Курчатов, 2023/24, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Скорость точки ленты, касающейся внутреннего цилиндра, относительно пола равна нулю. Из этого условия свяжите скорость оси катушки и её угловую скорость.

Ответ

\(x = \dfrac{R-r}{\sqrt{R^2+r^2}} = 0{,}43\).

Решение

Обозначим через \(\vec V_0\) мгновенную скорость точки \(O\) относительно пола и через \(\omega\) мгновенную угловую скорость вращения катушки вокруг этой точки. Найдём связь между \(V_0\) и \(\omega\). Скорость всех точек вертикального участка ленты относительно пола равна нулю. В частности, это верно и для точки \(D\), в которой этот участок касается внутреннего цилиндра катушки. Скорость точки \(D\) относительно пола равна \[\vec V_D = \vec V_0 + \vec V_D\,',\] где \(\vec V_D\,'\) — линейная скорость точки \(D\) относительно точки \(O\). Вектор \(\vec V_D\,'\) направлен противоположно вектору \(\vec V_0\) и по абсолютной величине равен \(\omega r\). Из условия \(\vec V_D = 0\) получаем: \[V_0 = \omega r \quad\Rightarrow\quad \omega = \frac{V_0}{r}.\]

Рассмотрим теперь скорости точек \(B\) и \(C\) относительно пола: \[\vec V_B = \vec V_0 + \vec V_B\,', \qquad \vec V_C = \vec V_0 + \vec V_C\,'.\] Здесь \(\vec V_B\,'\) и \(\vec V_C\,'\) — линейные скорости рассматриваемых точек относительно точки \(O\). По абсолютной величине они одинаковы: \[V_B\,' = V_C\,' = \omega R = V_0\frac{R}{r}.\] Вектор \(\vec V_B\,'\) направлен противоположно \(\vec V_0\). Так как \(V_B\,' > V_0\), вектор скорости \(\vec V_B\) направлен вертикально вниз. Его абсолютная величина равна: \[V_B = V_B\,' - V_0 = V_0\left(\frac{R}{r} - 1\right) = V_0\,\frac{R-r}{r}.\] Вектор \(\vec V_C\,'\) перпендикулярен \(\vec V_0\). Поэтому абсолютную величину скорости точки \(C\) находим по теореме Пифагора: \[V_C = \sqrt{V_C\,'^2 + V_0^2} = V_0\sqrt{\left(\frac{R}{r}\right)^2 + 1} = V_0\,\frac{\sqrt{R^2+r^2}}{r}.\] Отношение скоростей точек \(B\) и \(C\) равно: \[x = \frac{V_B}{V_C} = \frac{R-r}{\sqrt{R^2+r^2}} = 0{,}43.\]

Подсказка

Сначала найдите момент, когда начнёт двигаться доска вместе с бруском, затем момент, когда сила трения между бруском и доской достигнет предела. Искомое время — разность этих моментов.

Ответ

\(\tau = \dfrac{(m_1+m_2)g}{k}\left(\dfrac{m_2(\mu_2-\mu_1)}{m_1}-\mu_1\right) = 3{,}7\) с.

Решение

На доску со стороны стола действует сила трения \(\vec F_1\). На брусок со стороны доски действует сила трения \(\vec F_2\). По третьему закону Ньютона брусок действует на доску силой \(-\vec F_2\). Пока внешняя сила \(F\) мала, доска и брусок неподвижны и силы \(F_1\) и \(F_2\) являются силами трения покоя. В этом случае имеем равенства: \(F_1 = F_2 = F\).

Поскольку сила трения покоя не превосходит силу трения скольжения, максимальные значения сил \(F_1\) и \(F_2\) равны: \[F_{1\,\max} = \mu_1(m_1+m_2)g = 0{,}8~\text{Н}, \qquad F_{2\,\max} = \mu_2 m_2 g = 1{,}5~\text{Н}.\] При увеличении внешней силы \(F\) сначала будет достигнуто значение \(F_{1\,\max}\), то есть первой начнёт двигаться доска. Найдём момент времени \(t_1\), когда это произойдёт: \[F_{1\,\max} = F, \qquad \mu_1(m_1+m_2)g = kt_1 \quad\Rightarrow\quad t_1 = \frac{\mu_1(m_1+m_2)g}{k}.\] При \(t > t_1\) доска и брусок будут некоторое время двигаться как одно тело. Найдём ускорение этого движения: \[(m_1+m_2)a = F - \mu_1(m_1+m_2)g \quad\Rightarrow\quad a = \frac{F}{m_1+m_2} - \mu_1 g.\] Запишем второй закон Ньютона для бруска: \(m_2 a = F - F_2\). Выразим отсюда \(F_2\): \[F_2 = F - m_2 a = F - \frac{m_2F}{m_1+m_2} + \mu_1 m_2 g = \frac{m_1F}{m_1+m_2} + \mu_1 m_2 g.\]

С ростом \(F\) сила \(F_2\) увеличивается и в некоторый момент времени \(t_2\) достигает своего максимального значения \(F_{2\,\max}\). В этот момент брусок начинает скользить по доске. Найдём время \(t_2\): \[\mu_2 m_2 g = \frac{m_1 k t_2}{m_1+m_2} + \mu_1 m_2 g \quad\Rightarrow\quad t_2 = \frac{(m_1+m_2)g}{m_1 k}\cdot(\mu_2-\mu_1)m_2.\] Искомое время \(\tau\) равно: \[\tau = t_2 - t_1 = \frac{(m_1+m_2)g}{k}\left(\frac{m_2(\mu_2-\mu_1)}{m_1}-\mu_1\right) = 3{,}7~\text{с}.\]

Подсказка

Максимальная скорость соответствует моменту, когда относительная скорость шарика относительно бруска обращается в нуль на правом краю. Используйте законы сохранения импульса и энергии.

Ответ

\(V_0 = L\sqrt{\dfrac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}} = 0{,}8\) м/с.

Решение

Максимальное значение \(V_0\) соответствует случаю, когда на правом краю бруска скорость шарика относительно бруска обращается в нуль. При этом относительно стола шарик и брусок движутся с одной и той же скоростью \(V\). По закону сохранения импульса \[m_1V_0 = (m_1+m_2)V \quad\Rightarrow\quad V = \frac{m_1V_0}{m_1+m_2}.\] Далее воспользуемся законом сохранения энергии: \[\frac{m_1V_0^2}{2} = \frac{(m_1+m_2)V^2}{2} + \frac{kL^2}{2}, \qquad m_1V_0^2 = (m_1+m_2)V^2 + kL^2.\] Подставляя сюда найденное значение \(V\), находим \(V_0\): \[m_1V_0^2 = (m_1+m_2)\cdot\left(\frac{m_1V_0}{m_1+m_2}\right)^2 + kL^2, \qquad m_1V_0^2\left(1 - \frac{m_1}{m_1+m_2}\right) = kL^2,\] \[\frac{m_1m_2V_0^2}{m_1+m_2} = kL^2 \quad\Rightarrow\quad V_0 = L\sqrt{\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}} = 0{,}8~\text{м/с}.\]

Подсказка

Работа за цикл равна площади треугольника на диаграмме \(P\), \(V\). Подведённое тепло складывается из теплоёмкостей гелия и азота на участке 1–2 и работы на нём.

Ответ

\(x = \dfrac{18\eta-1}{1-12\eta} = 0{,}77\).

Решение

Найдём связь объёмов и температур в состояниях 1 и 2. Из подобия треугольников \(0\,1\,V_1\) и \(0\,2\,V_2\) получаем: \[\frac{V_2}{V_1} = \frac{P_2}{P_1} = 2 \quad\Rightarrow\quad V_2 = 2V_1.\] Запишем уравнение состояния газовой смеси в точках 1 и 2: \[P_1V_1 = \nu RT_1, \qquad P_2V_2 = \nu RT_2.\] Здесь \(\nu = \nu_1+\nu_2\) — полное число молей смеси, \(R\) — универсальная газовая постоянная. Поделив второе уравнение на первое, получаем: \[\frac{T_2}{T_1} = \frac{P_2}{P_1}\cdot\frac{V_2}{V_1} = 4 \quad\Rightarrow\quad T_2 = 4T_1.\]

Работу газовой смеси за цикл вычислим как площадь треугольника \(123\): \[A = \frac12(P_2-P_1)(V_2-V_1) = \frac12 P_1V_1 = \frac12\nu RT_1.\] Газовая смесь получает тепло на участке 1–2. Подведённое количество теплоты равно: \[Q = \frac32\nu_1R(T_2-T_1) + \frac52\nu_2R(T_2-T_1) + A_{12} = \frac32(3\nu_1+5\nu_2)RT_1 + A_{12},\] где \(A_{12}\) — работа газовой смеси на участке 1–2. Вычислим эту работу как площадь трапеции \(V_1\,1\,2\,V_2\): \[A_{12} = \frac12(P_1+P_2)(V_2-V_1) = \frac32 P_1V_1 = \frac32\nu RT_1.\] Для подведённого количества теплоты получаем: \[Q = \frac32(3\nu_1+5\nu_2)RT_1 + \frac32(\nu_1+\nu_2)RT_1 = 3(2\nu_1+3\nu_2)RT_1.\] КПД двигателя равен: \[\eta = \frac{A}{Q} = \frac{\nu_1+\nu_2}{6(2\nu_1+3\nu_2)} = \frac{x+1}{6(2x+3)},\] где \(x = \nu_1/\nu_2\). Отсюда находим отношение числа молей: \[12\eta x + 18\eta = x + 1 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{18\eta-1}{1-12\eta} = 0{,}77.\]

Подсказка

Используйте зеркальную симметрию схемы относительно прямой через точки 3 и 6: при такой симметрии ток на перемычке 3–6 равен нулю, и её можно убрать.

Ответ

\(x = \dfrac{2}{33} = 0{,}061\).

Решение

Пусть положительный полюс батареи подключён к точке 1, а отрицательный — к точке 5. Рассматриваемая схема зеркально симметрична относительно прямой \(L\), проходящей через точки 3 и 6. Поэтому распределение токов также зеркально симметрично. Это означает, что выполняются следующие равенства: \[I_{23} = I_{34}, \qquad I_{26} = I_{46}, \qquad I_{16} = I_{56}.\] Здесь нижние индексы указывают участки, по которым текут соответствующие токи. В силу этих равенств ток на участке 3–6 равен нулю и этот участок можно убрать из схемы. Кроме того, можно разъединить точку 6. В результате получаем упрощённую схему.

Обозначим через \(R\) каждое из исходных сопротивлений. В получившейся схеме верхний треугольник 234 состоит из двух сопротивлений \(2R\), соединённых параллельно. Общее сопротивление этого треугольника равно: \[\frac{2R\cdot 2R}{2R+2R} = R.\] Нижний треугольник 156 состоит из сопротивлений \(R\) и \(2R\), также соединённых параллельно. Его общее сопротивление равно: \[\frac{R\cdot 2R}{R+2R} = \frac{2R}{3}.\] Получаем совсем простую схему, с помощью которой находим общее сопротивление исходного каркаса: \[R_0 = \frac{3R\cdot(2R/3)}{3R+(2R/3)} = \frac{6R}{11}.\] Тепловая мощность, выделяющаяся на всём каркасе, равна: \[P_0 = \frac{V^2}{R_0} = \frac{11V^2}{6R},\] где \(V\) — напряжение, поданное на точки 1 и 5. Сила тока, текущего по участку 4–5, равна: \[I_{45} = \frac{V}{3R}.\] Тепловая мощность, выделяющаяся на этом участке: \[P_{45} = I_{45}^2 R = \frac{V^2}{9R}.\] Отношение мощностей: \[x = \frac{P_{45}}{P_0} = \frac{6}{9\cdot 11} = \frac{2}{33} = 0{,}061.\]