\): \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{u_2}{u} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; \alpha = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} \approx 27^\circ.\]

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для каждого бруска вдоль нити, сложите уравнения, чтобы исключить натяжение, а затем найдите координаты брусков через время \(t\).

Ответ

\(l \approx 3{,}8\) м.

Решение

Напишем второй закон Ньютона для брусков с массами \(m_1\) и \(m_2\) в проекциях на ось \(Y_1\), сонаправленную ускорению свободного падения \(\vec g\), и ось \(X_1\), направленную вдоль наклонной части клина: \[m_1 a = m_1 g - T, \qquad m_2 a = T - m_2 g\sin\alpha.\] Просуммировав уравнения, получим выражение для ускорения системы брусков: \[a = \frac{g(m_1 - m_2\sin\alpha)}{m_1 + m_2} = 5~\text{м/с}^2.\] Найдем расстояние между брусками \(l\) через время \(t = 1\) с. Для удобства выберем другую систему координат, такую что ось \(X_2\) направлена горизонтально вдоль нижней части бруска вправо, а ось \(Y_2\) направлена противоположно ускорению свободного падения \(\vec g\). Определим координаты брусков по горизонтали и по вертикали через время \(t = 1\): \[x_1 = 0, \quad y_1 = -\frac{at^2}{2}; \qquad x_2 = L - \frac{a\cos\alpha\,t^2}{2}, \quad y_2 = \frac{a\sin\alpha\,t^2}{2}.\] Тогда расстояние между брусками будет равно \[l = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \frac{at^2}{2}\sqrt{(1 + \sin\alpha)^2 + \left(\frac{2L}{at^2} - \cos\alpha\right)^2} \approx 3{,}8~\text{м}.\]

Подсказка

Выразите работу за цикл как площадь прямоугольника в координатах \(P\)–\(V\). Тепло получается только на участках, где газ нагревается, поэтому учтите процессы \(1\!\to\!2\) и \(2\!\to\!3\).

Ответ

\(k = 922\,\%\).

Решение

Обозначим минимальное давление в цикле как \(P_0\), а максимальное \(P_{max}\). Пронумеруем точки цикла по часовой стрелке следующим образом: изохорический процесс с увеличением давления от \(P_0\) до \(P_{max}\) — процесс \(1\)–\(2\), изобарический процесс с увеличением объема от \(V_0\) до \(nV_0\) — процесс \(2\)–\(3\), изохорический процесс с уменьшением давления от \(P_{max}\) до \(P_0\) — процесс \(3\)–\(4\), изобарический процесс с уменьшением объема от \(nV_0\) до \(V_0\) — процесс \(4\)–\(1\). Найдем максимальное давление \(P_{max}\) в цикле из подобия прямоугольных треугольников: \[\frac{P_0}{V_0} = \frac{P_{max}}{nV_0} \;\Rightarrow\; P_{max} = nP_0.\] Найдем работу над газом за цикл как площадь прямоугольника \(1\)–\(2\)–\(3\)–\(4\): \[A = P_0V_0(n-1)^2.\] Молярная теплоемкость при постоянном объеме равна \(c_v = \dfrac{i}{2}R\). Напишем уравнение Майера: \(c_p - c_v = R\), где \(c_p\) — молярная теплоемкость при постоянном давлении. Количество теплоты \(Q\) будет подводиться к циклу в процессах \(1\)–\(2\) и \(2\)–\(3\), тогда: \[Q = \frac{c_v}{R}P_0V_0(n-1) + \frac{c_v + R}{R}P_0V_0\,n(n-1).\] Отсюда получаем: \[k = \frac{Q}{A} = \frac{c_v}{R}\cdot\frac{1}{n-1} + \frac{c_v + R}{R}\cdot\frac{n}{n-1} = \frac{c_v(n+1) + nR}{R(n-1)} \approx 9{,}22 \;\Rightarrow\; k \approx 922\,\%.\]

Подсказка

Найдите, какие треугольники звезды можно заменить эквивалентными сопротивлениями: сначала сложите параллельные и последовательные участки, затем преобразуйте треугольник, примыкающий к \(A\), в звезду.

Ответ

\(R_0 = \dfrac{22}{15}R \approx 0{,}47\) Ом.

Решение

Обозначим узлы звезды цифрами от 1 до 8.

Треугольники \(123\), \(456\) и \(678\) состоят из сопротивлений \(R\) и \(2R\), соединённых параллельно. Эквивалентное сопротивление каждого такого треугольника равно \(2R/3\). Кроме того, треугольники \(456\) и \(678\) соединены последовательно, поэтому их можно заменить одним сопротивлением \(4R/3\). В результате получаем упрощённую схему. Для того чтобы продвинуться дальше, преобразуем треугольник \(A18\) в звезду. Так как сопротивления всех сторон треугольника одинаковы, то звезда также состоит из одинаковых сопротивлений \(R'\). Значение \(R'\) найдём, потребовав, чтобы при подключении источника тока за точки \(A\) и \(1\) сопротивления треугольника и звезды совпадали: \[\frac{2R}{3} = 2R' \;\Rightarrow\; R' = \frac{R}{3}.\] Заменяя треугольник \(B43\) на такую же звезду, приходим к схеме, общее сопротивление которой легко вычисляется по обычным правилам сложения сопротивлений при параллельном и последовательном соединениях. Окончательно получаем: \[R_0 = \frac{22}{15}R = 0{,}47~\text{Ом}.\]

Подсказка

Используйте зеркальную симметрию схемы относительно плоскости, проходящей через точку \(O\) и середины \(AB\) и \(DC\): распределение токов тоже симметрично, поэтому точку \(O\) можно разорвать без изменения токов.

Ответ

\(I = \dfrac{3V}{8R} = 28{,}1\) мА.

Решение

Пусть положительный полюс батареи подключён к точке \(A\), а отрицательный — к точке \(B\). Перерисуем пирамиду в виде плоской схемы и рассмотрим распределение токов в ветвях. Так как при подключении батареи к точкам \(A\) и \(B\) схема зеркально симметрична относительно прямой \(L\), проходящей через точку \(O\) и середины отрезков \(AB\) и \(DC\), распределение токов также обладает зеркальной симметрией. В частности, по отрезкам \(AO\) и \(OB\) течёт один и тот же ток \(I_2\), а по отрезкам \(DO\) и \(OC\) один и тот же ток \(I_3\). Поэтому точку \(O\) можно разорвать без изменения распределения токов. В результате получаем простую схему, в которой можно легко найти ток \(I\).

Верхний треугольник, по которому текут токи \(I_3\) и \(I_4\), состоит из двух сопротивлений \(R\) и \(2R\), соединённых параллельно. Этот треугольник можно заменить одним эквивалентным сопротивлением \(2R/3\). Тогда полное сопротивление \(R'\) участка \(ADCB\) равно: \[R' = R + \frac{2R}{3} + R = \frac{8R}{3}.\] Для тока \(I\) получаем: \[I = \frac{V}{R'} = \frac{3V}{8R} = 28{,}1~\text{мА}.\]

Подсказка

Запишите закон Ома для обоих измерений с неизвестными \(R\) и \(R_A\), затем найдите общее сопротивление цепи при измерении полного тока батареи.

Ответ

\(I = \dfrac{3I_1I_2}{4I_2 - I_1} = 36\) мА.

Решение

Пусть \(R\) и \(2R\) — параллельно соединённые сопротивления. Неравенство \(I_1 \neq 2I_2\) означает, что сопротивление амперметра отлично от нуля. Обозначим его через \(R_A\). Учитывая, что при измерении токов \(I_1\) и \(I_2\) напряжение между точками \(B\) и \(C\) равно ЭДС батареи \(\varepsilon\), получаем два уравнения: \[R + R_A = \frac{\varepsilon}{I_1}, \qquad 2R + R_A = \frac{\varepsilon}{I_2}.\] Выразим отсюда \(R\) и \(R_A\): \[R = \frac{\varepsilon(I_1 - I_2)}{I_1I_2}, \qquad R_A = \frac{\varepsilon(2I_2 - I_1)}{I_1I_2}.\] При измерении силы тока, текущего через батарею, амперметр соединяется последовательно с парой сопротивлений \(R\) и \(2R\). Общее сопротивление цепи в этом случае равно: \[R_0 = \frac{2R}{3} + R_A = \frac{2R + 3R_A}{3}.\] Используя выражения для \(R\) и \(R_A\), получаем: \[R_0 = \frac{\varepsilon(4I_2 - I_1)}{3I_1I_2}.\] Ток \(I\), текущий через батарею, равен: \[I = \frac{\varepsilon}{R_0} = \frac{3I_1I_2}{4I_2 - I_1} = \frac{3 \cdot 30 \cdot 20}{80 - 30} = 36~\text{мА}.\]