Курчатов, 2024/25, отборочный этап, 7 класс

Подсказка

Пусть за время, пока головные вагоны сошлись, а затем разошлись хвосты, Дима прошёл путь \(s\). Выразите длину пути каждой электрички через \(n_i\), \(l\) и \(s\).

Ответ

\(v = 76\) км/ч.

Решение

Пусть направления скорости движения первой электрички и скорости движения Димы совпадали. На рисунке а) показано расположение поездов в начальный момент времени (\(t_0 = 0\) с), когда поравнялись их головные вагоны (линия \(AB\)). На рисунке б) показано расположение поездов в момент времени \(t\), когда поравнялись хвосты их последних вагонов (линия \(CD\)).

Относительно железной дороги за промежуток времени \(\Delta t = t\) первая электричка проехала путь \[L_1 = n_1 l + s,\] а вторая — путь \[L_2 = n_2 l - s,\] где \(l\) — длина одного вагона, \(s\) — путь, который прошел Дима за время \(t\): \(s = BD = v_0 t\).

Поскольку скорости движения электричек одинаковы, то \(L_1 = L_2 = vt\), где \(v\) — скорость движения каждой электрички. Решая совместно, получим: \[vt = n_1 l + v_0 t, \qquad vt = n_2 l - v_0 t.\] Из полученных уравнений следует, что \[v = \frac{v_0\,(n_1 + n_2)}{n_2 - n_1} = 76~\text{км/ч}.\]

Подсказка

Запишите условие равновесия (давление на дно через высоту содержимого) до и после таяния льда. Искомая величина — относительное уменьшение высоты.

Ответ

\(\eta = 4{,}8\) %.

Решение

Пусть начальная высота \(h_1\) содержимого в сосуде соответствует 100%, а конечная высота \(h_1 - x\). Тогда \(x = \dfrac{h_2}{h_1}\cdot 100\%\). Искомая величина \[\eta = 100\% - x = \left(1 - \frac{h_2}{h_1}\right)\cdot 100\%.\] Первоначальную высоту \(h_1\) найдём из уравнения \[S h_1 = \frac{F_т}{\rho_к g} + \frac{n F_т}{\rho_л g},\] где \(S\) — площадь дна сосуда, \(F_т\) — сила тяжести, действующая на керосин, \(nF_т\) — сила тяжести, действующая на лёд до начала его таяния, \(g\) — коэффициент пропорциональности, входящий в формулу силы тяжести.

После таяния льда высоту \(h_2\) содержимого в сосуде найдём из уравнения \[S h_2 = \frac{F_т}{\rho_к g} + \frac{k n F_т}{\rho_в g\,100\%} + \frac{(100\% - k) n F_т}{\rho_л g\,100\%}.\] Выразим \(h_1\) и \(h_2\) из полученных уравнений, подставим в выражение для \(\eta\) и получим: \[\eta = \frac{k n \rho_к (\rho_в - \rho_л)}{\rho_в (\rho_л + n\rho_к)} = 4{,}8\%.\]

Подсказка

Сила трения покоя пропорциональна силе прижатия. Для каждой доски сравните, какие силы трения её нужно преодолеть при сдвиге.

Ответ

1) 7;  2) \(2{,}6\).

Решение

Экспериментально установлено, что сила трения прямо пропорциональна силе, прижимающей тело к поверхности. Чтобы сдвинуть пять верхних досок, надо приложить к пятой доске минимальную горизонтально направленную силу \(F_1\), равную максимальной силе трения покоя, действующей между пятой и шестой досками: \(F_1 = F_{\text{тр}1}\), где \(F_{\text{тр}1} \sim 5mg\).

Для того, чтобы сдвинуть седьмую доску, нужно приложить минимальную горизонтально направленную силу \(F_2\), равную сумме сил трения покоя между шестой и седьмой досками (\(F_{\text{тр}2} \sim 6mg\)) и между седьмой и восьмой досками (\(F_{\text{тр}3} \sim 7mg\)), т. е. \(F_2 = F_{\text{тр}2} + F_{\text{тр}3}\).

Следовательно, труднее сдвинуть седьмую доску. При этом придётся приложить в \[n = \frac{F_2}{F_1} = 2{,}6\] раза большую силу.

Подсказка

Приравняйте давления на уровне границы раздела жидкостей и учтите, что объём вытесненной из левой трубки воды переходит в правую трубку.

Ответ

\(\Delta h = 10\) см.

Решение

На уровне, совпадающем с границей раздела жидкостей, гидростатические давления равны: \(p_1 = p_2\), или \[\rho g H = \rho_0 g(\Delta h + h),\] где \(\Delta h\) — искомая высота, на которую поднимется уровень воды в правой трубке, \(h\) — высота, на которую опустился уровень воды в левой трубке.

Поскольку жидкости практически несжимаемые, то объём воды, вытесненной из левой трубки, равен объёму воды, перетекшей в правую трубку: \[V_1 = V_2 \quad\text{или}\quad hS = 0{,}2HS + (\Delta h - 0{,}2H)\,2S.\] Отсюда высота \[h = 2\Delta h - 0{,}2H.\] Получаем \[\rho H = \rho_0\left(\Delta h + 2\Delta h - 0{,}2H\right).\] Откуда следует, что \[\Delta h = \frac{H}{3\rho_0}\,(\rho + 0{,}2\rho_0) = 10~\text{см}.\]

Подсказка

Пока жидкость набирается только справа от перегородки, уровень растёт линейно. Излом графика соответствует моменту, когда вода начала переливаться через брусок.

Ответ

1) 12;  2) 8;  3) 304.

Решение

На первом этапе жидкость набирается только справа от перегородки. Высота столба жидкости: \[h_1(t) = \frac{\mu t}{xa}.\] Данный этап заканчивается в момент первого излома графика — \(t_1 = 60\) с. Высота \(c\) бруска совпадает с показаниями линейки в этот момент: \(c = 12\) см.

На втором этапе жидкость через брусок переливается в отсек слева, и пока этот отсек не заполнится целиком, уровень жидкости не меняется: \[\mu(t_2 - t_1) = (a - x - b)\,a c,\] где \(t_2 = 144\) с. Отсюда \[b = a - x - \frac{\mu(t_2 - t_1)}{ac} = 8~\text{см}.\]

Сосуд заполнится целиком через промежуток времени \(\Delta t\), определяющийся условием \[\mu\,\Delta t = a^2(a - c).\] Тогда полное время заполнения сосуда: \[T = t_2 + \Delta t = t_2 + \frac{a^2(a - c)}{\mu} = 304~\text{с}.\]