Курчатов, 2020/21, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Какую форму имеет траектория тела, брошенного горизонтально? Сравните её коэффициент при \(x^2\) с коэффициентом холма.

Ответ

\(10\) м/с.

Решение

Очевидно, что касательная к траектории в начальной точке должна быть горизонтальна. С учётом этого получим уравнение траектории: \[y(x) = H - \frac{g t^2}{2} = H - \frac{g}{2V_0^2}\,x^2,\] где \(V_0\) — начальная скорость в момент броска. Для того чтобы форма траектории совпала с формой холма, коэффициент \(\alpha\) должен быть равен \[\alpha = \frac{g}{2V_0^2}.\] Отсюда выражаем начальную скорость: \[V_0 = \sqrt{\frac{g}{2\alpha}} = 10\ \text{м/с}.\]

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для каждого бруска вдоль нити и сложите уравнения, чтобы исключить натяжение. Затем найдите координаты брусков через время \(t\).

Ответ

\(3{,}8\) м.

Решение

Напишем второй закон Ньютона для брусков с массами \(m_1\) и \(m_2\) в проекциях на ось \(Y_1\), сонаправленную ускорению свободного падения \(\vec g\), и ось \(X_1\), направленную вдоль наклонной части клина: \[m_1 a = m_1 g - T, \qquad m_2 a = T - m_2 g \sin\alpha.\] Просуммировав уравнения, получим выражение для ускорения системы брусков: \[a = \frac{g\,(m_1 - m_2\sin\alpha)}{m_1 + m_2} = 5\ \text{м/с}^2.\] Найдём расстояние между брусками \(l\) через время \(t = 1\) с. Для удобства выберем другую систему координат, такую что ось \(X_2\) направлена горизонтально вдоль нижней части клина вправо, а ось \(Y_2\) направлена противоположно ускорению свободного падения \(\vec g\). Определим координаты брусков по горизонтали и по вертикали через время \(t\): \[x_1 = 0, \quad y_1 = -\frac{a t^2}{2}; \qquad x_2 = L - \frac{a\cos\alpha\, t^2}{2}, \quad y_2 = \frac{a\sin\alpha\, t^2}{2}.\] Тогда расстояние между брусками будет равно \[l = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \frac{a t^2}{2}\sqrt{(1 + \sin\alpha)^2 + \left(\frac{2L}{a t^2} - \cos\alpha\right)^2} \approx 3{,}8\ \text{м}.\]

Подсказка

Лёд в калориметре только нагревается. Мокрый снег при \(0^\circ\)C часть воды замерзает, а затем весь он охлаждается до \(t_2\). Запишите баланс теплоты.

Ответ

\(3{,}7\) г.

Решение

Имевшийся в калориметре лёд массой \(m_1\) нагрелся от температуры \(t_1\) до температуры \(t_2\). Необходимое для этого количество теплоты равно: \[Q_1 = m_1 C (t_2 - t_1).\] Мокрый снег представляет собой смесь воды и льда, находящихся при температуре \(0^\circ\)C. Количество теплоты, выделившееся при охлаждении снега до конечной температуры \(t_2\), равно \[Q_2 = M\lambda + m_2 C (0^\circ - t_2) = M\lambda - m_2 C t_2.\] Здесь первое слагаемое — количество теплоты, выделившееся при замерзании воды массой \(M\) при температуре \(0^\circ\)C, второе — количество теплоты, выделившееся при охлаждении льда массой \(m_2\) от \(0^\circ\)C до конечной температуры \(t_2\). Приравнивая \(Q_1\) и \(Q_2\), находим массу \(M\) воды в мокром снеге: \[M = \frac{C}{\lambda}\left(m_1 (t_2 - t_1) + m_2 t_2\right).\] Подставим числовые значения: \[M = \frac{2{,}1\ \text{кДж/(кг}\cdot{}^\circ\text{C)}}{330\ \text{кДж/кг}}\left(80\ \text{г} \cdot (-2^\circ\text{C} + 10^\circ\text{C}) + 30\ \text{г} \cdot (-2^\circ\text{C})\right) = 3{,}7\ \text{г}.\]

Подсказка

Скорость подвода тепла постоянна и пропорциональна \(t_в - t\) внутри сосуда. Значит, теплота, нужная для процесса, пропорциональна времени, которое он занимает.

Ответ

\(\tau_2 = \tau_1\,\dfrac{m_2 \lambda_2 (t_в - t_1)}{m_1 \lambda_1 (t_в - t_2)} = 3{,}8\) ч.

Решение

Количество теплоты, которое необходимо затратить для того, чтобы растопить лёд массой \(m_1\) при температуре \(t_1 = 0^\circ\)C, равно \(m_1 \lambda_1\). Скорость подвода тепла внутрь сосуда Дьюара запишем в виде \(k(t_в - t_1)\), где коэффициент пропорциональности \(k\) определяется конструкцией сосуда. Так как температуры \(t_в\) и \(t_1\) постоянны, скорость подвода тепла также постоянна. В этом случае имеем: \[m_1 \lambda_1 = k (t_в - t_1)\,\tau_1.\] Для испарения углекислоты справедливо аналогичное равенство: \[m_2 \lambda_2 = k (t_в - t_2)\,\tau_2.\] Поделив второе уравнение на первое, находим время \(\tau_2\): \[\frac{m_2 \lambda_2}{m_1 \lambda_1} = \frac{(t_в - t_2)\,\tau_2}{(t_в - t_1)\,\tau_1} \quad\Rightarrow\quad \tau_2 = \tau_1\,\frac{m_2 \lambda_2 (t_в - t_1)}{m_1 \lambda_1 (t_в - t_2)}.\] Подставим числовые значения: \[\tau_2 = 9\ \text{ч}\cdot\frac{30\ \text{г} \cdot 0{,}38\ \text{МДж/кг}\cdot 25^\circ}{20\ \text{г} \cdot 0{,}33\ \text{МДж/кг}\cdot 103^\circ} = 3{,}8\ \text{ч}.\]

Подсказка

Используйте зеркальную симметрию каркаса относительно прямой, проходящей через \(E\) и \(F\). Точки, которые имеют одинаковый потенциал, можно соединять или разъединять без изменения токов.

Ответ

\(34{,}6\) мА.

Решение

Пусть положительный полюс батареи подключён к точке \(A\), а отрицательный — к точке \(B\). Рассмотрим распределение токов в ветвях каркаса. Так как при подключении батареи к точкам \(A\) и \(B\) каркас зеркально симметричен относительно прямой \(EF\), распределение токов также обладает зеркальной симметрией. В частности, по отрезкам \(CF\) и \(FD\) течёт один и тот же ток \(I_4\). Поэтому точку \(F\) можно отсоединить от отрезка \(AB\) без изменения распределения токов.

Сопротивления участков \(CED\) и \(CFD\) одинаковы и равны \(2R\). Поэтому токи \(I_3\) и \(I_4\) совпадают: \(I_3 = I_4\). Закон сохранения заряда в узле \(C\) даёт: \[I_2 = I_3 + I_4 + I = 2I_3 + I.\] Приравнивая напряжения на участках \(CD\) и \(CED\), получаем: \[IR = 2I_3 R \quad\Rightarrow\quad I = 2I_3.\] Двигаясь по пути \(ACDB\), запишем напряжение \(V\) так: \[V = I_2 R + I R + I_2 R = 2I_2 R + I R.\] Исключая из полученных уравнений токи \(I_3\) и \(I_2\), находим ток \(I\): \[I_2 = 2I_3 + I = 2I, \qquad V = 2I_2 R + I R = 5IR \quad\Rightarrow\quad I = \frac{V}{5R} = 34{,}6\ \text{мА}.\]

Подсказка

Запишите закон Ома для двух измерений с амперметром, учитывая его сопротивление \(R_A\), и выразите неизвестные \(R\) и \(R_A\) через ЭДС и токи.

Ответ

\(36\) мА.

Решение

Пусть \(R\) и \(2R\) — параллельно соединённые сопротивления. Неравенство \(I_1 \ne 2I_2\) означает, что сопротивление амперметра отлично от нуля. Обозначим его через \(R_A\). Учитывая, что при измерении токов \(I_1\) и \(I_2\) напряжение между точками \(B\) и \(C\) равно ЭДС батареи \(\varepsilon\), получаем два уравнения: \[R + R_A = \frac{\varepsilon}{I_1}, \qquad 2R + R_A = \frac{\varepsilon}{I_2}.\] Выразим отсюда \(R\) и \(R_A\): \[R = \frac{\varepsilon}{I_2} - \frac{\varepsilon}{I_1} = \frac{\varepsilon(I_1 - I_2)}{I_1 I_2}, \qquad R_A = \frac{2\varepsilon}{I_1} - \frac{\varepsilon}{I_2} = \frac{\varepsilon(2I_2 - I_1)}{I_1 I_2}.\]

При измерении силы тока, текущего через батарею, амперметр соединяется последовательно с парой сопротивлений \(R\) и \(2R\). Общее сопротивление цепи в этом случае равно: \[R_0 = \frac{2R}{3} + R_A = \frac{2R + 3R_A}{3}.\] Здесь \(\dfrac{2R}{3}\) — общее сопротивление пары \(R\) и \(2R\). Используя выражения для \(R\) и \(R_A\), получаем: \[R_0 = \frac{\varepsilon}{3 I_1 I_2}\left(2I_1 - 2I_2 + 6I_2 - 3I_1\right) = \frac{\varepsilon(4I_2 - I_1)}{3 I_1 I_2}.\]

Ток \(I\), текущий через батарею, равен \[I = \frac{\varepsilon}{R_0} = \frac{3 I_1 I_2}{4 I_2 - I_1}.\] Подставим числовые значения токов в миллиамперах: \[I = \frac{3 \cdot 30 \cdot 20}{80 - 30} = \frac{180}{5} = 36\ \text{мА}.\]