Курчатов, 2021/22, отборочный этап, 9 класс

Запишите условия равновесия сил в проекциях и правило моментов относительно нижнего торца лестницы. Граница скольжения достигается при равенстве силы трения и реакции стены.

\(9{,}6\,\%\).

Обозначим расстояние, пройденное студентом, за \(x\). Запишем второй закон Ньютона в проекции на оси, обозначенные на рисунке: \[N = 2mg + mg = 3mg, \qquad R = F_{\text{тр}} = \mu N.\]

Запишем равенство моментов сил относительно точки \(A\): \[LR\cos 60^\circ = mg\,\frac{L}{2}\cos 30^\circ + 2mgx\cos 30^\circ.\] Из полученного равенства выразим величину реакции опоры стены \(R\): \[R = 2mg\sqrt{3}\left(\frac{x}{L} + \frac{1}{4}\right).\] Необходимое условие проскальзывания лестницы со студентом: \(F_{\text{тр}} < R\). Из условия равенства этих сил найдем граничное значение отношения пути, пройденного студентом, к длине лестницы: \[2mg\sqrt{3}\left(\frac{x}{L} + \frac{1}{4}\right) = \mu N = 3\mu mg \;\Rightarrow\; \frac{x}{L} = 0{,}2\sqrt{3} - \frac{1}{4} \approx 9{,}6\%.\]

Работа силы трения на всём пути равна изменению потенциальной энергии лыжника. Работу силы трения на малом участке выразите через горизонтальное смещение.

\(h = 4{,}2\) м.

Рассмотрим такое малое горизонтальное смещение лыжника во время перемещения по холму \(\Delta s\), что оно соответствует прямолинейному участку пути лыжника непосредственно по холму \(\Delta L\). Для соответствующего малого перемещения лыжника действующая на данном малом промежутке сила трения будет равна: \[\Delta F_{\text{тр}} = \mu mg\,\frac{\Delta s}{\Delta L}.\] Тогда работа силы трения на участке \(\Delta L\) будет равна: \[\Delta A_{\text{тр}} = \Delta F_{\text{тр}} \cdot \Delta L = \mu mg\,\Delta s.\] Суммируя по всем таким участкам для всего трека, получим работу силы трения за всё перемещение лыжника, которое, согласно закону сохранения энергии, пропорционально изменению абсолютной высоты лыжника относительно поверхности Земли: \[A_{\text{тр}} = \mu mg s = mgh \;\Rightarrow\; h = \mu s = 4{,}2~\text{м}.\]

Вес груза в самолёте отличается от силы тяжести на величину центростремительного ускорения. Оно зависит от того, складывается ли скорость самолёта со скоростью вращения Земли или вычитается из неё.

\(\Delta P \approx 0{,}07\) Н.

На самолёт во время полёта действуют две силы: постоянная на протяжении пути сила тяжести и сила центростремительного ускорения, зависящая от скорости самолёта относительно вращающейся планеты. Отсюда и возникает разность в фиксируемых весах: \[P_1 = mg - \frac{m(V - v)^2}{R}, \qquad P_2 = mg - \frac{m(V + v)^2}{R},\] где \(V = \dfrac{2\pi R}{T}\), \(T\) — период обращения Земли вокруг своей оси, \(R\) — радиус Земли. Тогда искомая разность равна: \[\Delta P = P_2 - P_1 = \frac{m}{R}\bigl((V+v)^2 - (V-v)^2\bigr) = \frac{4mVv}{R} = \frac{8\pi mRv}{RT} = \frac{8\pi mv}{T} \approx 0{,}07~\text{Н}.\]

Тепло, которое уходит из дома за время \(\Delta t\), компенсируется остыванием воды, прошедшей по трубе за то же время. Выразите объём прошедшей воды через скорость \(v\) и площадь сечения трубы.

\(v \approx 0{,}15\) м/с.

В течение некоторого времени \(\Delta t\) в окружающую среду уходит тепло \(Q_1 = N\Delta t\), и в течение этого времени отопительная система должна компенсировать эти потери. Площадь сечения трубы составляет \(S = \dfrac{\pi D^2}{4}\), и если \(v\) — скорость потока воды, то объём воды, проходящий через трубу за время \(\Delta t\), равен \[V = Sv\Delta t = \frac{\pi D^2 v\Delta t}{4}.\] Тогда отопительная система способна поддержать тепло \[Q_2 = cm(t_1 - t_0) = c\rho\,\frac{\pi D^2 v\Delta t}{4}\,(t_1 - t_0) = Q_1.\] Отсюда можно получить скорость потока воды в трубах отопительной системы: \[v = \frac{4N}{\pi D^2 c\rho(t_1 - t_0)} \approx 0{,}15~\text{м/с}.\]

Выделите участки цепи, соединённые параллельно, и заменяйте их эквивалентными сопротивлениями. Учтите симметрию относительно \(A\).

\(R = 2{,}5\) Ом.

Изобразим эквивалентную схему, после чего посчитаем сопротивление отдельных участков цепи.

Обозначим сопротивление участка цепи между точками \(O\) и \(B\) (или \(C\)) как \(R_1\), сопротивление участка цепи между точками \(M\) и \(B\) (или \(C\)) как \(R_2\). Вычислим эти величины: \[\frac{1}{R_1} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r + r/2} + \frac{1}{r} \;\Rightarrow\; R_1 = \frac{3}{8}\,r.\] Аналогично, \[R_2 = \frac{r}{4}.\] Тогда общее сопротивление цепи: \[R = R_1 + R_2 = \frac{5}{8}\,r = 2{,}5~\text{Ом}.\]

Найдите работу, которую совершает подошва за один шаг, и энергию, которую нужно запасти в аккумуляторе. Их отношение даст число шагов, а число шагов умножьте на длину одного шага \(d/2\).

\(S \approx 17{,}3\) км.

Найдем энергию, полученную за один шаг, учитывая, что на подошву действует сила тяжести \(F = mg\). При проседании подошвы на величину \(h\) совершается работа \(A_1 = mgh\), от которой поступает электрическая энергия \(W_1 = \eta A_1\) для заряда аккумулятора. Энергия, необходимая для полной зарядки аккумулятора, равна произведению средней мощности аккумулятора \(P = UI\) и времени \(t\) (с): \(W_2 = UIt\). Тогда необходимое количество шагов для его сбора составляет \[n = \frac{W_2}{W_1}.\] Тогда необходимый для полной зарядки аккумулятора путь равен \[S = n\,\frac{d}{2} \approx 17{,}3~\text{км}.\]