Курчатов, 2023/24, отборочный этап, 7 класс

Сначала найдите, с какой скоростью поезд должен был ехать по расписанию, учитывая опоздание. Затем посчитайте время на каждом участке и скорость на втором участке.

\(v_2 - v_1 = 40\text{ км/ч}\).

Пусть до вынужденной остановки поезд двигался со скоростью \(v_1\), а после — со скоростью \(v_2\). Из-за опоздания на 40 минут машинист должен был проехать весь путь за \(120\text{ мин} - 40\text{ мин} = 80\text{ мин}\). Тогда \[v_1 = \frac{160\text{ км}}{80/60\text{ ч}} = 120\text{ км/ч}.\] Поезд проехал первую половину пути за время \(t_1 = \dfrac{80\text{ км}}{120\text{ км/ч}} = \dfrac{2}{3}\text{ ч} = 40\text{ мин}\). После задержки на 10 минут поезд должен проехать оставшиеся 80 км за время \(t_2 = 30\text{ мин}\). Отсюда скорость после остановки должна быть \[v_2 = \frac{80\text{ км}}{30/60\text{ ч}} = 160\text{ км/ч}.\] Таким образом, чтобы прибыть в пункт назначения вовремя, скорость на оставшемся участке пути после вынужденной остановки была увеличена на \(v_2 - v_1 = 40\text{ км/ч}\).

Тело привязано ко дну и полностью погружено в воду. Запишите условие равновесия сил, действующих на тело, и выразите объём тела.

\(\rho_{\text{тела}} = 667\text{ кг/м}^3\).

Сумма сил, действующих на тело, привязанное ко дну ёмкости, равна нулю. Условие равновесия: \[\rho_{\text{воды}}\, V_{\text{тела}}\, g = m g + F \quad\Rightarrow\quad V_{\text{тела}} = \frac{m g + F}{\rho_{\text{воды}}\, g} = 0{,}015\text{ м}^3.\] Плотность тела: \[\rho_{\text{тела}} = \frac{m}{V_{\text{тела}}} = 666{,}6\text{ кг/м}^3 \approx 667\text{ кг/м}^3.\]

Для пустой ёмкости сила Архимеда уравновешивает её вес. Ёмкость начинает тонуть, когда вода заполняет её до верхнего края при погружении на всю сторону.

\(h = 8\) см.

Закон Архимеда для пустой ёмкости, погружённой на треть стороны: \[\frac{1}{3}\rho g a^3 = m g,\] где \(\rho\) — плотность воды, \(m\) — масса пустой ёмкости. Ёмкость начнёт тонуть, если погрузится на всю длину стороны, так как тогда вода начнёт заливаться внутрь. Условие равновесия для максимально возможной глубины погружения: \[\rho g a^3 = m g + \rho g h a^2,\] где \(\rho g h a^2\) — сила тяжести, действующая на налитую воду. Подставляя \(m g = \frac{1}{3}\rho g a^3\), получаем \[\frac{2}{3}\rho g a^3 = \rho g h a^2 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{2}{3} a = \frac{2}{3}\cdot 12\text{ см} = 8\text{ см}.\]

Подъёмная сила одной бочки равна весу вытесненной ею воды. Учтите, что вес самих бочек уменьшает подъёмную силу.

\(N \approx 30\) бочек.

Подъёмная сила одной бочки равна весу вытесненной ею воды: \(F_{\text{подъём}} = \rho g V\). Пусть число бочек равно \(N\). Общая подъёмная сила всех бочек должна равняться требуемой силе плюс суммарный вес всех бочек: \[N \rho g V = F + N F_0 \quad\Rightarrow\quad N = \frac{F}{\rho g V - F_0} = \frac{7\cdot 10^5\text{ Н}}{1020\text{ кг/м}^3 \cdot 10\text{ м/с}^2 \cdot 2{,}5\text{ м}^3 - 2000\text{ Н}} \approx 30.\]

Сила натяжения верёвки одинакова во всех ветвях, а число ветвей, держащих подвижные блоки, даёт выигрыш в силе. Что следует из равенства работ?

\(H = 2\) см.

В силу равномерной нагрузки на все верхние подвижные блоки сила натяжения верёвки определяется соотношением \(2nT = Mg\), где \(n\) — число верхних подвижных блоков, \(M\) — масса груза и всех подвижных блоков. Из рисунка \(n = 4\), поэтому \(8T = Mg\).

Так как простые механизмы не влияют на величину работы внешней силы, то \(F H = T h\), где \(H\) — искомый подъём груза, а \(F = 8T\). Тогда \[H = \frac{1}{8} h = \frac{1}{8}\cdot 16\text{ см} = 2\text{ см}.\]