зад 1 Градины в бутылке
В бутылку объёмом \(V = 2\) л засыпали ледяные градины массы \(m_л = 1{,}0\) кг. Оставшееся свободное место в бутылке заполнили водой до самого края. Начальная температура воды равна \(t_0 = 97\,^\circ\text{C}\), после полного таяния града температура содержимого бутылки стала равна \(t = 3\,^\circ\text{C}\). Теплообменом с окружающей средой пренебречь. Найдите начальную температуру \(t_1\) ледяных градин. Ответ дайте в градусах Цельсия с точностью до целого числа.
Удельная теплоёмкость воды \(c_в = 4200\) Дж/(кг·°C); удельная теплоёмкость льда \(c_л = 2100\) Дж/(кг·°C); удельная теплота плавления льда \(\lambda = 330\) кДж/кг; плотность льда \(\rho_л = 900\) кг/м\(^3\); плотность воды \(\rho_в = 1000\) кг/м\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Составьте уравнение теплового баланса: тепло, отданное горячей водой, идёт на нагрев льда до \(0\,^\circ\)C, его плавление и нагрев полученной воды.
▶ОтветСкрыть
\(t_1 \approx -4\,^\circ\text{C}\).
▶РешениеСкрыть
Объём льда массой \(m_л\) равен \(V_л = \dfrac{m_л}{\rho_л}\). Тогда объём долитой воды \[V_в = V - V_л = V - \frac{m_л}{\rho_л},\] а её масса \[m_в = \rho_в V_в = \rho_в\left(V - \frac{m_л}{\rho_л}\right).\] Горячая вода остыла от температуры \(t_0\) до \(t\), отдав при этом количество теплоты \[Q_{\text{отд}} = c_в m_в (t_0 - t).\] Лёд, имея начальную температуру \(t_1 < 0\,^\circ\)C, сначала нагрелся до \(0\,^\circ\)C, затем расплавился, и полученная вода нагрелась до температуры \(t\): \[Q_{\text{пол}} = c_л m_л (0\,^\circ\text{C} - t_1) + \lambda m_л + c_в m_л (t - 0\,^\circ\text{C}).\] По условию теплопотерь нет, значит \(Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}\). Уравнение теплового баланса: \[c_в m_в (t_0 - t) = -c_л m_л t_1 + \lambda m_л + c_в m_л t.\] Отсюда \[t_1 = \frac{\lambda m_л + c_в m_л t - c_в m_в (t_0 - t)}{c_л m_л} \approx -4\,^\circ\text{C}.\] Ответ: \(t_1 \approx -4\,^\circ\text{C}\).
зад 2 Три сообщающихся сосуда
Имеется система из трёх одинаковых вертикальных сообщающихся сосудов, частично заполненных водой. Площадь поперечного сечения каждого сосуда равна \(S\). В левый сосуд доливают слой керосина высотой \(H_1 = 20\) см, а в правый сосуд — слой масла высотой \(H_2 = 10\) см. Жидкости не смешиваются и не выливаются из трубок. На сколько изменится уровень воды в среднем сосуде по сравнению с первоначальным после установления равновесия? Ответ дайте в сантиметрах с точностью до десятых. Плотность воды \(\rho_в = 1000\) кг/м\(^3\); плотность керосина \(\rho_к = 800\) кг/м\(^3\); плотность масла \(\rho_м = 900\) кг/м\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите давления на уровне границ раздела жидкостей в левом и правом сосудах через высоты столбов керосина и масла и приравняйте их к давлению в среднем сосуде.
▶ОтветСкрыть
\(\Delta h_{\text{ср}} = 8{,}3\) см.
▶РешениеСкрыть
Обозначим искомое изменение уровня воды в среднем сосуде как \(\Delta h_{\text{ср}}\). Пусть уровни воды в левом и правом сосудах опустились на \(x\) и \(y\) соответственно.
Поскольку объём воды не изменился, в центральном колене уровень воды поднялся на высоту: \[\Delta h_{\text{ср}} = x + y. \tag{1}\] Запишем условие равенства давлений в левом и центральном сосудах на уровне границы раздела вода–керосин: \[\rho_к g H_1 = \rho_в g (\Delta h_{\text{ср}} + x). \tag{2}\] Аналогично для правого и центрального сосудов: \[\rho_м g H_2 = \rho_в g (\Delta h_{\text{ср}} + y). \tag{3}\] Складывая уравнения (2) и (3) с учётом выражения (1): \[\rho_к g H_1 + \rho_м g H_2 = \rho_в g \left(\Delta h_{\text{ср}} + x + \Delta h_{\text{ср}} + y\right) = 3\rho_в g \Delta h_{\text{ср}}.\] Откуда получаем: \[\Delta h_{\text{ср}} = \frac{\rho_к H_1 + \rho_м H_2}{3\rho_в} \approx 8{,}3 \text{ см}.\] Ответ: \(\Delta h_{\text{ср}} = 8{,}3\) см.
зад 3 Воздушные шарики
Ученик восьмого класса Вова хочет использовать гелиевые воздушные шарики, чтобы поднять себя над землёй вместе со стулом, на котором он сидит. Радиус каждого воздушного шара равен \(R = 30\) см, а общая масса Вовы и стула равна \(m = 90\) кг. В ответе укажите минимальное количество шариков, которое ему потребуется. Плотность гелия \(\rho_{\text{гелия}} = 0{,}18\) кг/м\(^3\); плотность воздуха \(\rho_{\text{воздуха}} = 1{,}29\) кг/м\(^3\); \(\pi = 3{,}14\). Считайте, что масса оболочки воздушного шара пренебрежимо мала. Объёмом Вовы и стула по сравнению с суммарным объёмом гелиевых шариков пренебречь.
Примечание: объём шара радиуса \(R\) можно вычислить по формуле \(V_{\text{шара}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните силу Архимеда, действующую на шарики, с суммарным весом Вовы, стула и гелия.
▶ОтветСкрыть
\(N_{\min} = 718\).
▶РешениеСкрыть
Для того чтобы вся конструкция поднялась над землёй, необходимо, чтобы сила Архимеда, действующая на шарики, превосходила силу тяжести конструкции. Масса всей системы состоит из массы Вовы, массы стула, а также массы гелия в шарах. Пусть \(N\) — количество шаров. Таким образом, \[F_{\text{тяжести}} < F_{\text{Архимеда}}.\] С учётом выражения для силы Архимеда: \[(m + \rho_{\text{гелия}} N V_{\text{шара}}) g < \rho_{\text{воздуха}} g N V_{\text{шара}}.\] Перегруппируем слагаемые в частях неравенства: \[m < (\rho_{\text{воздуха}} - \rho_{\text{гелия}}) N V_{\text{шара}}.\] Тогда необходимое количество шаров удовлетворяет неравенству: \[N > \frac{m}{\frac{4}{3}\pi R^3 (\rho_{\text{воздуха}} - \rho_{\text{гелия}})} \approx 717{,}3.\] Откуда следует, что минимальное количество шаров равно 718. Ответ: \(N_{\min} = 718\).
зад 4 Теплоизоляция контейнеров
Шурик проводит опыт по изучению теплопроводности теплоизоляционных материалов. У него есть два одинаковых герметичных контейнера с одинаковой площадью поверхности, помещённых в лаборатории, где температура воздуха постоянна и равна \(t_{\text{лаб}} = 20\,^\circ\text{C}\). Первый контейнер Шурик покрыл слоем теплоизоляции из материала \(A\) толщиной \(d_1 = 4\) см. Внутри этого контейнера поддерживается температура \(t_1 = 50\,^\circ\text{C}\). Для поддержания этой температуры требуется мощность нагревателя \(P_1 = 15\) Вт. Второй контейнер покрыт слоем теплоизоляции из материала \(B\) толщиной \(d_2 = 2\) см, а внутренняя температура во втором контейнере равна \(t_2 = 30\,^\circ\text{C}\).
Мощность \(P\) теплоотдачи через теплоизоляционный слой можно вычислить по формуле: \[P = \frac{\lambda S \Delta t}{d},\] где \(\Delta t\) — разность температур на границах слоя, \(S\) — площадь поперечного сечения слоя, \(d\) — толщина слоя, \(\lambda\) — коэффициент теплопроводности материала теплоизоляционного слоя.
Известно, что коэффициент теплопроводности материала \(B\) в два раза больше, чем у материала \(A\): \(\lambda_B = 2\lambda_A\). Найдите мощность \(P_2\), необходимую для поддержания температуры \(t_2\) во втором контейнере. Ответ дайте в ваттах с точностью до целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите формулу мощности для обоих контейнеров и разделите одно равенство на другое, чтобы исключить площадь и неизвестные коэффициенты.
▶ОтветСкрыть
\(P_2 = 20\) Вт.
▶РешениеСкрыть
Запишем выражения для мощностей теплоотдачи через теплоизоляционный слой в первом и втором контейнерах: \[P_1 = \frac{\lambda_A S (t_1 - t_{\text{лаб}})}{d_1}, \qquad P_2 = \frac{\lambda_B S (t_2 - t_{\text{лаб}})}{d_2}.\] Разделив уравнения друг на друга, получим: \[\frac{P_2}{P_1} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A}\cdot\frac{(t_2 - t_{\text{лаб}})}{(t_1 - t_{\text{лаб}})} \cdot\frac{d_1}{d_2}.\] Откуда находим искомую мощность: \[P_2 = \frac{\lambda_B}{\lambda_A}\cdot\frac{(t_2 - t_{\text{лаб}})}{(t_1 - t_{\text{лаб}})} \cdot\frac{d_1}{d_2}\, P_1 = 20 \text{ Вт}.\] Ответ: \(P_2 = 20\) Вт.
зад 5 Квадрат с диагоналями
На схеме изображён электрический контур в форме квадрата. Все четыре стороны квадрата и обе его диагонали — проволочные отрезки с одинаковыми сопротивлениями \(R = 1\) Ом. Центральная точка квадрата является узлом и делит проволочные отрезки диагоналей пополам. Систему подключают к источнику постоянного тока к точкам \(A\) и \(B\). Найдите, на сколько процентов уменьшится общее сопротивление контура после замыкания ключа \(K\). Проволочный отрезок \(BC\) диагонали квадрата с замкнутым ключом \(K\) имеет сопротивление \(R = 1\) Ом. Ответ округлите до целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть
Преобразуйте «звезду» из трёх резисторов в центре в «треугольник», а при замкнутом ключе используйте симметрию схемы, разделив центральный узел.
▶ОтветСкрыть
\(2\%\).
▶РешениеСкрыть
При разомкнутом ключе схема цепи выглядит следующим образом:
Заменим эквивалентным преобразованием «звезду» из трёх резисторов в центре схемы на «треугольник»:
Получив цепь, состоящую из попарно параллельно соединённых резисторов, получаем эквивалентное сопротивление между точками \(A\) и \(B\): \[R_{\text{раз}} = \frac{17}{40} R.\] При замкнутом ключе схема упрощается, при этом центральный узел схемы может быть разделён ввиду симметрии схемы:
и эквивалентное сопротивление между \(A\) и \(B\) становится \[R_{\text{зам}} = \frac{5}{12} R.\] Процент уменьшения сопротивления: \[p = \frac{R_{\text{раз}} - R_{\text{зам}}}{R_{\text{раз}}} \cdot 100\% \approx 2\%.\] Ответ: \(2\%\).
Источник: Олимпиада «Курчатов» по физике, 2025/26, отборочный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.