Курчатов, 2024/25, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Уравнение состояния в координатах \((V/V_0, T/T_0)\) даёт прямые из начала координат, наклон которых обратен давлению. Какая из таких прямых касается дуги?

Ответ

1) \(p_A = 125\text{ кПа}\);  2) \(p_{\max} = 144\text{ кПа}\).

Решение

Запишем уравнение Клапейрона–Менделеева \[pV = \nu RT = \frac{m}{M}RT\] и преобразуем его к виду предложенных безразмерных координат: \[\frac{V}{V_0} = \left(\frac{\nu R T_0}{V_0}\cdot\frac{1}{p}\right)\cdot\frac{T}{T_0}.\] Из полученного соотношения видно, что изобарный процесс в данных координатах является прямой, выходящей из начала координат, с угловым коэффициентом \[k = \frac{\nu R T_0}{V_0}\cdot\frac{1}{p}.\] Поскольку угловой коэффициент \(k\) изобары обратно пропорционален давлению идеального газа, то его максимальному давлению \(p_{\max}\) будет соответствовать точка с минимальным угловым коэффициентом наклона. Следовательно, на графике необходимо построить касательную к дуге процесса, выходящую из начала координат (рис.).

Из прямоугольного треугольника \(OCD\) по теореме Пифагора, с учётом того, что радиус окружности на рисунке равен единице, найдём \[OD = \sqrt{3}; \qquad \sin\angle COD = \frac{1}{2}.\] Соответственно, координаты точки \(D\) равны \[x_D = OD\sin\angle COD = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad y_D = OD\cos\angle COD = \frac{3}{2}.\] Используя полученные координаты, найдём \[p_{\max} = \left(\frac{\nu R T_0}{V_0}\cdot\frac{1}{y_D}\right)\cdot x_D = 1{,}44\cdot 10^5\text{ Па} = 144\text{ кПа}.\] Давление в начальной точке несложно вычислить, находя из графика координаты точки \(A(x_A; y_A) = A(1; 2)\): \[p_A = \left(\frac{\nu R T_0}{V_0}\cdot\frac{1}{y_A}\right)\cdot x_A = 1{,}25\cdot 10^5\text{ Па} = 125\text{ кПа}.\]

Подсказка

Условие равновесия перегородки: давление газа слева равно давлению столба жидкости справа на уровне перегородки. Дальше примените закон Бойля–Мариотта к газу слева.

Ответ

\(V = 82\text{ л}\).

Решение

Из условия равновесия подвижной перегородки следует, что сила давления на неё газа слева должна быть равна силе давления жидкости справа. Следовательно, \[pS = \left(p_0 + \frac{\rho g h}{2}\right) S,\] где \(S = ab\) — площадь перегородки, \(p_0\) — атмосферное давление. После сокращения на \(S\) находим, что давление сжатого газа в левой части сосуда равно \[p = p_0 + \frac{\rho g h}{2}.\] Из закона Бойля–Мариотта (температура постоянна) для идеального газа в левой части сосуда имеем \[p_0 V_0 = \left(p_0 + \frac{\rho g h}{2}\right)(2V_0 - V),\] где \(V_0 = bha = 80\text{ л}\), \(V\) — искомый объём налитой жидкости (перегородка тонкая, её объёмом можно пренебречь). Получаем величину объёма налитой жидкости: \[V = \frac{p_0 + \rho g h}{p_0 + \rho g h/2}\,V_0 = \frac{2(p_0 + \rho g h)}{2p_0 + \rho g h}\,bha.\] Расчёт по итоговой формуле даёт \[V = 8{,}2\cdot 10^4\text{ см}^3 = 82\text{ л}.\]

Подсказка

Найдите новое положение равновесия: пружина сжата на \(\Delta x\), а уровень жидкости в правом колене поднялся на \(h\). Затем сравните полную механическую энергию системы до и после установления равновесия.

Ответ

\(Q = 5{,}12\text{ мДж}\).

Решение

После установки груза \(m\) система выйдет из положения равновесия, поскольку сила давления жидкости в левом колене станет больше.

Пусть в новом установившемся положении равновесия жидкость в правом колене поднялась на высоту \(h\) (рис.), а пружина сжалась на величину \(\Delta x\). Тогда из условий равновесия \[k\,\Delta x = mg \quad\Rightarrow\quad \Delta x = \frac{mg}{k}, \qquad mg = 2\rho g h S \quad\Rightarrow\quad h = \frac{m}{2\rho S},\] где \(S\) — площадь поперечного сечения трубки.

В процессе установления равновесия груз опустился относительно начального положения на величину \[\Delta h = \Delta x + h.\] Начальная механическая энергия \(E_1\) системы (относительно нижней точки трубки) складывается из потенциальной энергии столбов жидкости (центр масс на середине высоты) и груза: \[E_1 = 2\rho g\,\frac{l}{2}\,S\,\frac{l}{4} + mg\left(\frac{l}{2} + l_0\right),\] где \(l_0\) — длина пружины в недеформированном состоянии (т.е. до установки груза, в условии не задана).

Соответственно, после установления равновесия механическая энергия \(E_2\) станет равна (добавится энергия упругой деформации пружины) \[E_2 = \frac{\rho g\left(\frac{l}{2} - h\right)^2 S}{2} + \frac{\rho g\left(\frac{l}{2} + h\right)^2 S}{2} + mg\left(\frac{l}{2} + l_0 - h - \Delta x\right) + \frac{k\,\Delta x^2}{2}.\] Из закона сохранения энергии после установления нового положения равновесия имеем \[Q = E_1 - E_2 = mgh + mg\,\Delta x - \rho g S h^2 - \frac{k\,\Delta x^2}{2}.\] Подобные члены, содержащие длину недеформированной пружины \(l_0\), сокращаются. Далее найдём \[Q = mgh + mg\,\Delta x - \rho g S h^2 - \frac{k\,\Delta x^2}{2} = \frac{m^2 g}{4\rho S} + \frac{m^2 g^2}{2k} = \frac{m^2 g}{2}\left(\frac{1}{2\rho S} + \frac{g}{k}\right).\] С физической точки зрения выделение теплоты в системе происходит из-за наличия диссипативных сил: при затухании со временем колебаний жидкости (узкая трубка, вязкое трение, жидкость не идеальна) и пружины (трение о воздух, работа силы сопротивления воздуха).

Расчёт по итоговой формуле даёт \[Q = \frac{m^2 g}{2}\left(\frac{1}{2\rho S} + \frac{g}{k}\right) = 5{,}12\text{ мДж}.\]

Подсказка

Центр масс уголка лежит на вертикали, проходящей через точку подвеса \(O\). По сетке найдите, в каком отношении эта вертикаль делит отрезок между серединами стержней, затем используйте правило моментов.

Ответ

1) \(m_{AB} = 40\) г и \(m_{BC} = 120\) г;  2) \(\rho_2 = 19{,}4\text{ г/см}^3\).

Решение

При свободном подвешивании некоторой жёсткой системы в поле тяжести она с течением времени примет такое положение равновесия, при котором её центр тяжести (масс) окажется на одной вертикали с точкой подвеса. Это утверждение следует из правила моментов сил для положения равновесия, поскольку в противном случае моменты сил не будут уравновешены, и система будет вращаться.

Центр масс однородного стержня находится на его середине, следовательно, соединив середины стержней \(D\) и \(E\) на пересечении отрезка \(DE\) с вертикалью \(OB\) (рис.), найдём центр масс системы — точку \(F\).

Для центра масс системы двух материальных точек справедливо равенство (из правила моментов) \[m_1 r_1 = m_2 r_2,\] где \(r_1 = DF\), а \(r_2 = FE\). Таким образом, для определения масс стержней получаем систему уравнений \[\begin{cases} m_1 + m_2 = m, \\ m_1 r_1 = m_2 r_2. \end{cases}\] Решая систему, находим \[\begin{cases} m_1 = \dfrac{r_2}{r_1 + r_2}\, m, \\[2mm] m_2 = \dfrac{r_1}{r_1 + r_2}\, m. \end{cases}\] Из рисунка по теореме Фалеса (по клеточкам) следует, что отношение \(\dfrac{r_1}{r_2} = 3\), т.е. \(r_1 = 3r_2\). Следовательно, для искомых масс получаем \[\begin{cases} m_1 = \dfrac{m}{4} = 40\text{ г}, \\[2mm] m_2 = \dfrac{3}{4}m = 120\text{ г}. \end{cases}\] Поскольку площади поперечного сечения стержней одинаковы, их плотности можно найти как \[\rho_1 = \frac{m_1}{s\, l_1}, \qquad \rho_2 = \frac{m_2}{s\, l_2},\] где \(l_1 = AB\), а \(l_2 = BC\). Из чертежа по теореме Пифагора находим, что \(l_1 = \sqrt{45}\,a\), \(l_2 = \sqrt{20}\,a\), где \(a\) — длина стороны квадратной масштабной сетки. Тогда отношение плотностей стержней: \[\rho_2 = \frac{m_2}{m_1}\cdot\frac{l_1}{l_2}\,\rho_1 = 3\sqrt{\frac{45}{20}}\,\rho_1 = 4{,}5\,\rho_1 = 19{,}4\text{ г/см}^3.\]

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта движущейся шайбы: там модуль скорости шайбочки до и после удара одинаков, а углы связаны с \(\cos\alpha = L/R\). Затем вернитесь в лабораторную систему по теореме косинусов.

Ответ

\(v' \approx 6{,}73\text{ м/с}\).

Решение

Перейдём в систему отсчёта, связанную с движущейся шайбой. В ней перед ударом шайбочка движется со скоростью \(\vec v + \vec u\).

Так как шайба гладкая и между ней и шайбочкой не действуют силы трения, то углы между нормалью к поверхности шайбы в месте удара и направлениями движения шайбочки до и после удара одинаковы. Следовательно, после удара о шайбу шайбочка в движущейся системе отсчёта будет двигаться с той же по модулю скоростью \(\vec v + \vec u\) под углом \(\beta = \pi - 2\alpha\) к направлению исходного движения, причём \(\cos\alpha = L/R\).

Вернёмся обратно в неподвижную систему отсчёта, связанную с землёй. В ней скорость шайбочки после удара \(\vec v_1\) будет представлять собой векторную сумму скорости \(\vec u\) шайбы относительно земли и скорости \(\vec v + \vec u\) шайбочки относительно шайбы. Используя теорему косинусов, получим: \[v_1^2 = u^2 + (v+u)^2 - 2u(v+u)\cos 2\alpha = v^2 + 2u^2(1 - \cos 2\alpha) + 2uv(1 - \cos 2\alpha) = v^2 + 4u(u+v)\left(1 - \cos^2\alpha\right).\] С учётом выражения для \(\cos\alpha\) окончательно получаем: \[v_1 = \sqrt{v^2 + 4u(u+v)\left(1 - \frac{L^2}{R^2}\right)} = 6{,}73\text{ м/с}.\]