Курчатов, 2021/22, отборочный этап, 8 класс

Тепло, которое уходит из дома за время \(\Delta t\), компенсируется остыванием воды, прошедшей по трубе за то же время. Выразите объём прошедшей воды через скорость \(v\) и площадь сечения трубы.

\(v \approx 0{,}15\ \text{м/с}\).

В течение некоторого времени \(\Delta t\) в окружающую среду уходит тепло \(Q_1 = N\Delta t\), и в течение этого времени отопительная система должна компенсировать эти потери. Площадь сечения трубы составляет \(S = \dfrac{\pi D^2}{4}\), и если \(v\) — скорость потока воды, то объём воды, проходящий через трубу за время \(\Delta t\), равен \[V = Sv\Delta t = \frac{\pi D^2 v\Delta t}{4}.\] Тогда отопительная система способна поддержать тепло \[Q_2 = cm(t_1 - t_0) = c\rho\,\frac{\pi D^2 v\Delta t}{4}\,(t_1 - t_0) = Q_1.\] Отсюда можно получить скорость потока воды в трубах отопительной системы: \[v = \frac{4N}{\pi D^2 c\rho(t_1 - t_0)} \approx 0{,}15~\text{м/с}.\]

Запишите условие равновесия всей конструкции до и после добавления кубика и вычтите одно уравнение из другого.

\(l \approx 1{,}4\) см.

Опишем баланс сил в системе до и после добавления кубика. Пусть всего имеется \(N\) кубиков, \(M\) из которых изначально погружены в воду. За \(l\) обозначим искомую величину погружения, за \(x\) — удлинение пружины при первоначальном погружении кубиков в воду. Тогда до добавления кубика верно: \[kx = N\rho_K a^3 g - M\rho_B a^3 g.\] После добавления кубика будет верно: \[k(x + \Delta x) = (N+1)\rho_K a^3 g - \bigl(M\rho_B a^3 g + \rho_B a^2 l g\bigr).\] Вычитая первое уравнение из второго, выразим ответ: \[k\Delta x = \rho_K a^3 g - \rho_B a^2 l g \;\Rightarrow\; l = \frac{\rho_K a^3 g - k\Delta x}{\rho_B a^2 g} = \frac{\rho_K}{\rho_B}\,a - \frac{k\Delta x}{\rho_B a^2 g} \approx 1{,}4~\text{см}.\]

Выделите участки цепи, соединённые параллельно, и заменяйте их эквивалентными сопротивлениями. Учтите симметрию относительно \(A\).

\(R = 2{,}5\) Ом.

Изобразим эквивалентную схему, после чего посчитаем сопротивление отдельных участков цепи.

Обозначим сопротивление участка цепи между точками \(O\) и \(B\) (или \(C\)) как \(R_1\), сопротивление участка цепи между точками \(M\) и \(B\) (или \(C\)) как \(R_2\). Вычислим эти величины: \[\frac{1}{R_1} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r + r/2} + \frac{1}{r} \;\Rightarrow\; R_1 = \frac{3}{8}\,r.\] Аналогично, \[R_2 = \frac{r}{4}.\] Тогда общее сопротивление цепи: \[R = R_1 + R_2 = \frac{5}{8}\,r = 2{,}5~\text{Ом}.\]

Запишите плотность сплава как отношение суммарной массы к суммарному объёму и воспользуйтесь тем, что объёмы сплава без вкраплений и вкраплений в сумме дают весь объём.

\(4\,\%\).

По определению плотности \[\rho_к = \frac{\rho_c V_c + \rho_у V_у}{V}.\] Пользуясь тем, что \[\frac{V_c}{V} + \frac{V_у}{V} = 1,\] получаем: \[\rho_к = \rho_c + (\rho_у - \rho_c)\frac{V_у}{V}, \qquad \frac{V_у}{V} = \frac{\rho_c - \rho_к}{\rho_c - \rho_у} = \frac{7000 - 6800}{7000 - 2000} = 0{,}04.\]

Сначала найдите скорость Шапочки, при которой километр она проезжает на минуту быстрее. Затем запишите время движения Шапочки и Волка для обеих ситуаций.

\(v_2 \approx 14{,}1\) км/ч.

Сначала рассчитаем предполагаемую скорость Красной Шапочки для обгона Волка. Поскольку со скоростью \(v_1 = 12\) км/ч расстояние в 1 километр Красная Шапочка преодолеет за 5 минут, для сокращения этого времени до 4 минут её скорость должна быть увеличена до \(v_1' = 15\) км/ч. Тогда можно записать систему уравнений для движения Красной Шапочки и Волка: \[\frac{L}{v_1} = \frac{L}{v_2} + 3, \qquad \frac{L}{v_1'} = \frac{L}{v_2} - 1,\] откуда можно выразить искомую скорость \(v_2\): \[v_2 = \frac{4v_1' \cdot v_1}{v_1' + 3v_1} \approx 14{,}1~\text{км/ч}.\]