Курчатов, 2021/22, отборочный этап, 10 класс

Запишите условие равновесия лестницы: сумма сил и сумма моментов относительно нижнего торца равны нулю. Скольжение начинается, когда сила трения достигает максимума \(\mu N\).

\(\approx 9{,}6\,\%\).

Обозначим расстояние, пройденное студентом, за \(x\). Второй закон Ньютона в проекциях на оси, указанные на рисунке: \[\begin{cases} N = 2mg + mg = 3mg, \\ R = F_{\text{тр}} = \mu N. \end{cases}\] Равенство моментов сил относительно точки \(A\) (нижний торец): \[L R \cos 60^{\circ} = mg \frac{L}{2} \cos 30^{\circ} + 2mgx \cos 30^{\circ}.\] Из него реакция стены \[R = 2mg\sqrt{3}\left(\frac{x}{L} + \frac{1}{4}\right).\] Необходимое условие проскальзывания: \(F_{\text{тр}} < R\). На границе \[2mg\sqrt{3}\left(\frac{x}{L} + \frac{1}{4}\right) = \mu N = 3\mu mg \quad\Rightarrow\quad \frac{x}{L} = 0{,}2\sqrt{3} - \frac{1}{4} \approx 9{,}6\,\%.\]

Горизонтальная проекция импульса системы сохраняется, так как трения о стол нет. Используйте также постоянство длины стержня: проекции скоростей шариков на его направление одинаковы.

\(V_2 \approx 0{,}75\) м/с.

Пусть \(m\) — масса шариков, \(\vec V_1\) и \(\vec V_2\) — скорости нижнего и верхнего шариков в конечном положении. Разложим \(\vec V_2 = \vec u_1 + \vec u_2\) на горизонтальную и вертикальную составляющие.

Горизонтальная составляющая импульса шариков сохраняется: \(0 = m u_1 - m V_1\), т.е. \(u_1 = V_1\).

Длина стержня не меняется, поэтому проекции скоростей шариков на направление стержня одинаковы: \[V_1 \cos\alpha = u_2 \sin\alpha - u_1 \cos\alpha \quad\Rightarrow\quad V_1 = \frac{u_2 \operatorname{tg}\alpha}{2}.\] Закон сохранения энергии: \[mgL = mgL\sin\alpha + \frac{m V_1^2}{2} + \frac{m V_2^2}{2} \quad\Rightarrow\quad 2gL(1 - \sin\alpha) = V_1^2 + u_1^2 + u_2^2 .\] Используя \(V_1\) и \(u_1 = V_1\), находим \[u_2^2 = \frac{4 gL (1 - \sin\alpha)}{\operatorname{tg}^2\alpha + 2},\] и далее \[V_2^2 = u_1^2 + u_2^2 = \frac{gL(1 - \sin\alpha)(\operatorname{tg}^2\alpha + 4)}{\operatorname{tg}^2\alpha + 2}.\] Численно: \(V_2 = \sqrt{3\left(1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\dfrac{7}{5}} \approx 0{,}75\) м/с.

\(P_1 \approx 95\) кПа.

Уравнение состояния в начальный момент для соединённых колб, где \(\nu\) — суммарное количество вещества: \[\nu = \frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{P_0 (V_1 + V_2)}{R T_0}.\] После нагрева меньшей колбы количество вещества остаётся прежним: \[\nu = \frac{P_0 (V_1 + V_2)}{R T_0} = \frac{P_1}{R}\left(\frac{V_1}{T_1} + \frac{V_2}{T_0}\right) \quad\Rightarrow\quad P_1 = \frac{P_0 T_1 (V_1 + V_2)}{V_1 T_0 + V_2 T_1} \approx 95~\text{кПа}.\]

Выберите направления токов в трёх ветвях, запишите первое правило Кирхгофа для узла и второе для двух контуров.

\(i_1 = 1{,}24\) А.

Введём обозначения токов, как показано на рисунке. Первый закон Кирхгофа: \(i_2 = i_1 + i_3\). Второй закон Кирхгофа для первого контура: \(9 = 6 i_1 - 4 i_3\). Для второго контура: \(6 = 9 i_2 + 4 i_3\).

Решая систему, находим \(i_3 \approx -0{,}395\) А, и из уравнения для первого контура \(i_1 = 1{,}24\) А.

Запишите энергию взаимодействия трёх пар зарядов и приравняйте её к нулю. Удобно ввести отношение искомых расстояний как новую переменную.

\(\dfrac{1}{t} = \dfrac{2}{\sqrt{5} - 1} \approx 1{,}6\).

Пусть протон находится в точке \(x_1 = 0\), электроны — в точках \(x_2 = 1\) и \(x_3 = a\) (расстояние между центральным электроном и правым электроном равно \(t = a - 1\)). Полная энергия системы \[\frac{k q_1 q_3}{a} + \frac{k q_2 q_3}{a - 1} + \frac{k q_1 q_2}{1} = 0,\] где \(q_1 = +e\), \(q_2 = q_3 = -e\). Отсюда \[\frac{1}{t} = \frac{1}{t+1} + 1 \quad\Rightarrow\quad t^2 + t - 1 = 0 .\] Положительный корень \(t = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\), и искомое отношение \[\frac{1}{t} = \frac{2}{\sqrt{5} - 1} \approx 1{,}6 .\]

Из симметрии достаточно рассмотреть один шарик. Заметьте, что сохранение модуля деформации возможно только при смене знака силы пружины, то есть при смене растяжения на сжатие.

\(\dfrac{|Q|}{|q|} \approx 1{,}6\).

Пусть \(c\) — константа в законе Кулона (чтобы не путать с жёсткостью пружины \(k\)). Второй закон Ньютона для проекции сил на горизонтальную ось, действующих на левый нижний шарик, из симметрии задаёт условие равновесия всех шариков: \[k\Delta l = c\frac{q^2}{a^2} + c\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{4 + \sqrt{2}}{4}\left(c\frac{q^2}{a^2}\right).\] Абсолютное удлинение пружины могло остаться прежним только если заряд \(Q\) имеет знак, противоположный \(q\), и растяжение пружин перешло в сжатие. Для новой системы (абсолютные значения зарядов \(Q\) и \(q\)): \[k\Delta l + \frac{4 + \sqrt{2}}{4}\left(c\frac{q^2}{(a - 2\Delta l)^2}\right) = c\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{qQ}{\left(0{,}5\sqrt{2}(a - 2\Delta l)\right)^2}.\] Подставляя \(k\Delta l\) из первого уравнения и учитывая \(\Delta l = \alpha a\), получаем \[c\frac{q^2}{a^2}\left(\frac{4 + \sqrt{2}}{4} + \frac{4 + \sqrt{2}}{4}\,\frac{1}{(1 - 2\alpha)^2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{(1 - 2\alpha)^2}\, c\frac{qQ}{a^2}.\] Искомое отношение: \[\frac{Q}{q} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{(4 + \sqrt{2})\left(1 + (1 - 2\alpha)^2\right)}{4} \approx 1{,}6 .\]