зад 1 Звёздочки велосипеда и скорость в системе велосипеда
В велосипеде две зубчатые шестерёнки соединены натянутой цепью, передающей движение с ведущей передней шестерёнки на заднюю шестерёнку. Задняя шестерёнка имеет общую ось с задним колесом. Велосипед едет по прямой дорожке и никуда не сворачивает, скорость его равна \(1{,}5\) м/с, колёса велосипеда при движении не проскальзывают. Найдите скорость зубца передней ведущей шестерёнки в системе отсчёта велосипеда? Радиус задней шестерёнки в два раза меньше радиуса передней шестерёнки и в \(8\) раз меньше радиуса колеса. Ответ выразите в сантиметрах в секунду, округлив до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть
Все точки диска, сидящего на общей оси с колесом, имеют одинаковую угловую скорость. Какую скорость имеют зубцы задней шестерёнки относительно рамы велосипеда и что цепь передаёт передней шестерёнке?
▶ОтветСкрыть
\(18{,}75\) см/с.
▶РешениеСкрыть
Используя равенство угловых скоростей для дисков с общей осью, получаем, что скорость зубцов задней шестерёнки равна скорости точки на шине, делённой на отношение радиуса колеса к радиусу задней шестерёнки. Эта скорость передаётся цепью зубцам передней шестерёнки: \[v = \frac{150 \cdot 1}{8}\ \text{см/с} = 18{,}75\ \text{см/с}.\]
зад 2 Петя на скользком холме
Петя карабкается по очень скользкому склону заледеневшего холма: \(4\) минуты он продвигается со скоростью \(0{,}6\) м/с, затем останавливается на отдых на \(30\) секунд. После этого он поскальзывается и катится по склону вниз со скоростью \(0{,}3\) м/с в течение \(30\) секунд. По прошествии этого времени Петя успевает остановиться и медленно карабкается вверх со скоростью \(0{,}1\) м/с в течение \(1\) минуты. После этого ситуация повторяется — он вновь \(4\) минуты поднимается со своей нормальной скоростью \(0{,}6\) м/с, повторяет остановку на отдых, затем поскальзывается, медленно карабкается вверх, и так далее. За какое время он доберётся до вершины холма, если длина склона составляет \(1800\) м, а движение Пети происходит по вышеописанному циклу (бежит, отдыхает, поскальзывается и скатывается, медленно карабкается)? Ответ выразите в минутах и округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
За один цикл Петя смещается вверх на некоторое расстояние. Сколько полных циклов нужно, чтобы почти добраться до вершины, и сколько пути останется на последний участок?
▶ОтветСкрыть
\(75\) мин.
▶РешениеСкрыть
Чтобы узнать необходимое время для подъёма, посчитаем время, затрачиваемое на один цикл, общее количество циклов и возможный остаток пути, который мог не войти в целый цикл. Найдём расстояние, которое Петя проходит за один цикл: \[S = 0{,}6\,\text{м/c} \cdot 240\,\text{c} - 0{,}3\,\text{м/c} \cdot 30\,\text{c} + 0{,}1\,\text{м/c} \cdot 60\,\text{c} = 141\,\text{м}.\] Время одного цикла \(T\) равно \[T = 240 + 30 + 60 + 30 = 360\,\text{с}.\] Всего получается \(12\) полных циклов, и после этого остаётся ещё \(108\) м, которые Петя пройдёт со скоростью \(0{,}6\) м/с за время \(T'\). Значит, общее затраченное время \(t\) равно \[t = T \cdot 12 + \frac{108}{0{,}6} = 4320\,\text{c} = 75\,\text{мин}.\]
зад 3 Кипятильник в кастрюле
В кастрюлю с водой погружают кипятильник, через нагревательный элемент которого проходит постоянный ток \(J = 10\) А, сопротивление нагревательного элемента \(R = 2\) Ом. Температура воды непосредственно перед погружением в неё кипятильника составляет \(50^\circ\)C. Через час работы кипятильника масса воды в кастрюле уменьшилась вдвое. Найти исходную массу воды в кастрюле. Теплообменом кастрюли с окружающей средой пренебречь. Удельную теплоёмкость воды считать равной \(4{,}2\) кДж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), удельную теплоту парообразования считать равной \(2260\) кДж/кг. Ответ выразите в килограммах, округлите до тысячных.
▶ПодсказкаСкрыть
Количество теплоты от кипятильника за час равно \(J^2Rt\). Какая часть этой энергии идёт на нагрев воды до кипения, а какая — на испарение половины массы?
▶ОтветСкрыть
\(0{,}537\) кг.
▶РешениеСкрыть
Напишем закон Джоуля–Ленца. Получим количество теплоты, которое передаётся за час от кипятильника воде: \[Q_1 = J^2 R t = 10^2 \cdot 2 \cdot 3600\,\text{с} = 720\,\text{кДж}.\] На нагревание воды до температуры \(100^\circ\)C и последующее кипение (испарение половины массы) расходуется количество теплоты \[Q_2 = c\,m\,\Delta T + L\,\frac{m}{2}.\] Из сохранения энергии следует, что \(Q_1 = Q_2\). Тогда найдём исходную массу воды: \[m = \frac{J^2 R t}{c\,\Delta T + \dfrac{L}{2}} = \frac{720\,\text{кДж}}{4{,}2\cdot 50 + \dfrac{2260}{2}\ \text{кДж/кг}} = 0{,}537\,\text{кг}.\]
зад 4 Смешивание воды в 16 стаканах
Саша налил в \(k = 16\) одинаковых стеклянных стаканов разное количество воды с разной температурой. Оказалось, что и температура воды, и масса воды в каждом последующем стакане отличаются от предыдущего на одинаковые величины, соответственно равные температуре и массе воды в самом первом стакане. То есть, если принять массу воды в первом стакане за \(m\), то во втором стакане налито \(2m\), …, в третьем \(3m\), в \(k\)-том стакане \(k\cdot m\) (с температурой аналогично — \(t\), \(2t\), …, \(k\cdot t\)). Найдите температуру в самом первом стакане, если после смешивания воды из всех стаканов в одной ёмкости установившаяся температура оказалась равна \(t_k = 22^\circ\)C, масса воды в первом стакане равна \(18\) г. Ответ выразите в градусах и округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
Удобно считать, что энергия каждой порции отсчитывается от \(0^\circ\)C. Тогда суммарная теплота всех стаканов пропорциональна сумме квадратов номеров стаканов, а масса смеси — сумме номеров.
▶ОтветСкрыть
\(2^\circ\)C.
▶РешениеСкрыть
Чтобы найти связь между начальными и конечной температурами воды в ёмкостях, сначала посчитаем количество теплоты, необходимое для остывания всей смеси до \(0^\circ\)C: \[Q_1 = c m t + c \cdot 2m \cdot 2t + \dots + c \cdot 16m \cdot 16t = 1496\, c\, m\, t.\] Данное тепло идёт на нагревание смеси до температуры \(t_1\): \[Q_1 = (m + 2m + \dots + 16m)\, c\, t_1 = 136\, c\, m\, t_1.\] Тогда получим выражение для искомой температуры в первом стакане \(t\) через температуру \(t_1\): \[t_1 = \frac{Q_1}{136\,c\,m} = \frac{1496\,t}{136} = 11\,t = 22^\circ\text{C} \quad \Rightarrow \quad t = 2^\circ\text{C}.\]
зад 5 Два подключения резисторов и ток через r
Напряжение \(U\), которое создаётся батареей \(\mathcal{E}\), подключают к схеме, изображённой на рисунке 1. При этом считается, что напряжение создаётся между точками справа и слева от батареи. Сопротивление состоит из трёх резисторов — резистора с сопротивлением \(r\) и двух последовательно соединённых резисторов с сопротивлениями \(R_1\). При этом оказалось, что через сопротивление \(r\) проходит постоянный ток \(I_1\) (рисунок 1).
Затем ту же батарею подключили к схеме, как показано на рисунке 2. Сопротивление состоит из того же резистора с сопротивлением \(r\) и из параллельно подключённых резисторов с сопротивлениями \(R_2\). При этом оказалось, что ток через сопротивление \(r\) не изменился: \(I_2 = I_1\) (рисунок 2). Найдите значение \(R_2/R_1\), округлив до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
Ток через \(r\) одинаков в обеих схемах, значит, одинаково полное сопротивление внешней цепи. Выразите его через \(R_1\) и через \(R_2\) для каждой схемы.
▶ОтветСкрыть
\(4\).
▶РешениеСкрыть
Напишем выражение для тока \(I_1\) из закона Ома: \[I_1 = \frac{\mathcal{E}}{r + 2R_1}.\] Напишем выражение для тока \(I_2\) из закона Ома: \[I_2 = \frac{\mathcal{E}}{r + \dfrac{R_2}{2}}.\] Поскольку ток через сопротивление \(r\) не изменился, то токи \(I_1\) и \(I_2\) равны. Тогда получим, что \[r + 2R_1 = r + \frac{R_2}{2}.\] Отсюда следует, что \[\frac{R_2}{R_1} = 4.\]
Источник: Олимпиада «Курчатов» по физике, 2020/21, отборочный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.