Курчатов, 2022/23, отборочный этап, 10 класс

Максимальная длина пружины достигается, когда скорости грузов совпадают. Тогда импульс системы и энергия дают два уравнения для неизвестной скорости и \(x\).

\(x \approx 2{,}2\) см.

Обозначим скорости грузов \(\vec V_1\) и \(\vec V_2\), относительную скорость \(\vec V_{\text{отн}} = \vec V_1 - \vec V_2\). Она направлена вдоль стержней. Максимальная и минимальная длины пружины реализуются, когда проекция относительной скорости на направление пружины обращается в нуль. При максимальной длине относительная скорость равна нулю, и скорости грузов совпадают: \(\vec V_1 = \vec V_2 = \vec V\).

Так как грузы движутся без трения, импульс сохраняется: \[m_1 V_0 - m_2 V_0 = m_1 V + m_2 V \quad\Rightarrow\quad V = \frac{(m_1 - m_2) V_0}{m_1 + m_2}.\] Закон сохранения энергии: \[(m_1 + m_2) V_0^2 + k x_0^2 = (m_1 + m_2) V^2 + k x^2.\] Подставляя \(V\), получаем \[k x^2 = k x_0^2 + \frac{4 m_1 m_2 V_0^2}{m_1 + m_2} \quad\Rightarrow\quad x = \sqrt{x_0^2 + \frac{4 m_1 m_2 V_0^2}{(m_1 + m_2) k}} \approx 2{,}2\text{ см}.\]

Если бруски движутся вместе, их ускорения равны. Запишите второй закон Ньютона для каждого бруска и приравняйте ускорения.

\(F_{\text{тр}} = 3{,}04\) Н.

Второй закон Ньютона для верхнего и нижнего брусков в проекции на направление силы \(\vec F\): \[m a_1 = F - F_{\text{тр}}, \qquad M a_2 = F_{\text{тр}} - \mu_1 (M + m) g,\] где \(a_1\) — ускорение верхнего бруска, \(a_2\) — ускорение нижнего. Условие сцепленного движения: \(a_1 = a_2\). Сила трения при этом принимает значения на отрезке \([0, \mu_2 m g]\). Из равенства ускорений \[\frac{F - F_{\text{тр}}}{m} = \frac{F_{\text{тр}} - \mu_1 (M + m) g}{M}\] находим \[F_{\text{тр}} = \frac{M}{M + m} F + \mu_1 m g = 3{,}04\text{ Н}.\]

Дальность полёта стрелы, выпущенной с заданной скоростью под углом к горизонту, пропорциональна \(\sin 2\alpha\). Равенство дальностей даёт связь между углами.

\(\alpha = 25^\circ\), \(\beta = 65^\circ\).

Покажем, что силу натяжения лука знать не нужно: достаточно значения угла между стрелами. Пусть первая стрела вылетает со скоростью \(v\) и втыкается в землю под углом \(\alpha\). Время полёта \(t = \dfrac{2 v \sin\alpha}{g}\), дальность \(s_1 = v\cos\alpha\, t = \dfrac{2 v^2}{g}\sin\alpha\cos\alpha\). Для второй стрелы, с углом \(\beta\), аналогично \(s_2 = \dfrac{2 v^2}{g}\sin\beta\cos\beta\), так как модули начальных скоростей одинаковы.

Дальности равны, \(s_1 = s_2\), поэтому \(\sin 2\alpha = \sin 2\beta\). Решение \(\alpha = \beta\) не интересует нас, поэтому по формулам приведения \(\cos(2\alpha - 90^\circ) = \cos(90^\circ - 2\beta)\), откуда \(\alpha = 90^\circ - \beta\). Разность углов \(\Delta = \beta - \alpha = 40^\circ\). Решая систему, получаем \(\alpha = 25^\circ\), \(\beta = 65^\circ\).

КПД равен отношению работы за цикл к полученному теплу. Работа за цикл равна площади внутри цикла, а тепло, отданное газом, складывается с участков 4–5, 5–6, 6–7, 7–1.

\(\eta \approx 0{,}12\).

КПД цикла равен \[\eta = \frac{A}{Q} = \frac{A}{|Q_x| + A},\] где \(Q\) — тепло, полученное газом за цикл, \(Q_x\) — тепло, отданное газом за цикл, \(A\) — работа газа за цикл. Работа за цикл численно равна площади внутри цикла: \[A = 3 P_0 V_0 + \frac{1}{4}\pi P_0 V_0 = P_0 V_0\left(\frac{\pi}{4} + 3\right).\] Газ отдаёт тепло на участках 4–5, 5–6, 6–7 и 7–1: \[Q_{4-5} = \tfrac{3}{2}(P_4 V_4 - P_5 V_5) = \tfrac{3}{2}(16 P_0 V_0 - 8 P_0 V_0) = 12 P_0 V_0,\] \[Q_{5-6} = \tfrac{3}{2}\Delta U_{5-6} + A_{5-6} = \tfrac{5}{2} A_{5-6} = \tfrac{5}{2}\cdot 2 P_0 V_0 = 5 P_0 V_0,\] \[Q_{6-7} = \tfrac{3}{2}(P_6 V_6 - P_7 V_7) = \tfrac{3}{2}(6 P_0 V_0 - 3 P_0 V_0) = 4{,}5 P_0 V_0,\] \[Q_{7-1} = \tfrac{3}{2}\Delta U_{7-1} + A_{7-1} = \tfrac{5}{2} A_{7-1} = \tfrac{5}{2}\cdot 2 P_0 V_0 = 5 P_0 V_0.\] Следовательно, \(Q_x = P_0 V_0 (12 + 4{,}5 + 5 + 5) = 26{,}5\, P_0 V_0\). КПД цикла: \[\eta = \frac{P_0 V_0 (\frac{\pi}{4} + 3)}{26{,}5\, P_0 V_0 + P_0 V_0 (\frac{\pi}{4} + 3)} \approx 0{,}12.\]

Треугольники звезды состоят из резистора \(R\) и резистора \(2R\) в параллели. Удобно заменять треугольники звездой и упрощать схему по правилам последовательного и параллельного соединения.

\(R_0 \approx 0{,}43\) Ом.

Перенумеруем узлы звезды числами от 1 до 10. Треугольники 1–2–3, 3–4–5, 5–6–7 и 7–8–9 состоят из сопротивлений \(R\) и \(2R\), соединённых параллельно; общее сопротивление каждого равно \(\dfrac{2R}{3}\). Они соединены последовательно, поэтому заменяются одним сопротивлением \(\dfrac{8R}{3}\).

Треугольник \(A\)–1–10 заменим звездой с центром в точке \(O_1\). Все стороны треугольника одинаковы, поэтому и лучи звезды равны \(R' = \dfrac{R}{3}\) (из условия равенства сопротивлений при подключении к точкам \(A\) и 1). Треугольник \(B\)–10–9 заменим такой же звездой с центром в точке \(O_2\).

Сопротивления участков \(O_1\)–\(O_2\) и \(O_1\)–1–9–\(O_2\) равны соответственно \(\dfrac{2R}{3}\) и \(\dfrac{10 R}{3}\). Эти участки включены параллельно, их общее сопротивление \(\dfrac{(2R/3)(10R/3)}{(2R/3) + (10R/3)} = \dfrac{5R}{9}\). Добавляя два сопротивления \(\dfrac{R}{3}\) на участках \(A\)–\(O_1\) и \(B\)–\(O_2\): \[R_0 = \frac{R}{3} + \frac{5R}{9} + \frac{R}{3} = \frac{11 R}{9} = 0{,}43\text{ Ом}.\]