Курчатов, 2022/23, отборочный этап, 8 класс

Количество возвращений к старту за время \(t\) равно \(v t/(2l)\) с округлением вниз. Для каждой пары пловцов составьте разность таких равенств для двух моментов.

\(\dfrac{t_2}{t_1} \approx 1{,}3\).

Пусть к моменту времени \(t_1\) первый пловец возвращался к стартовой точке ровно \(k\) раз. Тогда для него верно, что \[v_1t_1 = k\cdot 2l.\] Для второго пловца при встрече с первым верно, что \[v_2t_1 = 2(k + k_1)l.\] Вычитая первое уравнение из второго, находим, что \[(v_2 - v_1)t_1 = 2lk_1 = 2l.\] Для встречи другой пары пловцов имеем для второго пловца: \(v_2t_2 = k'\cdot 2l\), а для третьего: \(v_3t_2 = 2(k' + k_2)\cdot l\). Вычитая первое уравнение из второго, находим, что \[(v_3 - v_2)t_2 = 2lk_2 = 4l.\] Теперь можно найти искомое отношение \(t_2\) к \(t_1\): \[\frac{t_2}{t_1} = \frac{2(v_2 - v_1)}{v_3 - v_2} \approx 1{,}3.\]

Сила натяжения верёвки на каждом блоке вдвое больше силы, с которой за неё тянут с другой стороны. Учтите, что подвижный блок находится в равновесии.

\(M = \dfrac{6F_5}{g} - m = 40\) кг.

Сила \(F_5\), с которой тянет верёвку человек, равна силе натяжения верёвки, перекинутой с другой стороны того же блока \(F_4\): \(F_5 = F_4\). Сила натяжения верёвки \(F_1\), на которой весит этот блок, равна удвоенной силе, которую прикладывает человек. Таким же образом: \(F_2 = F_1 = 2F_4\).

В то же время, вследствие равновесия подвижного блока, силы натяжения верёвок 2 и 6 связаны соотношением \(F_6 = 2F_2\). Вес платформы и человека уравновешивается: \[F_4 + F_5 + F_6 = 6F_5 = (m + M)g,\] где \(M\) — масса платформы, \(m\) — масса человека. Отсюда масса платформы \[M = \frac{6F_5}{g} - m = 40~\text{кг}.\]

Перерисуйте схему, обозначив лампочки как резисторы \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\). Для одинаковых параллельных ветвей токи делятся поровну; это даёт соотношение между \(R_2\) и \(R_3\).

\(\dfrac{U_1}{U_3} = 2\).

Перерисуем схему, как показано на рисунке ниже, обозначая лампочки как резисторы \(R_1\), \(R_2\) и \(R_3\).

Нижний и верхний участки цепи соединены последовательно. Напишем для них равенство напряжений: \[3I_1R_1 = I_2\left(3R_2 + \frac{3}{2}R_3\right), \qquad I_1R_1 = I_2\left(R_2 + \frac{1}{2}R_3\right).\] Из условия равенства напряжений на лампочках: \[I_2R_2 = I_3R_3.\] В верхней части цепи у параллельно подключённых резисторов одинаковое сопротивление, соответственно, через них протекает одинаковый ток, суммарно равный \(I_2\). Отсюда получаем соотношение для резисторов \(R_3\) и \(R_2\): \[R_3 = 2R_2.\] Подставляя сопротивление \(R_3\) в первое уравнение, получаем связь напряжений на лампочках 1 и 2: \(I_1R_1 = 2I_2R_2\). Отсюда отношение напряжений на лампочках 1 и 3: \[\frac{U_1}{U_3} = \frac{I_1R_1}{I_3R_3} = \frac{2I_2R_2}{I_3R_3} = 2.\]

Используйте связь времён до и после встречи, полученную из равенства путей, и то, что полное время пути равно расстоянию между пунктами, делённому на скорость.

\(\dfrac{T_1}{T_2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7\).

Обозначим скорость Саши за \(v_1\), а скорость Вероники за \(v_2\). Время, затраченное на путь до встречи возле стадиона, для Саши — \(t_1\), для Вероники — \(t_2\). Время после встречи до достижения конечного пункта — \(t_1'\) для Саши и \(t_2' = 2t_1'\) для Вероники. Путь от института до стадиона обозначим за \(x_1\), от стадиона до общежития — за \(x_2\), тогда \(X = x_1 + x_2\) — расстояние от общежития до института. Общее время Саши до возвращения в исходный пункт — \(T_1\), Вероники — \(T_2\).

Запишем систему уравнений для движения Саши и Вероники до встречи: \[\begin{cases} x_1 = v_1t_1, \\ x_2 = v_2t_2. \end{cases}\] Запишем систему уравнений для движения Саши и Вероники после встречи: \[\begin{cases} x_1 = v_2t_2', \\ x_2 = v_1t_1'. \end{cases}\] Подставляя \(x_1\), \(x_2\) из второй системы в первую, получим: \[\begin{cases} v_1t_1 = v_2t_2', \\ v_2t_2 = v_1t_1', \end{cases} \quad\Rightarrow\quad t_1t_2 = t_1't_2'.\] Поскольку \(t_2' = 2t_1'\) и \(t_1 = t_2\), получим \(t_1^2 = 2t_1'^2\), откуда \[\frac{t_1}{t_1'} = \sqrt{2}.\] Выражая \(v_1\) из второй системы уравнений и подставляя в первую, получим: \[x_1 = \frac{x_2}{t_1'}\,t_1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x_1}{x_2} = \frac{t_1}{t_1'} = \sqrt{2}.\] Выразим отношение \(x_1\) к \(x_2\) иначе из первой системы уравнений: \[\frac{x_1}{x_2} = \frac{v_1}{v_2}.\] Поскольку \(2X = T_2v_2\) и \(2X = T_1v_1\), получим: \[\frac{T_1}{T_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{x_2}{x_1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7.\]

В каждом положении сумма сил, действующих на систему из двух брусков и стержня, равна нулю. Приравняйте выражения для обоих положений.

\(\alpha = 0{,}5\).

В начальном положении сумма сил, действующих на систему, равна нулю: \[V\rho_1 g + V\rho_2 g = 2mg,\] где \(V\) — объём бруска. В конечном положении сумма сил также равна нулю: \[2\alpha V\rho_2 g + 2(1 - \alpha)V\rho_1 g = 2mg,\] где \(\alpha\) — искомая доля объёма. Из этих уравнений имеем: \[2\alpha\rho_2 + 2(1 - \alpha)\rho_1 = \rho_1 + \rho_2 \quad\Rightarrow\quad (1 - 2\alpha)\rho_1 = \rho_2(1 - 2\alpha).\] Ситуация, при которой плотности жидкостей различны, возможна только при условии \(1 - 2\alpha = 0\), откуда \(\alpha = 0{,}5\).