Курчатов, 2024/25, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Когда цилиндр полностью погружён в воду, на него действуют сила тяжести, сила натяжения нити и сила Архимеда. Найдите натяжение нити, затем массу льда, который остался нерастаявшим.

Ответ

\(Q = 83\) кДж.

Решение

Если льду сообщать энергию, то лёд начнёт таять и перемещаться вверх, а алюминиевый цилиндр — вниз. Когда цилиндр полностью окажется в воде, на него будут действовать три силы: вверх — сила упругости нити \(F_1\) и сила Архимеда \(F_{\text{А}} = \rho_1 g\dfrac{m_2}{\rho_2}\), вниз — сила тяжести \(m_2 g\). Так как цилиндр будет находиться в равновесии, то \(F_1 + \rho_1 g\dfrac{m_2}{\rho_2} = m_2 g\). Из этого уравнения найдём силу натяжения нити: \[F_1 = m_2 g - \rho_1 g\frac{m_2}{\rho_2} = 1{,}7~\text{Н}.\] Так как подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза, то натяжение нити, к которой привязан нерастаявший лёд, \(F_2 = 3{,}4\) Н.

Из условия равновесия льда \(F_2 = mg\) масса нерастаявшего льда \(m = \dfrac{F_2}{g} = 0{,}34\) кг. Следовательно, растает лёд массой \(\Delta m = m_1 - m = 0{,}25\) кг. Для плавления этого льда потребуется количество теплоты \(Q = \lambda\Delta m = 83\) кДж.

Подсказка

Примените закон сохранения энергии к начальному и конечному положениям системы. Учтите работу силы тяжести груза, потенциальную энергию столбов воды и упругую энергию пружины.

Ответ

\(5{,}12\) мДж.

Решение

После установки груза \(m\) система выйдет из положения равновесия, поскольку сила давления жидкости в левом колене станет больше.

Пусть в новом установившемся положении равновесия жидкость в правом колене поднялась на высоту \(h\) (рис.), а пружина сжалась на величину \(\Delta x\), тогда из правила сил для равновесия \[k\Delta x = mg \Rightarrow \Delta x = \frac{mg}{k}, \qquad mg = 2\rho g h S \Rightarrow h = \frac{m}{2\rho S},\] где \(S\) — площадь поперечного сечения трубки.

В процессе установления равновесия груз опустился относительно начального положения на величину \[\Delta h = \Delta x + h.\] Начальная механическая энергия \(E_1\) системы (относительно нижней точки трубки) складывается из потенциальной энергии столбов жидкости (центр масс на середине высоты) и груза \[E_1 = 2\rho g\frac{l}{2}S\frac{l}{4} + mg\left(\frac{l}{2} + l_0\right),\] где \(l_0\) — длина пружины в недеформированном состоянии (т.е. до установки груза, в условии не задана).

Соответственно, после установления равновесия механическая энергия \(E_2\) станет равна (добавится энергия упругой деформации пружины) \[E_2 = \frac{\rho g\left(\frac{l}{2}-h\right)^2 s}{2} + \frac{\rho g\left(\frac{l}{2}+h\right)^2 s}{2} + mg\left(\frac{l}{2} + l_0 - h - \Delta x\right) + \frac{k\Delta x^2}{2}.\]

Из закона сохранения энергии после установления нового положения равновесия имеем \[Q = E_1 - E_2 = mgh + mg\Delta x - \rho g S h^2 - \frac{k\Delta x^2}{2}.\] Видим, что подобные члены, содержащие длину недеформированной пружины \(l_0\), успешно сокращаются.

Далее найдём \[Q = mgh + mg\Delta x - \rho g S h^2 - \frac{k\Delta x^2}{2} = \frac{m^2g}{4\rho S} + \frac{m^2g^2}{2k} = \frac{m^2g}{2}\left(\frac{1}{2\rho S} + \frac{g}{k}\right).\] С физической точки зрения выделение теплоты в системе происходит из-за наличия диссипативных сил: при затухании со временем колебаний жидкости (узкая трубка, вязкое трение, жидкость не идеальна) и пружины (трение о воздух, работа силы сопротивления воздуха).

Расчёт по итоговой формуле даёт \[Q = \frac{m^2g}{2}\left(\frac{1}{2\rho S} + \frac{g}{k}\right) = 5{,}12~\text{мДж}.\]

Подсказка

Количество теплоты, запасённое в участке стержня, пропорционально его температуре и длине. Суммарная теплота от горелки пропорциональна площади под графиком в относительных координатах.

Ответ

\(393\,^{\circ}\)C.

Решение

Как следует из условия, из-за неравномерного нагрева стержня в пламени газовой горелки температура его центральной части очень велика (\(500\,^{\circ}\)C), тогда как концы стержня «остались» при начальной (нулевой) температуре (вполне можно держать руками).

Пусть удельная теплоёмкость материала стержня \(c\), плотность \(\rho\), площадь поперечного сечения стержня — \(S\). Тогда количество теплоты \(\Delta Q\), запасённое в небольшом участке стержня длиной \(\Delta x\), равно \[\Delta Q = cm\,\Delta T = c\rho S\,\Delta x\,\Delta T = c\rho S\,\Delta x\,T.\] Соответственно, количество теплоты, сообщённое газовой горелкой всему стержню, найдём как сумму \[Q_1 = \sum_i \Delta Q_i = c\rho S\sum_i T_i\,\Delta x_i = c\rho S\cdot S^*,\] где \(S^* = \pi(5l_0)(5t_0)/2 = 25\pi l_0 t_0/2\) — размерная физическая величина (\(l_0 \cdot t_0 = \text{кг}\cdot{}^{\circ}\text{C}\)), равная площади под графиком, т.е. площади полуокружности размерными радиусами \(5l_0\) и \(5t_0\). Окончательно для количества теплоты получаем \[Q_1 = \frac{25\pi c\rho S l_0 t_0}{2}.\] Через некоторое время после прекращения работы газовой горелки вследствие явления теплопроводности стержень придёт в состояние теплового равновесия, при котором искомая температура \(t\) всех его участков будет одинакова. Тогда количество теплоты, запасённой в стержне, можно записать как \[Q_2 = cm\,\Delta T = c\rho S(10l_0)\,t.\] Поскольку потерь теплоты нет, справедливо уравнение теплового баланса \(Q_1 = Q_2\), из которого получаем \[\frac{25\pi c\rho S l_0 t_0}{2} = c\rho S(10l_0)\,t.\] Установившаяся температура стержня \[t = \frac{25\pi c\rho S l_0 t_0}{2c\rho S(10l_0)} = \frac{5\pi t_0}{4} = 393\,^{\circ}\text{C}.\]

Ответ

1) \(35\) с;  2) \(1270\) м.

Решение

Длину прямолинейного участка \(AB\) трассы найдём из закона равноускоренного движения автомобиля (\(v_0 = 0\)): \[l_1 = \frac{at_1^2}{2} = \frac{gt_1^2}{4} = 174~\text{м}.\] При этом в точке \(B\) трассы скорость автомобиля будет равна \(v = at_1\).

При движении автомобиля с постоянной скоростью \(v\) по участку полуокружности \(BC\) его ускорение в каждой точке будет направлено к центру окружности и по модулю равно \(a\), следовательно \[a = \frac{v^2}{R} = \frac{(at_1)^2}{R}.\] Отсюда находим неизвестный радиус полуокружности \(BC\): \[R = at_1^2.\] Время движения гонщика по полуокружности \(BC\): \[t_2 = \frac{\pi R}{v} = \pi t_1.\] Таким образом, полное время движения гонщика по трассе \[t = t_1 + t_2 = (\pi+1)t_1 = 35~\text{c}.\] А её длина \[l = l_1 + l_2 = \frac{at_1^2}{2} + \pi a t_1^2 = \left(\frac{1+2\pi}{2}\right)at_1^2 = \left(\frac{1+2\pi}{4}\right)gt_1^2 = 1270~\text{м}.\]

Подсказка

Ускорение можно записать как \(a = v\,\dfrac{dv}{dx}\). Выразите его через координату \(x\) и сравните значения в двух точках.

Ответ

\(8\) м/с\(^2\).

Решение

Согласно определению ускорение находится как \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}\). Используя данные условия, найдём приращение \(\Delta v\) скорости тела на малом участке \(\Delta x\) (\(\Delta x \ll x\)): \[\Delta v = \alpha\left((x+\Delta x)^2 - x^2\right) = \alpha\left(2x\Delta x + \Delta x^2\right) \approx 2\alpha x\,\Delta x.\] Подставляя приращение скорости в формулу для ускорения, получаем \[a = \frac{2\alpha x\,\Delta x}{\Delta t} = 2\alpha x\cdot v(x) = 2\alpha^2 x^3.\] Как следует из полученного выражения, при таком законе движения ускорение тела пропорционально кубу текущей координаты: \(a \sim x^3\). Соответственно, искомое ускорение \(a_2\) тела найдём из пропорции \[a_2 = \frac{x_2^3}{x_1^3}\,a_1 = 8{,}0~\text{м/с}^2.\]