Курчатов, 2023/24, отборочный этап, 8 класс

Подсказка

На шарик действуют сила тяжести, сила натяжения и выталкивающая сила. Запишите равновесие для двух жидкостей и поделите одно уравнение на другое.

Ответ

\(\rho = 7{,}8\) г/см\(^3\).

Решение

Обозначим массу шарика через \(m\), объём — через \(V\). Для шарика в воде \(T_1 + \rho_1 g V = m g\), а так как \(m = \rho V\), получаем \(T_1 = (\rho - \rho_1) g V\). Аналогично для масла \(T_2 = (\rho - \rho_2) g V\). Деля одно равенство на другое, \[\frac{T_1}{T_2} = \frac{\rho - \rho_1}{\rho - \rho_2} \quad\Rightarrow\quad \rho = \frac{\rho_1 T_2 - \rho_2 T_1}{T_2 - T_1} = 7{,}8\text{ г/см}^3.\] Получилась плотность стали.

Подсказка

Условие плавания куба записывается через разность давлений на его нижней и верхней гранях. Сначала проверьте, не достаёт ли уровень воды до верхней грани куба.

Ответ

\(\Delta h = 1{,}8\) мм.

Решение

Условие равновесия куба: \(P_1 - P_0 = \rho_2 g a\), где \(P_0\) — атмосферное давление, \(P_1\) — давление на уровне нижней грани.

1) Куб плавает в ртути: \(P_1 - P_0 = \rho_1 g h_1\), откуда \(h_1 = \dfrac{\rho_2}{\rho_1} a\).

2) Поверх ртути налит слой воды толщиной \(L\), уровень воды ниже верхней грани куба: \(P_1 - P_0 = \rho_3 g L + \rho_1 g h_2\), откуда \(h_2 = \dfrac{\rho_2 a - \rho_3 L}{\rho_1}\).

3) Этот случай реализуется при \(L < L_0\), где толщина \(L_0\) соответствует уровню воды на верхней грани куба: \[L_0 = \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 - \rho_3}\, a = \frac{13{,}6 - 8{,}6}{13{,}6 - 1}\cdot 10\text{ см} = 4{,}0\text{ см}.\] При \(L = 2{,}5\) см имеем \(L < L_0\), значит, уровень воды ниже верхней грани куба. Разность глубин: \[\Delta h = h_1 - h_2 = \frac{\rho_3 L}{\rho_1} = \frac{1\cdot 2{,}5}{13{,}6}\text{ см} = 1{,}8\text{ мм}.\]

Подсказка

Разбейте воду на две порции: одна выкипает, другая только нагревается до \(t_3\). Запишите тепловой баланс для стали и обеих порций воды.

Ответ

\(M = 9\) г.

Решение

Кусок стали, охлаждаясь от \(t_2\) до \(t_3\), отдаёт количество теплоты \(Q_0 = m_2 C_2 (t_2 - t_3)\). Мысленно разделим воду на порции массами \(M\) и \((m_1 - M)\). Порция \(M\) сначала нагревается до \(t_к\), затем испаряется: \(Q_1 = M C_1 (t_к - t_1)\), \(Q_2 = M L\). Порция \((m_1 - M)\) нагревается до \(t_3\): \(Q_3 = (m_1 - M) C_1 (t_3 - t_1)\). Уравнение теплового баланса \(Q_0 = Q_1 + Q_2 + Q_3\) даёт \[M = \frac{m_2 C_2 (t_2 - t_3) - m_1 C_1 (t_3 - t_1)}{C_1 (t_к - t_3) + L} = 9\text{ г}.\]

Подсказка

Масса льда уменьшилась, значит, часть льда растаяла, и в конце в калориметре смесь воды и льда при \(0\,^\circ\)C. Запишите баланс тепла с учётом таяния \(m_2 - M\) льда.

Ответ

\(m_1 \approx 1{,}29\) кг.

Решение

Уменьшение массы льда означает, что часть льда растаяла, и в конечном состоянии в калориметре смесь воды и льда при \(0\,^\circ\)C. Охлаждение воды от \(t_1\) до \(0\,^\circ\)C даёт \(Q_1 = m_1 C_1 t_1\). Нагревание всего льда от \(t_2\) до \(0\,^\circ\)C требует \(Q_2 = m_2 C_2 (-t_2)\). Растаявшая масса льда \(m_2 - M\) требует \(Q_3 = (m_2 - M)\lambda\). Тепловой баланс \(Q_1 = Q_2 + Q_3\) даёт \[m_1 = \frac{(m_2 - M)\lambda - m_2 C_2 t_2}{C_1 t_1} = 1{,}29\text{ кг}.\]

Подсказка

Запишите напряжение на участке с амперметром в обеих схемах: в первой прибор и резистор включены последовательно, во второй вольтметр параллелен резистору.

Ответ

\(x = 8{,}6\).

Решение

Обозначим сопротивление амперметра через \(R_A\). В первой схеме вольтметр показывает напряжение на точках \(C\) и \(D\): \(V_1 = I_1 (R + R_A)\). Во второй схеме \(V_1 = V_2 + I_2 R_A\). Отсюда \[R_A = \frac{V_1 - V_2}{I_2}, \qquad R = \frac{V_1}{I_1} - R_A = \frac{V_1}{I_1} - \frac{V_1 - V_2}{I_2}.\] Во второй схеме сопротивление \(R\) и вольтметр включены параллельно: \[V_2 = I_2 \cdot \frac{x R}{x + 1}, \qquad x = \frac{R_V}{R}.\] Отсюда \(\dfrac{V_2}{I_2}\,(x + 1) = x R\), то есть \(x\left(R - \dfrac{V_2}{I_2}\right) = \dfrac{V_2}{I_2}\). Коэффициент при \(x\): \[R - \frac{V_2}{I_2} = \frac{V_1}{I_1} - \frac{V_1}{I_2} = \frac{V_1 (I_2 - I_1)}{I_1 I_2}.\] Получаем \[x = \frac{V_2 I_1}{V_1 (I_2 - I_1)} = 8{,}6.\]