зад 1 Велосипедные звёздочки и колесо
В велосипеде две зубчатые шестеренки соединены натянутой цепью, передающей движение с ведущей передней шестеренки на заднюю шестеренку. Задняя шестеренка имеет общую ось с задним колесом. Если скорость острия зубца на передней шестеренке составляет \(10\) см/с в системе отсчета велосипеда, то какая будет скорость точки, расположенной на шине заднего колеса, в системе отсчета велосипеда? Радиус задней шестеренки в два раза меньше радиуса передней шестеренки и в 10 раз меньше радиуса колеса. Предполагать, что велосипед едет по прямой дорожке и никуда не сворачивает. Ответ выразите в сантиметрах в секунду и округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
Скорости точек цепи одинаковы, а задняя шестеренка и колесо вращаются с одной угловой скоростью. Сравните скорости точек на разных расстояниях от оси.
▶ОтветСкрыть
\(100\) см/с.
▶РешениеСкрыть
Цепь передаёт на зубчики задней шестеренки скорость зубчиков передней шестеренки, таким образом, скорость зубчиков задней шестеренки равна \(10\) см/с. Далее, используя равенство угловых скоростей для дисков с общей осью, получаем, что скорость точек на шине колеса равна скорости зубчиков шестеренки заднего колеса, умноженной на отношение радиусов заднего колеса и задней шестеренки: \[v = 10 \cdot 10~\frac{\text{см}}{\text{с}} = 100~\frac{\text{см}}{\text{с}}.\]
зад 2 Диэлектрическое зеркало из слоёв
Используемые в лазерных установках диэлектрические зеркала обладают отражающими свойствами, которые формируются благодаря покрытию из нескольких чередующихся тонких слоёв из различных диэлектрических материалов: тонкие слои материала с более высоким показателем преломления чередуются с более толстыми слоями с меньшим показателем преломления. Плотность более толстых слоев меньше плотности тонких на \(15\,\%\), а толщина толстого слоя в свою очередь превышает толщину тонкого слоя на \(22{,}5\,\%\). На сколько средняя плотность целого диэлектрического зеркала больше плотности слоев с меньшим показателем преломления, если число слоев разной толщины одинаково? Ответ выразите в процентах и округлите до десятых долей процента.
▶ПодсказкаСкрыть
Средняя плотность равна полной массе, делённой на полный объём. Выразите плотность и толщину тонкого слоя через плотность и толщину толстого слоя.
▶ОтветСкрыть
\(6{,}7\,\%\).
▶РешениеСкрыть
Пусть число слоев разной толщины равно \(N\) и площадь боковой части слоя равна \(S\). Пусть плотность слоя с меньшим показателем преломления (более толстый слой) равна \(\rho\), тогда плотность слоя с большим показателем преломления (более тонкий слой) равна \(1{,}225\rho\). Аналогично, если толщину слоя с большим показателем преломления обозначить за \(d\), то толщина слоя с меньшим показателем преломления будет равна \(1{,}15d\). Тогда общий объем диэлектрического зеркала будет равен \[V = SdN + 1{,}225d\cdot SN = 2{,}225\,Sd N.\] Масса равна \[M = SdN\cdot 1{,}15\rho + SdN\cdot 1{,}225\rho = 2{,}375\,SdN\rho.\] Соответственно средняя плотность равна \[\frac{M}{V} = \frac{2{,}375\,SdN\rho}{2{,}225\,SdN} \approx 1{,}067\rho.\] Тогда искомое отношение плотностей равно \[\left(\frac{1{,}067\rho}{\rho} - 1\right)\cdot 100\% = 6{,}7\%.\]
зад 3 Петя на скользком склоне
Петя карабкается по очень скользкому склону заледеневшего холма: 3 минуты он продвигается со скоростью \(0{,}5\) м/с, затем останавливается на отдых на 55 секунд. После этого он поскальзывается и катится по склону вниз со скоростью \(0{,}2\) м/с в течение 45 секунд. По прошествии этого времени Петя успевает остановиться и медленно карабкается вверх со скоростью \(0{,}3\) м/с в течение 40 секунд. После этого ситуация повторяется — он вновь 3 минуты поднимается со своей нормальной скоростью \(0{,}5\) м/с, повторяет остановку на отдых, затем поскальзывается, медленно карабкается вверх, и так далее. За какое время он доберется до вершины холма, если длина склона составляет 950 м, а движение Пети происходит по вышеописанному циклу (бежит, отдыхает, поскальзывается и скатывается, медленно карабкается)? Ответ выразите в минутах и округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите путь, который Петя проходит за один полный цикл, и число полных циклов до вершины. Остаток пути пройдите со своей нормальной скоростью.
▶ОтветСкрыть
\(54\) мин.
▶РешениеСкрыть
Чтобы узнать необходимое время для подъёма, посчитаем время, затрачиваемое на один цикл, общее количество циклов и возможный остаток пути, который мог не войти в целый цикл. Найдем расстояние, которое Петя проходит за один цикл: \[S = 0{,}5~\text{м/с}\cdot 180~\text{с} - 0{,}2~\text{м/с}\cdot 45~\text{с} + 0{,}3~\text{м/с}\cdot 40~\text{с} = 93~\text{м}.\] Время одного цикла \(T\) равно \[T = 180 + 55 + 45 + 40 = 320~\text{с}.\] Всего получается 10 полных циклов, и после остается ещё 20 м, которые Петя пройдет со скоростью \(0{,}5\) м/с за время \(T'\). Значит общее затраченное время \(t\) равно \[t = T\cdot 10 + \frac{20}{0{,}5} = 3240~\text{с} = 54~\text{мин}.\]
зад 4 Взвешивание обломка метеорита в жидкостях
Экспериментатор Глюк проводит эксперимент с неизвестными науке инопланетными жидкостями \(A\) и \(B\), заполняющих одинаковый объем в двух идентичных аквариумах. Для этого он с помощью пружинного динамометра взвешивает небольшой обломок метеорита неизвестной плотности тремя разными способами: в воздухе, при полном погружении в первый аквариум с жидкостью \(A\) и при полном погружении во второй аквариум с жидкостью \(B\). При первом взвешивании пружина динамометра растянулась на \(x_1 = 2{,}4\) см, при втором в \(\dfrac{7}{8}\) раз меньше, чем в первом, а при третьем в \(\dfrac{5}{6}\) раз меньше, чем при первом. Найдите во сколько раз плотность первой жидкости больше, чем плотность второй. Ускорение свободного падения можно считать равным 10 м/с\(^2\), ответ округлите до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть
Сила упругости пружины одинакова во всех трёх взвешиваниях. Запишите равновесие метеорита в каждой жидкости через разность растяжений пружины.
▶ОтветСкрыть
\(\rho_B/\rho_A = 1{,}33\) (по официальному ответу).
▶РешениеСкрыть
Сила упругости пружины динамометра во всех случаях одинакова. Напишем равенство сил, действующих на метеорит при первом и втором взвешиваниях: \[kx_1 = kx_2 + \rho_A Vg \;\Rightarrow\; k(x_1 - x_2) = \rho_A Vg.\] Напишем равенство сил, действующих на метеорит при первом и третьем взвешиваниях: \[kx_1 = kx_3 + \rho_B Vg \;\Rightarrow\; k(x_1 - x_3) = \rho_B Vg.\] Выразив коэффициент \(k\) из одного уравнения и подставив его в другое, получим отношение плотностей жидкостей: \[\frac{\rho_B}{\rho_A} = \frac{x_1 - x_3}{x_1 - x_2} = \frac{1 - x_3/x_1}{1 - x_2/x_1} = \frac{1 - 5/6}{1 - 7/8} = 1{,}33.\]
зад 5 Расход бензина на объезде
Экспериментатор Глюк хочет доехать на грузовом автомобиле из города \(A\) в город \(B\), расстояние между которыми составляет 150 км. Однако сразу после выезда Глюк обнаружил, что забыл заправить бензобак и не может доехать напрямую до города \(B\), поэтому решает добраться до него через удаленный на 90 км от города \(A\) поселок городского типа \(C\), где он сможет дозаправиться и поехать дальше. На момент отъезда из пункта \(A\) Глюк отметил, что бензина оставалось \(18{,}5\) л, через 14 км на участке между городами \(A\) и \(C\) бензина осталось уже \(16{,}26\) л. Найдите расстояние между пунктами \(B\) и \(C\), если суммарное количество бензина, затрачиваемое в пути из пункта \(A\) в пункт \(B\) через пункт \(C\), на \(2{,}4\) л больше, чем если ехать из пункта \(A\) в пункт \(B\) напрямую. Ответ выразите в километрах и округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала найдите расход бензина на 1 км по участку \(A\)–\(C\). Затем сравните расход на путь \(A\)–\(B\) напрямую и через \(C\).
▶ОтветСкрыть
\(75\) км.
▶РешениеСкрыть
Найдем расход бензина грузового автомобиля: \[v = \frac{18{,}5 - 16{,}26}{14} = 0{,}16~\text{л/км}.\] Тогда во время пути из \(A\) в \(B\) будет израсходовано бензина \(150\cdot 0{,}16 = 24\) л, а во время пути из \(A\) в \(C\) — \(90\cdot 0{,}16 = 14{,}4\) л. Соответственно на путь из \(C\) в \(B\) будет израсходовано бензина \(24 + 2{,}4 - 14{,}4 = 12\) л. Тогда расстояние между пунктами \(B\) и \(C\) равно \[\frac{12}{0{,}16} = 75~\text{км}.\]
Источник: Олимпиада «Курчатов» по физике, 2020/21, отборочный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.