зад 1 Заяц и красивый камень
Каждое утро заяц отправляется из своей норы к опушке леса. Следуя кратчайшим маршрутом, он всегда проходит мимо большого красивого камня, лежащего на полпути. Но сегодня, выбравшись из норы, заяц увидел красивых бабочек и стал гоняться за ними, меняя направление движения случайным образом. Спустя некоторое время он заметил, что находится у знакомого большого красивого камня, и устремился оттуда к опушке леса по прямой. Оказалось, что на этот раз он потратил в 6 раз больше времени на дорогу от норы до опушки, чем обычно. На сколько метров его привычный кратчайший путь от норы до опушки леса меньше, чем путь, проделанный им сегодня? Известно, что расстояние от красивого камня до норы зайца составляет 50 метров, и вне зависимости от траектории величина скорости зайца остаётся постоянной.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите время обычного пути через длину кратчайшего пути до камня и скорость зайца, а путь сегодняшнего маршрута — через время, в 6 раз большее обычного.
▶ОтветСкрыть
\(x = \Delta S = 500\) м.
▶РешениеСкрыть
Пусть кратчайшее расстояние от норы до большого красивого камня равно \(S_1\), а постоянная скорость, с которой передвигается заяц, равна \(v\). Тогда время, за которое заяц обычно проходит весь маршрут, следуя кратчайшим путём, равно \[t = \frac{2S_1}{v}.\] Обозначив сегодняшний путь зайца от норы до камня как \(S_2\) и учитывая, что в этот раз он потратил в 6 раз больше времени на дорогу от норы до опушки леса, чем обычно, получим \[S_1 + S_2 = v\cdot 6t.\] Подставляя первое выражение во второе, выразим \(S_2\) через \(S_1\): \[S_2 = 11S_1.\] Учитывая, что по условию \(S_1 = 50\) м, искомая разница путей равна \[\Delta S = S_2 - S_1 = 10S_1 = 10\cdot 50 = 500~\text{м}.\]
зад 2 Плавающее тело из двенадцати блоков
Тело, состоящее из двенадцати одинаковых деревянных блоков, плавает в жидкости. Найдите плотность жидкости, если плотность дерева \(\rho = 570\) кг/м\(^3\). В теле нет пустот. Ответ выразите в кг/м\(^3\), округлив до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
Тело плавает в равновесии, поэтому сила Архимеда равна силе тяжести. Выразите объёмы погружённой части и всего тела через объём одного блока.
▶ОтветСкрыть
\(\rho_{ж} = 760\) кг/м\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Тело находится в равновесии, таким образом сила Архимеда уравновешивает силу тяжести тела: \[\rho_{ж} V g = m g,\] где \(V\) — объём погружённой части. Далее выразим объём погружённой части фигуры и всего тела через объём одного блока \(V_б\): \[\rho_{ж}\cdot 9V_б = 12V_б\rho.\] Отсюда получим искомую плотность жидкости: \[\rho_{ж} = \frac{4\cdot 570~\text{кг/м}^3}{3} = 760~\text{кг/м}^3.\]
зад 3 Встреча Саши и Вероники у стадиона
Саша выходит из института и движется по направлению к общежитию с некоторой постоянной скоростью. Одновременно с Сашей из общежития выходит Вероника и движется в институт с постоянной скоростью. Саша и Вероника встречаются возле стадиона, здороваются и идут дальше. После встречи Саша шёл до общежития 4 часа, а Вероника до института 1 час. Найдите отношение квадратов расстояний от института до стадиона и от стадиона до общежития. Ответ выразите в виде десятичной дроби и округлите до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите пути до встречи и после встречи для обоих ребят. Из равенства произведений времён (до и после встречи) найдите время до встречи, а затем отношение расстояний.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{x_1^2}{x_2^2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\).
▶РешениеСкрыть
Обозначим скорость Саши за \(v_1\), а скорость Вероники за \(v_2\), время Саши до встречи — \(t_1\), Вероники — \(t_2\). Время после встречи до достижения конечного пункта — \(t_1'\) для Саши и \(t_2'\) для Вероники. Путь от института до стадиона обозначим за \(x_1\), от стадиона до общежития — за \(x_2\).
Запишем систему уравнений для движения Саши и Вероники до встречи: \[\begin{cases} x_1 = v_1t_1, \\ x_2 = v_2t_2. \end{cases}\] Запишем систему уравнений для движения Саши и Вероники после встречи: \[\begin{cases} x_1 = v_2t_2', \\ x_2 = v_1t_1'. \end{cases}\] Подставляя \(x_1\), \(x_2\) из второй системы в первую, получим: \[\begin{cases} v_1t_1 = v_2t_2', \\ v_2t_2 = v_1t_1', \end{cases} \quad\Rightarrow\quad t_1t_2 = t_1't_2'.\] Учитывая, что \(t_1 = t_2\), \(t_1' = 4\) ч, \(t_2' = 1\) ч, получим \(t_1 = t_2 = 2\) ч.
Выражая \(v_1\) из второй системы уравнений и подставляя в первую, получим искомое отношение расстояний: \[x_1 = \frac{x_2}{t_1'}\,t_1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x_1}{x_2} = \frac{t_1}{t_1'} = \frac{1}{2} = 0{,}5.\] Отсюда \(\dfrac{x_1^2}{x_2^2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\).
зад 4 Три пловца в бассейне
Три пловца соревнуются в плавании вольным стилем в бассейне с тремя одинаковыми дорожками длиной \(l\). Все они стартуют одновременно с одного края бассейна, проплывают дорожку и возвращаются назад к стартовой точке, двигаясь при этом каждый со своей постоянной скоростью. Этот цикл повторяется всё соревнование. Выяснилось, что когда первый и второй пловец оказались одновременно в стартовой точке в некоторый момент времени \(t_1\), второй пловец возвращался на старт на \(k_1 = 1\) раз больше, чем первый. Когда второй и третий пловец оказались в точке старта в некоторый момент времени \(t_2\), оказалось, что третий пловец возвращался на старт на \(k_2 = 2\) раз больше, чем второй. Найдите отношение времени встречи второго и третьего пловца на стартовой точке \(t_2\) к времени встречи первого и второго пловца на стартовой точке \(t_1\), если известно, что разница между скоростями первого и второго пловца составила 1 км/ч, а второго и третьего — \(1{,}5\) км/ч. Ответ округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Количество возвращений к старту за время \(t\) равно \(v t/(2l)\) с округлением вниз. Для каждой пары пловцов составьте разность таких равенств для двух моментов.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{t_2}{t_1} \approx 1{,}3\).
▶РешениеСкрыть
Пусть к моменту времени \(t_1\) первый пловец возвращался к стартовой точке ровно \(k\) раз. Тогда для него верно, что \[v_1t_1 = k\cdot 2l.\] Для второго пловца при встрече с первым верно, что \[v_2t_1 = 2(k + k_1)l.\] Вычитая первое уравнение из второго, находим, что \[(v_2 - v_1)t_1 = 2lk_1 = 2l.\] Для встречи другой пары пловцов имеем для второго пловца: \(v_2t_2 = k'\cdot 2l\), а для третьего: \(v_3t_2 = 2(k' + k_2)\cdot l\). Вычитая первое уравнение из второго, находим, что \[(v_3 - v_2)t_2 = 2lk_2 = 4l.\] Теперь можно найти искомое отношение \(t_2\) к \(t_1\): \[\frac{t_2}{t_1} = \frac{2(v_2 - v_1)}{v_3 - v_2} \approx 1{,}3.\]
зад 5 Два бруска в двух жидкостях
Два абсолютно одинаковых кубических бруска, соединённых очень тонким невесомым стержнем, плавают в сосуде, в котором находятся две несмешивающиеся жидкости с разными плотностями \(\rho_1 < \rho_2\), как показано на рисунке 1. Сосуд встряхнули, так что бруски изменили положение и установились в равновесии, как показано на рисунке 2. После установления равновесия некоторая доля объёма каждого из брусков оказалась погружена в жидкость с плотностью \(\rho_2\). Найдите значение этой доли объёма брусков. Ответ выразите в виде десятичной дроби и округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
В каждом положении сумма сил, действующих на систему из двух брусков и стержня, равна нулю. Приравняйте выражения для обоих положений.
▶ОтветСкрыть
\(\alpha = 0{,}5\).
▶РешениеСкрыть
В начальном положении сумма сил, действующих на систему, равна нулю: \[V\rho_1 g + V\rho_2 g = 2mg,\] где \(V\) — объём бруска. В конечном положении сумма сил также равна нулю: \[2\alpha V\rho_2 g + 2(1 - \alpha)V\rho_1 g = 2mg,\] где \(\alpha\) — искомая доля объёма. Из этих уравнений имеем: \[2\alpha\rho_2 + 2(1 - \alpha)\rho_1 = \rho_1 + \rho_2 \quad\Rightarrow\quad (1 - 2\alpha)\rho_1 = \rho_2(1 - 2\alpha).\] Ситуация, при которой плотности жидкостей различны, возможна только при условии \(1 - 2\alpha = 0\), откуда \(\alpha = 0{,}5\).
Источник: Олимпиада «Курчатов» по физике, 2022/23, отборочный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.