Курчатов, 2025/26, отборочный этап, 7 класс

Запишите условие равновесия штанги в виде равенства моментов сил относительно точки \(O\) для грузов слева и справа от шарнира.

\(\dfrac{AB}{OA} = 4\).

Обозначим \(OA = h\), \(AB = x\). Тогда \(OB = h + x\), а из условия \(OC = 4h\). Запишем условие равновесия моментов относительно точки \(O\): \[8m \cdot OC = 7m \cdot OA + 5m \cdot OB.\] Подставим выражения для расстояний: \[8m \cdot 4h = 7m \cdot h + 5m \cdot (h + x).\] Сократим на \(m\) и упростим: \[32h = 7h + 5h + 5x = 12h + 5x, \qquad 20h = 5x, \qquad x = 4h.\] Следовательно, \[\frac{AB}{OA} = \frac{x}{h} = 4.\] Ответ: \(4\).

Посчитайте суммарную длину горизонтальных, поднимающихся и спускающихся участков маршрута и время движения ныряльщика по каждому из них.

\(276\) мин.

Скорость движения ныряльщика по горизонтали \(v = 0{,}9\) км/ч, при спуске \(v_\downarrow = 2v = 1{,}8\) км/ч, при подъёме \(v_\uparrow = v/2 = 0{,}45\) км/ч.

По схеме определим протяжённость горизонтальных участков: \[L_{\text{гор}} = 2 + 1 + 4 + 2 + 5 + 3 + 1 + 2 = 20 \text{ участков по } 100 \text{ м}.\] Суммарный подъём от нижнего уровня к выходу состоит из вертикальных участков протяжённостью \(L_{\text{вверх}} = 2 + 3 + 3 + 2 = 10\) участков по 100 м. Суммарный спуск от точки входа при движении к выходу состоит из вертикальных участков протяжённостью \(L_{\text{вниз}} = 4 + 1 + 3 + 1 + 1 = 10\) участков по 100 м.

Тогда время движения ныряльщика: \[t_{\text{ныр}} = \frac{L_{\text{гор}}}{v} + \frac{2L_{\text{вверх}}}{v} + \frac{L_{\text{вниз}}}{2v}.\] Рассчитаем это время: \[t_{\text{ныр}} = \frac{2000 + 2000 + 500}{900} = 5 \text{ ч} = 300 \text{ мин}.\] Расстояние между входом и выходом по поверхности также определим по схеме: \[(1 + 4 + 2 + 5) \cdot 100 \text{ м} = 1200 \text{ м},\] поэтому время движения спасателя равно \[t_{\text{сп}} = \frac{1200 \text{ м}}{3000 \text{ м/ч}} = 0{,}4 \text{ ч} = 24 \text{ мин}.\] Следовательно, время ожидания: \[t_{\text{ожид}} = t_{\text{ныр}} - t_{\text{сп}} = 276 \text{ мин}.\] Ответ: 276 мин.

Определите по графикам, на каком участке пути и времени находится каждый автомобиль в момент встречи, и считайте путь по участкам постоянной скорости.

\(\dfrac{10}{3}\) км \(\approx 3{,}3\) км.

Опишем аналитически зависимость \(v_1(L)\), используя значения из первого графика: \[v_1 = \begin{cases} 40, & 0 \le L < 2, \\ 20, & 2 \le L < 6, \\ 60, & 6 \le L < 10, \\ 80, & 10 \le L \le 14, \end{cases} \qquad (\text{км/ч}),\] а зависимость \(v_2(t)\) опишем аналитически, используя второй график (время \(t\) в минутах): \[v_2 = \begin{cases} 40, & 0 \le t < 2, \\ 20, & 2 \le t < 6, \\ 40, & 6 \le t < 10, \\ 80, & 10 \le t \le 14, \end{cases} \qquad (\text{км/ч}).\] Автомобили встретились через 10 минут, то есть через \(\frac{1}{6}\) часа. Сначала первый автомобиль прошёл 2 км со скоростью 40 км/ч: \[t_1 = \frac{2}{40} \text{ ч} = 0{,}05 \text{ ч} = 3 \text{ мин}.\] До встречи остаётся \(10 - 3 = 7\) минут. На участке \(2 \le L < 6\) первый автомобиль движется со скоростью 20 км/ч, поэтому за 7 минут он проедет \[\Delta L = 20 \cdot \frac{7}{60} = \frac{7}{3} \text{ км},\] и к моменту встречи его путь равен \[L_{\text{встр}} = 2 + \frac{7}{3} = \frac{13}{3} \text{ км}.\] Значит, в момент встречи первый автомобиль всё ещё находится на участке со скоростью 20 км/ч и в ближайшие 2 минуты скорость не изменится (до \(L = 6\) км ему осталось \(\frac{5}{3}\) км, на это нужно 5 минут).

Через 2 минуты после встречи (\(\frac{2}{60} = \frac{1}{30}\) часа): \[s_1 = 20 \cdot \frac{1}{30} = \frac{2}{3} \text{ км}.\] Для второго автомобиля после \(t = 10\) минут скорость равна 80 км/ч, поэтому за 2 минуты он проедет \[s_2 = 80 \cdot \frac{1}{30} = \frac{8}{3} \text{ км}.\] Так как после встречи автомобили разъезжаются в противоположные стороны, расстояние между ними через 2 минуты равно \[S = s_1 + s_2 = \frac{2}{3} + \frac{8}{3} = \frac{10}{3} \text{ км}.\] Ответ: \(\frac{10}{3}\) км \(\approx 3{,}3\) км.

Запишите условия плавания поплавка в трёх состояниях и вычтите их друг из друга, чтобы выразить массу и объём груза.

\(\rho_г = 4000\) кг/м\(^3\).

Пусть \(S\) — площадь поперечного сечения поплавка, \(m_0\) — масса поплавка, \(V\) — объём груза, \(m\) — масса груза.

В исходном положении сила тяжести и сила Архимеда, действующие на поплавок, уравновешивают друг друга: \[\rho g S h_0 - m_0 g = 0. \tag{1}\] В данном состоянии (груз прикреплён снизу и полностью в воде) условие равновесия поплавка с грузом запишется в виде: \[\rho g h_1 S + \rho g V - m_0 g - m g = 0. \tag{2}\] В третьем состоянии (груз лежит сверху и не погружен в воду) на него действует только сила тяжести: \[\rho g h_2 S - m_0 g - m g = 0. \tag{3}\] Вычтем из уравнения (3) уравнение (1), чтобы получить выражение для массы груза: \[m = \rho (h_2 - h_0) S.\] Вычтем из уравнения (3) уравнение (2), чтобы получить выражение для объёма груза: \[V = (h_2 - h_1) S.\] Тогда плотность груза: \[\rho_г = \frac{m}{V} = \frac{\rho (h_2 - h_0)}{h_2 - h_1} = 4000 \text{ кг/м}^3.\] Ответ: \(\rho_г = 4000\) кг/м\(^3\).

Найдите время, за которое стрелка проходит каждую половину круга, и сложите эти времена для одного полного оборота.

\(24\) мин.

Полный оборот минутной стрелки соответствует углу \(360^\circ\). Таким образом, каждая половина круга составляет \(\alpha = 180^\circ\).

Найдём время (в реальных часах), затраченное на прохождение каждой половины круга: \[T_1 = \frac{\alpha}{\omega_1} = \frac{180}{450} = 0{,}4 \text{ ч}, \qquad T_2 = \frac{\alpha}{\omega_2} = \frac{180}{900} = 0{,}2 \text{ ч}.\] Суммарное реальное время одного полного оборота стрелки составляет: \[T = T_1 + T_2 = 0{,}4 + 0{,}2 = 0{,}6 \text{ ч}.\] Переведём это значение в минуты: \(0{,}6 \cdot 60 = 36\) минут.

В исправных часах минутная стрелка совершает полный оборот ровно за 60 минут. Часы Глюка совершают оборот за 36 минут реального времени. Следовательно, за каждый свой «час» они будут спешить на: \[\Delta t = 60 - 36 = 24 \text{ минуты}.\] Ответ: 24 мин.