Курчатов, 2024/25, отборочный этап, 8 класс

Сначала упростите цепь: найдите общее сопротивление и ток через источник. Затем определите, какая доля тока идёт через резисторы \(R_2\).

\(P_4/P_2 = 2{,}25\).

Два резистора \(R_1\) между собой соединены параллельно, поэтому их общее сопротивление \(R_{11} = \dfrac{R_1}{2} = 4\) Ом. Резистор \(R_{11}\) и два резистора \(R_2\) соединены последовательно, поэтому их общее сопротивление \(R_{12} = R_{11} + 2R_2 = 12\) Ом. Резисторы \(R_{12}\) и \(R_3\) соединены параллельно, следовательно, их общее сопротивление \(R_{123} = \dfrac{R_{12}R_3}{R_{12}+R_3} = 4\) Ом. Сопротивление всей электрической цепи \(R = R_{123} + R_4 = 6\) Ом.

Согласно закону Ома сила тока в цепи \(I = \dfrac{U}{R} = 2\) А. В резисторе \(R_4\) выделяется мощность \(P_4 = I^2R_4 = 8\) Вт.

Силу тока, протекающего через резисторы \(R_2\), найдем как отношение напряжения на участке 1-2-3 к сопротивлению участка 1-2: \[I_2 = \frac{I R_{123}}{R_{12}}.\] Тепловая мощность на обоих резисторах \(R_2\) \[P_2 = 2I_2^2R_2 = \frac{32}{9}\text{ Вт}.\] Искомое отношение мощностей \[\frac{P_4}{P_2} = \frac{9}{4} = 2{,}25.\]

1) \(16\) Ом;  2) \(1\) А.

Эквивалентная схема электрической цепи имеет вид, показанный на рисунке.

Общее сопротивление электрической цепи \[R_0 = \left(\frac{1}{2R} + \frac{1}{\dfrac{R^2}{2R} + \dfrac{9R^2}{6R}}\right)^{-1} = R = 16~\text{Ом}.\] Сопротивления нижней и верхней ветви эквивалентной цепи одинаковы, следовательно, по ним (в том числе и по перемычке, которая нас интересует) протекает ровно половина от общего тока в цепи: \[I = \frac{I_0}{2} = \frac{U}{2R} = 1~\text{А}.\]

Когда цилиндр полностью погружён в воду, на него действуют сила тяжести, сила натяжения нити и сила Архимеда. Найдите натяжение нити, затем массу льда, который остался нерастаявшим.

\(Q = 83\) кДж.

Если льду сообщать энергию, то лёд начнёт таять и перемещаться вверх, а алюминиевый цилиндр — вниз. Когда цилиндр полностью окажется в воде, на него будут действовать три силы: вверх — сила упругости нити \(F_1\) и сила Архимеда \(F_{\text{А}} = \rho_1 g\dfrac{m_2}{\rho_2}\), вниз — сила тяжести \(m_2 g\). Так как цилиндр будет находиться в равновесии, то \(F_1 + \rho_1 g\dfrac{m_2}{\rho_2} = m_2 g\). Из этого уравнения найдём силу натяжения нити: \[F_1 = m_2 g - \rho_1 g\frac{m_2}{\rho_2} = 1{,}7~\text{Н}.\] Так как подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза, то натяжение нити, к которой привязан нерастаявший лёд, \(F_2 = 3{,}4\) Н.

Из условия равновесия льда \(F_2 = mg\) масса нерастаявшего льда \(m = \dfrac{F_2}{g} = 0{,}34\) кг. Следовательно, растает лёд массой \(\Delta m = m_1 - m = 0{,}25\) кг. Для плавления этого льда потребуется количество теплоты \(Q = \lambda\Delta m = 83\) кДж.

Запишите условие равновесия рычага до погружения и после погружения. В воде на каждое тело действует сила Архимеда, которая уменьшает его вес.

\(1200\) и \(3000\) кг/м\(^3\).

Пусть плотность вещества более тяжёлого тела равна \(\rho_1\), тогда плотность вещества более лёгкого тела \[\rho_2 = 2{,}5\rho_1.\] Запишем условие равновесия стержня до погружения тел в воду: \[\rho_1 V_1 l = \rho_2 V_2 \cdot 2l.\] Определим объём первого тела из полученных уравнений: \[V_1 = \frac{2\rho_2 V_2}{\rho_1} = 5V_2.\] Запишем условие равновесия стержня после погружения тел в воду: \[(\rho_1 - \rho_0) V_1 \cdot 2l = (\rho_2 - \rho_0) V_2 l.\] С учётом выражения для объёма первого тела получим: \[10\rho_1 - \rho_2 = 9\rho_0.\] Используя исходное соотношение между плотностями, найдём ответ на задачу: \[\rho_1 = 1{,}2\rho_0 = 1{,}2\ \dfrac{\text{г}}{\text{см}^3} \quad\text{и}\quad \rho_2 = 3\rho_0 = 3{,}0\ \dfrac{\text{г}}{\text{см}^3}.\]

Выпишите равенство давлений на уровне границы масла и воды в левой трубке и уравнение сохранения объёма воды. Объём воды, вытесненной из левой трубки, переходит в правую, где сечение трубки меняется.

\(10\) см.

На уровне, совпадающем с границей раздела жидкостей, гидростатические давления равны: \[\rho g H = \rho_0 g(\Delta h + h),\] где \(\Delta h\) — искомая высота, на которую поднимется уровень воды в правой трубке, \(h\) — высота, на которую опустился уровень воды в левой трубке.

Поскольку жидкости практически несжимаемые, объём воды, вытесненной из левой трубки, равен объёму воды, перетёкшей в правую трубку: \[V_1 = V_2 \quad\text{или}\quad hS = 0{,}2HS + (\Delta h - 0{,}2H)\cdot 2S.\] Отсюда высота \[h = 2\Delta h - 0{,}2H.\] Получаем \[\rho H = \rho_0(\Delta h + 2\Delta h - 0{,}2H).\] Откуда следует, что \[\Delta h = \frac{H}{3\rho_0}\,(\rho + 0{,}2\rho_0) = 10~\text{см}.\]