Курчатов, 2023/24, отборочный этап, 9 класс

Выразите время, за которое полиция догнала нарушителя, через равномерное движение нарушителя. Полицейская машина проходит то же расстояние \(L\) за время \(t - \tau\).

\(a = 1{,}2\) м/с\(^2\).

Обозначим через \(t\) время, за которое полиция догнала нарушителя. Автомобиль нарушителя за это время прошёл расстояние \(L = V t\), откуда \(t = \dfrac{L}{V}\). Полицейская машина двигалась равноускоренно в течение времени \((t - \tau)\) и за это время также прошла расстояние \(L\): \[L = \frac{a (t - \tau)^2}{2} = \frac{a}{2}\left(\frac{L}{V} - \tau\right)^2 = \frac{a (L - V\tau)^2}{2 V^2}.\] Отсюда \[a = \frac{2 V^2 L}{(L - V\tau)^2} = 1{,}2\text{ м/с}^2.\]

Пока брусок покоится относительно клина, нить натянута. Найдите момент, когда сила натяжения нити становится равной нулю.

\(\tau = 6{,}4\) с.

Запишем второй закон Ньютона для бруска в неподвижной системе отсчёта, связанной со столом: \(m\vec a = m\vec g + \vec N + \vec T\). Ось \(x\) направим параллельно ускорению клина, ось \(y\) — вертикально вверх. Тогда \[m a = N\sin\alpha - T\cos\alpha, \qquad 0 = -m g + N\cos\alpha + T\sin\alpha.\] Отсюда \[N = m (g\cos\alpha + a\sin\alpha), \qquad T = m (g\sin\alpha - a\cos\alpha).\] С ростом ускорения сила \(N\) увеличивается, а сила \(T\) уменьшается и в момент \(\tau\) обращается в нуль. Далее нить была бы сжата, чего быть не может, поэтому \(T = 0\) — условие начала скольжения бруска по клину: \[g\sin\alpha - k\tau\cos\alpha = 0 \quad\Rightarrow\quad \tau = \frac{g\,\mathrm{tg}\,\alpha}{k} = 6{,}4\text{ с}.\]

Запишите равенство нулю моментов сил относительно точек \(O\) и \(A\), затем условие \(F \le \mu N\) для силы трения покоя.

\(\mu = \mathrm{ctg}\,\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}58\).

На стержень действуют сила тяжести, приложенная к середине стержня, сила натяжения нити \(\vec T\), сила нормальной реакции \(\vec N\) (вдоль стержня) и сила трения покоя \(\vec F\) (вдоль стенки к точке \(O\)). Обозначим \(L = AB\), \(h = OB = L\,\mathrm{ctg}\,\alpha\).

Моменты сил относительно точек \(O\) и \(A\): \[N h - m g \frac{L}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad N = \frac{m g}{2}\,\mathrm{tg}\,\alpha, \qquad m g \frac{L}{2} - F L = 0 \quad\Rightarrow\quad F = \frac{m g}{2}.\] Сила трения покоя удовлетворяет условию \(F \le \mu N\): \[\frac{m g}{2} \le \mu\, \frac{m g}{2}\,\mathrm{tg}\,\alpha \quad\Rightarrow\quad \mu \ge \mathrm{ctg}\,\alpha.\] Минимальное значение коэффициента трения: \(\mu = \mathrm{ctg}\,\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = 0{,}58\).

Сначала сравните, сколько тепла отдаёт вода при охлаждении до \(0\,^\circ\)C и сколько нужно льду, чтобы нагреться до \(0\,^\circ\)C. Затем выясните, растает ли весь лёд.

\(M \approx 0{,}27\) кг.

Охлаждаясь от \(t_1\) до \(0\,^\circ\)C, вода может отдать \(Q_1 = m_1 C_1 t_1 = 84\) кДж. Нагреть лёд от \(t_2\) до \(0\,^\circ\)C требуется \(Q_2 = m_2 C_2 (-t_2) = 42\) кДж. Так как \(Q_1 > Q_2\), лёд нагреется до \(0\,^\circ\)C и начнёт таять. На таяние идёт \(Q_1 - Q_2 = 42\) кДж. Полное плавление потребовало бы \(m_2\lambda = 132\) кДж, поэтому растает только часть льда. В конечном состоянии в калориметре смесь воды и льда при \(0\,^\circ\)C. Масса растаявшего льда \(m_3 = \dfrac{Q_1 - Q_2}{\lambda}\), а масса оставшегося льда \[M = m_2 - m_3 = m_2 - \frac{m_1 C_1 t_1 + m_2 C_2 t_2}{\lambda} = 0{,}27\text{ кг}.\]

Каркас зеркально симметричен относительно прямой, проходящей через точку 5. Что это даёт для токов в ветвях, сходящихся в точке 5?

\(x = 0{,}75\).

Пусть положительный полюс подключён к точке 1, отрицательный — к точке 2. Схема зеркально симметрична относительно прямой \(L\), проходящей через точку 5, поэтому \(I_{15} = I_{25}\) и \(I_{45} = I_{35}\). Точку 5 можно разъединить, и получается упрощённая схема.

Обозначим сопротивление каждого из исходных резисторов через \(R\). Треугольник 4–5–3 состоит из сопротивлений \(R\) и \(2R\), соединённых параллельно, его сопротивление \(\dfrac{R\cdot 2R}{R + 2R} = \dfrac{2R}{3}\). Сопротивление участка 1–4–3–2: \(R + \dfrac{2R}{3} + R = \dfrac{8R}{3}\).

Для тока на участке 2–3 получаем \(I_{23} = \dfrac{V}{8R/3} = \dfrac{3V}{8R}\), где \(V\) — напряжение, поданное на точки 1 и 2. Общее сопротивление участка 1–5–2 равно \(2R\), поэтому \(I_{15} = \dfrac{V}{2R}\). Отношение токов: \[x = \frac{I_{23}}{I_{15}} = \frac{3V}{8R}\cdot\frac{2R}{V} = \frac{3}{4} = 0{,}75.\]