Курчатов, 2022/23, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Какие величины сохраняются при движении грузов без трения? В какой момент пружина получает наибольшую длину и что можно сказать о скоростях грузов в этот момент?

Ответ

\(x = \sqrt{x_0^2 + \dfrac{4m_1 m_2 V_0^2}{(m_1+m_2)k}} \approx 2{,}2\) см.

Решение

Относительная скорость грузов \(\vec V_{\text{отн}} = \vec V_1 - \vec V_2\) направлена вдоль стержней. Длина пружины максимальна (и минимальна) тогда, когда проекция относительной скорости на направление пружины обращается в нуль. Максимальная длина пружины соответствует случаю, когда пружина образует со стержнями угол, отличный от прямого; тогда \(\vec V_{\text{отн}} = 0\) и скорости грузов совпадают: \(\vec V_1 = \vec V_2 \equiv \vec V\).

Закон сохранения импульса (трения нет): \[m_1 V_0 - m_2 V_0 = (m_1 + m_2) V \quad\Rightarrow\quad V = \frac{(m_1 - m_2) V_0}{m_1 + m_2}.\] Закон сохранения энергии: \[(m_1 + m_2) V_0^2 + k x_0^2 = (m_1 + m_2) V^2 + k x^2 .\] Подставляя \(V\), получаем \[k x^2 = k x_0^2 + \frac{4 m_1 m_2 V_0^2}{m_1 + m_2},\] откуда \[x = \sqrt{x_0^2 + \frac{4 m_1 m_2 V_0^2}{(m_1 + m_2) k}} \approx 2{,}2~\text{см}.\]

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для каждого бруска в направлении силы \(\vec F\). Учтите, что при одинаковых ускорениях сила трения между брусками не превышает \(\mu_2 m g\).

Ответ

\(F_{\text{тр}} = 3{,}04\) Н.

Решение

Второй закон Ньютона для верхнего и нижнего брусков в проекции на направление силы \(\vec F\): \[m a_1 = F - F_{\text{тр}}, \qquad M a_2 = F_{\text{тр}} - \mu_1 (M + m) g,\] где \(a_1\) — ускорение верхнего бруска, \(a_2\) — ускорение нижнего бруска. Условие сцепленного движения: \(a_1 = a_2\), при этом сила трения \(F_{\text{тр}}\) может принимать значения на отрезке \([0, \mu_2 m g]\). Отсюда \[\frac{F - F_{\text{тр}}}{m} = \frac{F_{\text{тр}} - \mu_1 (M + m) g}{M},\] \[F_{\text{тр}} = \frac{M}{M + m} F + \mu_1 m g = 3{,}04~\text{Н}.\]

Подсказка

Выразите дальность полёта стрелы через начальную скорость и угол вылета. Одинаковая сила натяжения означает одинаковую начальную скорость.

Ответ

\(\alpha = 25^{\circ}\), \(\beta = 65^{\circ}\).

Решение

Сила натяжения лука в ответе не нужна: достаточно значения угла между стрелами. Пусть первая стрела вылетела со скоростью \(v\) под углом \(\alpha\) к горизонту и упала под углом \(\alpha\). Время полёта \[t = \frac{2 v \sin\alpha}{g},\] дальность полёта \[s_1 = v \cos\alpha \cdot t = \frac{2 v^2}{g} \sin\alpha \cos\alpha .\] Для второй стрелы, вылетевшей под углом \(\beta\), аналогично \(s_2 = \dfrac{2v^2}{g} \sin\beta \cos\beta\) (начальные скорости равны по модулю, так как стрелы выпущены с одинаковой силой).

По условию дальности полёта равны, что даёт \[\sin\alpha \cos\alpha = \sin\beta \cos\beta \quad\Rightarrow\quad \sin 2\alpha = \sin 2\beta .\] Решение \(\alpha = \beta\) не интересует. Используя формулы приведения, \[\cos(2\alpha - 90^{\circ}) = \cos(90^{\circ} - 2\beta) \quad\Rightarrow\quad \alpha = 90^{\circ} - \beta .\] Разность углов \(\Delta = \beta - \alpha = 40^{\circ}\). Решая систему, получаем \(\alpha = 25^{\circ}\), \(\beta = 65^{\circ}\).

Подсказка

Найдите работу силы трения за время \(\Delta t\), затем массу топлива, энергия сгорания которого идёт на эту работу.

Ответ

\(u = \dfrac{\mu M g v}{0{,}2\,\lambda} \approx 0{,}4\) г/с.

Решение

На пути \(\Delta s\) сила трения совершает работу \[A = \mu M g \Delta s, \qquad \Delta s = v \Delta t .\] За то же время Емеля должен подбросить в печь топливо массой \[m = \frac{A}{0{,}2\,\lambda}.\] Топливо подбрасывается равномерно, поэтому \(m = u \Delta t\), где \(u\) — искомая скорость. Приравнивая выражения, получаем \[u = \frac{\mu M g v}{0{,}2\,\lambda} \approx 0{,}4~\text{г/с}.\]

Подсказка

Перерисуйте схему так, чтобы было видно, какие лампочки соединены последовательно, а какие параллельно. Сравните сопротивления параллельных ветвей верхней части.

Ответ

\(\dfrac{U_1}{U_3} = 2\).

Решение

Перерисуем схему, обозначив лампочки как резисторы \(R_1\), \(R_2\) и \(R_3\):

Нижний и верхний участки цепи соединены последовательно. Напишем для них равенство напряжений: \[3 I_1 R_1 = I_2 \left(3 R_2 + \frac{3}{2} R_3\right), \qquad I_1 R_1 = I_2 \left(R_2 + \frac{1}{2} R_3\right).\] Из условия равенства напряжений на лампочках 2 и 3: \(I_2 R_2 = I_3 R_3\).

В верхней части цепи параллельно подключены два одинаковых резистора \(3R_3\), через них протекает одинаковый ток \(I_3\), суммарно равный \(I_2\), т.е. \(I_3 = I_2 / 2\). Отсюда \(R_3 = 2 R_2\).

Подставляя \(R_3\) в первое уравнение, получаем связь напряжений на лампочках 1 и 2: \(I_1 R_1 = 2 I_2 R_2\). Тогда \[\frac{U_1}{U_3} = \frac{I_1 R_1}{I_3 R_3} = \frac{2 I_2 R_2}{I_3 R_3} = 2 .\]