Курчатов, 2025/26, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Пусть самолет разгоняется до скорости \(v\) за время \(t_1\), а тормозит до нуля за время \(t_2\). Выразите оба пути через \(v\) и \(t_1\) или \(t_2\) и приравняйте их сумму длине полосы.

Ответ

\(t_1 = 23{,}1\text{ с}\).

Решение

Пусть \(t_1\) — время, за которое самолёт разгоняется до максимальной скорости \(v\), а \(t_2\) — время, за которое самолёт остановится до момента выхода за пределы взлетно-посадочной полосы. Тогда \[v = a_1 t_1 = a_2 t_2.\] Соответственно, расстояния, которые самолёт преодолеет в процессе разгона \(s_1\) и торможения \(s_2\), равны \[s_1 = \frac{1}{2} a_1 t_1^2, \qquad s_2 = \frac{1}{2} a_2 t_2^2.\] Поскольку \(t_1/t_2 = a_2/a_1\) и \(s = s_1 + s_2\), найдём время \(t_1\): \[s = \frac{a_1}{2} t_1^2 + \frac{a_1^2}{2a_2} t_1^2 \quad\Rightarrow\quad t_1 = \sqrt{\frac{2a_2\, s}{a_1 a_2 + a_1^2}} \approx 23{,}1\text{ с}.\]

Подсказка

Показания весов равны силе реакции опоры. На участке с постоянной скоростью она равна весу человека и даёт массу; на остальных участках из второго закона Ньютона найдите ускорение.

Ответ

\(h = 20\text{ м}\).

Решение

Показания весов равны силе реакции опоры \(N\). При движении лифта с ускорением \(a\) (направленным вверх) выполняется II закон Ньютона: \[N_2 = m(g + a).\] Найдём массу человека. На среднем участке сила реакции опоры равна \(N_2 = P_2 = 600\text{ Н}\) и \(a = 0\), значит: \[N_2 = mg \quad\Rightarrow\quad m = \frac{N_2}{g} = 60\text{ кг}.\] Рассмотрим участок разгона. Здесь \(N_1 = P_1 = 660\text{ Н}\): \[N_1 = m(g + a) \quad\Rightarrow\quad a = \frac{N_1}{m} - g = 1\text{ м/с}^2.\] Начальная скорость равна нулю, поэтому к концу разгона скорость \(v\) равна \[v = a\,\Delta t_1 = 2\text{ м/с}.\] Путь на участке разгона \(s_1\) равен \[s_1 = \frac{a\,\Delta t_1^2}{2} = 2\text{ м}.\] При равномерном движении скорость лифта постоянна \(v = 2\text{ м/с}\), поэтому путь на этом участке \(s_2\) равен \[s_2 = v\,\Delta t_2 = 16\text{ м}.\] При торможении ускорение направлено вниз. Здесь \(N_3 = P_3 = 540\text{ Н}\): \[N_3 = m(g - a_3) \quad\Rightarrow\quad a = g - \frac{N_3}{m} = 1\text{ м/с}^2.\] Путь \(s_3\) при равнозамедленном движении: \[s_3 = v\,\Delta t_3 - \frac{a\,\Delta t_3^2}{2} = 2\text{ м}.\] Общая высота подъёма: \[h = s_1 + s_2 + s_3 = 2 + 16 + 2 = 20\text{ м}.\]

Подсказка

Средняя скорость равна полному пути, делённому на полное время. Оба — суммы членов геометрических прогрессий с знаменателями \(p\) и \(p/q\).

Ответ

\(V = 68\text{ мкм/с}\).

Решение

Время интервала \(n\) составляет \[t_n = t_1 p^{\,n-1}.\] Общее время испытания находится как сумма 10 членов геометрической прогрессии: \[T = t_1\frac{1 - p^{10}}{1 - p} = \frac{1 - 9^{10}}{1 - 9}\text{ с} = \frac{1}{8}\left(9^{10} - 1\right)\text{ с}.\] Аналогично путь, проходимый на промежутке \(n\), равен \[s_n = v_1 t_1 (p/q)^{n-1}.\] Тогда общий путь: \[S = v_1 t_1\,\frac{1 - (p/q)^{10}}{1 - (p/q)} = \frac{1}{2}\left(3^{10} - 1\right)\text{ м}.\] Найдём среднюю скорость: \[V = \frac{S}{T} = \frac{8}{2}\cdot\frac{3^{10} - 1}{9^{10} - 1}\,\frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{4}{3^{10} + 1}\,\frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{4}{59049}\,\frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 68\,\frac{\text{мкм}}{\text{с}}.\]

Подсказка

Используйте симметрию схемы: по какому резистору ток не течёт? После этого схема сводится к последовательному соединению простых участков.

Ответ

\(R_{\text{уч}}/R = 9\).

Решение

Схема, приведённая в условии, может быть изображена в виде, показанном на рисунке 1. Из соображений симметрии ток через резистор с сопротивлением \(3R\) никогда не течёт. Следовательно, указанная схема эквивалентна схеме на рисунке 2.

Эта схема состоит из трёх последовательно подключённых участков. Первый участок имеет сопротивление \(R_1 = R\). Второй участок с параллельным подключением резисторов имеет сопротивление \(R_2\), равное \[R_2 = \frac{1}{\dfrac{1}{2R + 4R} + \dfrac{1}{2R + 4R}} = 3R.\] Сопротивление третьего участка: \(R_3 = 5R\). Найдём общее сопротивление: \[R_{\text{уч}} = R_1 + R_2 + R_3 = 9R.\]

Подсказка

Составьте уравнение теплового баланса: тепло, отданное водой, алюминием и калориметром при охлаждении до \(t_2\), идёт на нагрев и плавление льда и на сублимацию и нагрев углекислоты.

Ответ

\(m_{\text{уг}} \approx 0{,}05\text{ кг}\).

Решение

Теплоту отдают вода, алюминий и калориметр при охлаждении до \(t_2\): \[Q_{\text{отд}} = (m_1 c_{\text{в}} + m_2 c_{\text{ал}} + C_{\text{кал}})(t_1 - t_2).\] Теплоту получает лёд для нагрева, плавления и дальнейшего нагрева воды: \[Q_{\text{лёд}} = m_i\left(c_{\text{л}}|t_i| + \lambda + c_{\text{в}} t_2\right).\] Энергия, затраченная на фазовый переход углекислоты и нагрев полученного газа: \[Q_{\text{уг}} = m_{\text{уг}}\left(\lambda_{\text{уг}} + c_{\text{г}}(t_2 - t_{\text{уг}})\right).\] Уравнение теплового баланса \(Q_{\text{отд}} = Q_{\text{лёд}} + Q_{\text{уг}}\) даёт \[m_{\text{уг}} = \frac{(m_1 c_{\text{в}} + m_2 c_{\text{ал}} + C_{\text{кал}})(t_1 - t_2) - m_i\left(c_{\text{л}}|t_i| + \lambda + c_{\text{в}} t_2\right)}{\lambda_{\text{уг}} + c_{\text{г}}(t_2 - t_{\text{уг}})} \approx 0{,}05\text{ кг}.\]