Курчатов, 2025/26, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Пока нить не оборвалась, на систему «шарик + тележка» действуют только сила тяжести и сила натяжения нити, поэтому можно записать законы сохранения импульса и энергии.

Ответ

\(2{,}2\) м.

Решение

Рассмотрим движение шарика и тележки после того, как нить была отпущена. Пока нить не оборвалась, система «шарик + тележка» замкнута вдоль оси \(Ox\). Следовательно, выполняется закон сохранения проекции импульса на ось \(Ox\) и закон сохранения энергии.

В момент, когда нить занимает вертикальное положение и готова оборваться, вся потенциальная энергия шарика превращается в кинетическую энергию шарика и тележки: \[mgL = \frac{Mv^2}{2} + \frac{mu^2}{2},\] где \(u\) — скорость шарика, а \(v\) — скорость тележки.

Из закона сохранения проекции импульса: \[0 = mu - Mv, \qquad v = \frac{m}{M} u.\] Подставим это выражение в уравнение энергии: \[mgL = \frac{M}{2}\cdot\frac{m^2u^2}{M^2} + \frac{mu^2}{2}, \qquad mgL = \frac{mu^2}{2}\left(1 + \frac{m}{M}\right).\] Отсюда: \[u = \sqrt{\frac{2gLM}{M + m}}, \qquad v = \frac{m}{M}u = \sqrt{\frac{2gLm^2}{M(M + m)}}.\] После обрыва нити шарик начинает движение по параболе, падая с высоты \(L\) (высота над уровнем тележки). Время падения определяется по формуле: \[t = \sqrt{\frac{2L}{g}}.\] Горизонтальное перемещение шарика относительно земли: \(x_{\text{ш}} = ut\), а тележки: \(x_{\text{т}} = vt\).

Итак, расстояние между шариком и тележкой в момент падения шарика на тележку: \[s = x_{\text{ш}} + x_{\text{т}} = (u + v)t.\] Подставим найденные значения скоростей и времени: \[s = (u + v)t = 2L\sqrt{\frac{m + M}{M}}.\] Ответ: \(2{,}2\) м.

Подсказка

Запишите условия равновесия стержня (сумма сил и сумма моментов) и выразите котангенс угла наклона стержня через длину пружины.

Ответ

\(33\) см.

Решение

Рассмотрим силы, действующие на стержень:

• сила тяжести \(mg\), приложенная в центре стержня;

• сила нормальной реакции стены \(N_1\), направленная горизонтально;

• сила упругости пружины \(F_{\text{упр}}\), направленная горизонтально к стене (удерживает стержень от скольжения);

• сила нормальной реакции пола \(N_2\), направленная вертикально вверх.

Поскольку пол и стена гладкие, силы трения отсутствуют.

Будем описывать систему на основе условий равновесия тел: \[\sum F_x = 0, \qquad \sum F_y = 0, \qquad \sum M = 0.\] Из второго закона Ньютона в проекции на ось \(Oy\): \[N_2 - mg = 0 \;\Rightarrow\; N_2 = mg.\] Пусть угол между стержнем и полом в положении равновесия равен \(\alpha\). Из уравнения моментов относительно точки \(A\) — точки опоры стержня о вертикальную стенку: \[mg\frac{l}{2}\cos\alpha + F_{\text{упр}}\, l\sin\alpha - N_2\, l\cos\alpha = 0.\] Подставим полученное для \(N_2\) выражение в уравнение моментов: \[mg\frac{1}{2}\cos\alpha + F_{\text{упр}}\sin\alpha = mg\cos\alpha.\] Отсюда получаем: \[F_{\text{упр}} = \frac{mg}{2}\operatorname{ctg}\alpha.\] С учётом явного выражения для силы упругости \(F_{\text{упр}} = k\Delta x\) и выражения для \(\operatorname{ctg}\alpha\) из геометрических соображений \[\operatorname{ctg}\alpha = \frac{l_0 + \Delta x}{\sqrt{l^2 - (l_0 + \Delta x)^2}},\] получаем \[k\Delta x = \frac{mg}{2}\cdot\frac{l_0 + \Delta x}{\sqrt{l^2 - (l_0 + \Delta x)^2}}.\] Решая полученное уравнение относительно начальной длины пружины \(l_0\), получаем \[l_0 = \left(\frac{l}{\sqrt{\left(\dfrac{mg}{2k}\right)^2 + \Delta x^2}} - 1\right)\Delta x.\] Ответ: \(33\) см.

Подсказка

Пока поршень неподвижен, давление гелия уравновешивает атмосферное давление и силу трения покоя; при нагревании давление гелия остаётся постоянным, а при охлаждении поршень начинает двигаться, когда сила трения достигает максимума.

Ответ

\(6{,}5\).

Решение

При достаточно медленном заполнении цилиндра сила давления гелия на поршень равна сумме атмосферного давления и силы трения покоя: \[p_0 S = F_{\text{атм}} + F_{\text{тр}},\] где \(p_0\) — давление гелия непосредственно перед его нагреванием, а \(S\) — площадь поршня.

Поскольку величина силы трения скольжения равна максимальному значению силы трения покоя и не зависит от температуры цилиндра, а после закрытия крана количество вещества \(\nu\) гелия в цилиндре под поршнем не изменяется, то при нагревании давление в цилиндре должно оставаться неизменным — изобарный процесс, а объём гелия должен увеличиваться. Пусть температура гелия непосредственно перед нагреванием равна \(T_0\), перед охлаждением — \(T_{\max}\). После нагревания гелий изохорно охлаждают; при температуре \(T_{\text{к}}\) поршень начинает двигаться — при этом сила трения покоя уже направлена в противоположную сторону, а её модуль достиг максимально возможного значения.

Запишем уравнения Менделеева–Клапейрона для гелия в описанных состояниях: \[p_0 V_0 = \nu R T_0, \qquad p_0 V_{\max} = \nu R T_{\max}, \qquad p_{\text{к}} V_{\max} = \nu R T_{\text{к}},\] где \(V_0\) и \(V_{\max}\) — объём гелия до и после нагревания.

Из уравнения состояния находим отношение давлений: \[\frac{p_{\text{к}}}{p_0} = \frac{T_{\text{к}}}{T_{\max}}.\] Также из уравнений состояния получим связь между температурами: \[k = \frac{V_{\max}}{V_0} = \frac{T_{\max}}{T_0}.\] Известно, что отведённое количество теплоты в \(n\) раз меньше полученного при нагревании. Для одноатомного идеального газа: \[Q_{\text{нагрев}} = \frac{5}{2}\nu R(T_{\max} - T_0), \qquad Q_{\text{охлажд}} = \frac{3}{2}\nu R(T_{\max} - T_{\text{к}}).\] По условию \(Q_{\text{нагрев}} = n\,Q_{\text{охлажд}}\): \[5(T_{\max} - T_0) = 3n(T_{\max} - T_{\text{к}}).\] Отсюда, подставляя \(T_{\max} = kT_0\), получаем: \[T_{\text{к}} = kT_0\left(1 - \frac{5(k-1)}{3nk}\right).\] Тогда отношение давлений: \[\frac{p_{\text{к}}}{p_0} = 1 - \frac{5(k-1)}{3nk}.\] Когда поршень начинает двигаться при охлаждении гелия, выполняется соотношение \[p_{\text{к}} S = F_{\text{атм}} - F_{\text{тр}},\] так как сила трения теперь направлена противоположно движению. Следовательно: \[p_{\text{к}} = \frac{F_{\text{атм}} - F_{\text{тр}}}{S}, \qquad p_0 = \frac{F_{\text{атм}} + F_{\text{тр}}}{S}.\] Разделим полученные уравнения друг на друга и выразим искомое отношение сил: \[\frac{F_{\text{атм}}}{F_{\text{тр}}} = \frac{1 + \dfrac{p_{\text{к}}}{p_0}}{1 - \dfrac{p_{\text{к}}}{p_0}} = \frac{6nk - 5(k-1)}{5(k-1)}.\] Ответ: \(6{,}5\).

Подсказка

Из уравнения состояния и условия, что точки 1 и 2 лежат на прямой через начало координат, найдите объёмы и давления в точках 2 и 3 через \(T_1\) и \(T_2\), затем вычислите площадь треугольника цикла.

Ответ

\(524\) Дж.

Решение

По условию точки 1 и 2 лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, поэтому выполняется соотношение \(p = \alpha V\).

Используем уравнение Менделеева–Клапейрона: \(pV = \nu RT \Rightarrow \alpha V^2 = \nu R T\). Следовательно: \[\frac{V^2}{T} = \text{const}, \qquad \frac{V_2^2}{T_2} = \frac{V_1^2}{T_1}.\] Отсюда: \[V_2 = V_1\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}, \qquad p_2 = p_1\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}.\] На участке 2–3 объём постоянен: \(V_2 = V_3\).

Из уравнения состояния: \[\frac{p_2}{T_2} = \frac{p_3}{T_3} \;\Rightarrow\; p_3 = p_2\frac{T_3}{T_2} = p_1\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}\cdot\frac{T_3}{T_2}.\] Так как \(T_3 = T_1\), получаем: \[p_3 = p_1\sqrt{\frac{T_1}{T_2}}.\] Работу газа за цикл вычислим как площадь, ограниченную диаграммой процесса: \[A = \frac{p_2 - p_3}{2}\,(V_2 - V_1).\] Подставим найденные выражения для \(p_2\), \(p_3\), \(V_2\): \[A = \frac{p_1}{2}\left(\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} - \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}\right) \left(V_1\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} - V_1\right).\] Используя \(p_1V_1 = \nu RT_1\), получаем: \[A = \frac{\nu R T_1}{2}\cdot\frac{T_2 - T_1}{\sqrt{T_1T_2}}\left(\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} - 1\right) = \frac{\nu R (T_2 - T_1)}{2}\cdot\sqrt{\frac{T_1}{T_2}}\left(\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} - 1\right) = \frac{\nu R (T_2 - T_1)}{2}\left(1 - \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}\right).\] Ответ: \(524\) Дж.

Подсказка

Составьте уравнения Кирхгофа для токов в ветвях, найдите ток через нагрузку \(R\) и сравните эквивалентное внутреннее сопротивление системы с диапазоном изменения \(R\).

Ответ

\(8\) Вт.

Решение

По первому и второму законам Кирхгофа для данной схемы имеем: \[I_1 + I_2 - I = 0, \qquad I_1 r_1 + IR = \mathcal{E}_1, \qquad I_2 r_2 + IR = \mathcal{E}_2.\] Из этой системы уравнений выразим ток, проходящий через нагрузку (резистор \(R\)): \[I = \frac{r_1\mathcal{E}_2 + r_2\mathcal{E}_1}{r_1r_2 + R(r_1 + r_2)}.\] Мощность на сопротивлении \(R\): \[P = I^2 R = \left(\frac{r_1\mathcal{E}_2 + r_2\mathcal{E}_1}{r_1r_2 + R(r_1 + r_2)}\right)^2 R = \left(\frac{\dfrac{r_1\mathcal{E}_2 + r_2\mathcal{E}_1}{r_1 + r_2}} {\dfrac{r_1r_2}{r_1 + r_2} + R}\right)^2 R.\] Воспользуемся аналогией с задачей для одиночного источника. Известно, что максимум мощности соответствует равенству внешнего сопротивления эффективному внутреннему сопротивлению системы: \[R^* = \frac{r_1r_2}{r_1 + r_2}.\] Так как значение \(R^*\) попадает в диапазон \([R_{\min}; R_{\max}]\), максимальная мощность действительно достигается в этом интервале.

Подставим найденное условие в формулу мощности: \[P_{\max} = \frac{(r_1\mathcal{E}_2 + r_2\mathcal{E}_1)^2}{4r_1r_2(r_1 + r_2)}.\] Ответ: \(8\) Вт.