зад 1 Платина и калий в ртути
Платина (Pt) и калий (K) имеют плотности \(21{,}5\) г/см\(^3\) и \(0{,}89\) г/см\(^3\) соответственно. Какой объём \(V_{\text{Pt}}\) платины нужно присоединить к \(V_K = 10{,}0\) см\(^3\) калия, чтобы полученное объединение могло полностью погрузиться в ртуть (Hg) с плотностью \(13{,}6\) г/см\(^3\)? Игнорируйте любые химические реакции. Ответ выразите в кубических сантиметрах с точностью до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните средние плотности объединения платины и калия с плотностью ртути: при полном погружении сила Архимеда уравновешивает вес.
▶ОтветСкрыть
\(16\) см\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Баланс сил, действующих на объединение платины и калия: \[\rho_{Hg} (V_{\text{Pt}} + V_K) g = \rho_{\text{Pt}} V_{\text{Pt}} g + \rho_K V_K g .\] Отсюда \[V_{\text{Pt}} = \frac{\rho_{Hg} - \rho_K}{\rho_{\text{Pt}} - \rho_{Hg}} \cdot V_K = 16~\text{см}^3 .\]
зад 2 Вкрапления углерода в сплаве
Сплав на основе железа содержит гранулярные вкрапления углерода. Плотность сплава без вкраплений составляет \(\rho_c = 7000\) кг/м\(^3\). Плотность сплава с вкраплениями составляет \(\rho_к = 6800\) кг/м\(^3\). Плотность углерода в области вкраплений составляет \(\rho_у = 2000\) кг/м\(^3\). Определите долю объёма, которую занимают вкрапления в сплаве. Ответ дайте в процентах и округлите до целых.
▶ОтветСкрыть
\(4\,\%\).
▶РешениеСкрыть
Средняя плотность сплава с вкраплениями \[\rho_к = \frac{\rho_c V_c + \rho_у V_у}{V}, \qquad \frac{V_c}{V} + \frac{V_у}{V} = 1 .\] Отсюда \(\rho_к = \rho_c + (\rho_у - \rho_c)\dfrac{V_у}{V}\), и \[\frac{V_у}{V} = \frac{\rho_c - \rho_к}{\rho_c - \rho_у} = \frac{7000 - 6800}{7000 - 2000} = 0{,}04 .\]
зад 3 Муравей на линейке
Муравей Михиал двигается по линейке, на которой отмечено \(n = 100\) равных интервалов. На каждом интервале скорость движения муравья постоянна, а при перемещении на новый интервал скорость муравья возрастает в \(\alpha\) раз, где \(\alpha = 1{,}01\). Найдите среднюю скорость муравья, если скорость его движения на последнем делении есть \(v = 1\) см/с. Ответ выразите в м/с, округлите до тысячных.
▶ПодсказкаСкрыть
Средняя скорость равна полному пути, делённому на полное время. Время на каждом интервале обратно пропорционально скорости на нём, а скорости образуют геометрическую прогрессию.
▶ОтветСкрыть
\(0{,}006\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Средняя скорость \(v_{\text{ср}} = S / T\). Длину интервала обозначим \(\Delta\), тогда \(S = n\Delta\). Скорость на первом интервале \(v_0\); на \(k\)-м интервале она равна \(v_0 \alpha^{k-1}\), и время на нём \(\Delta / (v_0 \alpha^{k-1})\). Общее время \[T = \frac{\Delta}{v_0}\left(1 + \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^2} + \dots + \frac{1}{\alpha^{99}}\right) = \frac{\Delta}{v_0}\cdot\frac{1 - (1/\alpha)^{100}}{1 - 1/\alpha} .\] Тогда \[v_{\text{ср}} = \frac{n\Delta}{T} = \frac{n v_0 (1 - 1/\alpha)}{1 - (1/\alpha)^{100}} .\] Скорость на последнем интервале \(v_0 \alpha^{99} = 0{,}01\) м/с, т.е. \(v_0 = \dfrac{0{,}01}{\alpha^{99}}\). Подставляя числа, получаем \(v_{\text{ср}} \approx 0{,}006\) м/с.
зад 4 Кубики из сурьмы на пружине в воде
К потолку подвешена пружина с жёсткостью \(k = 160\) Н/м, к которой, в свою очередь, подвешено несколько одинаковых кубиков из сурьмы с плотностью \(\rho_K = 6{,}7\) г/см\(^3\) и длиной ребра \(2\) см. Данную конструкцию погружают в сосуд с водой таким образом, что часть кубиков целиком находится в воде с плотностью \(\rho_B = 1{,}0\) г/см\(^3\), а часть целиком находится в воздухе. Затем количество кубиков увеличивают на один и вновь погружают в воду. Вследствие этого один из кубиков оказывается частично погружённым в воду, а растяжение пружины увеличивается на \(\Delta x = 0{,}3\) см. Определите, на сколько сантиметров этот кубик погрузился в воду. Ответ округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите баланс сил до и после добавления кубика и вычтите одно уравнение из другого.
▶ОтветСкрыть
\(l \approx 1{,}4\) см.
▶РешениеСкрыть
Пусть всего имеется \(N\) кубиков, \(M\) из них изначально погружены в воду, \(a\) — ребро кубика, \(l\) — искомая глубина погружения нового кубика, \(x\) — удлинение пружины до добавления кубика. Тогда \[k x = N\rho_K a^3 g - M\rho_B a^3 g ,\] \[k (x + \Delta x) = (N + 1)\rho_K a^3 g - \left(M\rho_B a^3 g + \rho_B a^2 l g\right).\] Вычитая первое уравнение из второго: \[k\Delta x = \rho_K a^3 g - \rho_B a^2 l g \quad\Rightarrow\quad l = \frac{\rho_K}{\rho_B} a - \frac{k\Delta x}{\rho_B a^2 g} \approx 1{,}4~\text{см}.\]
зад 5 Красная Шапочка и Волк
Красная Шапочка выезжает на велосипеде из своего дома к избушке бабушки, расположенной на расстоянии \(L\) от дома Шапочки. В то же самое время Волк начинает движение к бабушке из своего логова, удалённого от избушки также на расстояние \(L\). Красная Шапочка знает о маршруте Волка: она рассчитала, что, если будет двигаться со своей начальной скоростью, Волк доберётся до избушки на 3 минуты раньше. Если же Красная Шапочка будет двигаться с такой скоростью, что каждый километр она будет преодолевать на 1 минуту быстрее, то в итоге она обгонит волка ровно на 1 минуту. Найдите скорость Волка \(v_2\), если скорость велосипеда Красной Шапочки равна \(v_1 = 12\) км/ч. Ответ выразите в км/ч и округлите до десятых.
▶ОтветСкрыть
\(v_2 \approx 14{,}1\) км/ч.
▶РешениеСкрыть
Со скоростью \(v_1 = 12\) км/ч километр Красная Шапочка проезжает за 5 минут; чтобы сократить это время до 4 минут, её скорость должна быть увеличена до \(v_1' = 15\) км/ч. Система уравнений для движения Красной Шапочки и Волка: \[\frac{L}{v_1} = \frac{L}{v_2} + 3, \qquad \frac{L}{v_1'} = \frac{L}{v_2} - 1 ,\] откуда \[v_2 = \frac{4 v_1' v_1}{v_1' + 3 v_1} \approx 14{,}1~\text{км/ч}.\]
Источник: Олимпиада «Курчатов» по физике, 2021/22, отборочный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.