Курчатов, 2023/24, отборочный этап, 11 класс

Подсказка

Запишите закон сохранения энергии и закон сохранения импульса. Из векторного треугольника импульсов по теореме косинусов выразите \(p_2\) через \(p_0\) и \(p_1\) и подставьте в закон сохранения энергии: получится квадратное уравнение для отношения \(p_1/p_0\).

Ответ

\(x = \dfrac{2}{n+1}\sqrt{1 - n^2\sin^2\vartheta} = 0{,}64\).

Решение

Запишем закон сохранения энергии для упругого столкновения: \[\frac{p_0^2}{2m_1} = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} \quad\longrightarrow\quad p_0^2 = p_1^2 + n p_2^2,\] где \(p_1\) и \(p_2\) — модули конечных импульсов ядер N 1 и N 2. Исключим \(p_2\), воспользовавшись законом сохранения импульса \(\vec p_0 = \vec p_1 + \vec p_2\). Представим это равенство в виде треугольника с углом \(\vartheta\) между векторами \(\vec p_0\) и \(\vec p_1\).

По теореме косинусов \[p_2^2 = p_0^2 + p_1^2 - 2 p_0 p_1 \cos\vartheta.\] Подставляя это выражение в уравнение баланса энергии, получаем квадратное уравнение для безразмерного отношения \(p_1/p_0\): \[(n+1)\left(\frac{p_1}{p_0}\right)^2 - 2n\,\frac{p_1}{p_0}\cos\vartheta + (n-1) = 0.\] Дискриминант уравнения равен \[D = 4n^2\cos^2\vartheta - 4(n+1)(n-1) = 4\left(1 - n^2\sin^2\vartheta\right).\] Больший и меньший корни: \[\frac{p_1}{p_0} = \frac{n\cos\vartheta + \sqrt{1 - n^2\sin^2\vartheta}}{n+1}, \qquad \frac{p_1'}{p_0} = \frac{n\cos\vartheta - \sqrt{1 - n^2\sin^2\vartheta}}{n+1}.\] Разность корней: \[x = \frac{p_1 - p_1'}{p_0} = \frac{2}{n+1}\sqrt{1 - n^2\sin^2\vartheta} = 0{,}64.\]

Подсказка

Рассмотрите движение шарика 2 относительно шарика 1: оно будет гармоническим с приведённой массой \(\mu\). Минимальное расстояние между шариками достигается в половине периода колебаний.

Ответ

\(\tau = \pi\sqrt{\dfrac{x_0}{(n+1)\,g\sin\alpha}} = 0{,}46\) с.

Решение

Рассмотрим движение шариков в неподвижной системе отсчёта, связанной со стержнем. На шарики действуют силы тяжести, силы \(\vec N_1\) и \(\vec N_2\) нормальной реакции со стороны стержня и силы упругости \(\vec F_1\) и \(\vec F_2\) со стороны пружины. На рисунке силы упругости показаны для случая, когда пружина растянута. Направим ось \(x\) вдоль стержня вниз и запишем второй закон Ньютона в проекции на эту ось: \[m_1 a_{1x} = m_1 g\sin\alpha + F_{1x}, \qquad m_2 a_{2x} = m_2 g\sin\alpha + F_{2x},\] где \(a_{1x}\) и \(a_{2x}\) — проекции ускорений шариков на ось \(x\), \(F_{1x}\) и \(F_{2x}\) — проекции сил упругости. Обозначим через \(x\) удлинение пружины и через \(k\) её жёсткость. Тогда \(F_{1x} = kx\), \(F_{2x} = -kx\).

Если пружина растянута, то \(x > 0\), и знаки проекций сил упругости соответствуют их направлениям, показанным на рисунке. Величина \(x\) определяет длину пружины и расстояние между центрами шариков. Поэтому рассмотрим движение шарика 2 относительно шарика 1. Ускорение \(\vec a\) этого движения равно разности ускорений шариков относительно стержня: \(\vec a = \vec a_2 - \vec a_1\), в проекции на ось \(x\): \(a_x = a_{2x} - a_{1x}\).

Выражая \(a_{1x}\) и \(a_{2x}\) из второго закона Ньютона, получаем: \[a_{1x} = g\sin\alpha + \frac{F_{1x}}{m_1}, \qquad a_{2x} = g\sin\alpha + \frac{F_{2x}}{m_2},\] \[a_x = \frac{F_{2x}}{m_2} - \frac{F_{1x}}{m_1} = -kx\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right).\] Введём величину \(\mu\), которая называется приведённой массой: \[\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}, \qquad \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}.\] Тогда уравнение относительного движения шариков принимает вид \[a_x = -\frac{k}{\mu}\,x.\] Получилось уравнение гармонических колебаний груза массы \(\mu\) на пружине жёсткости \(k\). Круговая частота колебаний равна \(\omega = \sqrt{k/\mu}\).

Поскольку начальная относительная скорость шариков равна нулю, зависимость удлинения пружины от времени определяется выражением \(x = x_0\cos\omega t\). Искомое время \(\tau\) соответствует минимальному значению \(x\): \[\cos\omega\tau = -1, \qquad \omega\tau = \pi, \qquad \tau = \frac{\pi}{\omega} = \pi\sqrt{\frac{\mu}{k}}.\] Выразим жёсткость пружины через \(x_0\) из условия равновесия шарика 2 в начальный момент: \[k x_0 = m_2 g\sin\alpha \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{m_2 g\sin\alpha}{x_0}.\] Собирая всё вместе и вводя отношение масс \(n = m_2/m_1\), получаем: \[\tau = \pi\sqrt{\frac{x_0}{(n+1)\,g\sin\alpha}} = 0{,}46~\text{с}.\]

Подсказка

Для смеси найдите молярные теплоёмкости \(C_V\) и \(C_P\) через \(\alpha\) и вычислите показатель адиабаты \(\gamma = C_P/C_V\). Затем посчитайте тепло, полученное на изохоре, и тепло, отданное на изобаре, и КПД как \(\eta = 1 + Q_{31}/Q_{12}\).

Ответ

\(\eta = 1 - \dfrac{\gamma\,(k^{1/\gamma} - 1)}{k-1} = 17\) %,  \(\gamma = \dfrac{5\alpha+7}{3\alpha+5} = \dfrac{10}{7}\).

Решение

Обозначим через \(\nu\) полное число молей газовой смеси \(\nu = \nu_1 + \nu_2\) и рассмотрим молярные теплоёмкости смеси \(C_V\) и \(C_P\) при постоянном объёме и давлении: \[C_V = \frac{1}{\nu}\left(\frac{3}{2}R\nu_1 + \frac{5}{2}R\nu_2\right) = \frac{3\alpha+5}{2(\alpha+1)}\,R, \qquad C_P = C_V + R = \frac{5\alpha+7}{2(\alpha+1)}\,R.\] Здесь \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(\alpha = \nu_1/\nu_2\). Показатель адиабаты смеси равен \[\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{5\alpha+7}{3\alpha+5}.\]

В рассматриваемом цикле газовая смесь получает тепло на участке 1–2: \[Q_{12} = \nu C_V(T_2 - T_1) = \frac{C_V}{R}\left(\nu RT_2 - \nu RT_1\right) = \frac{C_V}{R}\,P_1V_1(k-1),\] где \(k = P_2/P_1\). На участке 3–1 газовая смесь отдаёт тепло: \[Q_{31} = \nu C_P(T_1 - T_3) = \frac{C_P}{R}\,P_1(V_1 - V_3).\] Выразим \(V_3\) через \(V_1\), воспользовавшись уравнением адиабаты \(P_2V_1^\gamma = P_1V_3^\gamma\): \[V_3 = V_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{1/\gamma} = V_1 k^{1/\gamma}.\] Получаем \[Q_{31} = -\frac{C_P}{R}\,P_1V_1\left(k^{1/\gamma} - 1\right).\] Работа, совершённая двигателем за цикл, равна \(A = Q_{12} + Q_{31}\). КПД двигателя: \[\eta = \frac{A}{Q_{12}} = 1 + \frac{Q_{31}}{Q_{12}} = 1 - \frac{C_P\left(k^{1/\gamma} - 1\right)}{C_V(k-1)} = 1 - \frac{\gamma\left(k^{1/\gamma} - 1\right)}{k-1}.\] Подстановка числовых значений даёт \(\gamma = 10/7\) и \(\eta = 17\%\).

Подсказка

Начальные заряды найдите из условия, что левые обкладки соединены проводом (суммарный заряд нуля), и из уравнений для контуров. Работа внешних сил при медленном выдвигании равна изменению энергии конденсаторов за вычетом работ батарей.

Ответ

\(A = \dfrac{2CV^2(\varepsilon-1)}{3(2\varepsilon+1)} = 48\) мкДж.

Решение

Найдём начальные заряды конденсаторов \(q_1\), \(q_2\) и \(q_3\). Левые обкладки, соединённые проводом, представляют собой изолированный проводник, заряд которого равен нулю. Поэтому \(-q_1 - q_2 + q_3 = 0\). Приравнивая нулю алгебраическую сумму напряжений и ЭДС в верхнем и нижнем замкнутых контурах, получаем ещё два уравнения: \(q_1 = q_2\), \(q_2 + q_3 = CV\). Решение этих уравнений даёт: \[q_1 = q_2 = \frac{CV}{3}, \qquad q_3 = \frac{2CV}{3}.\]

Найдём теперь конечные заряды конденсаторов \(Q_1\), \(Q_2\) и \(Q_3\). В этом случае ёмкость нижнего конденсатора без диэлектрической пластины равна \(C/\varepsilon\). Имеем уравнения: \(-Q_1 - Q_2 + Q_3 = 0\), \(Q_1 = Q_2\), \(Q_2 + \varepsilon Q_3 = CV\). Решая их, получаем: \[Q_1 = Q_2 = \frac{CV}{2\varepsilon+1}, \qquad Q_3 = \frac{2CV}{2\varepsilon+1}.\]

Будем считать, что пластина выдвигается из нижнего конденсатора очень медленно. В этом случае искомая работа \(A\) внешних сил, действующих на пластину, будет минимальной, поскольку можно пренебречь кинетической энергией пластины и выделением тепла в цепи. Уравнение баланса энергии: \[\Delta W = A + A_1 + A_2,\] где \(\Delta W\) — приращение энергии конденсаторов, \(A_1\) и \(A_2\) — работы верхней и нижней батарей. Энергии конденсаторов в начальном и конечном состояниях: \[W_1 = \frac{q_1^2}{2C} + \frac{q_2^2}{2C} + \frac{q_3^2}{2C} = \frac{CV^2}{3},\] \[W_2 = \frac{Q_1^2}{2C} + \frac{Q_2^2}{2C} + \frac{Q_3^2}{2C/\varepsilon} = \frac{CV^2}{2\varepsilon+1}.\] Отсюда \[\Delta W = W_2 - W_1 = CV^2\left(\frac{1}{2\varepsilon+1} - \frac{1}{3}\right) = -\frac{2CV^2(\varepsilon-1)}{3(2\varepsilon+1)}.\] Работа верхней батареи равна \[A_1 = (Q_1 - q_1)V = CV^2\left(\frac{1}{2\varepsilon+1} - \frac{1}{3}\right) = \Delta W.\] В силу равенств \(q_2 = q_1\) и \(Q_2 = Q_1\) работа нижней батареи \(A_2\) совпадает с \(A_1\): \(A_2 = (Q_2 - q_2)V = A_1 = \Delta W\).

Для работы внешних сил получаем \[A = \Delta W - A_1 - A_2 = -\Delta W = \frac{2CV^2(\varepsilon-1)}{3(2\varepsilon+1)} = 48~\text{мкДж}.\]

Подсказка

Используйте зеркальную симметрию каркаса относительно прямой, проходящей через точки 3 и 6: ток на участке 3–6 равен нулю, и его можно убрать из схемы. Дальше найдите общее сопротивление упрощённой схемы.

Ответ

\(x = \dfrac{3}{22} = 0{,}136\).

Решение

Пусть положительный полюс батареи подключён к точке 1, а отрицательный — к точке 5. Рассматриваемая схема зеркально симметрична относительно прямой \(L\), проходящей через точки 3 и 6. Поэтому распределение токов также зеркально симметрично: \[I_{23} = I_{34}, \qquad I_{26} = I_{46}, \qquad I_{16} = I_{56}.\] Здесь нижние индексы указывают участки, по которым текут соответствующие токи. В силу этих равенств ток на участке 3–6 равен нулю, и этот участок можно убрать из схемы. Кроме того, можно разъединить точку 6. В результате получаем упрощённую схему.

Обозначим через \(R\) каждое из исходных сопротивлений. В получившейся схеме верхний треугольник 234 состоит из двух сопротивлений \(2R\), соединённых параллельно. Общее сопротивление этого треугольника равно \[\frac{2R\cdot 2R}{2R + 2R} = R.\] Нижний треугольник 156 состоит из сопротивлений \(R\) и \(2R\), также соединённых параллельно. Его общее сопротивление равно \[\frac{R\cdot 2R}{R + 2R} = \frac{2R}{3}.\] Получаем совсем простую схему, с помощью которой находим общее сопротивление исходного каркаса: \[R_0 = \frac{3R\cdot(2R/3)}{3R + (2R/3)} = \frac{6R}{11}.\]

Тепловая мощность, выделяющаяся на всём каркасе, равна \[P_0 = \frac{V^2}{R_0} = \frac{11V^2}{6R},\] где \(V\) — напряжение, поданное на точки 1 и 5. Сила тока, текущего по участку 5–6, равна \(I_{56} = \dfrac{V}{2R}\). Тепловая мощность, выделяющаяся на этом участке: \[P_{56} = I_{56}^2 R = \frac{V^2}{4R}.\] Отношение мощностей: \[x = \frac{P_{56}}{P_0} = \frac{6}{4\cdot 11} = \frac{3}{22} = 0{,}136.\]

Подсказка

Найдите ЭДС индукции через приращение магнитного потока за малый промежуток времени, затем силу Ампера и запишите второй закон Ньютона. Сумма приращений скорости даст связь \(V\) и \(x\).

Ответ

\(x = \dfrac{mR(V_0 - V)}{(BL)^2} = 18\) см.

Решение

Направим единичный вектор нормали \(\vec n\) к плоскости замкнутого контура \(abcd\) вдоль вектора магнитной индукции \(\vec B\). Положительное направление обхода контура связано с направлением \(\vec n\) правилом правого винта и соответствует движению по часовой стрелке. Пусть в некоторый момент времени скорость стержня равна \(V\). За малый промежуток времени \(\Delta t\) стержень пройдёт расстояние \(\Delta x = V\Delta t\). Приращение площади, ограниченной контуром, равно \(\Delta S = L\Delta x = LV\Delta t\).

Приращение магнитного потока за время \(\Delta t\): \(\Delta\Phi = \vec B\vec n\,\Delta S = BLV\Delta t\). ЭДС индукции, возникающая в контуре, равна \[\varepsilon = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -BLV.\] Знак минус означает, что ЭДС действует против положительного направления обхода контура, то есть против часовой стрелки. Поэтому ток в стержне направлен от точки \(b\) к точке \(a\). Сила тока равна \(I = \dfrac{|\varepsilon|}{R} = \dfrac{BLV}{R}\).

Со стороны магнитного поля на стержень с током действует сила Ампера, направленная противоположно скорости. Её абсолютная величина равна \[F_A = BIL = \frac{(BL)^2 V}{R}.\] Обозначим через \(\Delta V\) приращение скорости стержня за время \(\Delta t\). Эта величина отрицательна, поскольку сила Ампера тормозит стержень. Второй закон Ньютона в проекции на направление скорости: \[m\frac{\Delta V}{\Delta t} = -F_A = -\frac{(BL)^2 V}{R}.\] Отсюда связь между приращением скорости и расстоянием \(\Delta x\), пройденным стержнем за время \(\Delta t\): \[\Delta V = -\frac{(BL)^2}{mR}\cdot V\Delta t = -\frac{(BL)^2}{mR}\cdot\Delta x.\] Суммируя такие выражения по всем малым промежуткам времени, получаем: \[V - V_0 = -\frac{(BL)^2}{mR}\cdot x, \qquad x = \frac{mR(V_0 - V)}{(BL)^2} = 18~\text{см}.\]